RACHUNEK CAA
KOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ.
Na potrzeby kolejnych twierdzeń/dowodów/itd.
wprowadzam następujące oznaczenie:
I , J - dowolne przedziały.
f : I R
F : I R
2
f
F "x"I F (x) = f (x)
Funkcję nazywamy funkcją pierwotną funkcji , jeśli
Obserwacja
f �! F " D(I)
F  funkcja pierwotna funkcji w przedziale I .
Obserwacja
Założenie
F0 - funkcja pierwotna funkcji .
f
Teza
f
F �! F = F0 + C - stała,
C C " R
- funkcja pierwotna funkcji ,
Dowód
(�!)
(F0 )2 = f
F = F0 + C
2
F = F02 = f
czyli funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f .
(�!)
2
F = f
2 2
�! F = F0 �! (F - F0)2 = 0 �! F - F0 = const �! F = F0 + C
2
F0 = f
Nie zawsze istnieje funkcja pierwotna.
Przykładem tego jest funkcja:
0, x `" 0
ńł
f (x) =
�ł
x = 0
ół1,
1
Stawiamy hipotezę, że istnieje funkcja pierwotna F, czyli:
F"C
2 2
F = f �! F = 0, x `" 0 �! F = const = a, x `" 0 �! F(0) = a �!
2
�! "x"RF a" const �! F a" 0 a" f
co nie jest prawdą bo nie zawsze funkcja f przyjmuje wartość 0.
Wynika ze tego, że nasza hipoteza nie jest prawdziwa.
Całką nieoznaczoną (całka w sensie Newtona) funkcji f nazywamy zbiór wszystkich funkcji
f (x)dx
pierwotnych funkcji f i oznaczamy .
+"
f (x)dx = F(x)+ C
+"
Twierdzenie (o liniowości całki nieoznaczonej)
" f (x)dx�ł
+"
�ł
żł
�! " + �g)(x)dx f (x)dx + � g(x)dx
oraz
+"(ąf +"(ąf + �g)(x)dx = ą+" +"
" g(x)dx�ł
+"
�ł
opracował Paweł Sztur
2