LISTA 1
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE RZ
DU PIERWSZEGO
1. Sprawdzić, że funkcje dane po prawej stronie spełniają podane równania różniczkowe:
a) y + y = 0, y = e-t;
"
1
"
b) y = , y = t arc sin t + 1 - t2;
1 - t2
c) y = y , y = et + 2;
"
d) (1 + t2)y = ty, y = + t2;
"1
e) t + y y = 0, y = 16 - t2;
f) t2y + 2ty + y = ln t + 3t + 1, y = ln t + t.
"
2. Uzasadnić, że równanie ty2 - e-y - 1 = 0 definiuje funkcje uwikłane na pewnych
przedziałach i że są one rozwiązaniami równania
(ty2 + 2ty - 1)y + y2 = 0.
3. Wykreślić po kilka krzywych z podanych rodzin i znalez
ć równania różniczkowe, dla
których są one krzywymi całkowymi:
a) rodzina okręgów o środku (0, 0) i dowolnym promieniu;
b) rodzina okręgow o ustalonym promieniu i środku na osi Ot;
c) rodzina parabol o wierzchołku w punkcie (0, 0), których osią symetrii jest oś Oy;
d) rodzina parabol o ognisku w początku układu i wierzchołku na osi Ot (Wsk. Jeśli
y2 = 2p(t - t0), to parabola ma wierzchołek w punkcie t0 na osi Ot, a ognisko w
p
punkcie t0 + .)
2
4. Rozwiązać równania:
a) y = y + 2;
b) (1 + ey)yy = et;
c) t sin y dy = cos y dt;
y
d) y = ;
(y + 2)t
y2 - 1
e) y = ;
(t + 2)y
"
"
f) 2 t y = 1 - y2.
5. Znalez
ć rozwiązania zagadnień początkowych:
a) y + y = 0, y(1) = 1;
"
"
b) t 1 - y2 dt + y 1 - t2 dy = 0, y(0) = 1;
c) y = et-y, y(0) = 0;
d) y sin t = y ln y, y(Ą/2) = e;
e) y2y = t(y - 1), y(0) = 0.
6. Rozwiązać równania:
"
a) ty = y + t2 - y2;
b) ty = y(ln y - ln t);
y
c) ty - y = t tg ;
t
d) (t2 - y2)dt + ty dy = 0;
y
t
e) (y + te )dt - tdy = 0;
t + 3y
f) y = .
3t + y
7. Znalez
ć rozwiązania zagadnień początkowych:
"
a) (t2 + y2)dt - 2tydy = 0, y(1) = 2;
4y2 - t2
b) y = , y(1) = 1;
2ty
y2
c) y = , y(1) = 1;
yt + t2
"
y + t2 - y2 1
d) y = , y(1) = .
t 2
8. Rozwiązać równania:
a) ty + y = t3;
2ty
b) y - = 1;
t2 + 1
2
c) y + 2ty = e-t ;
d) y + 2y = sin t;
e) ty + y = t sin t;
2y 2t + 1
f) y - = ;
t + 1 t
sin t
g) y + 2 y = sin t;
cos t
ty 1
"
h) y + = .
1 + t2
t2 1 + t2
9. Rozwiązać równania:
a) ty + y = y2 ln t;
b) y + y = ty3;
"
c) ty - 4y = 2t4e2t y;
d) ty - y(2y ln t + 1) = 0.
10. Znalez
ć rozwiązania zagadnień początkowych:
a) y - y = et, y(0) = 0;
b) ty - 2y = te-1/t, y(1) = 0;
2 2
c) y + y = ln t, y(1) = ;
t 9
Ą
d) (t - sin y)dy + tg y dt = 0, y(1) = (Wsk. Szukać rozwiązania w postaci t = t(y));
6
1 y2
e) y + y = , y(-1) = 1;
t t
t3
f) 3ty - 2y = , y(1) = 2;
y2
g) ty + y = t2y2 ln t, y(1) = 1;
h) ty + y = ty2 ln t, y(1) = 0.
ODPOWIEDZI
3. a) y = -t/y; b) y2(y )2 = r2 - y2; c) y = 2y/t; d) y(y )2 + 2ty - y = 0.
4. a) y(t) = Cet - 2; b) y2/2 + (y - 1)ey = et + C; c) y(t) = arc cos(C/t); d) eyy2 = Ct;
"
e) y2 = C(t + 2)2 + 1; f) y(t) = sin( t + C), y(t) a" 1, y(t) a" -1.

"
5. a) y(t) = e1-t; b) y(t) = 1 - (1 - 1 - t2)2, y(t) a" 1; c) y(t) = t; d) y(t) = etg(t/2); e)
y2(t)/2 + y + ln |y - 1| = t2/2.
"
6. a) y(t) = t sin ln |Ct|; b) y(t) = teCt+1; c) y(t) = t arc sin(Ct); d) y(t) = ąt C - ln t2; e)
y
t
e- = ln |t| + C; f) Ct2(y + t) = (y - t)2.

y
1+t2
t
7. a) y(t) = t(t + 1), gdzie t > 0; b) y(t) = t , gdzie t > 0; c) ye = 1; d) y(t) =
2
Ą
t sin(ln t + ).
6
2
8. a) y(t) = t3/4 + C/t; b) y(t) = (arc tg t + C)(t2 + 1); c) y(t) = (t + C)e-t ; d) y(t) =
2 1 sin t C t
sin t - cos t + Ce-2t; e) y(t) = - cos t + ; f) y(t) = (t + 1)2 ln |t+1| - (t + 1) + C(t + 1)2;
5 5 t t
1 C
" "
g) y(t) = C cos2 t + cos t; h) y(t) = - + .
t 1+t2 1+t2
1 1 t 1
9. a) y(t) = , y(t) a" 0; b) y(t) = , y(t) a" 0; c) y(t) = [(2 - )e2t +
ln t+1+Ct t+ 1/2 +Ce2t 4
1
C]2t4, y(t) a" 0; d) y(t) = , y(t) a" 0.
C/t-2 ln t-2
1 1 1
10. a) y(t) = tet; b) y(t) = (e-1/t - e-1)t2; c) y(t) = t ln t - t + ; d) 8t sin y = 4 sin2 y + 3;
3 9 3t2
"
3
1
e) y(t) a" 1; f) y(t) = 7t2 + t3; g) y(t) = ; h) y(t) a" 0.
t2(1-ln t)