FUNKCJA PIERWOTNA
FUNKCJ
PIERWOTN

danej funkcji f(x) nazywamy funkcję F(x) taką, \
e
F (x) = f(x)
Funkcja pierwotna określona jest z dokładnością do stałej
F1(x) = F(x) + C1
EWR 2007/2008 F1_ opis ruchu
/1
CAA
KA NIEOZNACZONA - (FUNKCJA)
Całka nieoznaczona jest to taka funkcja,
f (x)dx = F(x) + C
+"
której pochodna równa jest funkcji podcałkowej f(x)
f(x)dx - wyra\
enie podcałkowe, x - zmienna całowania
EWR 2007/2008 F1_ opis ruchu
/2
CAA
KI NIEOZNACZONE
Wzory na całkowanie mo\
na otrzymać przez odwrócenie wzorów na ró\
niczkowanie:
d
xn = nxn -1
( )
dx
1
xmdx = xm+1 dla m `" -1
+"
m + 1
1
dx = ln(x)
+"
x
+"cos xdx = sin x
+"sin xdx = -cos x
f (x)dx
+"a f (x)dx = a +"
+"(u + v - w)dx = +"udx + +"vdx - +"wdx
EWR 2007/2008 F1_ opis ruchu
/3
CAA
KA OZNACZONA - (LICZBA)
odcinek (a,b) dzielimy na n przedziałów " xi = xi - xi -1 . Wewnątrz ka\
dego przedziału
wybieramy punkt �i
b
n
f (x)dx = lim0 f (�i )"xi
"
+"
"xi
i=1
a
n0
Je\
eli taka granica istnieje i nie zale\
y od wyboru punktów xi i �i , to nazywamy ją całką
oznaczoną.
EWR 2007/2008 F1_ opis ruchu
/4
CAA
KA OZNACZONA
Całka oznaczona jest to LICZBA równa wartości pola powierzchni wyznaczonej
przez funkcje f(x) oraz proste: y = 0, x = a, x = b
b
f ( x ) d x
+"
a
f(x)dx - wyra\
enie podcałkowe, a - dolna granica, b - górna granica, x - zmienna całowania
PODSTAWOWE TWIERDZENIERACHUNKU CAA
KOWEGO
Je\
eli f (x)dx = F(x) + C
+"
b
b
to f ( x)dx = F (b) - F (a) a" F ( x)
+"
a
a
EWR 2007/2008 F1_ opis ruchu
/5
INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA
b a
f (x)dx = - f (x)dx
+" +"
a b
a
f (x)dx = 0
+"
a
b c b
f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx
+" +" +"
a a c
b b
f (x)dx
+"c �" f (x)dx = c �"+"
a a
b b b b
+"[u(x)+v(x)-w(x)]dx=+"u(x)dx++"v(x)dx-+"w(x)dx
a a a a
EWR 2007/2008 F1_ opis ruchu
/6
TWIERDZENIE O WARTOŚCI ŚREDNIEJ
Je\
eli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale (a, b) to istnieje punkt � taki, \
e
b
f (x)dx = (b - a) �" f (� )
+"
a
f(�) - wartość średnia f(x) w przedziale (a, b)
EWR 2007/2008 F1_ opis ruchu
/7