Metoda Monte Carlo
Jerzy Mycielski
Maj 2008
Jerzy Mycielski () Metoda Monte Carlo Maj 2008 1 / 10
Przybliżanie ca ek
Powiedzmy, że mamy do policzenia nastepujaca ca ke:
b
f (x) dx = I
a
Za ożmy, że funkcja f (x) jest tak skomplikowna, że nie jesteśmy w
stanie policzyć tej ca ki analitycznie
Możemy, zastapić liczenie tej ca ki liczeniem wartości oczekiwanej.
Za żmy, że mamy pewna zmienna losowa v " [a, b] o znanej funkcji
f (x )
gestoÅ›ci p (·) i zdefiniujmy · =
p(x )
Wtedy:
b
f (x)
E (·) = p (x) dx = I
p (x)
a
Jerzy Mycielski () Metoda Monte Carlo Maj 2008 2 / 10
Badanie w asności estymator w
Za ożmy, że znamy Proces Generujacy Dane (PGD)
Za żmy, że PGD zależy od wektora parametr w ¸
Chcemy znalez
ć fomu e dla wartoÅ›ci oczekiwanej estymator ² w ma ej
pr bie
Oznaczmy
² = G1 (¸,T ) = ÈT 1
E
Var ² = ² - ÈT 1 ² - ÈT 1 = G2 (¸,T ) = ÈT 2
E
gdzie T jest liczba obserwacji
Na postawie Monte Carlo można ² , Var ² oszacować dla
E
znanego ¸ , T ,
N
1
ÈT 1 = ²i
"
N
i =
N
1
ÈT 2 = ²i
E - ÈT 1 ²i - ÈT 1
"
N
i =
Jerzy Mycielski () Metoda Monte Carlo Maj 2008 3 / 10
W asności liczb pseudolosowych
Istnieje szereg generator w liczb pseudolosowych: najcześciej można z
nich uzyskać liczby losowe z rozk adu jednostajnego
Generator liczb losowych rozpoczyna generować liczby losowego
wykorzystujac ziarno (seed). Ciag liczb pseudolosowych uzyskanych
przy tym samym ziarnie jest zawsze ten sam
Za pomoca generatora liczb losowych z rozk adu jednostajnego można
uzyskać także zmienne z innych rozk ad w
-1
JeÅ›li zmienna · ma rozk ad jednostajny, to zmienna ¾ = F (µ) ma
rozk ad dany dystrybunata F
Jerzy Mycielski () Metoda Monte Carlo Maj 2008 4 / 10
Dla rozk adu jednostajnego na przedziale [0, 1]
Pr (¾ d" x) = x
uzyskujemy przekszta cajac
Pr (¾ d" x) = Pr (F (¾) d" F (x)) = F (µ d" F (x)) = F (x)
ponieważ µ = F (¾)
W przypadku rozk adu normalnego można wykorzystać odwrotność
rozk adu badz
przybliżonie z centralnego twierdzenia granicznego
12
¾ = ·j - 6
"
j=1
Jerzy Mycielski () Metoda Monte Carlo Maj 2008 5 / 10
P aszczyzny odpowiedzi
G wny problem z eksperymantami Monte Carlo: wnioski dotycza
jedynie PGD okreÅ›lonego przez ¸ i T
Można przeporwadzić wiele eksperyment w, dla r żnych ¸ i T ale w
tym przypadku powstaje pytanie jak w syntetyczny spos b
podsumować wnioski
Rozwiazaniem jest p aszczyzny odpowiedzi definiowane przez funkcje
ÈTi = Hi (¸, T ) + vTi
Funkcje te dopasowujemy do uzyskanych z Monte Carlo oszacowań
ÈTi
Jerzy Mycielski () Metoda Monte Carlo Maj 2008 6 / 10
Forma funkcyjna Hi (¸, T ) powinna być dobrana tak, by dopasowanie
by o jak najlepsze
Ca kowity b ad vTi p aśzczyzny odpowiedzi można zdekomponować na
b edem pomiaru:
v1Ti = ÈTi - ÈTi
przy czym (v1Ti ) = 0
E
b ad aproksymacji
v2Ti = Gi (¸,T ) - Hi (¸, T )
Jerzy Mycielski () Metoda Monte Carlo Maj 2008 7 / 10
Forma funkcyjna p aszczyzn odpowiedzi
Forma Hi (¸, T ) powinna być tak dobrana, by wartoÅ›ci asympotyczne
zgadza y sie wielkościami uzyskanymi z p aszczyzny odpowiedzi dla
T "
Typowa forma funkcyjna p aszczyzny odpowiedzi dla wartości
oczekiwanej
k1
1 1 1
H1 (¸, T ) - ² = Å‚01I + Å‚11 + Å‚21I + Å‚j+2,1Ćj,1
"
T T T
j =1
¸ 1 1
gdzie Ćj,1 sa funkcjami ¸, , ¸2, , a I = plim ² - ²
2
T T T
JeÅ›li Å‚01 = 0, to zar wno H1 (¸, T ) jak i G1 (¸, T ) daża do
prawdziwego ²
Jerzy Mycielski () Metoda Monte Carlo Maj 2008 8 / 10
Sposoby zwiekszania dok adności Monte Carlo
Znalez
parametry, kt re nie wp ywaja na wielkość statystyki
(niezmienniczość)
Można to sprawdzić liczac wielkość statystyki dla kilku zbior w
parametr w ale tego samego zbioru liczb pseudolosowych
Antytetyczne liczby pseudolosowe:
za żmy, że mamy dwa estymatory È, È i estymator wymieszany
1
È = È + È taki, że È = È
E
2
wariancja estymatora È jest r wna
1
Var È + Var È + 2 Cov È, È
4
jeÅ›li Cov È, È < 0 to wariancja estymatora wymieszanego mniejsza
od estymator w pierwotnych
czasami jesteśmy w stanie tak przekszta cić zbi r liczb pseudolosowych
{µ}, że estymator policzony dla przekszta conego zbioru jest ujemnie
skorelowany z estymatorem ze zbioru oryginalnego
w takim przypadku możliwe bedzie uzyskanie dok adniejszych
oszacowań
najczeÅ›ciej stosujemy zbiory {µi } i {-µi }
Jerzy Mycielski () Metoda Monte Carlo Maj 2008 9 / 10
zmienne kontrolne:
za żmy, że znamy takie È", dla kt rego znamy (È")
E
za żmy ponadto, że È i È" sa dodatnio skorelowane (È" zachowuje
sie podobnie do È)
zdefiniujmy È = È - È" - E
(È")
wtedy
Var È = Var È + Var (È") - 2 Cov È, È"
1
i Var È < Var È jeÅ›li Cov È, È" > Var (È")
2
Jerzy Mycielski () Metoda Monte Carlo Maj 2008 10 / 10