RACHUNEK CA
LKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
CA
LKA PODWÓJNA
Ca podwójna po prostok¸
lka acie
Rozważmy prostok¸ P , okreÅ›lony na p laszczyz
nie XOY :
at
P = {(x, y) " I : a d" x d" b '" c d" y d" d}
R2
oraz funkcj¸ dwóch zmiennych f(x, y) okreÅ›lon¸ i ograniczon¸ na tym pros-
e a a
tok¸
acie.
Prostok¸ P dzielimy na n prostok¸ Pk o polach "Ãk, k = 1, 2, ..., n.
at atów
Definicja 1 (podzia prostok¸ Podzia lem prostok¸ P , ozn.
lu ata) ata
"n, nazywamy zbiór prostok¸ Pk, k = 1, 2, ..., n, które ca lkowicie
atów
go wype lniaj¸ i maj¸ parami roz laczne wn¸
a a ¸ etrza.
Niech Ak(xk, yk) oznacza dowolny punkt należ¸ do prostok¸ Pk, tzw.
acy ata
punkt pośredni.
Definicja 2 (sumy ca edzie ograniczona
lkowej) Niech funkcja f b¸
na prostok¸ P . Sum¸ ca lkow¸ funkcji f(x, y) po prostok¸ P
acie a a acie
odpowiadaj¸ a podzia lowi "n nazywamy
ac¸
n
Sn = f(xk, yk)"Ãk
k=1
folia1, wyklad29.tex, 26.02.2003
Definicja 3 (Å›rednicy podzia Niech dk oznacza d lugość przek¸
lu) atnej
prostok¸ Pk. Liczb¸
ata e
´n = max dk
1d"kd"n
nazywamy Å›rednic¸ podzia lu "n. Dla danego podzia lu "n prostok¸
a ata
P liczba ta jest określona jednoznacznie.
Rozważmy ciag podzia lów ("n) prostok¸ P .
¸ ata
Definicja 4 (ci¸ normalnego podzia ów) Ci¸ podzia ów ("n)
agu l ag l
nazywamy ci¸ acy ag
agiem normalnym podzia lów, jeżeli odpowiadaj¸ mu ci¸
Å›rednic (´n) d¸Å¼y do zera, tj.
a
lim ´n = 0
n"
Definicja 5 (ca podwójnej po prostok¸
lki acie) Jeżeli dla każdego
normalnego ci¸ podzia lów prostok¸ P ci¸ sum ca lkowych (Sn) jest
agu ata ag
zbieżny do tej samej granicy w laściwej, niezależnej od wyboru punktów
Ak, to t¸ granic¸ nazywamy ca lk¸ podwójn¸ funkcji f(x, y) po pros-
e e a a
tok¸ P i oznaczamy symbolem
acie
f(x, y)dà lub f(x, y)dxdy
P P
St¸
ad
n
def
f(x, y)dxdy = lim f(xk, yk)"Ãk
´n0
k=1
P
Jeżeli ca lka powyższa istnieje, to mówimy, że funkcja f(x, y) jest ca l-
kowalna w sensie Riemanna na prostok¸ P .
acie
folia2, wyklad29.tex, 26.02.2003
Twierdzenie 1 (o ca
lkowalności funkcji dwóch funkcji) Funkcja
f(x, y) ograniczona na prostok¸ P i ci¸ z wyj¸
acie ag la atkiem co najwyżej
zbioru punktów, daj¸ si¸ pokryć skoÅ„czon¸ liczb¸ prostok¸
acego e a a atów, któ-
rych suma pól jest dowolnie ma la, jest ca lkowalna na tym prostok¸
acie.
Twierdzenie 2 (o liniowości ca Jeżeli funkcje f(x, y) i g(x, y)
lki)
s¸ ca lkowalne na prostok¸ P , to
a acie
[f(x, y) + g(x, y)]dxdy = f(x, y)dxdy + g(x, y)dxdy
P P P
[C · f(x, y)]dxdy = C · f(x, y)dxdy, gdzie C " I
R
P P
Twierdzenie 3 (o addytywności ca wzg. obszaru ca
lki lkowania)
Jeżeli funkcja f(x, y) jest ca lkowalna na prostok¸ P , to dla dowol-
acie
nego podzia lu tego prostok¸ na prostok¸ P1 i P2 o roz lacznych
ata aty ¸
wn¸
etrzach zachodzi równość
f(x, y)dxdy = f(x, y)dxdy + f(x, y)dxdy
P P1 P2
folia3, wyklad29.tex, 26.02.2003
Twierdzenie 4
JeÅ›li f(x, y) jest funkcj¸ podca a na prostok¸ P , przy czym m =
a lkow¸ acie
inf f(x, y) oraz M = sup f(x, y), to
P
P
mà d" f(x, y)dà d" MÃ
P
gdzie à oznacza pole prostok¸ P .
ata
Niech f(x, y) b¸ funkcja ca lkowaln¸ na prostok¸ P o polu Ã.
edzie ¸ a acie
Definicja 6 Liczb¸
e
1
µ = f(x, y)dÃ
Ã
P
nazywamy wartoÅ›ci¸ Å›redni¸ funkcji f(x, y) w prostok¸ P .
a a acie
Twierdzenie 5 (ca
lkowe o wartości średniej)
Jeżeli funkcja f(x, y) jest ci¸ na prostok¸ P , to istnieje taki punkt
ag la acie
C " P , że
f(x, y)dà = f(C) · Ã
P
folia4, wyklad29.tex, 26.02.2003
Twierdzenie 6 (o zamianie ca podwójnej na ca e iterowan¸
lki lk¸ a)
Jeżeli funkcja f(x, y) jest ci¸ na prostok¸ P : a d" x d" b i
ag la acie
c d" y d" d, to
îÅ‚ Å‚Å‚
d b
ïÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
f(x, y)dxdy = f(x, y)dxśł dy (1)
c a
P
oraz
îÅ‚ Å‚Å‚
b d
ïÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
f(x, y)dxdy = f(x, y)dyśł dx (2)
a c
P
Ca lki wyst¸ ace po prawej stronie wzorów (1) i (2) nazywamy krótko
epuj¸
ca lkami iterowanymi funkcji po prostok¸
acie.
Umownie pisze si¸ również
e
îÅ‚ Å‚Å‚
d b d b
ïÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
dy f(x, y)dx zamiast f(x, y)dxśł dy
c a c a
oraz
îÅ‚ Å‚Å‚
b d b d
ïÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
dx f(x, y)dy zamiast f(x, y)dyśł dx
a c a c
Fakt 1 (ca podwójna z funkcji o rozdzielonych zmiennych)
lka
Jeżeli funkcja f jest funkcj¸ o rozdzielonych zmiennych postaci
a
f(x, y) = g(x) · h(y)
gdzie funkcje g i h s¸ ci¸ odpowiednio na przedzia lach a, b i c, d ,
a ag le
to ca lka podwójna po prostok¸ P : a d" x d" b i c d" y d" d może być
acie
liczona jako
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
b d
ìÅ‚ ìÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
f(x, y)dxdy = g(x)dx÷Å‚ · h(y)dy÷Å‚
a c
P
folia5, wyklad29.tex, 04.03.2003
Ca podwójna w obszarze normalnym
lka
Definicja 7 (obszaru normalnego wzgl¸
edem osi OX) Obszar
Å»
domkni¸ D, okreÅ›lony nierównoÅ›ciami
ety
Õ(x) d" y d" È(x), a d" x d" b
gdzie Õ(x) i È(x) s¸ funkcjami ci¸ lymi w przedziale a, b nazywamy
a ag
obszarem normalnym wzgl¸
edem osi OX.
Definicja 8 (obszaru normalnego wzgl¸
edem osi OY) Obszar
Å»
domkni¸ D, okreÅ›lony nierównoÅ›ciami
ety
Ä…(y) d" x d" ²(y), c d" y d" d
gdzie Ä…(y) i ²(y) s¸ funkcjami ci¸
a ag lymi w przedziale c, d nazywamy
obszarem normalnym wzgl¸
edem osi OY .
Twierdzenie 7 (obl. ca na obszarze norm. wzgl. osi OX)
lki
Ca lk¸ podwójn¸ funkcji f(x, y) ci¸ na obszarze
e a ag lej
Å»
D = {(x, y) : a d" x d" b, Õ(x) d" y d" È(x)}
gdzie Õ(x) i È(x) s¸ funkcjami ci¸
a ag lymi na przedziale a, b , normal-
nym wzgl¸ epuj¸
edem osi OX, obliczamy nast¸ aco
îÅ‚ Å‚Å‚
È(x)
b
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
f(x, y)dxdy = f(x, y)dyśł dx
ðÅ‚ ûÅ‚
a
D
Õ(x)
Twierdzenie 8 (obl. ca na obszarze norm. wzgl. osi OY)
lki
Ca lk¸ podwójn¸ funkcji f(x, y) ci¸ na obszarze
e a ag lej
Å»
D = {(x, y) : c d" y d" d, Ä…(y) d" x d" ²(y)}
gdzie Ä…(y) i ²(y) s¸ funkcjami ci¸
a ag lymi na przedziale c, d , normal-
nym wzgl¸ epuj¸
edem osi OY , obliczamy nast¸ aco
îÅ‚ Å‚Å‚
² (y)
d
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
f(x, y)dxdy = f(x, y)dxśł dy
ðÅ‚ ûÅ‚
c
folia6, wyklad29.tex, 04.03.2003
D
Ä…(y)
Å»
Definicja 9 (obszaru regularnego) Obszar domkni¸ D nazywamy
ety
Å» Å» Å»
regularnym, jeżeli jest sum¸ D1 *" D2 *" ... *" Dn obszarów normal-
a
nych (wzgl¸ a
edem osi OX lub OY ), które nie maj¸ wspólnych punktów
wewn¸
etrznych.
Å»
Fakt 2 Niech D oznacza obszar regularny i taki, że
Å» Å» Å» Å»
D = D1 *" D2 *" ... *" Dn
Å»
gdzie Di jest obszarem normalnym (wzgl¸
edem osi OX lub OY ) oraz
Å»
f(x, y) jest funkcj¸ ca lkowaln¸ na obszarze D. Wówczas
a a
f(x, y)dxdy = f(x, y)dxdy + ... + f(x, y)dxdy
D D1 Dn
folia7, wyklad29.tex, 04.03.2003
Zamiana zmiennych w ca podwójnej
lce
Rozważmy uk lad funkcji
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚
x = x(u, v)
(3)
ôÅ‚
ół
y = y(u, v)
Å»
okreÅ›lonych na pewnym obszarze domkni¸ ".
etym
Definicja 10
Niech " i D b¸ a obszarami odpowiednio na p laszczyznach UOV i
ed¸
XOY . Przekszta lceniem obszaru " w obszar D nazywamy funkcj¸
e
T : " D okreÅ›lon¸ wzorem
a
(x, y) = T (u, v) = (x(u, v), y(u, v)), gdzie (u, v) " "
Obrazem zbioru " przy przekszta lceniu T nazywamy zbiór
df
T (") = {(x, y) : x = x(u, v), y = y(u, v), (u, v) " "}
Przekszta lcenie T nazywamy:
" ci¸ a ag le
ag lym, jeżeli funkcje (3) s¸ ci¸ na obszarze ",
" wzajemnie jednoznacznym, jeżeli różnym punktom obszaru " odpo-
wiadaj¸ różne punkty jego obrazu D.
a
Fakt 3 Obraz obszaru przy przekszta lceniu ci¸
ag lym i wzajemnie jed-
noznacznym jest również obszarem.
folia8, wyklad29.tex, 10.03.2003
Å»
Za lóżmy, że funkcje (3) s¸ klasy C1 na obszarze domkni¸ ".
a etym
Definicja 11 (jakobianu przekszta
lcenia)
Funkcj¸ (wyznacznik funkcyjny)
e
"x "x
"u "v
J(u, v) = (4)
"y "y
"u "v
nazywamy jakobianem przekszta lcenia (3).
Jakobian (4) oznaczamy również symbolem
D(x, y)
J(u, v) =
D(u, v)
Twierdzenie 9 (o zamianie zmiennych w ca podwójnej)
lce
Jeżeli:
1. odwzorowanie x = x(u, v) i y = y(u, v) przekszta wzajemnie
lca
Å»
jednoznacznie wn¸ " obszaru regularnego " na wn¸ D ob-
etrze etrze
Å»
szaru regularnego D,
2. funkcje x = x(u, v) i y = y(u, v) s¸ klasy C1 w obszarze &!, przy
a
Å»
czym " ‚" &!,
Å»
3. funkcja f(x, y) jest ci¸ w obszarze D,
ag la
D(x, y)
4. jakobian J(u, v) = jest różny od zera w obszarze ",
D(u, v)
to
D(x, y)
f(x, y)dxdy = f(x(u, v), y(u, v)) · dudv
D(u, v)
D "
folia9, wyklad29.tex, 10.03.2003
Fakt 4 JeÅ›li spe lnione s¸ za lożenia Twierdzenia 9, to uk lad równaÅ„
a
(3) można jednoznacznie rozwi¸ wzgl¸
azać edem u i v w obszarze " i
zapisać w postaci
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚
u = u(x, y)
(5)
ôÅ‚
ół
v = v(x, y)
D(u, v)
przy czym jakobian J(x, y) = przekszta lcenia (5) wyraża si¸
e
D(x, y)
zależnoÅ›ci¸
a
"u "u
"x "y
J(x, y) = (6)
"v "v
"x "y
Mi¸ jakobianami (4) i (6) zachodzi relacja
edzy
1
J(x, y) =
J(u, v)
folia10, wyklad29.tex, 10.03.2003
Wspó edne biegunowe
lrz¸
Definicja 12 (wspó ednych biegunowych) Po lożenie punktu P
lrz¸
na p laszczyz
nie można opisać par¸ liczb (r, Õ), gdzie
a
r  oznacza odleg lość punktu P od pocz¸ uk ladu wspó ednych, przy
atku lrz¸
czym 0 d" r < ",
Õ  oznacza miar¸ k¸ mi¸ dodatni¸ cz¸Å›ci¸ osi OX a promieniem
e ata edzy a e a
wodz¸
acym punktu P , przy czym 0 d" Õ < 2Ä„.
Par¸ liczb (r, Õ) nazywamy wspó lrz¸
e ednymi biegunowymi punktu p lasz-
czyzny.
Fakt 5 Wspó edne kartezjańskie (x, y) punktu p laszczyzny danego
lrz¸
we wspó lrz¸ a
ednych biegunowych (r, Õ) okreÅ›lone s¸ zależnoÅ›ciami
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚
x = r cos Õ
(7)
ôÅ‚
ół
y = r sin Õ
Jakobian przekszta lcenia (7) wynosi r, tj.
J(r, Õ) = r
Fakt 6 Wspó edne kartezjańskie (x, y) punktu p laszczyzny danego
lrz¸
we wspó ednych biegunowych uogólnionych (r, Õ) okreÅ›lone s¸ zależ-
lrz¸ a
nościami
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚
x = a r cos Õ
(8)
ôÅ‚
ół
y = b r sin Õ
Jakobian przekszta lcenia (8) wynosi abr, tj. J(r, Õ) = abr.
Wspó lrz¸ biegunowe uogólnione stosuje si¸ dla elipsy o równaniu
edne e
x2 y2
+ = 1
a2 b2
folia11, wyklad29.tex, 10.03.2003
Zastosowania geometryczne ca podwójnych
lek
1. Pole obszaru p
laskiego
Å»
Pole obszaru regularnego D ‚" I wyraża si¸ wzorem
R2 e
|D| = dxdy
D
2. Obj¸ ly
etość bry przestrzennej
Å»
Niech f(x, y) b¸ funkcj¸ ciag la w obszarze regularnym D, przy
edzie a ¸ ¸
czym f(x, y) e" 0.
Å»
Obj¸ bry ly V o podstawie D, ograniczonej z góry powierzchnia
etość ¸
b¸ ac¸ wykresem funkcji z = f(x, y) oraz z boku powierzchnia wal-
ed¸ a ¸
cow¸ utworzon¸ z prostych równoleg lych do osi OZ i przechodz¸
a, a acych
Å»
przez brzeg obszaru D wyraża si¸ wzorem
e
|V | = f(x, y)dxdy
D
Å»
Obj¸ bry ly V po lożonej nad obszarem regularnym D ‚" I ograni-
etość R2,
czonej z do lu i z góry odpowiednio wykresami funkcji z = g(x, y) i
z = f(x, y) oraz z boku powierzchnia walcow¸ utworzon¸ z prostych
¸ a, a
Å»
równoleg lych do osi OZ i przechodz¸ przez brzeg obszaru D wyraża
acych
si¸ wzorem
e
|V | = [f(x, y) - g(x, y)]dxdy
D
3. Pole powierzchni p
lata
Definicja 13 (p powierzchniowego)
lata
Jeżeli funkcja z = f(x, y), gdzie (x, y) " D, jest określona i
Å»
ci¸ wewn¸ i na brzegu obszaru regularnego D oraz pochodne
ag la atrz
cz¸ a ag le
astkowe fx(x, y) i fy(x, y) tej funkcji s¸ ci¸ i ograniczone w
D, to powierzchni¸ o równaniu z = f(x, y) nazywamy p latem
e
powierzchniowym regularnym, w skrócie p latem powierzchniowym.
Pole S p lata powierzchniowego o równaniu z = f(x, y), którego rzutem
na p laszczyzn¸ XOY jest obszar regularny D, dane jest wzorem
e
|S| = 1 + [fx(x, y)]2 + [fy(x, y)]2 dxdy
D
folia12, wyklad29.tex, 10.03.2003