SPIS TREÅšCI 1
Równanie Laplace a i Poissona
Spis treści
1 Przykładowe rozwiązania 2
2 Zestaw zadań do ćwiczenia samodzielnego 9
1 Przykładowe rozwiązania 2
1 Przykładowe rozwiązania
Najprostszym przykładem równania eliptycznego jest równanie Laplace a:
"u =0,
n "2
gdzie "= jest operatorem Laplace a.
i=1
"xi2
Zadanie 1.1.
Znalez
ć rozwiazanie u(r, Õ) równania Laplace a wewnatrz pierÅ›cienia a < r < b, speÅ‚niajace warunki

brzegowe:
u(a, Õ) =A, u(b, Õ) =B sin 2Õ.
Mamy wiec równanie "f (x, y) =0 z warunkami na zmienne r i Õ :

u(a, Õ) =A, u(b, Õ) =B sin 2Õ,
gdzie Õ " 0, 2Ä„ , r " (a, b). Ponieważ rozwiazanie musi być okresowe o okresie 2Ä„, wiec należy

dołożyć jeszcze warunek poczatkowy

u(r, 0) = u(r, 2Ä„) =0,
natomiast warunki zgodności wymuszaja, by A =0.

Równanie fxx + fyy = 0 trzeba zapisać w zmiennych r i Õ, zatem robimy zamiane zmiennych na

"
y
współrzedne biegunowe x = r cos Õ, y = r sin Õ. Wtedy r = x2 + y2 i Õ =arcsin"x2+y2
. Stad


y
"
u(r, Õ) =u x2 + y2, arcsin = f (x, y).
x2 + y2
Liczymy odpowiednie pochodne:

-2 sin2 Õ sin2 Õ 2
fxx = urr cos2 Õ + urÕ sin Õ cos Õ + uÕÕ + ur + uÕ sin Õ cos Õ ,
r r2 r r2

2 cos2 Õ cos2 Õ -2
fyy = urr sin2 Õ + urÕ sin Õ cos Õ + uÕÕ + ur + uÕ sin Õ cos Õ
r r2 r r2
i wstawiamy je do równania, gdzie po odpowiedniej redukcji dostajemy:
1 1
urr + uÕÕ + ur =0 (1)
r2 r
1 Przykładowe rozwiązania 3
z warunkami
u(a, Õ) =A, u(b, Õ) =B sin 2Õ, u(r, 0) = u(r, 2Ä„) =0. (2)
Rozwiazania poszukujemy teraz metoda rozdzielania zmiennych:

u(r, Õ) =v(Õ)w(r).
Po odpowiednim zróżniczkowaniu i wstawieniu do (1) dostajemy:
1 1
v(Õ)w (r) + v (Õ)w(r) + v(Õ)w (r) =0,
r2 r
czyli
1
v (Õ) w (r) + w (r)
r
=  = - r2.
v(Õ) w(r)
Z pierwszej cześci tej równości dostajemy równanie

v (Õ) - v(Õ) =0
z warunkami v(0) = v(2Ą) =0. Wtedy rozwiazania v maja postać


vk(Õ) =Ak sin -kÕ + Bk cos -kÕ,
a z warunków Bk =0, co implikuje, że k = -k2 sa ciagiem wartości własnych i odpowiadaja im

funkcje vk(Õ) =sin kÕ, gdzie k = 1, 2, ... . Zatem teraz
"

u(r, Õ) = wk(r)sinkÕ
k=1
wstawiamy do równania (1) i dostajemy
" " "

1 1

wk (r)sinkÕ - k2wk(r)sinkÕ + wk(r)sinkÕ =0.
r2 r
k=1 k=1 k=1
Porównujemy teraz te szeregi wyraz po wyrazie, dostajac:


r2wk (r) +rwk(r) - k2wk(r) =0,
które jest równaniem Eulera. Przy tego typu równaniu (nie ma stałych współczynników) poszukujemy

rozwiazania w postaci: wk(r) =rł. Wtedy wk(r) =łrł-1 i wk (r) =ł(ł - 1)rł-2. Po wstawieniu

do równania Eulera mamy
r2ł(ł - 1)rł-2 + rłrł-1 - k2rł =0.
Wykonujemy redukcje i ostatecznie mamy równanie na stała ł : ł2 - k2 =0, czyli ł = ąk. Stad

rozwiazaniem jest

wk(r) =akrk + bkr-k.
1 Przykładowe rozwiązania 4
Skorzystamy teraz z warunków (2) dla u(r, Õ) :
"

0 =u(a, Õ) = wk(a)sinkÕ =Ò! wk(a) =0, k = 1, 2, ... ,
k=1
"

B sin 2Õ = u(b, Õ) = wk(b)sinkÕ =Ò! wk(b) =0, k =2, w2(b) =B.

k=1
Z wyznaczonych warunków zanjdziemy stałe ak i bk. Mamy dla k =2 :

Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚
akak + bka-k = 0,
ôÅ‚
ół
akbk + bkb-k = 0,
czyli ak = bk =0, ponieważ wyznacznik tego układu jest niezerowy, oraz z
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚
a2a2 + b2a-2 = B,
ôÅ‚
ół
a2b2 + b2b-2 = 0,
dostajemy
Bb2 a4b2B
a2 = , b2 = - .
b4 - a4 b4 - a4
Podsumujmy wiec, że

Bb2 a4
w2(r) = r2 -
b4 - a4 r2
i dla pozostałych k :
wk(r) a" 0.
Zatem w rozwiazaniu u szereg redukuje sie do tylko jednego wyrazu, czyli


Bb2 a4
u(r, Õ) = r2 - sin 2Õ
b4 - a4 r2
i jest to rozwiazanie klasyczne.

2
2
1
1
2
1
 1
 2
 1
 2
Wykres rozwiÄ…zania - widok  naturalny
1 Przykładowe rozwiązania 5
2
 1
1.8
1.6
 1
 0.5
1.4
1  0.5
 1.5
1 1.2
 1
 1.5
 1  0.5
 0.5
0
0.5
1
1.5
1
1.5
a) b)
2
1
1
1.2
0
1
1.4r
2 1.6
1.8
t3  1
2
4
5  2
6
c) Wykres rozwiązania we współrzędnych:
a) sferycznych, b) walcowych, c) kartezjańskich
Zadanie 1.2.
Rozwiazać równanie Laplace a

uxx + uyy =0
wprostokacie 0 < x < a, 0 < y < b z warunkami:

u (0, t) =u (a, t) =0, (3)
u (x, 0) = f (x), u (x, b) =g (x). (4)
Warunki zgodności wymagaja, by założyć f (0) = g (0) = 0 i f (a) =g (a) =0. Funkcji u szukamy

metoda Fouriera. Przypuśćmy, że rozwiazanie istnieje i ma postać:


u (x, y) = vk (x) wk (t).
k
Jeżeli każdy składnik tej sumy spełnia równanie różniczkowe, to:

vk (x) wk (t) +vk (x) wk (t) =0, (5)
czyli

vk (x) wk (t)
= - =: k,
vk (x) wk (t)
1 Przykładowe rozwiązania 6
gdzie k jest stała. Jeśli zażadamy z kolei, by każdy składnik sumy spełniał warunki (3), to:

vk (0) wk (t) =0 =vk (a) wk (t),
czyli funkcja vk musi być rozwiazaniem nastepujacego zagadnienia:

Å„Å‚
ôÅ‚

òÅ‚
vk (x) - kvk (x) =0,
(6)
ôÅ‚
ół
vk (0) = vk (a) =0.
A
atwo zauważyć, że dla  0 mamy tylko trywialne rozwiazania równania (6). Załóżmy wiec, że

k < 0. Wtedy:

vk (x) =C1 cos -kx + C2 sin -kx.
" "
Ponieważ vk (0) = 0, to C1 =0 a z warunku vk (a) =0 dostajemy C2 sin -ka =0, czyli -ka =
2
kĄ kĄ
kĄ, k " Z. Ostatecznie dla k = - , k " Z, funkcje vk (x) = sin x sa nietrywialnymi
a a
rozwiazaniami (6).

Z równania (6) wynika teraz, że:
2
kĄ kĄ kĄ

- sin xwk (t) +sin xwk (t) =0,
a a a
2
kĄ

wk (t) - wk (t) =0.
a
2
k k
Rozwiażemy ostatnie równanie. Niech wk (t) =eą t, to wk (t) =ąkeą t i

2
kĄ
2
k k
Ä…keÄ… t - eÄ… t =0,
a
2
kĄ
2
Ä…k = ,
a
kĄ
Ä…k = Ä… .
a
Zatem
kĄ kĄ
t
a a
wk (t) =cke + dke- t.
Stad rozwiazaniem równania jest

"


kĄ kĄ kĄ
t
a a
u (x, t) = sin x cke + dke- t . (7)
a
k=12
Wystarczy znalez
ć jeszcze stałe ck i dk. Wyznaczamy je, wykorzystujac warunki brzegowe (4):

"

kĄ
f (x) =u (x, 0) = sin x (ck + dk), (8)
a
k=1
1 Przykładowe rozwiązania 7
"


kĄ kĄb kĄb
a a
g (x) =u (x, b) = sin x cke + dke- . (9)
a
k=1
kĄ
Stad wniosek, że ck + dk sa współczynnikami rozwinieć w szereg Fouriera wzgledem sin x funkcji
a
kĄb kĄb
a a
f , a cke + dke- sa współczynnikami dla rozwiniecia funkcji g:


a
2 kĄ
ck + dk = f (x)sin x dx =: F ,
a 0 a

a
kĄb kĄb 2 kĄ
a a
cke + dke- = g (x)sin x dx =: G .
a 0 a
Mamy wiec:
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚
ck + dk = F ,
kĄb kĄb
ôÅ‚
ół
a
cke + dke- a
= G.
A
atwo wyliczyć, że:
kĄb kĄb
a
Fe- a - G Fe
ck = , dk = ,
kĄb kĄb kĄb kĄb
a a a a
e- - e e- - e
czyli


kĄb
a
kĄ
f (x) e- a - g (x) sin x dx
0
a
ck = - ,
kĄb
a sinh
a


kĄb
a
kĄ
a
g (x) - f (x) e sin x dx
0
a
dk = - .
kĄb
a sinh
a
Zauważmy, że funkcji hiperbolicznych można użyć już wcześniej, w postaci u (7):

"

kĄ kĄ kĄ
Ü
u (x, t) = sin x cÜ cosh t + dk sinh t
k
a a a
Ä =1
i wtedy rachunki sa łatwiejsze, gdyż z warunków brzegowych (4) mamy teraz:
"

kĄ
f (x) =u (x, 0) = sin x · cÜ ,
k
a
k=1

"

kĄ kĄb kĄb
Ü
g (x) =u (x, b) = sin x cÜ cosh + dk sinh .
k
a a a
k=1
Korzystajac z rozwiniecia f i g w szereg Fouriera, otrzymujemy:


a
2 kĄ
cÜ = sin x dx
k
a 0 a
i

a
kĄb kĄb 2 kĄ
Ü
ch cosh + dk sinh = g (x)sin s dx,
Ü
a a a 0 a
czyli

a
kĄb 2 kĄ kĄb
Ü
dk sinh = g (x)sin x dx - cÜ cosh =
k
a a 0 a a

a a
2 kĄ 2 kĄb kĄ
= g (x)sin x dx - cosh f (x)sin x dx =
a 0 a a a 0 a
1 Przykładowe rozwiązania 8


a
2 kĄb kĄ
= g (x) - cosh f (x) sinh x dx,
a 0 a a
dla k = 1, 2, 3, ...
Jeśli natomiast rozwiazanie u w (7) zapiszemy jako:


"

kĄ kĄ kĄ
Ć
u (x, t) = sin x cĆ sinh (t - b) + dk sinh t , (10)
k
a a a
k=1
to z warunków brzegowych (4) mamy:

"

kĄ kĄ
f (x) =u (x, 0) = sin x · cĆ sinh - b , (11)
k
a a
k=1

"

kĄ kĄ
Ć
g (x) =u (x, b) = sin x · dk sinh b . (12)
a a
k=1
Korzystajac znowu z rozwiniecia f i g w szereg Fouriera, mamy:


a
2 kĄ
f (x)sin x dx
0
a a

cĆ = , (13)
k
sinh -kĄ b
a

a
2 kĄ
g (x)sin x dx
0
a a
Ć

dk = (14)
kĄ
sinh b
a
dla k = 1, 2, ... . Równania (13) i (14) sa najcześciej spotykane w literaturze, stad zapiszemy

Ć
rozwiazanie u w postaci (10), gdzie cĆ i dk sa wyrażone równaniami (13) i (14).
k

Zastanówmy sie teraz nad różniczkowaniem szeregu:


" "

kĄ kĄ kĄ
Ć
uk (x, t) = sin x cĆ sinh (t - b) + dk sinh t (15)
k
a a a
k=1 k=1
wyraz po wyrazie. Załóżmy, że mamy oszacowanie na całki:

a a
|f (x)| dx m i |g (x)| dx m
0 0
dla pewnej stałej m. Zauważmy też, że

1 1
sinh x = ex - e-x ex
2 2
dla x 0. Stad dostajemy:



2 a kĄ kĄ



|f (x)| sin x dx · sinh (t - b)

kĄ
0
a a
a

cĆ sinh (t - b)
k


a
sinh -kĄ b
a

kĄ kĄ kĄ kĄ
kĄ
2 (t-b) (b-t)
2 1
a a a a
m e - e- (t-b) 2m e- (b-t) - e

a
m · e (b - t)
a a
a 2

= =
-kĄ kĄ kĄb 2kĄb kĄb 2kĄb

b b
a a a a a a
e - e e 1 - e- e 1 - e-
2 Zestaw zadań do ćwiczenia samodzielnego 9
kĄ
m
a
e- t
a
= .
2kĄb
a
1 - e-
Ć
Podobne oszacowanie dostajemy dla dk:


kĄ kĄ

a
2 kĄ kĄ t
a a
|g (x)| sin x dx · sinh t 2m e - e- t

kĄ
0
a a a a
Ć


dk sinh t

kĄ kĄ

kĄ b
a
a a
sinh b e - e- b

a
kĄ kĄ kĄ kĄ kĄ kĄ
2 1 t b t
a a a a a a
m · e · e · e- b me e- b me- (b-t)
a 2 a a

= = .
kĄ 2kĄ 2kĄ 2kĄ
b
a a a a
e 1 - e- b 1 - e- b 1 - e- b
Zatem wyrazy szeregu (15) możemy oszacować:
kĄt kĄ
m m (b-t) m

e- a
e- a
kĄ kĄ
a a a
a a
|uk (x, t)| + = e- t + e- (b-t) ,
2kĄb 2kĄb 2kĄ
a a a
1 - e- 1 - e- 1 - e- b
czyli |uk(x, t)| jest ograniczone przez funkcje malejace w sposób wykładniczy dla dużych k, wotwar-



tym przedziale 0 < t < b (dla t = 0 nie ma takiego oszacowania przy ck, a dla t = b przy dk).
Stad szereg (15) może być różniczkowany wyraz po wyrazie tyle razy, ile zażadamy dla t " (0, b) i

u(x, y) bedzie spełniać równanie Laplace a i warunki (3). Aby móc twierdzić, że rozwiazanie u(x, t)

jest ciagłe dla 0 t b i spełnia warunki (4), musimy wiedzieć, że szeregi (11) i (12) sa jednostajnie

zbieżne dla x " 0, a . Ale tak jest dla założonych na poczatku f (0) = g(0) = f (a) =g(a) =0,


dodatkowej ciagłości f (x) i g(x) oraz f (x) i g (x) kawałkami ciagłych dla x " 0, a .

2 Zestaw zadań do ćwiczenia samodzielnego
1. Znalez
ć funkcje harmoniczne u(r, Õ) wewna pierÅ›cienia a < r < b, speÅ‚niaja odpowied-
¸trz ¸ce
nie warunki brzegowe:
(i) u(a, Õ) =0, u(b, Õ) =cos Õ,
(ii) ur (a, Õ) =q cos Õ, u(b, Õ) =Q + T sin 2Õ.
2. Znalez
ć funkcje harmoniczne w wycinku koÅ‚owym 0 < r < R, 0 < Õ < Ä…, speÅ‚niaja od-
¸ce
powiednie warunki brzegowe:
(i) u(r, 0) = u(r, Ä…) =0, u(R, Õ) =AÕ,
(ii) u(r, 0) = u(r, Ä…) =0, u(R, Õ) =f (Õ).
3. Znalez
ć rozwia u(x, y) równania Laplace a w prostoka 0 < x < p, 0 < y < s spełniaja
¸zania ¸cie ¸ce
odpowiednie warunki brzegowe:
2 Zestaw zadań do ćwiczenia samodzielnego 10
(i) u(0, y) =ux(p, y) =0, u(x, 0) = 0, u(x, s) =f (x),
(ii) ux(0, y) =ux(p, y) =0, u(x, 0) = A, u(x, s) =Bx,
Ä„x
(iii) u(0, y) =U, ux(p, y) =0, uy(x, 0) = T sin , u(x, s) =0.
2p
(Wsk. W rozwia pojawia si¸ funkcje: sinus hiperboliczny i cosinus hiperboliczny.)
¸zaniu ¸ e
4. Znalez
ć rozwia u(x, y) równania Laplace a w półpasie 0 < x < ", 0 < y < l spełniaja
¸zania ¸ce
odpowiednie warunki brzegowe:
(i) u(x, 0) = uy(x, l) =0, u(0, y) =f (y), limx" u(x, y) =0,

(ii) uy(x, 0) = uy(x, l) +hu(x, l) =0, gdzie h > 0, u(0, y) =f (y), limx" u(x, y) =0.
5. Podać postać operatora Laplace a:
(i) we współrzędnych walcowych x = r cos Ć, y = r sin Ć, z = z,

(ii) w spÅ‚aszczonych współrzÄ™dnych sferycznych: x = ¾· sin Ć, y = (¾2 - 1)(1 - ·2), z = ¾· cos Ć.
6. Niech funkcja u = u(x1, x2, ... , xn) będzie harmoniczna. Zbadać, czy funkcja
(i) u(Cx) dla C będącej macierzą ortogonalną stałą,
(ii) u(x + h) dla h =(h1, h2, ... , hn) będącego wektorem stałym
jest harmoniczna.
7. Czy funkcja harmoniczna w otwartym i ograniczonym zbiorze D, różna od stałej, może w tym
zbiorze osiagać swoje minimum? Odpowiedz
uzasadnić.
8. Czy funkcja harmoniczna i ograniczona w Rn może zmieniać znak? Odpowiedz
uzasadnić.
9. Czy funkcja harmoniczna w Rn, różna od stałej, może zachowywać znak? Odpowiedz
uzasad-
nić.
10. Pokazać, że dla funkcji Ś będącej rozwiązaniem podstawowym równania Laplace a zachodzi
oszacowanie
C
|DÅš(x)|
||x||n-1
dla x " Rn i x =0, w przypadku n =2 lub n =3.

11. Pokazać, że dla funkcji Ś będącej rozwiązaniem podstawowym równania Laplace a zachodzi
oszacowanie
C
|D2Åš(x)|
||x||n
BIBLIOGRAFIA 11
dla x " Rn i x =0, w przypadku n =2.

12. Sprawdzić, że w przypadku n =2 funkcją Greena dla kuli jednostkowej B(0, 1) jest
G(x, y) :=Åš(y - x) - Åš(||x||(y - x))
Å»
dla x = y, gdzie Ś jest rozwiązaniem fundamentalnym, a x jest punktem sprzężonym do x względem
Å»
powierzchni "B(0, 1).
Bibliografia
[1] W. I. Arnold, Metody matematyczne mechaniki klasycznej, PWN, Warszawa 1981.
[2] W. I. Arnold, Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa 1975.
[3] W. I. Arnold, Teoria równań różniczkowych, PWN, Warszawa 1983.
[4] A. W. Bicadze, Równania fizyki matematycznej, PWN, Warszawa 1984.
[5] A. W. Bicadze, D. F. Kaliniczenko, Zbiór zadań z równań fizyki matematycznej, PWN, Warszawa 1984.
[6] P. Biler Prof. dr hab.- redakcja naukowa, Warsztaty z równań różniczkowych czastkowych, Toruń 2003.

[7] Birkholc A. Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2002.
[8] D. Bleecker, G. Csordas, Basic Partial Differential Equations, Chapman & Hall, Oxford 1995.
[9] L. Evans, Równania różniczkowe czastkowe, PWN, Warszawa 2002.

[10] Fichtenholz G.M. Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 1980.
[11] J. Jost, Postmodern Analysis, Springer-Verlag,Berlin-Heidelberg-New York 2002.
[12] W. Kołodziej, Wybrane rozdziały analizy matematycznej, PWN, Warszawa 1982.
[13] H. Marcinkowska, Wstep do teorii równań różniczkowych czastkowych, PWN, Warszawa 1972.

[14] J. Musielak, Wstep do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1976.

[15] Ockendon J., Howison S., Lacey A., Movxhan A., Applied Partial Differential Equations, Oxford University
Press, 2003.
[16] J. Ombach, Wykłady z równań różniczkowych wspomagane komputerowo -Maple, Wydawnictwo Uniwersytetu
Jagiellońskiego, Kraków 1999.
[17] B. Przeradzki, Równania różniczkowe czastkowe. Wybrane zagadnienia, Wydawnictwo Uniwersytetu A
ódz-

kiego, A
ódz
2000.
BIBLIOGRAFIA 12
[18] B. Przeradzki, Teoria i praktyka równań różniczkowych zwyczajnych, Wydawnictwo Uniwersytetu A
ódzkiego,
A
ódz
2003.
[19] M. M. Smirnow, Zadania z równań różniczkowych czastkowych, PWN, Warszawa 1970.

[20] P. Strzelecki, Krótkie wprowadzenie do równań różniczkowych czastkowych, Wydawnictwo Uniwersytetu War-

szawskiego, Warszawa 2006.
[21] B. W. Szabat, Wstęp do analizy zespolonej, PWN, Warszawa 1974.
[22] Whitham G.B., Lecture notes on wave propagation , Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York 1979.
[23] Zauderer, Partial Differential Equations of Applied Mathemathics, John Wiley & Sons, Singapore-New York-
Chichester-Brisbane-Toronto 1989.