Całki nieoznaczone
Definicja 1. Funkcją pierwotną funkcji f : [a, b] R w przedziale a < x < b nazywamy

każdą funkcję F : [a, b] R taką, że F (x) = f(x) dla każdego x z przedziału a < x < b.
Dwie funkcje mające w danym przedziale skończoną pochodną mogą różnić się o stałą. Dlate-
go też każdej funkcji f określonej powyżej można przyporządkować nieskończenie wiele różnych
funkcji pierwotnych różniących się od siebie o stałą.
Definicja 2. Całką nieoznaczoną funkcji f, oznaczaną symbolem

f(x)dx,
nazywamy wyrażenie F (x) + C, gdzie F jest funkcją pierwotną funkcji f, a C oznacza dowolną
stałą. Mamy więc


f(x)dx = F (x) + C �!�! F (x) = f(x).
Podstawowe wzory rachunku całkowego:

xą+1
(1) xądx = + C, ą = -1, kilka szczególnych przypadków tego wzoru, to:

ą+1

" dla ą = 0: dx = x + C;
"
dx
"
" dla ą = -1: = 2 x + C, x > 0;
2
x

dx 1
" dla ą = -2: = - + C, x = 0;

x2 x

dx
(2) = ln |x| + C, x = 0;

x

(3) exdx = ex + C;

ax
(4) axdx = + C, a > 0, a = 1;

ln a

(5) cos xdx = sin x + C;

(6) sin xdx = - cos x + C;

dx
(7) = tg x + C, cos x = 0;

cos2 x

dx
(8) = - ctg x + C, sin x = 0;

sin2 x

dx
"
(9) = arc sin x + C = - arc cos x + C1, -1 < x < 1;
1-x2

dx
(10) = arc tg x + C = - arc ctg x + C1.
1+x2
1
Własności całek nieoznaczonych:
(1) Całka sumy równa się sumie całek (addytywność całki względem sumy podcałkowej) tzn.

(f(x) + g(x)) dx = f(x)dx + g(x)dx.
(2) Stały czynnik można wynieść przed znak całki, tzn.

kf(x)dx = k � f(x)dx, k " R, k = 0.

(3) Całkowanie przez części: Jeżeli u, v są funkcjami zmiennej x mającymi ciągłą pochodną,
to

u(x)v (x)dx = u(x)v(x) - u (x)v(x)dx.
(4) Całkowanie przez podstawienie: Jeżeli dla a x b, g(x) = u jest funkcją mającą
ciągłą pochodną oraz A g(x) B, a funkcja f = f(u) jest ciągła na przedziale [A, B],
to

f(g(x))g (x)dx = f(u)du,
przy czym po scałkowaniu prawej strony należy w otrzymanym wyniku podstawić: u =
g(x).
Przykład 1. Korzystając z wł. 1-2 i powyżej wprowadzonych wzorów mamy:


2 5 dx dx 5
5x2 - 6x + 3 - + dx = 5 x2dx - 6 xdx + 3 dx - 2 + 5 = x3 - 3x2 + 3x -
x x2 x x2 3
5
2 ln |x| - + C
x
Przykład 2. Korzystając ze wzoru na całkowanie przez części obliczamy:



u = x v = ex

xexdx = = xex - 1 � exdx = xex - ex + C.


u = 1 v = ex
Przykład 3. Korzystając ze wzoru na całkowanie przez podstawienie obliczamy:





sin x = t

t6 1

sin5 x cos xdx = = t5dt = + C = t = sin x = sin6 x + C.


6 6


cos xdx = dt
Więcej przykładów z rozwiązaniami w:
W. Krysicki, L. Włodarski:  Analiza Matematyczna w Zadaniach. Część I .
2