CA OZNACZONE - LISTA ZADAC
NR 13
LKI
1. Oblicz ca oznaczona:
lke
 

e 2Ą 3


1) x ln xdx; 2) sin x + cos2 x dx; 3) 9 - x2dx;
Ą 0
1 Ą
1 e
" 2
4) x x + 1dx; 5) e2x cos xdx; 6) | ln x|dx;
0 0 e-1

100Ą e 1

"
ln x
7) 1 - cos(2x)dx; 8) dx; 9) 3x + 1dx;
x
0 1 0

1 2 3
arctan2 x x 2x4 - 5x2 + 3
10) dx; 11) dx; 12) dx;
1 + x2 (x2 + 1)3 x2 - 1
0 -1 2

4 Ą 1
dx dx
13) " ; 14) x sin xdx; 15) " ;
1 + 2x + 1
4
0 -Ą 0 - x2
"
2
1 6
2
dx x2 arcsin x dx
16) dx; 17) " dx; 18) " ;
x2 - x + 1
1 - x2 x2
0 0 4 - 2x - 8
" Ą
4 4
2
dx 1 + x
19) " ; 20) dx; 21) ctg xdx;
Ą
x2
2 -x2 + 6x - 5
1
4

2Ą
"
22) 1 - cos x dx;
0
2. Korzystajac z interpretacji geometrycznej obliczyć podane ca oz-
lki

naczone:

2 0 1

1) (|x - 1| + 1)dx; 2) 4 - x2dx; 3) 1 + 1 - x2dx;
-2 -2 0
3. Korzystajac z definicji ca oznaczonej uzasadnić podane równości:
lki

16+26+...+n6 1
(a) lim = ;
n7 7
n"
" "
"
n n
n
e1+ e2+...+ en
(b) lim = e - 1;
n
n"
" "
"
1+ 2+...+ n
2
"
(c) lim = ;
3
n n
n"
4. Wykorzystujac odpowiednie w ca oznaczonych uprość wyrażenie:
lasności lek


2
Ą
(a) ex sin xdx;
-Ą

1
x5
"
(b) dx;
-1
3-x2
"
4
(c) x2 + 1 cos xdx;
-4
5. Oblicz pochodne podanych funkcji:
1
 "
x2
(a) f(x) = sin tdt;
0

2
3x
(b) f(x) = e-t dt;
2x

ex
(c) f(x) = ln10 tdt;
e-x
6. Oblicz wartość średnia zadanej funkcji we wskazanym przedziale:

(a) f(x) = x2; x " [0, 1];
(b) f(x) = 10 + 2 sin x + 3 cos x; x " [0, 2Ą];
(c) f(x) = ex; x " [-2, 2];
(d) f(x) = sin3 x; x " [0, Ą];
x
(e) f(x) = ; x " [0, 2];
1+x2

Ą
(f) f(x) = cos x; x " -Ą , ;
2 2
(g) f(x) = x sin x; x " [0, Ą];
"
1
(h) f(x) = x 1 - x2; x " 0, ;
2
7. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi:
(a) y = x2, x = a, y = 0;
(b) y = x2, y2 = x;
(c) y2 = x, x2 = 8y;
(d) y = x3, y = 4x;
(e) y = 2x3, y2 = 4x;
(f) y = x3, y2 = x;
(g) y = x2 - x - 6, y = -x2 + 5x + 14;
(h) y = 2x - x2, x + y = 0;
(i) xy = 4, x + y = 5;
1
(j) y = xe-2x, x = 0, x = , y = 0;
2
(k) (x - 6)2 + y2 = 36, y2 = 6x;
(l) y = x2, y = 2x2, y = 8, (x e" 0);
8. Obliczyć d luku krzywej na zadanym przedziale:
lugość
(a) y = x2; x " [0, 2];

8
(b) y2 = 4x3; y > 0, x " 0, ;
9
(c) 9y2 = x3; x " [0, 12];
(d) y2 = 2x - x2; x " [0, 1];
Ą Ą
(e) y = ln sin x; x " , ;
3 2

1
(f) y = ln 1 - x2 ; x " 0, ;
2
2
"
(g) y = arcsin x + 1 - x2; x " [-1, 1];
9. Obliczyć objetość bry obrotowej powsta przez obrót krzywej f(x)
ly lej

wokó osi Ox na zadanym przedziale:
l
(a) f(x) = sin x, x " [0, 2Ą];
(b) f(x) = e-x, x " [0, 1];
10. Obliczyć objetość bry obrotowej powsta przez obrót krzywej f(x)
ly lej

wokó osi Oy na zadanym przedziale:
l
(a) f(x) = e-x, x " [0, 1];
"
(b) f(x) = x, x " [0, 4];
"
2
"
(c) f(x) = , x " [0, 5];
x2+4
11. Obliczyć pole powierzchni bry obrotowej powsta przez obrót krzy-
ly lej
wej f(x) wokó osi Ox na zadanym przedziale:
l
(a) f(x) = sin x, x " [0, 2Ą];
"
(b) f(x) = 4 + x, x " [-4, 2];
(c) f(x) = ln x, x " [1, e];
12. Obliczyć pole powierzchni bry obrotowej powsta przez obrót krzy-
ly lej
wej f(x) wokó osi Oy na zadanym przedziale:
l
"
(a) f(x) = ln x, x " [1, 3];
"
x2
(b) f(x) = , x " [0, 3];
2
"
(c) f(x) = 2 x, x " [0, 1];
13. Uzasadnić podane równości:
Ą

1
Ą
4
(a) tan xdx + arctan xdx = ;
0 4
"
0
2
1 e
(b) ex dx + ln xdx = e.
0 1
14. Z wieży o wysokości H = 20 m rzucono poziomo kamień nadajac mu

predkość v0 = 8 m/s. Obliczyć droge, jaka przeby kamień w powietrzu
l
  
(przyjać g = 10 m/s2).

15. Drewniany sześcienny klocek o krawedzi a = 10 cm i gestości ł1 =
 
0, 5 g/cm3 p w wodzie o gestości ł2 = 1g/cm3. Obliczyć prace,
lywa
 
jaka trzeba wykonać, aby klocek ca
lkowicie zanurzyć w wodzie.

16. Obliczyć parcie wywierane przez wode na prostokatna ścianke pe
lnego
   
akwarium. D ścianki wynosi 30 cm, a wysokość 20 cm.
lugość
17. Ko ratunkowe ma kszta torusa o wymiarach r = 10 cm, R = 30 cm.
lo lt
Po wrzuceniu do wody ko zanurzy sie na g
lo lo lebokość g = 5 cm.
 
Obliczyć mase tego ko Gestość wody to ł = 0, 001kg/ cm3.
la.
 
3