Pojęcia całki - jest to działanie odwrotne do pochodnej.
f ó( x ) = 5x2 + 6x Obliczyć całkę to odpowiedzieć na pytanie jak wyglądała funkcja która ma taką pochodną.
F( x ) = ?
x3 6x
F( x ) = 5 + + C gdzie stała C może byc dowolną liczbą
3 2
f ( x )dx = F( x ) + C
Fó( x ) = f ( x )
Wzory:
xn+1
1. xndx = + C dla n ą -1
n + 1
gdy x = -1 to
2.
1
dx = ln|x|+C
x
3. Cf (x)dx = C f (x)dx
4. f ( x ) ą g( x ) dx = f ( x )dx ą g( x )dx
( )
1
5. dx = ln( x - 1)dx + C
x - 1
Przykład:
1
1
2
1 1 x3 x
ć
+ 5x2 + xdx = dx + 5 x2dx + xdx = ln|x|+5 + + C =
Ł ł 1
x x 3
1
2
3
5 3
2
= ln|x|+ x3 + x + C
3 2
Przykład:
x2 x0+1 x2
( x + 1)dx = xdx + 1dx = + + C = + x + C
2 0 + 1 2
Przykład:
1 -1
ć
5 1
5
5dx 2
3 + x + + dx = 3 dx + x + 5 x-2 + x =
Ł
x2 x ł
1 1
+1 - +1 6 1
5 2
x0+1 x x-2+1 x 5
5 2
= 3 + + 5 + + C = 3x + x + 5( -1)x-1 + 2x + C =
1 1
0 + 1 - 2 + 1 6
1 + - + 1
5 2
6 1
5
5 2
= 3x + x - 5x-1 + 2x + C
6
Przykład:
1
dx = podstawiamy ( x - 1) = t liczymy pochodną stronami:
x - 1
( x - 1)ódx = 1
dx = dt
1 1
dx = dt = ln|t|+C = ln( x - 1)dx + C
x - 1 t
Przykład:
1
dx = podstawiamy ( 3x + 2) = t liczymy pochodną stronami:
3x + 2
3dx = dt
dt
dx =
3
1 dt 1 1 1
= dt = ln|t|+C =
t 3 3 t 3
1
= ln|3x + 2|+C
3
Przykład:
3x + 5 dx = podstawiamy (3x + 5) = t liczymy pochodną stronami:
( )
3dx = dt
dt
dx =
3
1
1 +1 3 3
2
1 1 1 t 1 2 2
2 2 2
3x + 5 dx = tdx = tdt = t dt = + C = t + C = t + C =
( )
1
3 3 3 3 3 9
+ 1
2
3
2
= 3x + 5 + C
( )
2
9
Przykład:
x2 ć x3 + 5 dx = podstawiamy ( x3 + 5) = t liczymy pochodną stronami:
Ł ł
3x2dx = dt
dt
x2dx =
3
1
1 +1 2 3
2
dt 1 1 t 1 2 2
ć
2 3
= t = t dt = + C = t + C = x3 + 5 2 + C
Ł ł
1
t 3 3 3 3 9
+ 1
2
Uproszczenia możliwe w obliczeniach:
Uproszczenie 1.
Wyprowadzenie:
Rozwiążmy poniższy przykład:
1
dx = podstawiamy (2x + 1) = t liczymy pochodną stronami:
2x + 1
2dx = dt
dt
dx =
2
1 dt 1
= = ln|2x + 1|+C
t 2 2
Uproszczenie 1.
Końcowy wzór:
Jeżeli w mianowniku jest funkcja a w liczniku jest pochodna tej funkcji to całka jest równa:
ln| f ( x )|+C
1 1 2 1 2 1
Przykład1: dx = dx = dx = ln|2x + 1|+C
2x + 1 2 2x + 1 2 2x + 1 2
( ) ( )
1 1 2x 1 2x 1
Przykład2: dx = dx = dx = ln|x2 + 5|+C
2
ć
x2 + 5
x2 + 5 2 ć x2 + 5 2
Ł ł Ł ł
Uproszczenie 2.
Wyprowadzenie:
dx
Rozwiążmy następujący przykład:
x2 + 5x + 6
Nie możemy zastosować poznanych wcześniej wzorów. Stosujemy metodę rozkładu na ułamki proste.
Sprowadzamy mianownik do postaci rozłożonej.
-5 - 1 -5 + 1
D = b2 - 4ac = 25 - 24 = 1 D = 1 x1 = = -3 x1 = = -2
2 2
dx dx dx
dx = dx = dx
( x - x1 )( x - x2 ) ( x + 3)( x + 2)
x2 + 5x + 6
1
Gdyby wyrażenie:
( x + 3)( x + 2)
A B
można było przedstawić jako sumę dwu wyrażeń +
( x + 3) ( x + 2)
to można by było zastosować znane już wzory.
Zakładamy, że są takie wartości A i B które spełniają te wyrażenia. Dokonajmy więc przekształcenia takiej sumy
wyrażeń:
1 A B A( x + 2) + B( x + 3) Ax + 2A + Bx + 3B x( A + B) + 2A + 3B
= + = = =
( x + 3)( x + 2) ( x + 3) ( x + 2) ( x + 3)( x + 2) ( x + 3)( x + 2) ( x + 3)( x + 2)
czyli:
1 x( A + B) + 2A + 3B
=
( x + 3)( x + 2) ( x + 3)( x + 2)
Jeżeli strony równania są równe przy jednakowych mianownikach, więc liczniki są też równe. Możemy więc
napisać:
1 = x( A + B) + 2A + 3B
Obliczamy wartość A i B dla których równanie będzie prawdziwe. Aby x nie miał wpływu na wyrażenie musi
być spełniony warunek : x(A+B) = 0
będzie to zawsze spełnione gdy: A + B = 0
Przy takim warunku całe wyrażenie 1 = x( A + B) + 2A + 3B będzie prawdziwe gdy 2A+3B = 1
Możemy napisać układ równań z których wyliczymy wartość A i B :
A + B = 0 | (-2)
2 A + 3B = 1
-2 A - 2 = 0
A + B = 0
2 A + 3B = 1
A + 1 = 0
0 + B = 1
A = -1
B = 1
Całe nasze wyrażenie przybierze postać:
dx -1 1 1 1
dx = dx + dx = - dx + dx = - ln|x + 3|+ ln|x + 2|+C
( x + 3)( x + 2) x + 3 x + 2 x + 3 x + 2
Uproszczenie 2.
Końcowy wzór:
dx
dx = -ln|x + 3|+ln|x + 2|+C
( x + 3)( x + 2)
Temat: Pojęcia całki - część dalsza
Wzory:
xdx x
e = e + C
sin xdx = - cos x + C
cos xdx = sin x + C
sin x
tgxdx = dx = a
cos x
cos x = t obl. pochodną z obu stron
- sin xdx = dt
sin xdx = -dt
dt
a = - = - ln|cos x|+C
t
tgxdx = - ln|cos x|+C
f ( x)g( x)dx = g( x)F( x) - F( x)gó( x)dx
Przykład:
x2exdx - mamy tu całkę z mnożenia
f ( x ) = ex F( x ) = ex
g( x ) = x2 gó( x ) = 2x
x2exdx = x2ex - 2xexdx - mamy tu następną całkę z mnożenia, postępujemy podobnie
f ( x ) = ex F( x ) = ex
g( x ) = x gó( x ) = 1
= x2ex - 2 xexdx = x2ex - 2ć xex - exdx =
Ł ł
= x2ex - 2ć xex - ex + C
Ł ł
Przykład:
x3 ln x dx - mamy tu całkę z mnożenia
x4
f ( x ) = x3 F( x ) =
4
1
g( x ) = ln x gó( x ) =
x
x4 x4 1 x4 1
= ln x - dx = ln x - x3dx =
4 4 x 4 4
x4 1 x4
= ln x - + C
4 4 4
Przykład:
ln x dx - nie mamy wzoru na taką całkę, ale możemy ją zapisać jako: ln x dx = 1 ln x dx
mamy więc całkę z mnożenia : 1 ln x dx
Rozwiązujemy ją w znany sposób:
1 ln x dx
f ( x ) = 1 F( x ) = x
1
g( x ) = ln x gó( x ) =
x
1
= x ln x - x dx = x ln x - dx =
x
= x ln x - x + C
1
= x ln x - x dx = x ln x - dx =
x
ln x dx = x ln x - x + C
Przykład:
x sin x dx - mamy tu całkę z mnożenia
f ( x ) = sin x F( x ) = - cos x
g( x ) = x gó( x ) = 1
= -x cos x - 1( - cos x )dx = -x cos x + cos xdx =
= -x cos x + sin x + C
1
dx = arctgx + C Wzór do zapamiętania!
1+ x2
3 3
Co to jest arctg? tg300 = arctg = 300
3 3
tg450 = 1 arctg1 = 450
Przykład:
dx
dx - wykorzystamy powyższy wzór:
x2 + 4
dx dx 1 dx
dx = dx = dx =
4 2
ć ćć x
x2 + 4
x2
+ 1
4 + 1
4
Ł ł
ŁŁ 2ł
ł
x
= t | *2
2
x=2t
dx=2dt
1 2dt 1 dt 1 x
= dx = dx = arctgć + C
2 2 Ł ł
4 2 2 2
t + 1 t + 1
Przykład:
dx 1 dx 1 dx
dx = dx = dx =
2
5 5
ć
2x2 + 5
2x2 ć
2 x
+ 1
+ 1
5
Ł ł Ł 5 ł
2
x = t
5
2
dx = dt
5
5
dx = dt
2
ć
1 5 dt 1 5 2
= dx = arctg x + C
5 2 5 2 5
Ł ł
t2 + 1
Matematyka.
Ćwiczenia - Rozwiązywanie całek..
Przykład:
1
1 1
ć3x2 - 5x + 7 - + xdx = 3 x2 - 5 xdx - 7 dx - dx + x x dx =
Ł ł
x x
3
3
2
x3 x2 x x2 2
2
= 3 - 5 - 7x - ln|x|- + C = x3 - 5 - 7x - ln|x|- x + C
3
3 2 2 3
2
Przykład:
1 1
ć
1 5 7x4 x2
5
5dx 2
7x3 - 21x + x - + dx = 7 x3dx - 21 xdx + x - x-2 + 5 x = - 21 + C
4 2
Ł
x2 x ł
Przykład:
1
dx =. podstawiamy (2x + 1) = t liczymy pochodną stronami:
2x + 1
2dx = dt
dt
dx =
2
1 dt 1 dt 1
= = = ln|t|+C =
t 2 2 t 2
1
= ln|2x + 1|+C
2
Przykład:
6 6
dx =6 dx = podstawiamy 5x - 7 = t liczymy pochodną stronami:
5x - 7 5x - 7
5dx = dt
dt
dx =
5
1 dt 6 1 6
= 6 = dt = ln t + C =
t 5 5 t 5
6
= ln|5x - 7|+C
5
Przykład:
7x + 9 = podstawiamy 7x + 9 = t liczymy pochodną stronami
7dx = dt
dt
dx =
7
3
1 3
2
1 1 t 1 2
2 2
= t dx = + C = t + C =
3
7 7 7 3
2
3
2
= 7x + 9 + C
( )2
21
Przykład:
1 1 1
dx = dx = podstawiamy 3x + 9 = t liczymy pochodną stronami:
1
2
2 3x + 9
3x + 9
( )2
3dx = dt
dt
dx =
3
1 1
1 - +1 1
-
2 2
1 1 dt 1 1 1 t 1 1 t 1 1 2
2 2
= = t dt = + C = + C = t + C =
1 1 1
2 3 2 2 3 2 3 2 3 1
- + 1
2 2 2
t
1
1
= 3x + 9 + C
( )2
3
Przykład:
1
dx =
??????????????????????????????????
(x - 1)(x + 2)
..............................
1 1 1 1
= dx - dx =
3 (x - 1) 3 (x + 2)
1 1
= ln|x - 1| - ln|x + 2|+C
3 3
Przykład:
2x - 1
dx = D = 36 - 20 = 16 D = 4
x2 - 6x + 5
6 - 4 6 + 4
x1 = = 1 x2 = = 5
2 2
2x - 1 2x - 1 A(2x) B1 Ax B Ax(x - 5) + B(x - 1)
dx = dx = dx + = 2 dx + = 2 dx =
(x - 1)(x - 5) (x - 1) (x - 5) (x - 1) (x - 5) (x - 1)(x - 5)
x2 - 6x + 5
A2x2 - 10Ax + Bx - B
= ??????????????????
(x - 1)(x - 5)
............................................
A + B = 2 dodajemy stronami
- 5A - B = -1
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
- 4A = 1
1 1
A = - B = 2
4 4
1 1
- 2
1 1 1 1
4 4
= dx + dx = - dx + 2 dx =
x -1 x - 5 4 x -1 4 x - 5
1 1
= - ln|x - 1|+2 ln|x - 5|+C
4 4
Przykład:
dx
=
( x - 1)( x + 1)( x + 2 )
1 A B C A( x + 1)( x + 2 ) + B( x - 1)( x + 2 ) + C( x - 1)( x + 1)
= + + = =
( x - 1)( x + 1)( x + 2 ) x - 1 x + 1 x + 2 ( x - 1)( x + 1)( x + 2 )
A(x2 + 2x + x + 2 ) + B( x2 + 2x - x - 2 ) + C( x2 - 1) (Ax2 + 3Ax + 2 A ) + ( Bx2 + Bx - 2B ) + ( Cx2 - C )
= = =
(x - 1)(x + 1)(x + 2 ) (x - 1)(x + 1)(x + 2 )
Ax2 + 3Ax + 2 A + Bx2 + Bx - 2B + Cx2 - C x2( A + B + C ) + x( 3A + B ) + 2 A - 2B - C
= = =
(x - 1)(x + 1)(x + 2 ) (x - 1)(x + 1)(x + 2 )
Jeżeli ułamki:
1 x2 (A + B + C) + x(3A + B) + 2A - 2B - C
=
(x - 1)(x + 1)(x + 2) (x - 1)(x + 1)(x + 2)
są równe to i liczniki tych ułamków są równe. Możemy więc napisać:
x2 (A + B + C) + x(3A + B) + 2A - 2B - C = 1
Obliczamy wartość A, B, C
A + B + C = 0
3A + B + 0 = 0
2A - 2B - C = 1
______________
Z drugiego równania obliczamy B:
B = -3A
A - 3A + C = 0
2A - 2(-3A) - C = 1
__________________
-2A +C = 0
8A - C = 1
_______________
6A = 1
A = 1/6
B = -3A = - 3(1/6) = - 1/2
B = - 1/2
A + B + C = 0
A + B = - C
1 -1
+ = -C
6 2
1- 3
= -C
6
1
- = -C
3
1
C =
3
1 1 1
A = B = - C =
6 2 3
Nasze równanie przybierze więc postać:
1 1 1
-
dx
6
= dx + 2 dx + 3 dx =
(x - 1)(x + 1)(x + 2) (x - 1) (x + 1) (x + 2)
1 1 1
= ln|x - 1| - ln|x + 1| + ln|x + 2|+C
6 2 3
Przykład:
5x - 7 5x - 7 5x - 7
dx = dx = dx =
2
ćx - 16ćx2 + 16 x - 4 x + 4 + 16
x4 - 256
( )( )ć 2
Ł łŁ ł Łx ł
ć
A(x + 4)(x2 + 16) + B x - 4 + 16 + (Cx + D) x - 4 x + 4
( )ć 2 ( )( )
ć
Łx ł
A B Cx + D
= + + dx =
dx =
x - 4 x + 4
Ł
x2 + 16ł
x - 4 x + 4 + 16
( )( )ć 2
Łx ł
Ł ł
ć
4Ax2 + 16A + 64A + Bx3 - 4Bx2 + 16Bx - 64B + Cx3 - 16Cx + Cx2 - 16D
= dx =
x - 4 x + 4 + 16
( )( )ć 2
Łx ł
Ł ł
ć
x3(A + B + C) + x2 (4A - 4B + D) + x(16A + 16B - 16C) + 64A - 64B - 16D
= dx =
x - 4 x + 4 + 16
( )( )ć 2
Łx ł
Ł ł
Aby obliczyć wartości A, B, C, D, piszemy układy równań:
A + B + C = 0 *16
4A - 4B + D = 0
*16
16A + 16B - 16C = 5
64A - 64B - 16D = -7
Dodajemy pierwsze i trzecie równanie :
16A + 16B + 16C = 0
16A + 16B - 16C = 5
32A + 32B = 5
Dodajemy drugie i czwarte równanie :
64A - 64B + 16D = 0
64A - 64B - 16D = -7
128A - 128B = -7
W wyniku tych działań otrzymujemy dwa równania:
32A + 32B = 5 *4
128A - 128B = -7
128A + 128B = 20
128A - 128B = -7
256A = 13
13
A =
256
Z równania 32A + 32B = 5 obliczamy B
13
32 + 32B = 5
256
13
+ 32B = 5
8
13 40 - 13
5 -
27 27
8 8
B = = = =
32 32 8 32 256
27
B =
256
Z równania A + B + C = 0 obliczamy C
-13 27 -13 - 27 40
C = -A - B = - = = -
256 256 276 256
40
C = -
256
Z równania 4A - 4B + D = 0 obliczamy D
13 27
4 - 4 + D = 0
256 256
13 27
- + D = 0
64 64
- 13 27 14 7
D = + = =
64 64 64 32
7
D =
32
Podstawiamy obliczone wartości A, B, C, D do równania:
13 27 - 40 7
ć ć ć
x +
ć
A B Cx + D
256 256 256 32
+ +
dx =
dx = dx + dx +
x - 4 x + 4
Ł
x2 + 16ł x - 4 x + 4 x2 + 16
Ł ł Ł ł Ł ł
b
a
- 40 7 - 40 7
ć ć
x + x +
13 1 27 1 13 27
ć dx + ć dx + 256 32
256 32
=
dx = ln| x - 4| + ln| x + 4| + dx
Ł ł Ł ł
256 x - 4 256 x + 4 256 256
x2 + 16 x2 + 16
Ł ł Ł ł
ć - 40 1 7
ć
- 40 7 - 40 7
ć ć
2x +
x + 2x
c ( )
Ł ł
256 2 32
256 32 512 32
dx = a + b +
= a + b + +
dx = a + b + dx =
x2 + 16 x2 + 16 x2 + 16 x2 + 16
Ł ł Ł ł
Ł ł
- 40
ć
2x
( ) ć 7
ć ć
- 40 2x 7 1
512 32
= a + b +
dx + dx = a + b + dx + dx =
512
Ł
x2 + 16 x2 + 16 x2 + 16ł 32 Ł x2 + 16ł
Ł ł Ł ł
ć
ć
- 40 7 1 7 1
dx
= a + b + ln|x2 + 16| +
dx = a + b + c + 32 ć =
512 32
Ł
x2 + 16ł
x2
16 + 1
16
Ł ł
Ł ł
ć
7 1 dx x
= a + b + c + = podstawiamy = t x = 4t dx = 4dt
2
32 16 4
x
ć
+ 1
Ł ł
Ł 4 ł
ć ć
7 1 4dt 7 4 dt 7 1 7 1 x
= a + b + c + = a + b + c + = a + b + c + arctgt = a + b + c + arctg =
32 16 32 16 32 4 32 4 4
Ł Ł
t2 + 1ł t2 + 1ł
7 x
= a + b + c + arctg
128 4
Przykład:
dx dx 1 dx
= = =
2
ć
x2 + 7
x2 7 ć
7 + 1 x
+ 1
7
Ł ł
7
Ł ł
x
= t * 7
7
x = 7 t
dx = 7dt
1 7 dt 7 dt
= = =
7 7
t2 + 1 t2 + 1
7 7 x
= arctgt + C = arctg + C
7 7
7
Przykład:
dx dx t dt
= = 2 x = t x = dx =
2 2
2x2 + 1
2x + 1
( )2
dt
1 dt
2
= = =
2 2
2
t + 1 t + 1
1 1
= arctgt + C = arctg| 2 x| + C
2 2
Przykład:
dx dx 1 dx
= =
2
2 5
ćć
3x2 + 5
ć
3
3
x + 1
5 x + 1
5
5
ŁŁ ł Ł ł
ł
3 t dt 5
x = t x = dx = dx = dt
5 3
3 3
5 5
5
dt
1 1 5 dt
3
= = =
5 5 3
t2 + 1 t2 + 1
1 5 1 5 5
= arctgt + C = arctg| x| + C
5 3 5 3 3
Przykład:
dx
( )2
= a + b = a2 + 2ab + b2
x2 + 6x + 24
( )2
x2 + 6x + 24 = x2 + 6x + 9 + 15 = x2 + 6x + 9 + 15 = x + 3 + 15
( )
dx dx dx 1 dx
= = = = =
ć
( )2
x + 3 + 15 ( )2 15 ćć x + 32
x2 + 6x + 24 x + 3
15 + 1
Ł 15 + 1
15
ł
Ł ł
Ł ł
x + 3 t 15 15
= t x + 3 =
x + 3 = t dx = dt
15 15
15 15
.........................
15
dt
1 1 15 1 15 x + 3
15
= = arctg|t| + C = arctg| | + C
15 15 15 15 15
15
t2 + 1
( )
15 x + 3
= arctg| | + C
15
15
Temat: cd całki.
1
Powtórka: dx = arctgx + C
1+ x2
Przykład:
dx
D = 9 - 28 = -19 delta ujemna, do rozwiązania należy wykorzystać inną metodę.
x2 + 3x + 7
Wykorzystać można wzór: a + b = a2 + 2ab + b2
( )2
4
dx dx dx 4 dx
19
= = = dx = =
3 9 9 2 2 2
19
x2 + 3x + 7 3 19 3 19 3
ć ć ć
x2 + 2 x + - + 7
x + + x + + x +
2 4 4
Ł ł Ł ł Ł ł
2 4 2 4 2
+ 1
19 19
4 4
ć
3
x +
4 dx 3 19 19
2
= podstawiamy za = t x + = t dx = dt
2
19 2 2 2
19
ć
3
x +
Ł ł
2
2
+ 1
19
Ł ł
2
ć
19 3
dt
x2 +
4 4 19 dt 2 19
2
= = = arctg 2 + C
2 2
19 19 2 19
19
t + 1 t + 1
Ł ł
2
Przykład:
5x + 7
dx =
x2 + 7x + 20
f ó( x)
Przypomnienie wzoru: = ln| f ( x)|+C
f ( x)
ó
ć
pochodna z mianownika naszego przykładu była by: x2 + 7x + 20 = 2x + 7
Ł ł
5x + 7
licznik z naszego przykładu jest :
aby doprowadzić go do postaci: 2x + 7
należy dokonać przekształcenia:
x
5446447
1 7 5 5 7 5 35 14
ł
( ) ( ) ( )
5x + 7 = 5ę 2x + 7 - + 7 = 2x + 7 - + 7 = 2x + 7 - + =
ś
2 2 2 2 2 2
2
5 21
( )
= 2x + 7 -
2 2
Wracamy do naszej całki:
5 21
2x + 7 -
( )
5x + 7 5 2x + 7 21 dx
2
dx = 2 dx = dx - =
2 2
x2 + 7x + 20 x2 + 7x + 20 x2 + 7x + 20 x2 + 7x + 20
5 21 dx 21 dx
= ln|x2 + 7x + 20| - = K -
7 49 49 80 2
2 2 2
144 2444
4 3
7 31
ć
x2 + 2 x + - +
x + +
K 2 4 4 4
144444 3
244444
Ł ł
2 4
1442443
B
B
4
dx 4 dx 4 dx
31
B = = dx = = =
2 2 2 2
31 31
7 31 7 31 7
ć ć ć ć
7
x + + x + + x +
x +
Ł ł Ł ł Ł ł
2 4 2 4 2
2
+ 1
+ 1
31 31
31
4 4
Ł ł
2
7
x +
7 31
2
= t x + = t | całkujemy stronami
2 2
31
2
31
dx = dt
2
7
x +
4 dx 4 31 dt 2 31
2
B = = = arctg | | + C
2 2
31 31 2 31
31
t + 1
ć
7
x +
2
2
+ 1
31
Ł ł
2
Przykład:
dx dx
= =
x + 1 = t dx = dt
x2 + 2x + 1 x + 1
( )2
-1
dt 1
-2dt t
= = t = + C = + C
2
- 1 x + 1
t
Temat2: Całki oznaczone.
Wszystkie poznane do tej pory całki to całki nieoznaczone.
Całka oznaczona to całka dla której określa się przedział. Musi być różniczkowalna.
b
f ( x )dx = F(b) - F( a )
a
Przykład:
3
x2 3 32 12 9 1 8
xdx = | = - = - = = 4
2 2 2 2 2 2
1 1
Przykład:
10
1 x - 1 = t
dx = podstawiamy:
x - 1 dx = dt
5
t(5) = 4
x = 5
dla
x = 10 t(10) = 9
Przy metodzie podstawiania trzeba zmienić granice całkowania bo zmienia się zmienna.
10 91
1
dx = dt =
x - 1 t
5 4
Wracamy do przykładu:
9
9
= ln | t | | = ln 9 - ln 4 = ln
4
4
b c b
Twierdzenia: f ( x )dx = f ( f )dx + f ( f )dx c ( a,b )
a a c
a
f ( x )dx = 0
a
f (x) > 0 (a,b)
P
a b
b
|P|= f (x)dx
a
Przykład:
f (x) = x2
Mamy dwie funkcje:
g(x) = 4x
x2
Miejsce przecięcia się obu wykresów
4x
Obliczyć pole zawarte między jednym a drugim wykresem w obszarze między przecięciami się tych wykresów.
Wykresy przecinają się dla x który jest równy: x2 = 4x
x2 - 4x = 0
x(x - 4) = 0
x = 0
x = 4
Pole będzie równe różnicy :
4 4
Pole = 4xdx - x2dx =
0 0
x2 4 x3 4 64
ć
= 4 |- | = 4(8 - 0) - - 0 =
Ł ł
2 3 3
0 0
32 2 2 32
ć ć
32 - = 321- =
Ł ł Ł
3 3ł 3
25.04.98 ćwiczenia Przykład:
f ( x) g( x) = g( x) F( x) - F( x) gó( x)dx + C
x3
x2 ln xdx = f = x2 F =
3
1
g = ln x gó =
x
x3 1 x3 x3 1 x3 1 x3 x3 1
ćln
= ln x - dx = ln x - x2dx = ln x - + C = x - + C
Ł ł
3 x 3 3 3 3 3 3 3 3
Przykład:
x sin xdx = f = sin x F = - cos x
g = x gó = 1
= -x cos x + cos xdx = -x cos x + sin x + C
Przykład:
1
dx = ln x = t
x ln x
1
dx = dt
x
dx
= dt
x
1 dx dx 1 1 dt
= dx = = = dt = = ln t + C = ln(ln x ) + C
x ln x x ln x x t t t
Przykład:
1
dx = ln x = t
x ln2 x
1
dx = dx
x
-1
dt 1 1
-2dt t
= = t = + C = - + C = - + C
- 1 t ln x
t2
Przykład:
dx 1 A B A( x + 1) + B( x - 5)
= = + = =
( x - 5)( x + 1) ( x - 5)( x + 1) ( x - 5) ( x + 1) ( x - 5)( x + 1)
Ax + A + Bx - 5 x( A + B ) + A - 5B
= = =
( x - 5)( x + 1) ( x - 5)( x + 1)
x - 5 = t x + 1 = z
dx = dt dx = dz
A + B = 0 (-1) - A - B = 0
A - 5B = 1 A - 5B = 1
-6B = 1
1
B = -
6
1
A - = 0
6
1
A =
6
1 1 1 1 1 1 1 1
= dx - dx = dt - dz =
6 x - 5 6 x + 1 6 t 6 z
1 1 1 1
= ln t - ln z + C = ln x - 5 - ln x + 1 + C
6 6 6 6
Przykład:
1 1 1 1 dx 1 dx
dx = dx = dx = = =
2
10
x2 + 2x + 11 x2 + 2x + 1 + 10 (x + 1)2 + 10 (x + 1)2 10
(x
ć + 1)
+ 1
+ 1
10
Ł ł
10
ć
x +1
= t x +1 = 10 t dx = 10 dt
Ł ł
10
1 10dt 10 dt 10 x +1
= = = arctg + C
10 10 10 10
t2 +1 t2 +1
Przykład:
dx
= wyciągnijmy przed mianownik 2 i przedstawmy go w postaci:
2x2 + x + 7
ć 2 x 7 x 1 1 7
ć
2x2 + x + 7 = 2 x2 + + = 2ć x2 + 2 + - + =
Ł ł Ł ł
Ł 2 2 2ł 4 16 16 2
2 2
ć 1 1 8 7 ł ć 1 55ł
x 1 1 7 ł
ę ś ę ś
= 2ęć x2 + 2 + - + = 2 x + - + = 2 x + + =
ś
4 16 16 4 16
ęŁ ł ś ęŁ ł ś
Ł 4 16ł 16 2
Podstawiamy do naszego przykładu:
dx dx 1 dx 1 16 dx
= = = =
2 2 2 2
ć 1 55ł ć 1 55ł 2 55 ć 1 ł
2x2 + x + 7
ę ś ę ś ę 55 ś
2 x + + x + + x +
4 16 4 16 4
ęŁ ł ś ęŁ ł ś ęŁ ł 16 ś
+
ę ś
55 55
ę ś
16 16
ę ś
1 16 dx 8 dx
= = =
2
2 55 ł 55
2 ć
1
ę 1 ś
ć
x +
ę x + 4 ś
4
Ł ł
+1
ę ś
+ 1
55
2
ę ś
ć
55
Ł ł
4
ę ś
ę 16 ś
Ł ł
1
x +
1 55 55
4
podstawiamy: = t x + = t różniczkujemy: dx = dt
4 4 4
55
4
55 1
dt x +
8 8 55 dt 2 55 2 55
4 4
= = = arctg t + C = arctg + C
55 55 4 55 55
55
t2 + 1 t2 + 1
4
Przykład:
3x + 7 f ó( x )
= zastosujemy wzór = ln| f ( x )|+C
f ( x )
6x2 + x + 4
Obliczamy pochodną mianownika:
ó
ć
6x2 + x + 4 = 12x + 1 aby licznik doprowadzić do takiej wartości,
Ł ł
należy dokonać w nim następujących przekształceń:
1 1 1 1 1 27
ł
3x + 7 = 3 12x + 1 - + 7 = 12x + 1 - + 7 = 12x + 1 +
( ) ( ) ( )
ę12
12ś 4 4 4 4
Podstawiamy obliczoną wartość w miejsce licznika:
1 27 1 27
12x + 1 + 12x + 1
( ) ( )
12x + 1
1 ( ) 27 dx
4 4 4 4
= dx = dx + dx = dx + dx =
4 4
6x2 + x + 4 6x2 + x + 4 6x2 + x + 4 6x2 + x + 4 6x2 + x + 4
1 27 dx 1
= ln 6x2 + x + 4 + dx = oznaczmy A = ln 6x2 + x + 4
4 4 4
6x2 + x + 4
27 dx
= A + dx
4
6x2 + x + 4
1
Rozpisujemy mianownik aby można było zastosować wzór: dx = arctgx + C
1+ x2
2 2
ć 1 1 2ł ć 1 95 ł
x 4 x 1 1 2
ć ć
ś ś
6x2 + x + 4 = 6 x2 + 2 + = 6 x2 + 2 + - + = 6ęx + - + = 6ę x + +
Ł ł Ł ł
2 6 6 12 144 144 3 12 144 3 12 144
ęŁ ł ś ęŁ ł ś
Wracamy do obliczeń całki:
27 dx 27 dx 27 1 144 dx
= A + dx = A + = A + =
4 4
6x2 + x + 4
1 95
2 ł 4 6 95 ć x + 2 ł
ś ę 1 ś
6ęć x + +
12 144 12
ęŁ ł ś ęŁ ł 1ś
+
ę ś
95
ę ś
144
ę ś
162 dx
= A + =
95 ł
ę 1 ś
ć 2
ę x + 12 ś
Ł ł
ę ś
+ 1
ę
ć 2 ś
95
ę ś
ę 12 ś
Ł ł
Podstawiamy:
1
x +
1 95 95
12
= t x + = t dx = dt
12 12 12
95
12
Wstawiamy to do przykładu:
95
dt
162 dx 162 162 95 dt 81 95
= A + = A + = A + arctg t + C =
12 = A +
2 2
95 ć 2 ł 95 t + 1ł 95 12 t + 1ł 6 95
ę x + 1 ś ę ś ę ś
ę 12 + 1ś
ę 95 ś
ę ś
ł
ęŁ 12 ś
1
x +
81 95
12
= A + arctg + C
6 95
95
12
1
A = ln 6x2 + x + 4
4
1
x +
3x + 7 1 81 95
12
Rozwiązaniem jest: = ln 6x2 + x + 4 + arctg + C
4 6 95
95
6x2 + x + 4
12
Przykład:
Obliczyć pole między wykresami funkcji: y = x2
y = 7x
7
Obliczamy miejsca przecięcia się tych wykresów (wspólne wartości X dla obu wykresów):
x2 = 7x
x2 - 7x = 0
x(x - 7) = 0
Dla x1 = 0 oraz x2 = 7 wykresy tych funkcji przecinają się.
Pole między wykresami tych funkcji będzie równe różnicy całek oznaczonych tych funkcji dla przedziału 0,7
7 7
x2 7 x3 7 ć 72 02 ć 73 03 7 49 343 343
P = 7xdx - x2dx = 7 | - | = 7 - 7 - - = - =
2 3 2 2 3 3 2 3 6
Ł ł Ł ł
0 0
0 0
343
P =
6
Przykład:
Obliczyć pole między wykresami funkcji: y = x
y = 2x
1/4
Obliczamy miejsca przecięcia się tych wykresów (wspólne wartości X dla obu wykresów):
x = 2x
Dla wartości: x1 = 0
1
x = 4x2
x2 =
4
4x2 - x = 0
wykresy przecinają się.
x(4x - 1) = 0
1
0,
Pole między wykresami tych funkcji będzie równe różnicy całek oznaczonych tych funkcji dla przedziału
4
1 1 1 1
1 1
1 2
4 4 4 4
4
2 x2 4
2 3
P = xdx - 2xdx = x dx - 2 xdx = x | - 2 | =
3 2
0 0
0 0 0 0
2 1 1 2 1 1 1 1 4 - 3 1
= - = - = - = =
3 16 3 8 16 12 16 48 48
64
1
P =
48
Wzory na obliczanie całek:
xn+1
1. xndx = + C dla n ą -1
n + 1
gdy x = -1 to
1
dx = ln|x|+C
x
2. Cf (x)dx = C f (x)dx
3. f ( x ) ą g( x ) dx = f ( x )dx ą g( x )dx
( )
1
4. dx = ln( x - 1)dx + C
x - 1
5. Jeżeli w mianowniku jest funkcja a w liczniku jest pochodna tej funkcji to całka jest równa:
f ó( x)
= ln| f ( x)|+C
f ( x)
1
6. dx = -ln|x + 3|+ln|x + 2|+C
(x + 3)(x + 2)
xdx x
7. e = e + C
8. sin xdx = - cos x + C
9. cos xdx = sin x + C
10. tgxdx = -ln|cosx|+C
11. f ( x)g( x)dx = g( x)F( x) - F( x)gó( x)dx
12. ln x dx = xln x - x + C
1
13. dx = arctgx + C
x2 + 1
b
14. f ( x )dx = F(b) - F( a )
a
b c b
15. Twierdzenia: 1. f ( x )dx = f ( f )dx + f ( f )dx c ( a,b )
a a c
a
2. f ( x )dx = 0
a
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Matematyka (24 strony) calki, pojecia calkirachunkowosc teoria i przyklady (24 strony)Zarządznie finansami przedsiębiorstwa (24 strony)Matematyka finansowa wzory i zadania (23 strony)Analiza Matematyczna 2 Zadania24 kijek990502 24faraon 24Sprawdzian 5 kl 2 matematyka zadaniamatematyka prwięcej podobnych podstron