Algebra z GeometriÄ… AnalitycznÄ… 08.10.2013
Lista 1. Liczby zespolone.
1. Przedstaw w postaci algebraicznej następujące liczby zespolone:
"
1 + i
a) (2 - 5i) + (3 + i 2) ; b) (7 + 6i) - (8 - 3i) ; c) (4 - i) · (3 + 4i) ; d) ;
6 - 5i
e) -1 + 2i ; f) (3 + 4i)2 ; g) (2 + 3i)3 .
2. Porównując cześci rzeczywiste i urojone obu stron podanych równań, znalez
ć ich rozwiązania:
a) z = (2 - i)z ; b) (1 + 3i)z + (2 - 5i)z = 2 - 3i ; c) z2 + 4 = 0 .
3. Na płaszczyz
nie zespolonej narysować zbiory liczb zespolonych spełniających podane
warunki:
a) Re(z + 1) = Im(2z - 4i) ; b) Re(z2) = 0 ; c) Im(z2) 8 .
4. Obliczyć moduły podanych liczb zespolonych:
3 + 4i
a) -3 ; b) 5 - 12i ; c) ; d) (1 + 2i)(i - 3) ; e) (1 + 2i)8 .
4 - 3i
5. Korzystając z interpretacji geometrycznej modułu różnicy liczb zespolonych, wyznaczyć i
narysować zbiory liczb zespolonych spełniających podane warunki:
z - 3i
a) |z - 2 + 3i| < 4 ; b) |z + 5i| 3 ; c) |z + 3i| < |z - 1 - 4i| ; d) > 1 ;
z
z2 + 4
e) 1 ; f) |z2 + 2iz - 1| < 9 .
z - 2i
6. Podane liczby zespolone przedstawić w postaci trygonometrycznej:
"
" " "
3
a) -2 ; b) 10 + 10i ; c) -1 + i ; d) Ä„i ; e) 7 - i 7 ; f) -3 - i 27 .
2 2
7. Na płaszczyz
nie zespolonej narysować zbiory liczb zespolonych spełniających podane
warunki:
Ä„ Ä„ Ä„
a) arg z = Ä„ ; b) < arg(z - i) ; c) < arg(iz) < Ä„ ;
6 3 2
2Ä„ Ä„ 3Ä„
d) 0 < arg z ; e) arg(z3) .
3 2 2
8. Korzystając ze wzoru de Moivre a, obliczyć:
"
8
" " "
5 5
1 3
a) (1 - i)11 ; b) - + i ; c) (2i - 12)9 ; d) (- 2 - i 2)10 .
2 2
9. Wyznaczyć i narysować na płaszczyz
nie zespolonej elementy podanych pierwiastków:
" " " "
6
4 3 3
a) -16 ; b) -8i ; c) -2 - 2i ; d) 1 .
10. W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać podane równania:
a) z2 - 2z + 10 = 0 ; b) z2 + (1 - 3i)z - 2 - i = 0 ; c) z4 + 5z2 + 4 = 0 ;
d) z6 = (1 - i)6 ; e) (z - i)4 = (z + 1)4 .
Powyższe zadania zostały wybrane z list zadań  Algebra z geometrią analityczną opracowanych
przez dra Mariana Gewerta i doc. Zbigniewa Skoczylasa, które w całości dostępne są na stronie:
http://prac.im.pwr.wroc.pl/Ügewert/WYNIKI/azga.pdf