UKSW Egzamin termin  0 ALGEBRA LINIOWA
Matematyka I rok Semestr 1 Kazimierz Jezuita
2009/2010
1. Znalez
ć część rzeczywistą, urojoną oraz moduł liczby zespolonej z postaci:
(1 - 5ØVÜ)2
5ØgÜ =
3 + 5ØVÜ
Czy liczba z należy do zbioru 5ØgÜ " 5Ø6Ü 6" 5Øß < 5Ø4Ü5Ø_Ü5ØTÜ5ØgÜ d" 5Øß ?
2
Znalez
ć pierwiastki kwadratowe z liczby z.
Wyniki zilustrować na płaszczyz
nie zespolonej.
2. Macierz przeksztaÅ‚cenia liniowego f : R2[×ð] ®ð R2 w bazach standardowych:
e1(x) =ð1 , e2 (x) =ð x , e3(x) =ð x2 oraz e'1 =ð (1,0) , e'2 =ð (0,1) ,
ma postać
5Ø4Ü = 1 0 -2
2 3 0
Określić Im f oraz Kerf podając wymiary oraz przykładowe bazy tych podprzestrzeni.
Czy przekształcenie to jest: injekcją, bijekcją?
Znalez
ć obraz wielomianu 5ØdÜ 5ØeÜ = 35ØeÜ2 - 25ØeÜ + 1.
Znalez
ć przeciwobraz wektora 5ØNÜ = -1 .
1
Rozwiązując odpowiednie układy równań liniowych należy korzystać z jednej z następujących
metod: metoda operacji elementarnych, metoda macierzy odwrotnej, wzory Cramera.
3. Rozwiązać układ równań dwoma metodami: metodą macierzy odwrotnej oraz ze wzorów Cramera.
2x -ð y +ð z =ð 3
x +ð 2y -ð z =ð 1
3x +ð z =ð -ð2
4. Sprawdzić czy relacja w przestrzeni liniowej 5ØEÜ2 : 5ØNÜ ~ 5ØOÜ jeÅ›li wektory 5ØNÜ, 5ØOÜ sÄ… liniowo
niezależne, jest relacją równoważności? Odpowiedz
uzasadnić i zilustrować przykładem.
5. Znalez
ć współrzÄ™dne wektora 5ØNÜ = 2, -3 w przestrzeni 5ØEÜ2, w bazie 5ØRÜ2 = (1, -1) , 5ØRÜ2 = (1,1) .
1 2
6. Obliczyć wyznacznik
1 0 2 4
-2 3 0 1
2 1 -1 0
0 -2 3 2
7. Podane sÄ… macierze:
5Ø4Ü = 4 -1 , 5Ø5Ü = 1 -1 2 , 5Ø6Ü = 0 3
1 1
3 2 0 1 3
-2 0
Wyznaczyć macierz postaci 5Ø5Ü " 5Ø6Ü + 5Ø4Ü5ØGÜ oraz wyznaczyć jej rzÄ…d.