Część 1 1
�� �� Ł�
2. Elementy rozciągane.
2. Elementy rozciągane.
Nośność pręta rozciąganego osiowo:
- dla przekroju nieosłabionego otworami
N = A � f
Rt d
- dla przekroju osłabionego otworami
N = A � f
Rt � d
gdzie:
- dla elementu pojedyńczego (ścianki, blachy)
0,8 �� R
A =� An m lecz A� Ł� A
�
R
e
gdzie:
A  pole najmniejszego przekroju netto (łamanego lub płaskiego)
n
A =min (A ,A )
n 1 2
Rys.2.1
- dla elementu złożonego (kształtownika)
A = Ł A , A d" A
� i� i�
W przypadku pręta pojedynczego zamocowanego mimośrodowo, np.:
AlmaMater
Część 1 2
rys.2.2
pomimo występowania mimośrodów obciążenia na końcach pręta można go traktować jako obciążony
osiowo, pod warunkiem, że do obliczeń przyjmuje się sprowadzone pole przekroju A określone wzorem:
�
3A1
A =� A1 +� A2
�
3A1 +� A2
gdzie:
A  pole przekroju części przylgowej kształtownika (brutto  w przypadku połączenia spawanego,
1
netto w przypadku połączenia śrubowego lub nitowego)
A  pole przekroju odstającej części kształtownika
2
W przypadku połączenia na jeden łącznik
A = A
� 1�
gdzie:
A  sprowadzone pole przekroju części przylgowej kształtownika.
1�
Warunek nośności elementów rozciąganych:
N
Ł� 1,0
N
Rt
Uwaga:
1) W przypadku prętów projektowanych jako osiowo rozciągane, można pomijać zginanie wywołane
ciężarem własnym, jeżeli rzut poziomy nie przekracza 6,0m
AlmaMater
Część 1 3
N
N
l < 6,0m
rys.2.3
2) Nie ogranicza się smukłości prętów rozciąganych obciążonych statycznie, za wyjątkiem elementów
obciążonych dynamicznie:
- prętów kratownic  d" 250
- cięgien bez wstępnego naciągu  d" 350
l
gdzie:  =� - smukłość prętów
i
AlmaMater
Część 1 4
3. Elementy ściskane. Słupy
3. Elementy ściskane. Słupy
3.1 Uwagi ogólne.
Słup  element o proporcjach pręta, którego głównym obciążeniem jest siła ściskająca.
Obciążenie:
-osiowa siła  ściskająca
-siła osiowa  ściskająca na mimośrodzie  e
-siła osiowa ściskająca i obciążenie poprzeczne zginające i ew. skręcające.
e
rys.3.1.
Słup składa się z:
- głowicy,
- trzonu,
- stopy.
Słupy dzielimy na:
- jednogałęziowe,
- wielogałęziowe.
3.2. Słupy jednogałęziowe osiowo ściskane.
W zależności od smukłości słup pod wpływem obciążenia może stracić swoją nośność w skutek
całkowitego uplastycznienia przekroju lub utraty stateczności ścianki albo wyboczenia globalnego. Dla
przekrojów klasy 1,2,3, gdy nie zachodzi utrata stateczności lokalnej zniszczenie słupa może nastąpić w
skutek uplastycznienia przekroju (a) lub wyboczenia (b)
AlmaMater
Część 1 5
(b)
P
P
Lw/i < 20
lw/i > 20
rys.3.2.
3.2.1. Zjawisko wyboczenia  bifurkacja stanu równowagi
P
dla pręta idealnego
sprężysto-plastycznego
P
Pkr
dla pręta idealnego
sprężystego
d�
dla pręta rzeczywistego
d�
P
rys.3.3
Nośność słupa w tym przypadku określa się przez rozwiązanie równania różniczkowego równowagi:
2
d y
EJ +� P y =� 0
dx2
P
2
podstawiając: k =�
EJ
AlmaMater
Część 1 6
d2 y
2
otrzymamy:
+� k y =� 0
dx2
Całka ogólna tego równania ma postać:
y = A coskx + B sinkx
dla prostych warunków brzegowych (pręt dwustronnie przegubowo podparty):
x = 0 y = 0
x = l y = 0
nĄ
y =� �sin x ; �  nieoznaczona amplituda
l
dla n = 1 (pierwsza postać wyboczenia)
2
p� P
2
k =� =�
l2 EJ
2
p� EJ
Pkr =�
l2
P m�l
podstawiając dalej: s� =� oraz l� =�
A i
2
p� E
otrzymamy : s� =�
kr
l�2
Wykres zależności s�(l�)  opisuje tzw. hiperbola Eulera, która
daje dobre oszacowanie nośności krytycznych i naprężeń
krytycznych dla elementów smukłych (l�>100). Przy
mniejszych smukłościach zależność tę można opisać innymi
funkcjami np. prostą Tetmajera-Jasińskiego, krzywą Shanleya
itp.
Shanley
Tetmajer-Jasiński
Re
s�d
p�2E
s�kr=
l�2
hip. Eulera
100
rys.3.4
 e" 100  wyboczenie sprężyste  hip. Eulera
AlmaMater
Część 1 7
 < 100  wyboczenie niesprężyste  Shanley, Tetmajer  Jasiński i inni.
Istotną cechą w/w metod jest sposób obliczania sztywności EJ  w zakresie sprężysto 
plastycznym.
We wzorach opisujących nośność prętów o małych smukłościach wprowadza się zmienną wartość
modułu sprężystości podłużnej stali E = E (s�). Postać funkcji E (s�) została opisana na podstawie
T
doświadczeń.
AlmaMater
Część 1 8
3.2.2. Nośność słupa jednogałęziowego osiowo ściskanego wg PN-90/B-03200
3.2.2. Nośność słupa jednogałęziowego osiowo ściskanego wg PN-90/B-03200
3.2.2.1. Nośność przekroju słupa.
Określenie nośności przekroju i sprawdzenie warunku nośności przekroju należy dokonywać
w przekroju o najmniejszej powierzchni, przy czym przed przystąpieniem do sprawdzenia należy określić
klasę przekroju na postawie smukłości ścianki.
A
A
i
i
A = const.
N
RC1
N
NRC
RC
N
RC
rys.3.5.
Nośność dowolnego przekroju określa zależność:
NRc =� � �� A ��fd
gdzie:
�  współczynnik niestateczności lokalnej ścianki przekroju przyjmowany odpowiednio dla stanów
krytycznych i nadkrytycznych w postaci:
Ae
� =� Ćp lub � =�
A
A  pole powierzchni rozpatrywanego przekroju;
f
d  wytrzymałość obliczeniowa stali.
Warunek nośności przekroju:
N
Ł� 1,0
N
Rc
AlmaMater
Część 1 9
3.2.2. Nośność słupa jednogałęziowego z uwzględnieniem wyboczenia
P
Warunek nośności pręta ściskanego z uwzględnieniem
wyboczenia (rys.3.6):
N
Ł� 1,0
ĆNRc
gdzie współczynnik niestateczności przy wyboczeniu
D�
j� est
A
jest funkcją smukłości sprowadzonej przy
wyboczeniu
l�
Ć =� Ć(�)�
zależnej od postaci wyboczenia.
P
rys.3.6.
Postać wyboczenia zależy od
kształtu przekroju i tak :
a) przekroje o dwóch osiach
D�
symetrii
D�
b) przekroje o jednej osi symetrii
q�
q�
c) przekroje o symetrii osiowej
W przypadku słupów z profili walcowanych można nie sprawdzać wyboczenia giętno-skrętnego.
W ogólnym przypadku smukłość sprowadzoną okresla się z zależnośći:
NRc
 =� 1,15
Ncr
AlmaMater
Część 1 10
gdzie:
N  nośność przekroju
Rc
N  siła krytyczna
Cr
Dla wyboczenia giętnego siła krytyczna określona jest:
2
Ą EJy
Ncr =� N =�
y
2
(�ź �� l)�
y
gdzie:
l  długość słupa lub odległość pomiędzy punktami nieprzesuwnego przytrzymania;
ź  wsp. długości wyboczeniowej (zależy od sposobu podparcia słupa)
y
np. dla słupa o prostych warunkach podparcia nieprzesuwnego (rys. 3.7) na końcach
m�=�0�.�7�
m�=�2�.�0�
m�=�1�.�0�
rys. 3.7
dla prętów o podporach przesuwnych
m�>�>�2�.�0�
rys.3.8.
Dla wyboczenia skrętnego: siła krytyczna określona jest:
��
Ą2EJ� ł�
1
Ncr =� Nz =� +� GJs
i2 ę� 2 ś�
(�ź� �� l)�
s
�� ��
Dla wyboczenia giętno  skrętnego siła krytyczna określona jest:
2
(�Ny +� Nz )�-� (�Ny +� Nz )� -� 4Ny Nz(�1-� ź �� y2 /i2)�
s s
Ncr =� N =�
yz
2(�1-� ź �� y2 /i2)�
s s
gdzie:
i ,y ,J ,J = J  charakterystyki przekroju jak przy zwichrzeniu belki
s s � s T
AlmaMater
Część 1 11
ź,ź  parametry długości wyboczeniowej i długości wolnej na zwichrzenie (jak dla obl. M )
� cr
dla dowolnego przekroju słupa, zmiennego na długości, należy obliczyć N wg zasad mechaniki
cr
budowli.
- współczynnik wyboczeniowy słupa
Ć =� Ć(�)�
Ć = z tabl. 11 PN dla różnych typów przekroju prętów
tabl.11(PN)
Smukłość względna Współczynnik niestateczności ogólnej Ć, Ć
L
,
L
a (n=2,5) a (n=2) b (n=1,6) c (n=1,2)
0
0,00 1,000 1,000 1,000 1,000
0,05 1,000 1,000 1,000 0,999
0,10 1,000 1,000 1,000 0,997
0,15 1,000 1,000 0,999 0,991
0,20 1,000 0,999 0,996 0,983
0,25 1,000 0,998 0,993 0,971
0,30 0,999 0,996 0,987 0,956
0,35 0,998 0,993 0,979 0,938
0,40 0,996 0,987 0,968 0,916
0,45 0,993 0,980 0,954 0,892
0,50 0,988 0,970 0,937 0,865
0,55 0,981 0,957 0,918 0,837
0,60 0,970 0,941 0,895 0,807
0,65 0,957 0,921 0,869 0,776
0,70 0,940 0,898 0,841 0,744
0,75 0,918 0,872 0,811 0,713
0,80 0,893 0,842 0,780 0,681
0,85 0,863 0,811 0,747 0,650
0,90 0,831 0,777 0,714 0,619
0,95 0,795 0,742 0,681 0,590
1,00 0,758 0,707 0,648 0,561
1,05 0,720 0,672 0,616 0,534
1,10 0,681 0,637 0,585 0,507
1,15 0,643 0,603 0,555 0,482
1,20 0,607 0,570 0,526 0,459
1,25 0,571 0,539 0,499 0,436
1,30 0,538 0,509 0,473 0,415
1,35 0,506 0,481 0,448 0,394
1,40 0,477 0,454 0,425 0,375
1,45 0,449 0,430 0,403 0,357
1,50 0,423 0,406 0,382 0,340
1,55 0,399 0,384 0,363 0,324
1,60 0,377 0,364 0,345 0,309
1,65 0,356 0,345 0,328 0,295
1,70 0,337 0,327 0,312 0,282
1,75 0,319 0,310 0,297 0,269
1,80 0,302 0,295 0,282 0,257
1,85 0,287 0,280 0,269 0,246
1,90 0,273 0,267 0,257 0,236
1,95 0,259 0,254 0,245 0,226
2,00 0,247 0,243 0,234 0,216
2,05 0,235 0,231 0,224 0,208
2,10 0,225 0,221 0,214 0,199
2,15 0,214 0,211 0,205 0,191
2,20 0,205 0,202 0,197 0,184
2,25 0,196 0,194 0,189 0,177
2,30 0,188 0,186 0,181 0,170
2,35 0,180 0,178 0,174 0,164
2,40 0,173 0,171 0,167 0,158
2,45 0,166 0,164 0,161 0,152
2,50 0,159 0,158 0,155 0,147
2,55 0,153 0,152 0,149 0,141
2,60 0,147 0,146 0,144 0,137
2,65 0,142 0,141 0,139 0,132
2,70 0,137 0,136 0,134 0,127
AlmaMater
Część 1 12
2,75 0,132 0,131 0,129 0,123
2,80 0,127 0,127 0,125 0,119
2,85 0,123 0,122 0,120 0,115
2,90 0,119 0,118 0,117 0,112
2,95 0,115 0,114 0,113 0,108
3,00 0,111 0,110 0,109 0,105
1
Współczynnik Ć jest parametryczną funkcją smukłości względnej : Ć 2n -� n ; gdzie n  uogólniony parametr imperfekcji.
(�)�=�(�1+� )�
W zależności od kształtu przekroju i naprężeń własnych wartości współczynnika wyboczeniowego j�
określa się z kolumny a,b lub c tabl 11. Sposób wyboru kolumny określony jest w tablicy10(PN)
Tablica 10(PN)
Smukłośc Krzywa
Element  technologia wytwarzania, przekrój
względna wyboczeniowa
Rurowy okrągły lub prostokątny
- bez naprężeń spawalniczych a
 ,
x y
- z naprężeniami spawalniczymi b
Skrzynkowy  spawany 1/ z blach
b (a)
 ,
x y
lub kształtowników
a (b)

x
Dwuteowy walcowany 2/
b (c)

y
b (a)

x
Dwuteowy spawany 1)
c (b)

y
Inne elementy o przekroju pełnym
c

lub otwartym
1)
Kształtownikom poddanym wyżarzaniu odprężającemu można przyporządkować krzywe podane w
nawiasach.
2)
Dwuteownikom szerokostopowym (h/b d" 1,2) należy przyporządkować krzywe podane w nawiasach.
Wartości współczynnika wyboczeniowego j� opisuje zunifikowana formuła wyboczeniowa:
1
-�
2n
n
Ć(�)�=�(�1+�  )�
gdzie wartości parametru n określają krzywą wyboczeniową:
n = 2,0 - a
n = 1,6 - b
n = 1,2 - c
n = 2,5 - a
o
AlmaMater
Część 1 13
Wykres zależności tworzy pęk krzywych wyboczeniowych (rys.3.9), których przebieg dla
Ć =� Ć(�)�
dużych smukłości praktycznie pokrywa się, a dla małych i średnich smukłości różni się o wartość
współczynnika j� do ok. 20%.
Ć
ao
1,0
a
b
c
l�
84
rys. 3.9
Dla prętów o stałym przekroju na długości (rys. 3.10) przy wyboczeniu giętnym (dwie osie symetrii)
A = const.
rys. 3.10
procedura określania może być uproszczona do zależności

 ź �� l
 =� gdzie  =�
p i
przy czym dla przekrojów kl.4 oblicza się dodatkowo:
 =�  �� �
�
�  wsp. niestateczności lokalnej ścianki przekroju
215
 =� 84
p
fd
i warunek nośności
AlmaMater
Część 1 14
N
Ł� 1,0
f�i �� N
Rc
3.2.3. Dodatkowe sprawdzenia prętów ściskanych osiowo.
W prętach pochyłych (rys.2.3) projektowanych jako osiowo ściskane pomija się wpływ zginania od
ciężaru własnego, gdy:
lv �� l� Ł� 6,0 m
l  długość rzutu poziomego
v
 smukłość sprowadzona pręta

Zamocowane mimośrodowo pojedyncze pręty skratowania, takie jak; kątowniki, ceowniki, lub
teowniki, można obliczać jak ściskane osiowo sprawdzając dodatkowo warunek:
N Ł� Ay� �� fd
gdzie :
3A1
Ay� =� A1 +� ��A2
3A1 +� A2
A
2
A
1
rys.3.11.
A  pole części przylgowej kształtownika: brutto  w przypadku połączenia zgrzewanego, netto 
1
w przypadku połączenia na śruby lub nity
A  pole przekroju części odstającej kształtownika
2
N  siła ściskająca
W przypadku połączenia tylko na 1 łącznik
A = A
y� 1y�
gdzie: A
1y� - sprowadzone pole części przylgowej kształtownika
0,8 Rm
A1y� =� ��An1
Re
Przekroje osłabione otworami większymi niż otwory na łączniki w tolerancji średnio dokładnej
należy sprawdzić na osłabienie przekroju:
AlmaMater
Część 1 15
A
cn
rys.3.12
Acn
y�c =�
Ac
s�
s� =� Ł� fd
c
y�
c
AlmaMater
Część 1 16
3.3. Nośność słupa dwugałęziowego z przewiązkami z uwzględnieniem wyboczenia.
3.3. Nośność słupa dwugałęziowego z przewiązkami z uwzględnieniem wyboczenia.
Rozważa się pręt dwugałęziowy o stałym przekroju klasy 1, 2 lub 3 połączony przewiązkami i
obciążony siłą osiową jak na rys.3.13 .
rys.3.13
Nośność przekroju
N =� A f
Rc d
� = 1 dla kl. 1, 2, 3
A  sumaryczne pole powierzchni przekroju gałęzi
W pierwszej kolejności przy projektowaniu sprawdzamy warunek nośności na wyboczenie słupa w
płaszczyz
nie. x-x ( oś x-x przecina materiał) obliczając Ć i N z zależności
x Rc
N
Ł� 1,0
f�x �� NRc
m�x �� l
f�x �� f�(�l� )� l� =�
x
x
ix
Dla tej płaszczyzny wyboczenia najwygodniej jest założyć przekrój A gdyż:
1
2Jx1
A =� A1 ; ix =� ix1 =�
��
2A
Następnie określamy nośność na wyboczenie w pł. y-y (oś y-y nie przecina materiału) z zależności:
AlmaMater
Część 1 17
N
Ł� 1,0
f�y ��N
Rc
ó�
l�y
f�y =� f�(�l� )� l� =�
y y
l�p
m
l�ó� =� l�m =� l�2 +� l�2
y y v
2
gdzie:
l1
 =� i1 =� i1y
v
i1
ź �� l
y
 =�
y
iy
m- liczba płaszczyzn skratowania.
Nośność przewiązek sprawdza się na obciążenie siłą poprzeczną powstałą w chwili utraty stateczności słupa w
płaszczyz
nie y-y. Siła ta powoduje ścinanie przewiązek ( rys.3.14).
rys.3.14
Rozpatruje się równowagę wyciętego fragmentu słupa (rys.3.15)
AlmaMater
Część 1 18
SM =� 0 Q ł 0,012�� A�� fd
A
Q a
��l1 =� VQ ��
2 2
Q ��l1
VQ =�
m�� a
rys.3.15
m  liczba gałęzi słupa w płaszczyz
nie wyboczenia (y-y)
A  sumaryczne pole powierzchni gałęzi
Gdy słup obciążony jest zewnętrzną siłą poprzeczną V to do obliczeń należy przyjmować:
Q =�1,2V
Przekrój przewiązki oraz jej zamocowanie do gałęzi słupa sprawdzamy dla schematu statycznego jak
na rys 3.16.
Siły przekrojowe w przewiązce:
e
a�
M �=� �V e
a� Q a�
Q = V
a� Q
a�
Sprawdzenie nośności przewiązki:
M Q
eo
�ą =� ; Vą =�
w Aą
ą
a�
2
�ą +� 3�2 Ł� fd
rys.3.16
Spoina pachwinowa w połaczeniu z gałęziami  spoina typu C.
W środku ciężkości spoiny:
AlmaMater
Część 1 19
M0 =� VQ ��e0 ; V0 =� VQ ; J0 =� Jx +� Jy
�x ;�y ;�y
M M V
2 2
x
(��M )� +�(��y +� �y )� Ł� ą^� ��fd
M V
AlmaMater