Algebra z geometria analityczna A - MAP 1140
Algebra z geometria analityczna B - MAP 1141
Lista zadań na rok akademicki 2009/2010
Opracowa : Zbigniew Skoczylas
Wyrażenia algebraiczne. Indukcja matematyczna
Studenci wydzia w W2, W4 oraz W7 opracowuja ten materia samodzielnie.
1. Obliczyć lub uprościć wyrażenia:
4
a2b3
( )
x-2y4z-3
35·34 125
a) ; b) ; c) ; d) .
38 44·36 (a4b2)3 x3y-5z3
2. Obliczyć:
3 4 1
a) 71; b) 210; c) 516.
9 27
3. Podane wyrażenia zapisać w postaci potegi 2:
"
" "
4
5 3
2 32
3
"
a) 4 8; b) 2 2; c) ; d) .
16
2
4. Wylaczyć czynnik spod znaku pierwiastka:
" " " " " "
3 4 3 4
a) 72; b) 250; c) 162; d) 3x4; e) 16a9; f) 4a4b8.
5. Wykonać wskazane dzialania:
x2+y2
a) (u + v)2 - (u - v)2 ; b) - 2x : (x2 - y2) ;
y
a3-b3 a a-c a3-b3
c) - (a + b) · + 1 ; d) · .
a2-b2 b a2+ac+c2 a2b-bc2
6. Podane ulamki uwolnić od niewymierności w mianowniku:
" "
2 6 11 5
" " " "3-"2 "
a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
4 3
3 2 5- 3 3+ 2 2+1
7. Wskazać wieksza z liczb wśr d podanych par:
" " " "
a) 213, 47; b) 12 - 11, 13 - 12; c) 920, 2713.
8. Uprościć wyrażenia:
x4+2x2y2+y4 (a-b)5
x3-8 a3+27b3 x2-1
"
a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
x2-4 a5+243b5 x6+y6 1- x
(b-a)3
9. Za pomoca indukcji matematycznej uzasadnić, że dla każdej liczby naturalnej n zachodza tożsamości:
a) 1 + 3 + . . . + (2n - 1) = n2;
1 1 1 n
b) + + . . . + = ;
1·2 2·3 n(n+1) n+1
1
c) 1 + 3 + . . . + 3n-1 = (3n - 1) ;
2
2
n(n+1)
d) 13 + 23 + . . . + n3 = .
2
10. Metoda indukcji matematycznej uzasadnić nier wności:
a) 2n > n2 dla n 5;
1 1 1 1
b) + + . . . + 2 - dla n " ;
12 22 n2 n
c) n! > 2n dla n 4;
d) (1 + x)n 1 + nx dla x -1 oraz n " (nier wność Bernoulliego);
n
n
e) n! < dla n 6.
2
1
11. Pokazać, że dla każdej liczby naturalnej n liczba:
a) n5 - n jest podzielna przez 5;
b) 8n + 6 jest podzielna przez 7.
n(n+1)
12. *Uzasadnić, że n prostych może podzielić plaszczyzne na maksymalnie + 1 obszar w.
2
13. Zastosować wz r dwumianowy Newtona do wyrażeń:
" "
5
1
4
a) (2x + y)4 ; b) (c - 1)7 ; c) x + ; d) ( u + v)8.
x3
14. Korzystajac ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumy:
n n n
n n n
a) ; b) 2k; c) (-1)k .
k k k
k=0 k=0 k=0
15
1
15. a) W rozwinieciu dwumianowym wyrażenia a3 + znalez
ć wsp lczynnik stojacy przy a5;
a2
" 7
"
4
3
4
b) W rozwinieciu dwumianowym wyrażenia x5 - znalez
ć wsp lczynnik stojacy przy x.
x3
Geometria analityczna na plaszczyz
nie. Krzywe stożkowe
Studenci wydzia w W2, W4 oraz W7 opracowuja ten materia samodzielnie.
16. Niech = (-2, 3) , b = (1, 4) . Wyznaczyć wektor = 3 - 2 b.
17. Tr jkat jest rozpiety na wektorach , b. Wyrazić środkowe tego tr jkata przez wektory , b.
18. Niech , b beda wektorami wodzacymi odpowiednio punkt w A, B oraz niech punkt P dzieli
odcinek AB w stosunku 2 : 3. Znalez
ć wektor wodzacy punktu P.
19. Za pomoca rachunku wektorowego pokazać, że środki bok w dowolnego czworokata tworza wierz-
cholki r wnolegloboku.
20. Wyznaczyć kat, jaki tworza wektory = (1, -2) , = (6, 3).
21. R wnoleglobok jest rozpiety na wektorach = (-3, 4) , b = (1, 2). Wyznaczyć kat ostry miedzy
przekatnymi tego r wnolegloboku.
22. Dlugości wektor w , b wynosza odpowiednio 3, 5. Ponadto znamy ich iloczyn skalarny ć% b = -2.
Obliczyć p ć% q, gdzie p = - b, q = 2 + 3 b.
23. Pokazać, że czworokat o wierzcholkach A = (0, 0) , B = (5, 2) , C = (3, 7) , D = (-2, 5) jest
kwadratem.
24. Wyznaczyć r wnanie prostej, kt ra przechodzi przez punkt P = (1, 3) i tworzy kat 120o z dodatnia
cześcia osi Ox.
25. Napisać r wnanie prostej przechodzacej przez punkty P1 = (2, 3) , P2 = (-3, 7) .
26. Znalez
ć miejsca przeciecia prostej
x = 4 - 2t,
gdzie t " ,
y = -6 + t,
z osiami ukladu wsp lrzednych. Czy punkt P = (4, 7) należy do tej prostej?
2
27. Znalez
ć r wnanie prostej, kt ra przechodzi przez punkt P = (-1, 2) i jest
a) r wnolegla do prostej 3x - y + 2 = 0;
b) prostopadla do prostej x + y = 0.
28. Dla jakiej wartości parametru m, odleglość punkt w P = (1, 0) i Q = (m + 3, -2) jest r wna 4?
29. Wyznaczyć odleglość punktu P0 = (-4, 1) od prostej l o r wnaniu 3x + 4y + 12 = 0.
30. Znalez
ć odleglość prostych r wnoleglych l1, l2 o r wnaniach odpowiednio x - 2y = 0, -3x + 6y -
15 = 0.
31. Obliczyć wysokość tr jkata o wierzcholkach A = (0, 0) , B = (-1, 3) , C = (2, 5) opuszczona z
wierzcholka C.
32. *Znalez
ć r wnania dwusiecznych kat w wyznaczonych przez proste o r wnaniach 3x + 4y - 2 =
0, 4x - 3y + 5 = 0.
33. Napisać r wnanie okregu, kt rego średnica jest odcinek o końcach A = (-1, 3), B = (5, 7) .
34. Wyznaczyć wsp lrzedne środka i promień okregu x2 - 4x + y2 + 6y + 2 = 0.
35. Znalez
ć r wnanie okregu opisanego na tr jkacie ABC o wierzcholkach A = (0, 0), B = (8, 0),
C = (0, 6).
36. Znalez
ć r wnanie okregu, kt ry przechodzi przez punkty P = (3, 4), Q = (5, 2) i ma środek na osi
Ox.
37. Wyznaczyć r wnanie okregu, kt ry jest styczny do obu osi ukladu wsp lrzednych oraz przechodzi
przez punkt A = (5, 8). Ile rozwiazań ma zadanie?
38. Znalez
ć r wnanie stycznej okregu x2 + y2 = 25:
a) w punkcie (-3, 4);
b) przechodzacej przez punkt (-5, 10);
c) r wnoleglej do prostej x - y - 4 = 0;
d) prostopadlej do prostej x + 2y = 0.
39. Wyznaczyć osie, wsp lrzedne ognisk oraz mimośr d elipsy
x2 y2
+ = 1.
16 9
40. Punkty F1 = (-5, 0) , F2 = (5, 0) sa ogniskami elipsy. Znalez
ć r wnanie tej elipsy, jeżeli widomo,
że jednym z jej wierzcholk w jest punkt W = (0, -3)
41. Naszkicować elipse o r wnaniu 4x2 - 8x + 9y2 + 36y + 4 = 0.
42. Wyznaczyć osie, wsp lrzedne ognisk oraz r wnania asymptot hiperboli
x2 y2
- = 1.
144 25
43. Narysować hiperbole wraz z jej asymptota
(y + 5)2 (x - 2)2
- = 1.
16 9
3
44. Wyznaczyć wsp lrzedne ogniska, wierzcholka oraz podać r wnanie kierownicy paraboli o r wna-
niu: a) y2 = 12x; b) y = x2 + 6x.
45. Napisać r wnanie paraboli, kt rej:
a) kierownica jest prosta y = -2, a punkt W = (-1, 6) - wierzcholkiem;
b) kierownica jest prosta x = 1, a punkt W = (5, 1) - wierzcholkiem.
Macierze
1
46. Dla podanych par macierzy A, B wykonać (jeśli to jest możliwe) wskazane dzialania 3A - B, AT ,
2
AB, BA, A2:
1 4 0 -6
a) A = , B = ;
-2 0 -8 2
b) A = 1 -3 2 , B = 2 -4 0 ;
îÅ‚ Å‚Å‚
1
ïÅ‚0śł
ïÅ‚ śł
c) A = , B = -2 1 0 5 ;
ðÅ‚3ûÅ‚
0
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 -1 -2 0
ðÅ‚ ðÅ‚
d) A = 2 1 -4ûÅ‚ , B = 4 1ûÅ‚ .
-3 0 2 0 3
47. Rozwiazać r wnanie macierzowe
ëÅ‚îÅ‚ Å‚Å‚ öÅ‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 4 3
íÅ‚ðÅ‚-3 3ûÅ‚ -XÅ‚Å‚ = X+ ðÅ‚
3 0 6ûÅ‚ .
2 5 -1 2
48. Znalez
ć niewiadome x, y, z spelniajace r wnanie
T
x + 2 y + 3 3 6
2 = .
3 0 y z
49. Podać przyklady macierzy kwadratowych A, B, kt re spelniaja podane warunki:
a) AB = BA; b) AB = 0, ale A = 0, B = 0; c) A2 = 0, ale A = 0.

50. Uzasadnić, że iloczyn:
a) macierzy diagonalnych tego samego stopnia jest macierza diagonalna;
b) iloczyn macierzy tr jkatnych dolnych tego samego stopnia jest macierza tr jkatna dolna.
51. Pokazać, że k ażda macierz kwadratowa mo żna przedstawić jednoznacznie jako sume macierzy
symetrycznej AT = A i antysymetrycznej AT = -A . Napisać to przedstawienie dla macierzy
îÅ‚ Å‚Å‚
0 1 4 -2
ïÅ‚-3 5 2 8 śł
ïÅ‚ śł
B = .
ðÅ‚
2 4 -3 -4ûÅ‚
6 0 0 1
52. Macierze kwadratowe A, B sa przemienne, tzn. spelniaja r wność AB = BA. Pokazać, tożsamości:
a) (A - B) (A + B) = A2 - B2; b) (BA)2 = A2B2; c) A2B3 = B3A2.
4
53. Dla podanych macierzy A obliczyć An dla kilka poczatkowych wartości n, nastepnie wysuna ć
hipoteze o postaci tych poteg i uzasadnić ja za pomoca indukcji matematycznej:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 0 2 0 2 1 1 0
ðÅ‚0 ðÅ‚0 ðÅ‚0
a) A = -2 0ûÅ‚ ; b) A = 2 0ûÅ‚ ; c*) A = 1 1ûÅ‚ .
0 0 3 2 0 2 0 0 1
54. W zbiorze macierzy rzeczywistych znalez
ć wszystkie rozwiazania podanych r wnań:
4 0 0 0 0 1
a) X2 = ; b) X2 = c) X2 = .
0 9 0 0 1 0
Wyznaczniki
55. Napisać rozwiniecia Laplace a podanych wyznacznik w wg wskazanych kolum lub wierszy (nie
obliczać wyznacznik w w otrzymanych rozwinieciach):
1 4 -3 7
-1 4 3
-2 4 2 0
a) -3 1 0 , trzecia kolumna; b) , czwarty wiersz.
5 4 1 6
2 5 -2
2 0 0 -3
56. Obliczyć podane wyznaczniki:
2 0 0 0
1 -1 2
-2 5 3 -3 5 7
a) ; b) 3 2 -4 ; c) .
3 -7 4 0 1 4
2 2 1
5 0 2 -2
57. Korzystajac z wlasności wyznacznik w uzasadnić, że podane macierze sa osobliwe:
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 5 2 -2
2 4 -4 1 2 3
ïÅ‚7
ïÅ‚ śł
ðÅ‚-1 -2 2 ûÅ‚ ðÅ‚4 4 4ûÅ‚ ; c) 5 2 -5śł .
a) ; b)
ðÅ‚5 7 4 -4ûÅ‚
3 5 -6 3 2 1
3 3 0 -3
58. Jakie sa możliwe wartości wyznacznika macierzy kwadratowej A stopnia n spelniajacej podane
warunki:
a) A3 = 4A dla n = 3, 4; b) AT = -A2 dla n = 3, 4 ?
59. Obliczyć wyznaczniki podanych macierzy:
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
5 3 0 . . . 0
1 2 3 4 5 2 -1 0 0 0
ïÅ‚2 5 3 . . . 0śł
ïÅ‚2 2 3 4 5śł ïÅ‚ śł
0 2 -1 0 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚0 2 5 . . . 0śł .
ïÅ‚3 ïÅ‚ śł
a) 3 3 4 5śł ; b) 0 0 2 -1 0 ; c)
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚
. . .
... śł
ðÅ‚4 4 4 4 5ûÅ‚ ðÅ‚
. . .
0 0 0 2 -1ûÅ‚
ðÅ‚
. . . 3ûÅ‚
5 5 5 5 5 -1 0 0 0 2
0 0 0 . . . 5
60. *Uzasadnić, że niezależnie od liczb ukrytych pod znakiem zapytania, podany wyznacznik jest
r wny 0
? ? ? ? ?
? 0 0 0 ?
? 0 0 0 ? .
? 0 0 0 ?
? ? ? ? ?
Macierz odwrotna i uk ady r wnań liniowych
5
61. Korzystajac z twierdzenia o postaci macierzy odwrotnej wyznaczyć macierze odwrotne do po-
danych:
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
0 1 0 0
1 0 0
ïÅ‚2 0 0 0śł
2 5
ðÅ‚3 ûÅ‚ ïÅ‚ śł
a) A = ; b) A = -1 0 ; c)
ðÅ‚0 0 0 3ûÅ‚ .
3 8
2 5 -1
0 0 4 0
62. Korzystajac z metody dolaczonej macierzy jednostkowej znalez
ć macierze odwrotne do podanych:
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 -1 0
1 4 -12
ïÅ‚4 1 0 0śł
1 2
ðÅ‚0 ûÅ‚ ïÅ‚ śł
a) A = ; b) A = -2 0 ; c) A =
ðÅ‚0 -2 1 3ûÅ‚ .
-3 -1
0 2 6
0 0 0 1
63. Znalez
ć rozwiazania podanych r wnań macierzowych:
3 5 0 3 1
a) ·X = ;
1 2 4 -2 0
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 0 -3
ðÅ‚1 ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
b) 1 1 ·X = 1 ;
2 6 -1 4
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
-2 0 3 0 0 1
ðÅ‚ ðÅ‚0
c) X· 1 1 1ûÅ‚ = 1 2ûÅ‚ ;
-3 0 4 1 2 3
2 1 -3 2 2 8
d) · X· = .
3 2 5 -3 0 5
64. Korzystajac ze wzor w Cramera wyznaczyć wskazana niewiadoma z podanych uklad w r wnań
liniowych:
2x - y = 0
a) , niewiadoma y;
3x + 2y = 5
Å„Å‚
x + y + 2z = -1
òÅ‚
b) 2x - y + 2z = -4 , niewiadoma x;
ół
4x + y + 4z = -2
Å„Å‚
2x + 3y + 11z + 5t = 2
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
x + y + 5z + 2t = 1
c) , niewiadoma z.
2x + y + 3z + 2t = -3
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
x + y + 3z + 4t = -3
65. Metoda eliminacji Gaussa rozwiazać podane uklady r wnań:
2x - y = 0
a) ;
3x + 2y = 5
Å„Å‚
x + y + 2z = -1
òÅ‚
b) 2x - y + 2z = -4 ;
ół
4x + y + 4z = -2
Å„Å‚
3x
ôÅ‚ - 2y - 5z + t = 3
ôÅ‚
òÅ‚
2x - 3y + z + 5t = -3
c) .
x + 2y - 4t = -3
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
x - y - 4z + 9t = 22
66. a) Znalez
ć r wnanie prostej, kt ra przechodzi przez punkty (1, 4) , (2, -3) .
b) Znalez
ć tr jmian kwadratowy, kt ry przechodzi przez punkty (-1, 2) , (0, -1) , (2, 4) .
6
c) Wyznaczyć wsp lczynniki a, b, c funkcji y = a2x+b3x+c4x, kt ra w punktach -1, 0, 1 przyjmuje
3
odpowiednio wartości , 1, 1.
4
d) Funkcja y (x) = A cos 2x + B sin 2x spelnia r wnanie r żniczkowe y - 6y + 13y = 25 sin 2x.
Wyznaczyć wsp lczynniki A, B.
67. a) Dla jakich wartości parametru m, podany uklad jednorodny ma niezerowe rozwiazanie
Å„Å‚
mx + y + 2z = 0
òÅ‚
2x - y + mz = 0 ?
ół
mx + y + 4z = 0
b) Dla jakich wartości parametr w a, b, c, d, podany uklad r wnań liniowych jest sprzeczny
Å„Å‚
x + y = a
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
z + t = b
?
x + z = c
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
y + t = d
c) Znalez
ć wszystkie wartości parametru p, dla kt rych podany uklad r wnań liniowych ma tylko
jedno rozwiazanie
Å„Å‚
x + 2y - 3z = -1
òÅ‚
2x - py + z = 3 .
ół
2x + y - pz = 5
Å„Å‚
1 2 3
- + = 1
òÅ‚
x y z
3 4 6
+ + = 7
68. a*) Rozwiazać uklad r wnań .
x y z
ół
1 8 3
- - = -4
x y z
Å„Å‚
xy2z3 = 2
òÅ‚
b*) Znalez
ć dodatnie rozwiazania ukladu r wnań x2y3z4 = 4 .
ół
x2yz = 2
Geometria analityczna w 3
69. a) Dla jakich wartości parametr w p, q wektory = (1 - p, 3, -1) , b = (-2, 4 - q, 2) sa
r wnolegle?
b) Dla jakich wartości parametru s wektory p = (s, 2, 1 - s) , q = (s, 1, -2) sa prostopadle?
70. Obliczyć iloczyn skalarny i wektorowy wektor w = (1, -2, 5) , b = (2, -3, -1) .
71. Znalez
ć wersor, kt ry jest prostopadly do wektor w = (1, 1, 0) , = (0, 1, 1) .
72. Wyznaczyć cosinus kata miedzy wektorami p = (0, 3, 4) , q = (2, 1, -2) .
73. a) Obliczyć pole r wnolegloboku rozpietego na wektorach = (-1, 2, 5) , = (0, 3, 2) .
b) Obliczyć pole tr jkata o wierzcholkach A = (0, 0, 1) , B = (3, 0, 0) , C = (0, -5, 0) .
74. a) Obliczyć objetość r wnoleglościanu rozpietego na wektorach: = (1, 2, 3) , b = (0, 4, 1) , c =
(-1, 0, 2) .
b) Obliczyć objetość czworościanu o wierzcholkach: A = (1, 1, 1) , B = (1, 2, 3) , C = (0, 4, 1) , D =
(2, 2, 2) .
75. Znalez
ć r wnania normalne i parametryczne plaszczyzny przechodzacej przez punkty:
P = (1, -1, 0) , Q = (2, 5, 7) , R = (0, 0, 1) .
7
76. a) Plaszczyzne Ą : x + 2y - z - 3 = 0 zapisać w postaci parametrycznej.
Å„Å‚
x = 1 + s + t,
òÅ‚
b) Plaszczyzne Ą : y = -2 - s - 2t, przeksztalcić do postaci normalnej.
ół
z = 3 + 3s - t
77. Znalez
ć r wnanie parametryczne i krawedziowe prostej:
a) przechodzacej przez punkty A = (-3, 4, 1) , B = (0, 2, 1) .
b) przechodzacej przez punkt P = (3, -1, 2) i przecinajacej prostopade oÅ› Oy.
x + y - 3 = 0
78. a) Prosta l : zapisać w postaci parametrycznej.
-y + z - 1 = 0
b) Prosta l : x = 3, y = 2 - 2t, z = t zapisać w postaci krawedziowej.
79. Wyznaczyć punkt przeciecia:
a) prostej l : x = t, y = 1 - 2t, z = -3 + 2t oraz plaszczyny Ä„ : 3x - y - 2z - 5 = 0;
b) plaszczyzn Ä„1 : x + 2y - z - 5 = 0, Ä„2 : x + 2y + 2 = 0, Ä„3 : x + y + z = 0;
c) prostych l1 : x = 1 - t, y = 1, z = -3 + 2t, l2 : x = s, y = 3 - 2s, z = 2 - 5s.
80. Obliczyć odleglość:
a) punktu P = (0, 1, -2) od plaszczyzny Ä„ : 3x - 4y + 12z - 1 = 0;
b) plaszczyzn r wnoleglych Ä„1 : x - 2y + 2z - 3 = 0, Ä„2 : -2x + 4y - 4z + 18 = 0;
c) punktu P = (2, -5, 1) od prostej l : x = t, y = 1 - 2t, z = -3 + 2t;
d) prostych r wnoleglych
x + y + z - 3 = 0 x + y + z - 3 = 0
l1 : , l2 : ;
x - 2y - z - 1 = 0 x - 2y - z + 4 = 0
e) prostych skośnych l1 : x = 1 - t, y = 1, z = -3 + 2t, l2 : x = s, y = 3 - 2s, z = 1 - 5s.
81. Wyznaczyć rzut prostopadly punktu P = (1, -2, 0) na:
a) plaszczyzne Ä„ : x + y + 3z - 5 = 0;
b) prosta l : x = 1 - t, y = 2t, z = 3t.
82. Obliczyć kat miedzy:
a) plaszczyznami Ä„1 : x - y + 3z = 0, Ä„2 : -2x + y - z + 5 = 0;
x + y + z - 3 = 0
b) prosta l : i plaszczyzna Ä„ : x + y = 0;
x - 2y - z - 1 = 0
c) prostymi l1 : x = -t, y = 1 + 2t, z = -3, l2 : x = 0, y = -2s, z = 2 + s.
Liczby zespolone
83. Obliczyć:
"
a) (2 - 5i) + 3 + i 2 ; b) (7 + 6i) - (8 - 3i) ; c) (4 - i) · (3 + 4i) ;
1+i
d) ; e) i11; f) (-1 + 2i); g) (-3i); h) (3 + 4i)2 ; i) (2 + i)3 .
6-5i
84. Por wnujac cześci rzeczywiste i urojone obu stron podanych r wnań znalez
ć ich rozwiazania:
a) z = (2 - i)z; b) z2 + 4 = 0; c) (1 + 3i) z + (2 - 5i) z = 2i - 3; d*) z3 = 1.
8
85. Na plaszczyz
nie zespolonej narysować zbiory liczb zespolonych spelniacych podane warunki:
1
a) Re (z + 1) = Im (2z - 4i) ; b) Re (z2) = 0; c) Im (z2) 8; d) Re > Im (iz) .
z
86. Uzasadnić tożsamości:
a) |z| = |z| ; b) z · z = |z|2 ; c) |zn| = |z|n , gdzie z " oraz n " .
87. Obliczyć moduly podanych liczb zespolonych:
" "
3+4i
a) -3; b) 5 - 12i; c) 11 + i 5; d) ; e) (1 + 2i) · (i - 3) ; f) (1 + 2i)8;
4-3i
g) (sin 4ą - i cos 4ą) , gdzie ą " ; h) (ctg ą + i) , gdzie ą = nĄ, n " .

88. Korzystajac z interpretacji geometrycznej modulu r żnicy liczb zespolonych wyznaczyć i narysować
zbiory liczb zespolonych spelniajacych podane warunki:
a) |z - 2 + 3i| < 4; b) |z + 5i| 3; c) |z - 1| = |1 + 5i - z| , d) |z + 3i| < |z - 1 - 4i| ;
z-3i z2+4
e) |iz + 5 - 2i| < |1 + i| ; f) > 1; g) 1; h) |z2 + 2iz - 1| < 9.
z z-2i
89. Wyznaczyć argumenty gl wne podanych liczb zespolonych (w razie potrzeby wykorzystać kalku-
lator):
"
" "
2 1
a) 55; b) -Ä„; c) - i; d) i; e) 3 + 3 3i; f) -2 + 2i; g) 1 + 3i; h) 2 - 2 3i.
2 3
90. Podane liczby zespolone przedstawić w postaci trygonometrycznej:
"
" " "
3
a) -2; b) 10 + 10i; c) -1 + i ; d) Ä„i; e) 7 - i 7; f) -3 - i 27.
2 2
91. Na plaszczyz
nie zespolonej narysować zbiory liczb zespolonych spelniajacych podane warunki:
Ä„ Ä„ Ä„
a) arg (z) = Ä„; b) < arg (z - i) ; c) < arg (iz) < Ä„;
6 3 2
Ä„ 2Ä„ 3Ä„ 1 3Ä„
d) arg (-z) = ; e) 0 < arg (z) ; f) arg .
4 3 4 z 2
92. Korzystajac ze wzoru de Moivre a obliczyć:
"
8
" 9 " " 10
5 5
1 3
a) (1 - i)11 ; b) + i ; c) 2i - 12 ; d) - 2 - i 2 .
2 2
93. Wyznaczyć i narysować na plaszczyz
nie zespolonej elementy podanych pierwiastk w:
" " " "
4 3 3 6
a) -16; b) -8i; c) -2 - 2i; d) 1.
94. W zbiorze liczb zespolonych rozwiazać podane r wnania:
a) z2 - 2z + 10 = 0; b) z2 + 3iz + 4 = 0; c) z4 + 5z2 + 4 = 0;
d) z2 + (1 - 3i) z - 2 - i = 0; e) z6 = (1 - i)6 ; f) (z - i)4 = (z + 1)4 .
Wielomiany
2
95. Dla podanych par wielomian w rzeczywistych lub zespolonych obliczyć 3P - Q, P · Q, P :
a) P (x) = x2 - 3x + 2, Q (x) = x4 - 1;
b) P (z) = z2 - 1 + 4i, Q (z) = z3 + (1 - i) z2 + 5.
96. Obliczyć iloraz wielomianu P przez Q oraz podać reszte z tego dzielenia, jeżeli:
a) P (x) = x4 - 3x3 - 2x2 + 11x - 15, Q (x) = x3 - 2x + 5;
b) P (x) = x4 + x + 16, Q (x) = x2 - 3x + 4;
c) P (z) = z3 + iz + 1, Q (z) = z2 - i.
97. Znalez
ć wszystkie pierwiastki calkowite podanych wielomian w:
a) x3 + 3x2 - 4; b) x4 - 2x3 + x2 - 8x - 12; c) x4 - x2 - 2.
9
98. Znalez
ć wszystkie pierwiastki wymierne podanych wielomian w:
a) 6x3 - 5x2 - 2x + 1; b) 3x3 - 2x2 + 3x - 2; c) 6x4 + 7x2 + 2.
99. Wyznaczyć pierwiastki rzeczywiste lub zespolone wraz z krotnościami podanych wielomian w:
a) (x - 1) (x + 2)3 ; b) (2x + 6)2 (1 - 4x)5 , c) (z2 - 1) (z2 + 1)3 (z2 + 9)4 .
100. Nie wykonujac dzieleń wyznaczyć reszty z dzielenia wielomianu P przez wielomian Q, jeżeli:
a) P (x) = x8 + 3x5 + x2 + 4, Q (x) = x2 - 1;
b) P (x) = x2007 + 3x + 2008, Q (x) = x2 + 1;
c*) P (x) = x2006 + x1002 - 1, Q (x) = x4 + 1;
d*) P (x) = x444 + x111 + x - 1, Q (x) = (x2 + 1)2 .
101. Pokazać, że jeżeli liczba zespolona z1 jest pierwiastkiem wielomianu rzeczywistego P , to liczba z1
także jest pierwiastkiem wielomianu P . Korzystajac z tego faktu znalez
ć pozostale pierwiastki
zespolone wielomianu P (x) = x4 -4x3 +12x2 -16x+15 wiedzac, że jednym z nich jest x1 = 1+2i.
102. Podane wielomiany rozlożyć na nierozkladalne czynniki rzeczywiste:
a) x3 - 27; b) x4 + 16; c) x4 + x2 + 4; d*) x6 + 1.
103. Podane funkcje wymierne rozlożyć na rzeczywiste ulamki proste:
2x+5 x+9 3x2+4x+3 x3-2x2-7x+6
a) ; b) -x(x+3) ; c) ; d) .
2
x2-x-2 x3-x2+4x-4 x4+10x2+9
Przestrzeń liniowa n
Materia przenaczony tylko dla student w wydzia w W2, W4 oraz W7
4
104. Niech = (1, -1, -2, 3) , b = (5, 4, 2, 0) beda wektorami w przestrzeni liniowej .
Wyznaczyć wektory oraz y, jeżeli:
a) = 2 - b;
b) - = b + 2 ;
- y = ,
c)
3 + 2y = b.
105. Sprawdzić, czy podane zbiory sa podprzestrzeniami odpowiednich przestrzeni :
2 2
a) A = (x, y) " : xy 0 , ;
3 3
b) B = (x, y, z) " : x + y - z = 0 , ;
4 4
c) C = (x1, x2, x3, x4) " : x1 = 2x2 = 3x3 = 4x4 , ;
4 5
d) D = (x1, x2, x3, x4, x5) " : x1 = 0, x2 = x3, x5 = 0 , ;
2 3
e) E = (x, y, z) " : x - 2y = 0, y - 3z = 0, z - 4x = 0 , .
106. We wskazanej przestrzeni liniowej zbadać liniowa niezależność podanych uklad w wektor w:
3
a) , = (2, 3, 0) , = (-1, 0, -1) , = (0, 1, 4) ;
1 2 3
3
b) , b1 = (1, 2, 3) , b2 = (3, 2, 1) , b3 = (1, 1, 1) ;
4
c) , c1 = (1, 0, 0, 0) , c2 = (-1, 1, 0, 0) , c3 = (1, -1, 1, 0) , c4 = (-1, 1, -1, 1) ;
5
d) , d1 = (1, 2, 3, 4, 5) , d2 = (5, 4, 3, 2, 1) , d3 = (1, 0, 1, 0, 1) ;
e) , e1 = (1, 0, 0, . . . , 0) , e2 = (0, 2, 0, . . . , 0) , e3 = (0, 0, 3, . . . , 0) , . . . , en = (0, 0, 0, . . . , n) .
10
107. a) Pokazać, że jeżeli wektory , b, c sa liniowo niezależne w przestrzeni liniowej , to wektory
2 , + b, b - 5c także sa liniowo niezależne. Czy wektory - b, b - c, c - sa liniowo
niezależne?
b) Wektory , , sa liniowo zależne w przestrzeni liniowej . Czy wektory - , , -
także sa liniowo zależne?
c) Wektory , + b, + b + c sa liniowo niezależne w przestrzeni liniowej . Pokazać, że
wektory , b, c sa także liniowo niezależne.
108. Pokazać, że uklad wektor w w przestrzeni liniowej , kt ry zawiera:
a) wektor zerowy,
b) dwa jednakowe wektory,
c) wektory , b oraz - b,
jest liniowo zależny.
109. Podać interpretacje geometryczna podanych zbior w we wskazanej przestrzeni:
2
a) lin{(-1, 3)} w ;
3
b) lin{(1, 0, 0) , (1, 1, 0) , (1, 1, 1)} w ;
3
c) lin{(1, -1, 2) , (4, 1, -1) , (2, 3, -5)} w ;
4
d*) lin{(1, 1, 0, 0) , (0, 0, 1, 1) , (1, 0, 1, 0) , (0, 1, 0, 1)} w ;
n
e*) lin (1, 0, 0, . . . , 0) , (0, -1, 0, . . . , 1) , (0, 0, 1, . . . , 0) , . . . , 0, 0, 0, . . . , (-1)n+1 w .
4
110. Czy w przestrzeni zachodzi r wność
lin {(1, 2, 3, -5) , (2, -3, -4, 6) , (1, -4, 1, 1)} = lin {(0, 0, 3, 4) , (2, 5, 0, 0) , (-1, 1, -1, 1)} ?
n
111. Zbadać, czy podane uklady wektor w sa bazami wskazanych przestrzeni liniowych :
3
a) {(1, 2, 0) , (-1, 0, 3) , (0, -2, -3)} , ;
4
b) {(1, 0, 0, 0) , (1, 1, 0, 0) , (1, 1, 1, 0) , (1, 1, 1, 1)} , ;
4
c) {(1, -1, 0, 2) , (1, 0, 3, 0) , (0, 1, 3, 0) , (0, 0, 0, 1)} , ;
5
d) {(1, 1, 0, 0, 0) , (0, 2, 2, 0, 0) , (0, 0, 3, 3, 0) , (0, 0, 0, 4, 4)} , ;
5
e) {(0, 1, 0, -1, 0) , (-1, 0, 1, 0, 1) , (0, 0, 0, 1, -1) , (1, -1, 1, -1, 1) , (1, 1, 1, 1, 1)} , .
112. Podane uklady wektor w uzupelnić do baz wskazanych przestrzeni:
3
a) {(1, 2, 4) , (2, 0, 1)} , ;
4
b) {(1, 2, 3, 4) , (1, 0, 0, 1) , (0, 1, 0, 0)} , ;
4
c) {(0, 1, 0, 2) , (4, 1, 1, 3)} , ;
5
d) {(1, -1, 0, 0, 0) , (0, 0, 0, 3, -3) , (0, -2, 2, 0, 0)} , ;
5
e) {(1, 0, 0, 0, -1) , (0, 0, 0, 0, 4) , (0, -1, 1, 0, 0) , (0, 0, 0, 1, 1)} , .
4
113. Pokazać, że jeżeli wektory b1, b2, b3, b4 tworza baze przestrzeni , to wektory
= b1 + b2, = b1 + b3, = b1 + b4, = b3 + b4
1 2 3 4
także tworza baze tej przestrzeni.
11
114. Znalez
ć bazy i wymiary podanych podprzestrzeni:
3
a) A = (x, y, z) " : 3x + 2y - z = 0 ;
4
b) B = (x, y, z, t) " : x = 2y = -t ;
5
c) C = (u, v, x, y, z) " : u + v = 0, x + y + x = 0 ;
6
d) D = (u, v, w, x, y, z) " : u + v = 0, x + y + z = 0, x - u + y - v + z = 0 .
115. Wyznaczyć wsp lrzedne podanych wektor w we wskazanych bazach:
2
a) = (2, 3) , B = {(-1, 1) , (0, 1)} ‚" ;
3
b) b = (1, 2, 3) , B = {(1, 1, 1) , (2, 2, 0) , (3, 0, 0)} ‚" ;
4
c) c = (1, 0, 2, 0) , B = {(1, 0, 1, 0) , (0, 1, 0, 1) , (-1, 0, 1, 0) , (1, 2, 3, 4)} ‚" ;
d) d = (5, 4, 3, 2, 1) ,
5
B = {(1, 1, 1, 1, 1) , (-1, -1, -1, -1, 0) , (1, 1, 1, 0, 0) , (-1, -1, 0, 0, 0) , (1, 0, 0, 0, 0)} ‚" .
116. Wyznaczyć rzedy podanych macierzy (wskazać niezerowy minor najwiekszego stopnia):
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 6 2 4
2 -1 3 -6
ðÅ‚2 ðÅ‚ ûÅ‚
a) A = ; b) B = 2ûÅ‚ ; c) C = 3 1 2 .
4 -2 6 12
3 3 12 4 -8
117. Doprowadzajac podane macierze do postaci schodkowej wyznaczyć ich rzedy:
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
2 1 11 2
10 11 12
ïÅ‚
1 0 4 -1śł
ðÅ‚21 ïÅ‚ śł
a) A = 22 23ûÅ‚ ; b) B = ;
ðÅ‚11 2 56 5 ûÅ‚
32 33 34
2 -1 5 -6
îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 0 1 4
ïÅ‚0 1 0 2 5 śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚0 śł
c) C = 0 1 2 6 .
ïÅ‚ śł
ðÅ‚1 2 3 14 32ûÅ‚
4 5 6 32 77
118. Zbadać rzedy podanych macierzy w zależności o parametru p :
p 8 p 4 -1 2
a) A = ; b) B = ;
2 p 1 3 -p 1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
p 1 1 1 p -1 2
ðÅ‚2 ûÅ‚ ðÅ‚2
c) C = 2p 2 ; d) D = -1 p 5ûÅ‚ .
3 3 3p 1 10 -6 1
119. a) Podać przyklad ukladu 2 r wnań liniowych z 5 niewiadomymi, kt ry nie ma rozwiazań.
b) Podać przyklad ukladu 5 r wnań liniowych z 3 niewiadomymi, kt ry na tylko jedno rozwiazanie.
c) Podać przyklad ukladu 3 r wnań liniowych z 4 niewiadomymi, kt ry ma nieskończenie wiele
rozwiazań zależnych od 2 parametr w.
d) Podać przyklad ukladu 4 r wnań z 2 niewiadomymi, kt ry ma nieskończenie wiele rozwiazań
zależnych od 2 parametr w.
120. Niech n oznacza liczbe niewiadomych w ukladzie r wnań liniowych Ax = b. Podać liczbe rozwiazań
oraz liczbe parametr w, jeżeli:
a) n = 5, rz(A) = 3, rz(A|b) = 3;
b) n = 2, rz(A) = 1, rz(A|b) = 2;
c) n = 4, rz(A) = 4, rz(A|b) = 4;
d) n = 3, rz(A) = 0, rz(A|b) = 0.
12
121. Korzystajac z twierdzenia Kroneckera-Capellego ustalić liczbe rozwiazań oraz liczbe parametr w
dla podanych uklad w r wnań liniowych:
Å„Å‚
x
òÅ‚ - 3y + 2z = -1
a) 5x - 7y = 1 ;
ół
3x - y - 4z = 3
Å„Å‚
x + y + z = 1
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
2x + 2y + 2z = 2
b) ;
ôÅ‚ -x + 3y + 7z = 0
ôÅ‚
ół
2x - 6y - 14z = 0
Å„Å‚
x + 2y + z + 3t = 4
òÅ‚
c) 3x + 6y + 5z + 10t = 0 ;
ół
5x + 10y + 7z + 17t = 23
Å„Å‚
x1
òÅ‚ - 2x2 + 3x3 = 3
d) 2x1 - 4x2 + 7x3 - 2x4 + 3x5 = 4 .
ół
- x3 + 2x4 - 3x5 = 2
Uwaga. Nie rozwiazywać tych uk ad w.
122. a) Podać interpretacje geometryczna rozwiazań ukladu dw ch r wnań liniowych z dwiema
niewiadomymi w zależności od rzedu macierzy gl wnej i rozszerzonej.
b) Podać interpretacje geometryczna rozwiazań ukladu trzech r wnań liniowych z trzema
niewiadomymi w zależności od rzedu macierzy gl wnej i rozszerzonej.
123. Wyznaczyć przestrzenie rozwiazań podanych uklad w r wnań liniowych jednorodnych:
x + y + 0z = 0
a) ;
5x + 5y + 0z = 0
Å„Å‚
x1
òÅ‚ - 2x2 + 3x3 = 0
b) 3x1 - 6x2 + 11x3 - 4x4 + 6x5 = 0 .
ół
- x3 + 2x4 - 3x5 = 0
n m
Przekszta cenia liniowe F :
Materia przenaczony tylko dla student w wydzia w W2, W4 oraz W7
124. Zbadać, czy podane przeksztalcenia sa liniowe:
2 1
a) F : , F (x1,x2) = x1 - 3x2;
2 2
b) F : , F (x, y) = (|x + y| , |x - y|) ;
3 3
c) F : , F (x, y, z) = (-x, 5x + y, y - 2z) ;
1 4
d) F : , F (x) = (0, x, 0, -3x) ;
4 2
e) F : , F (x1, x2, x3, x4) = (x1x2, x3x4) ;
3 5
f) F : , F (u, v, w) = (u, -4v, u + 2v, w, u - 3w) .
125. Korzystajac z interpretacji geometrycznej podanych przeksztalceń liniowych znalez
ć ich jadra i
obrazy:
2 2 Ä„
a) L : , obr t o kat Ä… = wok l poczatku ukladu.
3
2 2
b) L : , rzut prostokatny na prosta x + y = 0.
3 3
c) L : , symetria wzgledem plaszczyzny y = z.
3 3 Ä„
d) L : , obr t wok l osi Oy o kat .
2
13
126. Wyznaczyć jadra i obrazy podanych przeksztalceń liniowych:
2 1
a) F : , F (x1,x2) = x1 - 3x2;
2 2
b) F : , F (x, y) = (x + y, 2x + 2y) ;
3 3
c) F : , F (x, y, z) = (-x, 5x + y, y - 2z) ;
1 4
d) F : , F (x) = (0, x, 0, -x) .
n m
127. Znalez
ć macierze podanych przeksztalceń liniowych F : we wskazanych bazach
n m
B oraz B odpowiednio przestrzeni oraz :
a) F (x, y) = (x, y, x - y) , B = {(1, 0) , (1, 1)} , B = {(1, 0, 0) , (0, -1, 0) , (-1, 1, -1)} ;
b) F (x, y) = (y, 0, x, 0) , B = {(1, -1) , (0, 2)} , B = {(1, 0, 0, 0) , (1, 1, 0, 0) , (1, 1, 1, 0) , (1, 1, 1, 1)} ;
c) F (x, y, z) = x + y - 3z, B = {(1, 0, 2) , (0, -1, 1) , (0, 0, 1)} , B -standardowa;
d) F (x, y, z, t) = (x + y + z + t, y - t, z - x) , B -standardowa, B -standardowa.
2
128. a) Uzasadnić, że obr t na plaszczyz
nie wok l poczatku ukladu wsp lrzednych o kat Õ jest
przeksztalceniem liniowym. Znalez
ć macierz tego obrotu w bazach standardowych.
3
b) Pokazać, że obr t w przestrzeni wok l osi Ox ukladu wsp lrzednych o kat ą jest przeksz-
talceniem liniowym. Znalez
ć macierz tego obrotu w bazach standardowych.
129. Korzystajac z definicji wyznaczyć wektory i wartości wlasne podanych przeksztalceń liniowych:
2
a) Symetria wzgledem osi Ox w przestrzeni ;
Ä„ 3
b) Obr t wok l osi Oy o kat w przestrzeni ;
6
3
c) Symetria wzgledem plaszczyzny xOz w przestrzeni ;
3
d) Rzut prostokatny na oÅ› Oz w przestrzeni .
130. Wyznaczyć wektory i wartości wlasne podanych macierzy:
îÅ‚ Å‚Å‚
4 -5 2
1 2
ðÅ‚5
a) A = ; b) B = -7 3ûÅ‚ ;
1 2
6 -9 4
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 0 0 3 -1 0 0
ïÅ‚0 0 0 0śł ïÅ‚1 1 0 0 śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
c) C =
ðÅ‚0 0 0 0ûÅ‚ ; d) D = ðÅ‚3 0 5 -3ûÅ‚ .
1 0 0 1 4 -1 3 -1
131. Sprawdzić, że podane macierze spelniaja swoje r wnania charakterystyczne:
îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 1
1 0
ðÅ‚0
a) A = ; b) B = 1 0ûÅ‚ .
0 -3
1 0 1
14