Równania różniczkowe zwyczajne
zadania z odpowiedziami
Maciej Burnecki
Spis treści
I Równania pierwszego rzędu 2
1 o rozdzielonych zmiennych 2
2 jednorodne 3
3 liniowe 3
4 Bernoulliego 4
II Równania wyższych rzędów 4
5 sprowadzalne do równań rzędu pierwszego 4
6 liniowe 5
III Układy równań liniowych 6
7 jednorodnych 6
8 niejednorodnych 7
IV Transformacja Laplace a 7
V Stabilność punktów równowagi 8
VI Powtórzenie 8
1
VII Pierwsze kolokwium 11
VIII Drugie kolokwium 13
IX Egzamin 15
Część I
Równania pierwszego rzędu
1 o rozdzielonych zmiennych
1. Napełniony, stulitrowy zbiornik zawiera 0,1 % wodny roztwór soli. Do
zbiornika jedną rurką wpływa czysta woda z prędkością 5 litrów na minutę,
a drugą wypływa mieszanina z tą samą prędkością. Wyznacz ilość soli w
zbiorniku w zależności od czasu. Przyjmij, że proces mieszania cieczy i
rozpuszczania soli jest natychmiastowy.
2. Napełniony, czterystulitrowy zbiornik zawiera 0,5 % wodny roztwór soli.
Do zbiornika jedną rurką wpływa czysta woda z prędkością 10 litrów na
minutę, a drugą wypływa mieszanina z prędkością 20 litrów na minutę.
Wyznacz ilość soli w zbiorniku w zależności od czasu. Przyjmij, że proces
mieszania cieczy i rozpuszczania soli jest natychmiastowy.
3. Pewna krzywa na płaszczyz
nie OT Y przecina oś rzędnych w punkcie (0, 1).
W każdym punkcie tej krzywej tangens kąta pomiędzy osią OT a styczną
jest równy podwojonej rzędnej punktu styczności. Wyznacz równanie tej
krzywej.
4. Pewna krzywa na płaszczyz
nie OT Y przecina oś odciętych w punkcie
(1, 0). W każdym punkcie tej krzywej tangens kąta pomiędzy osią OT a
styczną jest równy rzędnej punktu styczności, pomniejszonej o 4. Wyznacz
równanie tej krzywej.
cos t
5. Przy założeniu y(t) " (Ą, 2Ą), rozwiąż równanie y (t) - et = 0.
sin(y(t))
6. Rozwiąż zagadnienie początkowe
"



1 3
(a) 1 - t2 dy - 1 + y2(t) dt = 0, y = ,
2 3
(b) 3y2(t)2-t dy - tdt = 0, y(0) = 0.
Odpowiedzi, wskazówki
2
1. y(t) = 0, 1e-0,05t.
(t-40)2
2. y(t) = ,
800
3. y(t) = e2t.
4. y(t) = 4 - 4et-1.

sin t+cos t
5. y(t) = 2Ä„ - arc cos C - et .
2
t
"
6. (a) y(t) = ,
1-t2

3 t2t 2t 1
(b) y(t) = - + .
ln 2 ln2 2 ln2 2
2 jednorodne
1. Rozwiąż równanie

(a) t2 dy + -y2(t) + y(t)t - t2 dt = 0,

y(t)
t
(b) t dy - y(t) + te dt = 0.
2. Rozwiąż zagadnienie początkowe y (t)t2 - y2(t) - y(t)t - t2 = 0, y(1) = 1.
Odpowiedzi, wskazówki
t
1. (a) y(t) = t lub y(t) = t - ,
ln |t| + C
(b) y(t) = -t ln(C - ln |t|).

Ä„
2. y(t) = t tg + ln t .
4
3 liniowe
1. Dwoma sposobami, za pomocą czynnika całkującego oraz przez uzmien-
nianie stałej, rozwiąż równanie y (t) + 2y(t) = cos t.
2. Rozwiąż zagadnienie początkowe
(a) t dy + (y(t) - tet) dt = 0, y(1) = 1,



y(t) 1 Ä„ 4 + Ä„
(b) tg t dy + + dt = 0, y = ln .
cos2 t t2 - 1 4 4 - Ä„
3. Pewna krzywa na płaszczyz
nie OT Y przecina oś rzędnych w punkcie (0, 3).
W każdym punkcie tej krzywej tangens kąta pomiędzy osią OT a styczną
jest równy różnicy rzędnej i odciętej punktu styczności. Wyznacz równanie
tej krzywej.
3
4. Pewna krzywa na płaszczyz
nie OT Y przechodzi przez środek układu współ-
rzędnych. W każdym punkcie tej krzywej tangens kąta pomiędzy osią OT
a styczną jest równy sumie rzędnej i podniesionej do kwadratu odciętej
punktu styczności. Wyznacz równanie tej krzywej.
Odpowiedzi, wskazówki
2 cos t sin t
1. y(t) = + + Ce-2t.
5 5
et 1
2. (a) y(t) = et - + .
t
t
1+t
(b) y(t) = ctg t ln .
1-t
3. y(t) = t + 1 + 2et.
4. y(t) = -t2 - 2t - 2 + 2et.
4 Bernoulliego
1. Rozwiąż równanie

(a) - dy + y(t) - y2(t) dt = 0,
y3(t) - 4
(b) 3 dy + dt = 0.
y2(t)
2e-3t
2. Rozwiąż zagadnienie początkowe y (t) + y(t) = - , y(0) = 1.
y2(t)
Odpowiedzi, wskazówki
et
1. (a) y(t) = 0 (funkcja stała) lub y(t) = ,
C+et
"
3
(b) y(t) = 4 + Ce-t.

3
2. y(t) = (1 - 6t)e-3t.
Część II
Równania wyższych rzędów
5 sprowadzalne do równań rzędu pierwszego
1. Rozwiąż równanie
(a) ty (t) + 2y (t) = 0,
(b) ty (t) + 4y (t) = 0,
(c) y (t) sin t - y (t) cos t = 0,
4
(d) y (t)y(t) + (y (t))2 = y (t).

Ä„
2. Rozwiąż zagadnienie początkowe y (t) sin t - 2y (t) cos t = 0, y =
2

Ä„
2Ä„, y = 4.
2
Odpowiedzi, wskazówki
C
1. (a) y(t) = + D,
t
C
(b) y(t) = + D,
t3
(c) y(t) = C cos t + D,
(d) y(t) = C (funkcja stała) lub y(t) - C ln |y(t) + C| - t - D = 0
(rozwiązanie w postaci uwikłanej).
2. y(t) = 2t - sin(2t) + Ä„.
6 liniowe
1. Metodą uzmienniania stałych rozwiąż równanie y (t)+3y (t)+2y(t) = e-t.
2. Metodą uzmienniania stałych rozwiąż zagadnienie początkowe
3 9
(a) y (t) + y (t) - 2y(t) = 3e2t, y(0) = , y (0) = ,
4 2
7 17
(b) y (t) + 5y (t) + 6y(t) = -e-t, y(0) = , y (0) = - .
2 2
3. Metodą współczynników nieoznaczonych rozwiąż równanie
(a) y (t) + 3y (t) + 2y(t) = et,
(b) y (t) + 4y (t) + 3y(t) = e-3t,
(c) y (t) - 4y (t) + 4y(t) = 2e2t,
(d) y (t) - 4y (t) - 5y(t) = t - sin t.
4. Metodą współczynników nieoznaczonych rozwiąż zagadnienie początkowe
(a) y (t) + 5y (t) + 6y(t) = 6t2 + 16t + 13, jeśli y(0) = 4, y (0) = -7,
(b) y (t) - y (t) - 2y(t) = 2 cos t + 4 sin t, jeśli y(0) = 3, y (0) = 3,
7 1
(c) y (t) - 7y (t) + 10y(t) = e2t + t, jeśli y(0) = , y (0) = .
100 10
Odpowiedzi, wskazówki
1. y(t) = te-t + Ce-t + De-2t.
2. (a) y(t) = 0, 75e2t + et - e-2t ,
(b) y(t) = -0, 5e-t + 3e-2t + e-3t .
5
1
3. (a) y(t) = et + Ce-t + De-2t,
6
1
(b) y(t) = - te-3t + Ce-t + De-3t,
2
(c) y(t) = t2e2t + Ce2t + Dte2t,
t 4 1 3
(d) y(t) = - + - cos t + sin t + C1e-t + C2e5t.
5 25 13 26
4. (a) y(t) = t2 + t + 1 + e-2t + 2e-3t,
1 7 38 2
(b) y(t) = - cos t - sin t + e2t + e-t,
5 5 15 3
1 7 1 3t+1
(c) y(t) = t + + e5t - e2t.
10 100 9 9
Część III
Układy równań liniowych
7 jednorodnych
1. Dwoma sposobami, eliminacji oraz Eulera dla przypadku jednokrotnych
wartości własnych, rozwiąż układ

1
x (t) = -x(t) + y(t),
2
(a)
y (t) = 4x(t),

x (t) = x(t) + y(t),
(b)
y (t) = -2x(t) + 4y(t),

x (t) = 7x(t) + 2y(t),
(c)
y (t) = -17x(t) - 3y(t).
2. Dwa napełnione, dwustustulitrowe zbiorniki, z których pierwszy zawiera
0,1 % wodny roztwór soli, a drugi czystą wodę, połączono rurką, którą roz-
twór przepływa ze zbiornika pierwszego do drugiego z prędkością 20 litrów
na minutę. Innymi rurkami, do pierwszego zbiornika wpływa czysta woda
z prędkością 20 litrów na minutę, a z drugiego wypływa roztwór z tą sa-
mą prędkością. W zależności od czasu określ ilości soli w obu zbiornikach.
Przyjmij, że proces mieszania cieczy i rozpuszczania soli jest natychmia-
stowy.
Odpowiedzi, wskazówki

x(t) = Ce-2t + Det
1. (a)
y(t) = -2Ce-2t + 4Det,

x(t) = Ce2t + De3t,
(b)
y(t) = Ce2t + 2De3t,

x(t) = e2t [C cos(3t) + D sin(3t)] ,

(c)
5 3 3 5
y(t) = e2t - C + D cos(3t) + - C - D sin(3t) .
2 2 2 2

x(t) = 0, 2e-0,1t,
2.
y(t) = 0, 02te-0,1t.
6
8 niejednorodnych
1. Dwoma sposobami, eliminacji oraz przez uzmiennianie stałych, rozwiąż
układ

x (t) = -y(t) - e-t,
(a)
y (t) = 6x(t) - 5y(t) - 6e-t,

x (t) = x(t) - y(t) + sin t + cos t,
(b)
y (t) = 2x(t) - y(t) + 2 sin t.
2. Dwa napełnione roztworami soli stulitrowe zbiorniki, pierwszy 0,4-procen-
towym, a drugi 0,2-procentowym, połączono rurką, którą roztwór przepły-
wa ze zbiornika pierwszego do drugiego z prędkością 10 litrów na minutę.
Innymi dwoma rurkami, do pierwszego zbiornika z prędkością 5 litrów na
minutę wpływają czysta woda i 0,1-procentowy roztwór soli. Ponadto, z
drugiego zbiornika wypływa roztwór z prędkością 10 litrów na minutę.
W zależności od czasu, określ ilości soli w obu zbiornikach. Przyjmij, że
proces mieszania cieczy i rozpuszczania soli jest natychmiastowy.
Odpowiedzi, wskazówki

x(t) = e-t + Ce-2t + De-3t,
1. (a)
y(t) = 2Ce-2t + 3De-3t,

x(t) = t(cos t + sin t) + C cos t + D sin t,
(b)
y(t) = 2t sin t + (C - D) cos t + (C + D) sin t.

x(t) = 0, 05 + 0, 35e-0,1t,
2.
y(t) = 0, 05 + 0, 035te-0,1t + 0, 15e-0,1t.
Część IV
Transformacja Laplace a
1. Niech a > 0. Wyznacz wzór na transformatę Laplace a funkcji

1 dla 0 t < a
(a) f(t) =
0 dla a t,

t dla 0 t < a
(b) f(t) =
0 dla a t,
Å„Å‚
t dla 0 t < a
òÅ‚
(c) f(t) = -t + 2a dla a t < 2a
ół
0 dla 2a t.
2. Za pomocą transformacji Laplace a rozwiąż zagadnienie początkowe
2
(a) y (t) + 7y(t) = -14t, y(0) = ,
7
7
(b) y (t) - 8y (t) + 7y(t) = -5e2t, y(0) = 3, y (0) = 10,

x (t) = 4x(t) + y(t), x(0) = 0,
(c)
y (t) = -x(t) + 6y(t), y(0) = 1.

n!
Uwaga: transformata Laplace a L tneÄ…t (s) = ,
(s - Ä…)n+1

1 n! 1
w tym L eÄ…t (s) = , [L (tn)] (s) = , [L(1)] (s) = .
s - Ä… sn+1 s
Odpowiedzi, wskazówki
1-e-as
1. (a) F (s) = ,
s
1-e-as ae-as
(b) F (s) = - ,
s2 s
1-2e-as+e-2as
(c) F (s) = .
s2
2
2. (a) y(t) = - 2t,
7
(b) y(t) = et + e7t + e2t,

x(t) = te5t,
(c)
y(t) = e5t + te5t .
Część V
Stabilność punktów równowagi
1. Zbadaj stabilność punktu s0 równowagi układu autonomicznego

x (t) = -x(t)2 + sin(y(t)),
(a) jeśli s0 = (0, 0),
y (t) = -x(t) + 2 tg(y(t)),

x (t) = -2 sin(x(t)) - ln(y(t)),
(b) jeśli s0 = (0, 1),
y (t) = 2x(t) + y(t) - ey(t)-1,

x (t) = x3(t) + 2ey(t) - 2 cos(y(t)),
(c) jeśli s0 = (0, 0).
y (t) = -x(t) + 2 sin(y(t)),
Odpowiedzi, wskazówki
1. (a) niestabilny,
(b) asymptotycznie stabilny,
(c) niestabilny.
Część VI
Powtórzenie
1. Rozwiąż zagadnienie początkowe
8

Ä„
(a) y (t) + y2(t) ctg t = 0, y = 1,
2
(b) (1 + t)y (t) - 1 - y2(t) = 0, y (0) = 0,
(c) ety (t) = (y(t) + 1)2, y(0) = 0,
cos t Ä„
(d) y (t) - = 0, y (0) = .
sin(y(t)) 2
2. Rozwiąż równanie
(a) y (t) + 5y(t) = t,
(b) y (t) + ty(t) = t.
3. Metodą współczynników nieoznaczonych rozwiąż równanie
y (t) + 6y (t) + 5y(t) = 5t - 12et.
4. Metodą uzmienniania stałych rozwiąż równanie
y (t) + 6y (t) + 8y(t) = 16t2.
5. Rozwiąż równanie y (t) + 4y (t) + 3y(t) = 3t.
6. Metodą eliminacji rozwiąż układ

x (t) = 2x(t) + 2y(t)
(a)
3
y (t) = x(t) + 4y(t),
2

x (t) = 2x(t) + y(t) + 1
(b)
y (t) = 4x(t) + 2y(t).

x (t) = 2x(t) + y(t)
7. Metodą Eulera rozwiąż układ
y (t) = 3x(t) + 4y(t).
8. Rozwiąż układ

x (t) = -x(t) + y(t)
(a)
y (t) = 2x(t) + 4,

x (t) = x(t) + y(t) + 3,
(b)
y (t) = 2x(t) - 2t - 1.
"
9. Metodą Eulera, a następnie przez uzmiennianie stałych, rozwiąż układ

1
x (t) = 80y(t) +
cosh t
1 1
y (t) = x(t) + y(t) - arc tg(sinh t),
40 40
et - e-t et + e-t
gdzie sinh t = , cosh t = oznaczajÄ… odpowiednio sinus i
2 2
kosinus hiperboliczny.
10. Za pomocą transformacji Laplace a rozwiąż zagadnienie początkowe
(a) y (t) + 5y(t) = 6 + 5t, y(0) = 2,
9
1
(b) y (t) + y (t) - 2y(t) = 2e2t, y(0) = 0, y (0) = ,
2

1
x (t) = 3x(t) - y(t), x(0) = 0,
2
(c)
y (t) = 2x(t) + y(t), y(0) = -1.
11. Zbadaj stabilność punktu P = (2, 0). równowagi układu autonomicznego

x (t) = -2ex(t)-2 + 2 - y(t),
y (t) = x(t) - 2 + y2(t).
Odpowiedzi, wskazówki
1
1. (a) y(t) =
1+ln sin t
(b) y(t) = tg ln(t + 1),
(c) y(t) = -1 + et,
(d) y(t) = arc cos(- sin t).
1 1
2. (a) y(t) = t - + Ce-5t,
5 25
1
t2
(b) y(t) = 1 + Ce- 2
.
6
3. y(t) = t - - et + Ce-5t + De-t.
5
7
4. y(t) = 2t2 - 3t + + Ce-2t + De-4t.
4
4
5. y(t) = t - + Ce-3t + De-t.
3

x(t) = Cet + De5t
6. (a)
1 3
y(t) = - Cet + De5t,
2 2

1
x(t) = t + C + De4t
2
(b)
1
y(t) = -t - - 2C + 2De4t.
2
7. Wartościami
własnymi są 1, 5, odpowiadają im przykłady wektorów wła-

1 1 x(t) = Cet + De5t
snych , , co daje rozwiÄ…zanie
-1 3 y(t) = -Cet + 3De5t.

x(t) = -2 + Cet + De-2t
8. (a)
y(t) = -2 + 2Cet - De-2t,

x(t) = t + Ce2t + De-t
(b)
y(t) = -2 - t + Ce2t - 2De-t.

x(t) = arc tg(sinh(t)) + Ce2t + De-t
9.
1 1
y(t) = Ce2t - De-t.
40 80
10. (a) y(t) = e-5t + t + 1,
1 1
(b) y(t) = e2t - et,
2 2

1
x(t) = te2t
2
(c)
y(t) = -e2t + te2t.
10
11. Asymptotycznie stabilny.
Część VII
Pierwsze kolokwium
Zestaw A
1. Rozwiąż zagadnienie początkowe y (t) - 5y2(t) tg t = 0, y (0) = -1.
2. Rozwiąż równanie y (t) - 3y(t) = e4t.
3. Rozwiąż równanie y (t) + 7y (t) + 10y(t) = 4e-t.
Odpowiedzi, wskazówki
1
1. y(t) = .
-1+5 ln cos t
2. y(t) = e4t + Ce3t.
3. y(t) = e-t + Ce-2t + De-5t.
Zestaw B
1. Rozwiąż zagadnienie początkowe ty (t) - 1 - y2(t) = 0, y (1) = 1.
2. Rozwiąż równanie y (t) + 7y(t) = e-6t.
3. Rozwiąż równanie y (t) - 8y (t) - 9y(t) = -18t - 16.
Odpowiedzi, wskazówki

Ä„
1. y(t) = tg + ln t .
4
2. y(t) = e-6t + Ce-7t.
3. y(t) = 2t + Ce9t + De-5t.
Zestaw C
Ä„
1. Rozwiąż zagadnienie początkowe ty (t) - cos2(y(t)) = 0, y (1) = .
4
1 e-t
2. Rozwiąż zagadnienie początkowe y (t) + y(t) = - , y(0) = -1.
2 y(t)
3. Rozwiąż równanie y (t) + 9y (t) + 8y(t) = 8t + 9.
Odpowiedzi, wskazówki
11
1. y(t) = arc tg (1 + ln t) .

2. y(t) = - (1 - 2t)e-t.
3. y(t) = t + Ce-t + De-8t.
Zestaw D
"
1. Rozwiąż zagadnienie początkowe y (t) t - ey(t) = 0, y (1) = 0.

2. Rozwiąż -
"zagadnienie poczÄ…tkowe y (t)t - y(t) - t2 y2(t) = 0,
2
y(1) = .
2
3. Rozwiąż równanie y (t) - 7y (t) + 10y(t) = 18e-t.
Odpowiedzi, wskazówki
"
1. y(t) = - ln 3 - 2 t .

Ä„
2. y(t) = t sin + ln t .
4
3. y(t) = e-t + Ce2t + De5t.
Zestaw E
1. Napełniony, siedemsetlitrowy zbiornik zawiera 0,1 % wodny roztwór soli.
Do zbiornika jedną rurką wpływa czysta woda z prędkością 70 litrów na
minutę, a drugą wypływa mieszanina z tą samą prędkością. Wyznacz ilość
soli w zbiorniku w zależności od czasu. Przyjmij, że proces mieszania cieczy
i rozpuszczania soli jest natychmiastowy.
2. Rozwiąż równanie y + 5y = 7t.
3. Rozwiąż równanie y + 9y + 8y = 16t + 18.
Odpowiedzi, wskazówki
1. y(t) = 0, 7e-0,1t.
7 7
2. y(t) = t - + Ce-5t.
5 25
3. y(t) = 2t + Ce-t + De-8t.
12
Zestaw F
1. Napełniony, czterystulitrowy zbiornik zawiera 0,5 % wodny roztwór soli.
Do zbiornika jedną rurką wpływa czysta woda z prędkością 20 litrów na
minutę, a drugą wypływa mieszanina z prędkością 40 litrów na minutę.
Wyznacz ilość soli w zbiorniku w zależności od czasu. Przyjmij, że proces
mieszania cieczy i rozpuszczania soli jest natychmiastowy.
2. Rozwiąż równanie y + y = 5t.
3. Rozwiąż równanie y - 7y + 10y = 9e-t.
Odpowiedzi, wskazówki
1
1. y(t) = (20 - t)2.
200
2. y(t) = 5t - 5 + Ce-t.
1
3. y(t) = e-t + Ce5t + De2t.
2
Część VIII
Drugie kolokwium
Zestaw A

x (t) = -x(t) + y(t),
1. Metodą eliminacji rozwiąż układ
y (t) = 2x(t).
2. Metodą Eulera, a następnie przez uzmiennianie stałych, rozwiąż układ

x (t) = x(t) + y(t),
y (t) = 2x(t) - 2t - 3.
3. Za pomocą transformacji Laplace a rozwiąż zagadnienie początkowe
1
y (t) + y (t) - 2y(t) = 2e2t, y(0) = 0, y (0) = .
2

n!
Uwaga: transformata Laplace a L tneÄ…t (s) = ,
(s - Ä…)n+1

1 n! 1
w tym L eÄ…t (s) = , [L (tn)] (s) = , [L(1)] (s) = .
s - Ä… sn+1 s
Odpowiedzi, wskazówki

x(t) = Cet + De-2t
1.
y(t) = 2Cet - Ce-2t.

x(t) = Ce2t + De-t + t + 1
2.
y(t) = Ce2t - 2De-t - t.
1 1
3. y(t) = - et + e2t.
2 2
13
Zestaw B

x (t) = 2x(t) + y(t)
1. Metodą eliminacji rozwiąż układ
y (t) = 3x(t) + 4y(t).
2. Metodą Eulera, a następnie przez uzmiennianie stałych, rozwiąż układ

x (t) = -y(t) - e-t,
y (t) = 6x(t) - 5y(t) - 6e-t.
3. Za pomocą transformacji Laplace a rozwiąż zagadnienie początkowe

1
x (t) = 3x(t) - y(t) x(0) = 0
2
y (t) = 2x(t) + y(t), y(0) = -1.

n!
Uwaga: transformata Laplace a L tneÄ…t (s) = ,
(s - Ä…)n+1

1 n! 1
w tym L eÄ…t (s) = , [L (tn)] (s) = , [L(1)] (s) = .
s - Ä… sn+1 s
Odpowiedzi, wskazówki

x(t) = Cet + De5t
1.
y(t) = -Cet + 3De5t.

x(t) = Ce-2t + De-3t + e-t
2.
y(t) = 2Ce-2t + 3De-3t.

1
x(t) = te2t
2
3.
y(t) = te2t - e2t.
Zestaw C
1. Metodą Eulera, a następnie przez uzmiennianie stałych, rozwiąż układ

1
x (t) = x(t) + y(t),
2
y (t) = 4x(t) - 2t - 3.
2. Za pomocą transformacji Laplace a rozwiąż zagadnienie początkowe
2 1
y (t) + y (t) - 2y(t) = e2t, y(0) = 0, y (0) = .
5 10

n!
Uwaga: transformata Laplace a L tneÄ…t (s) = ,
(s - Ä…)n+1

1 n! 1
w tym L eÄ…t (s) = , [L (tn)] (s) = , [L(1)] (s) = .
s - Ä… sn+1 s
3. Zbadaj stabilność punktu P = (0, 0) równowagi układu autonomicznego

x (t) = 4x(t)3 + sin(y(t)),
y (t) = - ln(1 + x(t)) + 2 tg(y(t)).
Odpowiedzi, wskazówki

1 1
x(t) = Ce-2t + De-t + t +
2 2
1.
y(t) = Ce2t - 2De-t - t.
14
1 1
2. y(t) = - et + e2t.
10 10
3. Niestabilny.
Zestaw D
1. Metodą Eulera , a następnie przez uzmiennianie stałych, rozwiąż układ

x (t) = -2y(t) - e-t,
y (t) = 3x(t) - 5y(t) - 3e-t.
2. Za pomocą transformacji Laplace a rozwiąż zagadnienie początkowe

x (t) = 3x(t) - 2y(t) x(0) = 0
1 1
y (t) = x(t) + y(t), y(0) = - .
2 4

n!
Uwaga: transformata Laplace a L tneÄ…t (s) = ,
(s - Ä…)n+1

1 n! 1
w tym L eÄ…t (s) = , [L (tn)] (s) = , [L(1)] (s) = .
s - Ä… sn+1 s
3. Zbadaj stabilność punktu P = (0, 1) równowagi układu autonomicznego

x (t) = -2 arc tg(x(t)) - ln(y(t)),
y (t) = 2 arc sin(x(t)) + y(t) - ey(t)-1.
Odpowiedzi, wskazówki

x(t) = Ce-2t + De-3t + e-t
1.
3
y(t) = Ce-2t + De-3t - e-t.
2

x(t) = 2te2t
2.
y(t) = te2t - e2t.
3. Asymptotycznie stabilny.
Część IX
Egzamin
Zestaw A
1. Pewna krzywa na płaszczyz
nie OT Y przecina oś rzędnych w punkcie (0, 7).
W każdym punkcie tej krzywej tangens kąta pomiędzy osią OT a styczną
jest równy potrojonej rzędnej punktu styczności. Wyznacz równanie tej
krzywej.
2. Rozwiąż równanie y (t) + 10y (t) - 11y(t) = -22 sin t - 2 cos t.

2
x (t) = y(t)
25
3. Metodą Eulera rozwiąż układ
y (t) = 25x(t) - y(t).
15

x (t) = 80y(t) - 8t - 12
4. Rozwiąż układ
1
y (t) = x(t) + y(t).
40
5. Za pomocą transformacji Laplace a rozwiąż zagadnienie początkowe
y (t) + y (t) - 6y(t) = -15 sin t - 5 cos t, y(0) = 1, y (0) = 2.
Ä…
Uwaga: transformata Laplace a [L (sin(Ä…t))] (s) = ,
s2 + Ä…2
s
[L (cos(Ä…t))] (s) = dla Ä… " R.
s2 + Ä…2
Odpowiedzi, wskazówki
1. y(t) = 7e3t.
2. y(t) = sin t + cos t + Ce-11t + Det.

x(t) = Ce-2t + Det
3.
25
y(t) = -25Ce-2t + Det.
2

x(t) = -4t - 2 + Ce2t + De-t
4.
1 1 1 1
y(t) = t + + Ce2t - De-t.
10 10 40 8
5. y(t) = 2 sin t + cos t.
Zestaw B
1. Napełniony, pięćsetlitrowy zbiornik zawiera 0,2 % wodny roztwór soli. Do
zbiornika jedną rurką wpływa czysta woda z prędkością 100 litrów na
minutę, a drugą wypływa mieszanina z tą samą prędkością. Wyznacz ilość
soli w zbiorniku w zależności od czasu. Przyjmij, że proces mieszania cieczy
i rozpuszczania soli jest natychmiastowy.
2. Rozwiąż równanie y (t) + 3y (t) - 10y(t) = 3et.

x (t) = -x(t) + 4y(t)
3. Rozwiąż układ
1
y (t) = x(t).
2
4. Za pomocą transformacji Laplace a rozwiąż zagadnienie początkowe
1 1
y (t) + y (t) - 2y(t) = e2t, y(0) = 0, y (0) = .
2 8

n! 1
Uwaga: L tneÄ…t (s) = , w tym L eÄ…t (s) = ,
(s - Ä…)n+1 s - Ä…
n! 1
[L (tn)] (s) = , [L(1)] (s) = .
sn+1 s
5. Zbadaj stabilność punktu P = (0, 0) równowagi układu autonomicznego

x (t) = cos(x(t)) + tg(y(t))
y (t) = -ex(t) + (y(t) + 1)2.
Odpowiedzi, wskazówki
16
1. y(t) = 2e-0,2t.
1
2. y(t) = - et + Ce2t + De-5t.
2

x(t) = 2Cet - 4De-2t
3.
y(t) = Cet + De-2t.
1 1
4. y(t) = - et + e2t.
8 8
5. Niestabilny.
Zestaw C
1. Napełniony, dwustupięćdziesięciolitrowy zbiornik zawiera 0,2 % wodny
roztwór soli. Do zbiornika jedną rurką wpływa czysta woda z prędkością
10 litrów na minutę, a drugą wypływa mieszanina z ta samą prędkością.
Wyznacz ilość soli w zbiorniku w zależności od czasu. Przyjmij, że proces
mieszania cieczy i rozpuszczania soli jest natychmiastowy.
2. Rozwiąż równanie y (t) + 7y (t) - 8y(t) = -14e-t.

1
x (t) = 2x(t) + y(t)
2
3. Rozwiąż układ
y (t) = 6x(t) + 4y(t).
4. Za pomocą transformacji Laplace a rozwiąż zagadnienie początkowe

1
x (t) = 3x(t) - y(t) x(0) = 0
4
y (t) = 4x(t) + y(t), y(0) = -4.

n! 1
Uwaga: L tneÄ…t (s) = , w tym L eÄ…t (s) = ,
(s - Ä…)n+1 s - Ä…
n! 1
[L (tn)] (s) = , [L(1)] (s) = .
sn+1 s
5. Zbadaj stabilność punktu P = (0, 1) równowagi układu autonomicznego

1
x (t) = - arc tg(2x(t)) - y2(t)),
2
y (t) = arc sin(2x(t)) + ey(t) - ey(t).
Odpowiedzi, wskazówki
1. y(t) = 0, 5e-0,04t.
2. y(t) = e-t + Cet + De-8t.

x(t) = Cet + De5t
3.
y(t) = -2Cet + 6De5t.

x(t) = te2t
4.
y(t) = 4te2t - 4e2t.
5. Asymptotycznie stabilny.
17
Zestaw D
1. Rozwiąż równanie y (t) + 5y(t) = 56t.
2. Rozwiąż równanie y (t) + 9y (t) + 8y(t) = 48t + 54.

5
x (t) = -x(t) + y(t)
2
3. Rozwiąż układ
4
y (t) = x(t).
5

1
x (t) = x(t) + y(t)
20
4. Rozwiąż układ
y (t) = 40x(t) - 4t - 6.
5. Za pomocą transformacji Laplace a rozwiąż zagadnienie początkowe
8 2
y (t) + y (t) - 2y(t) = e2t, y(0) = 0, y (0) = .
5 5

n!
Uwaga: transformata Laplace a L tneÄ…t (s) = ,
(s - Ä…)n+1

1 n! 1
w tym L eÄ…t (s) = , [L (tn)] (s) = , [L(1)] (s) = .
s - Ä… sn+1 s
Odpowiedzi, wskazówki
56 56
1. y(t) = t - + Ce-5t.
5 25
2. y(t) = 6t + Ce-t + De-8t.

x(t) = Ce-2t + Det
3.
5
y(t) = -5 Ce-2t + Det.
2 4

1 1
x(t) = t + + Ce2t + De-t
10 10
4.
y(t) = -2t + 20Ce2t - 40De-t.
2 2
5. y(t) = - et + e2t.
5 5
Zestaw E
1. Rozwiąż równanie y (t) + y(t) = 35t.
2. Rozwiąż równanie y (t) - 7y (t) + 10y(t) = 63e-t.

1
x (t) = 2x(t) + y(t)
14
3. Rozwiąż układ
y (t) = 42x(t) + 4y(t).

1 1
x (t) = - y(t) - e-t
14 7
4. Rozwiąż układ
y (t) = 84x(t) - 5y(t) - 12e-t.
5. Za pomocÄ… transformacji Laplace a
rozwiąż zagadnienie początkowe
1
x (t) = 3x(t) - y(t) x(0) = 0
42
y (t) = 42x(t) + y(t), y(0) = -3.
18

n!
Uwaga: transformata Laplace a L tneÄ…t (s) = ,
(s - Ä…)n+1

1 n! 1
w tym L eÄ…t (s) = , [L (tn)] (s) = , [L(1)] (s) = .
s - Ä… sn+1 s
Odpowiedzi, wskazówki
1. y(t) = 35t - 35 + Ce-t.
5
2. y(t) = e-t + Ce2t + De5t.
2

x(t) = Cet + De5t
3.
y(t) = -14Cet + 42De5t.

1
x(t) = e-t + Ce-2t + De-3t
7
4.
y(t) = 28Ce-2t + 42De-3t.
5. y(t) = -3e2t + 3te2t.
19