LISTA 3
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE RZ
DU DRUGIEGO
1. Rozwiązać równania liniowe jednorodne o stałych współczynnikach:
a) y - 3y + 2y = 0;
b) y + y - 6y = 0;
c) y + 4y + 4y = 0;
d) y - 4y + 13y = 0;
e) y - y + y = 0.
2. Znalez
ć rozwiązania zagadnień początkowych:
a) y - 3y - 10y = 0, y(0) = 1, y (0) = 0;
b) y - 2y + 5y = 0, y(0) = 2, y (0) = 4;
c) y - 4y + 20y = 0, y(Ä„ ) = 0, y (Ä„ ) = 1;
2 2
d) y - y - y + y = 0, y(0) = 1, y (0) = 0, y (0) = -1.
3. Podać równanie różniczkowe liniowe o stałych współczynnikach możliwie najniższego
rzędu, jeśli następujące funkcje wchodzą w skład jego układu fundamentalnego:
a) e-2t, e4t;
b) cos 2t, t;
c) t2et;
d) e-t sin 4t.
4. Dla poniższych równaÅ„ znane jest jedno rozwiazanie Õ(t). StosujÄ…c metodÄ™ obniżania
rzędu rozwiązać te równania:
a) ty - y + (1 - t)y = 0, Õ(t) = et;
1
b) t2y + 3ty + y = 0, Õ(t) = ;
t
t 1
c) y + ( - )y - y = 0, Õ(t) = t2;
2 t
"
d) 4t2y + y = 0, Õ(t) = t;
e) (2t2 + 1)y - 4ty + 4y = 0, Õ(t) = t.
5. Stosując metodę uzmienniania stałych rozwiązać równania:
1
a) y + y = ;
cos t
b) y + 2y + y = e-t ln t;
c) y + 3y + 2y = sin et;
4t2 + 1
"
d)" y - y = ;
t t
e) y - 2y + y = et ln t.
6. Stosując metodę uzmienniania stałych znalez
ć rozwiązania ogólne poniższych równań,
jeśli znane są układy fundamentalne (y1(t), y2(t)) odpowiednich równań jednorodnych:
a) t2y - ty + y = t, y1(t) = t, y2(t) = t ln t;
b) (t - 1)y - ty + y = (t - 1)2et, y1(t) = t, y2(t) = et;
c) t2y - 2ty + y = t3 ln t, y1(t) = t, y2(t) = t2;
d) 2t2y + 3ty - y = t-1, y1(t) = t1/2, y2(t) = t-1.
7. Korzystając z metody przewidywania rozwiązać podane równania:
a) y + 3y + 2y = 4;
b) y + 3y + 2y = 12e-t;
c) y + 3y + 2y = sin t;
d) y + 2y + y = t2e-t;
e) y - 3y + 2y = te-t;
f) y + 9y = 3 sin 3t;
g) y - 3y = 2e2t sin t;
h) y + y = sin2 t;
i) y - 2y - 8y = 9tet + 12e-2t;
j) y + 4y - 5y = 1 - t2 + 2et.
8. Rozwiązać podane zagadnienia początkowe:
a) y - 5y - 6y = 6e3t, y(0) = 4, y (0) = 1;
b) y - y - 2y = 5 sin t, y(0) = 1, y (0) = -1;
c) y + 9y = 36e3t, y(0) = 2, y (0) = 6.
9. Chłopiec o wadze 36 kilogramów dobiega do ślizgawki z prędkością 3,6 m/s. Współczynnik
tarcia między jego butami a ślizgawką wynosi 1/20. Dodatkowo wieje z przeciwka wiatr
z siłą równą 12v niutonów, gdzie v jest prędkością chłopca (w m/s). Ułożyć równanie
różniczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach opisujące ruch chłopca i wyrazić
przebytą przez niego drogę w zależności od czasu.
10. Waga spadochroniarza ze spadochronem wynosi 90 kilogramów. Opór powietrza jest
proporcjonalny do prędkości. Prędkość graniczna jest równa 53 m/s. Znalez
ć odległość,
jaką przebył spadochroniarz w zależności od czasu, zakładając, że y(0) = y (0) = 0.
11. Masa człowieka i łódki wynosi 120 kg. Człowiek działa na wiosła z siłą 6 kG (tj. 6g
niutonów, gdzie g jest przyspieszeniem ziemskim). Siła oporu wody wynosi 2, 5 gv niutonów,
gdzie v jest prędkością łódki. Znalez
ć drogę przebytą przez łódkę jako funkcję czasu,
zakładając, że y(0) = y (0) = 0.
12. Kondensator o pojemności 10-5 faradów, cewkę o indukcyjności 10 henrów i opornik o
oporności 3 omów połączono szeregowo. W chwili t = 0 mamy i = 0, a ładunek na
kondensatorze wynosi 0,5 kulomba. Znalez
ć ładunek na kondensatorze oraz natężenie
prÄ…du w obwodzie jako funkcje czasu.
13. Ciało o masie 1 g umocowane do sprężyny o współczynniku sprężystości 2 g/s2 jest
zanurzone w lepkiej cieczy o współczynniku tłumienia 3 g/s. W chwili t0 = 0 odciągamy
ciało w dół o 0,5 cm i swobodnie puszczamy. Wykazać, że ciało będzie się zbliżało z dołu
do położenia równowagi, gdy t ".
14. Ciało o masie 1 g umocowane do sprężyny o współczynniku sprężystości 1 g/s2 jest
zanurzone w lepkiej cieczy o współczynniku tłumienia 2 g/s. W chwili t0 = 0 odciągamy
ciało w dół o 0,25 cm i nadajemy mu prędkość 1 cm/s do góry. Wykazać, że ciało
przekroczy raz swoje położenie równowagi i będzie się zbliżało do niego z góry, gdy t ".
15. Jaki powinien być współczynnik tłumienia, by ciało z zadania 14 przekraczało położenie
równowagi nieskończenie wiele razy, gdy t ".
Odpowiedzi
1. a) y(t) = C1et + C2e2t; b) y(t) = C1 + C2e2t + C3e-3t; c) y(t) = e-2t(C1 + C2t); d) y(t) =
" "
e2t(C1 cos 3t + C2 sin 3t); e) y(t) = e-t/2(C1 cos( 3t/2) + C2 sin( 3t/2)).
5 2
2. a) y(t) = e-2t + e5t; b) y(t) = et(2 cos 2t + sin 2t); c) y(t) = e2t sin 4t/(4eĄ); d) y(t) =
7 7
(1 - t)et.
2
C1 ln |t| e-t /4
4. a) y(t) = C1et + C2e-t(2t + 1); b)y(t) = + C2 ; c) y(t) = t2(C1 + C2 ; d)
t t t3
" "
y(t) = C1 t + C2 t ln t; e) y(t) = C1t + C2(2t2 - 1).
1
5. a) y(t) = C1 cos t + C2 sin t + t sin t + cos t ln cos t; b) y(t) = (C1 + C2t)e-t + t2e-t(2 ln t - 3);
4
"
c) y(t) = C1e-2t + C2e-t - e-2t sin et; d) y(t) = C1et + C2e-t - 4 t (Wsk. Szukać C1(t), C2(t)
3
w postaci (at1/2 + bt-1/2)e-t, (at1/2 + bt-1/2)et); e) y(t) = (C1 + C2t)et + t2et(1 ln t - ).
2 4
1
6. a) y(t) = C1t + C2t ln t + t ln2 t; b) y(t) = C1t + C2et + et(1t2 - t); c) y(t) = C1t + C2t2 +
2 2
"
3 2 1
t3(1 ln t - ); d) y(t) = C1 t + C2t-1 - - ln t.
2 4 9t 3t
7. a) y(t) = C1e-t + C2e-2t + 2;
b) y(t) = C1e-t + C2e-2t + 12te-t;
1 3
c) y(t) = C1e-t + C2e-2t + sin t - cos t;
10 10
1
d) y(t) = e-t(C1 + C2t + t4;
12
5
e) y(t) = C1et + C2e2t + (1t + )e-t;
6 36
1
f) y(t) = C1 cos 3t + C2 sin 3t - t cos 3t;
2
3
g) y(t) = C1 + C2e3t - (1 cos t + sin t)e2t;
5 5
1 1
h) y(t) = C1 cos t + C2 sin t + + cos 2t;
2 6
i) y(t) = C1e-2t + C2e4t - tet - 2te-2t;
1 8 17 1
j) y(t) = C1et + C2e-5t + t2 + t + + tet.
5 25 125 3
7 1 1 1 1 3
8. a) y(t) = e-t + e6t - e3t; b) y(t) = e-t + e2t + cos t - sin t; c) y(t) = 2e3t.
2 2 6 3 2 2
9. y(t) = 15, 21(1 - e-t/3) - 1, 47t dla t " [0, 3 ln(g + 24/g)] = [0; 3, 71].
k
gm
m
10. y(t) = C1 + C2e- t + t (rozwiązanie ogólne), y(t) = 268, 3(e-0,19t - 1) + 53t.
k
2,5g
6
m
11. y(t) = C1 + C2e- t + t (rozwiązanie ogólne), y(t) = 11, 7(e-0,2t - 1) + 2, 4t.
2,5
dq
1 2000
12. q(t) H" e-3t/20 sin(100t + ´), gdzie ´ H" arc tg , i(t) = .
2 3
dt
13. y(t) = e-t - 0, 5e-2t (y(t)  wychylenie w dół od punktu równowagi).
14. y(t) = (0, 25 - 0, 75t)e-t.
15. Współczynnik tłumienia jest w przedziale [0, 2).