XLVIII KONFERENCJA NAUKOWA
KOMITETU INŻYNIERII L
DOWEJ I WODNEJ PAN
I KOMITETU NAUKI PZITB
Opole  Krynica 2002
Szczepan WOLIC
SKI1
PROBABILISTYCZNE WYMIAROWANIE ELEMENTÓW
Å» ELBETOWYCH Z UWZGL
DNIENIEM TRWAA
OÅšCI
1. Wprowadzenie
Konstrukcje i elementy żelbetowe powinny być tak zaprojektowane, aby przez cały przewi-
dywany okres użytkowania w określonych warunkach środowiskowych i dla założonej strategii
utrzymania mogły być uznane za niezawodne, to znaczy, aby z należytym prawdopodobieństwem
spełniały wymagania dotyczące stateczności, nośności i użytkowalności [1, 2]. Nośność i użyt-
kowalność konstrukcji w okresie eksploatacji zależą zarówno od obciążeń i oddziaływań
pośrednich, jak i od destrukcyjnego wpływu czynników środowiskowych na konstrukcję,
definiowanych ogólnie jako korozja: chemiczna, mrozowa, karbonatyzacja, korozja wewnętrzna
betonu, i inne [3]. Zalecenia dotyczące zapewnienia niezawodności konstrukcji w okresie użyt-
kowania są formułowane w normach projektowania jako warunki stanów granicznych, oraz
ilościowe i jakościowe wymagania odnośnie: jakości betonu i stali zbrojeniowej, składu,
sposobów układania, zagęszczania i pielęgnacji mieszanki betonowej, grubości otuliny i roz-
mieszczenia prętów zbrojeniowych, oraz inne zalecenia ustalone na podstawie doświadczeń prak-
tycznych. We współczesnej literaturze z zakresu konstrukcji betonowych, trwałość konstrukcji
jest definiowana jako zdolność do zachowania wymaganej nośności i użytkowalności w prze-
widywanym okresie eksploatacji, określoną z uwzględnieniem destrukcyjnych oddziaływań
środowiskowych [4]. W zależności od sposobu uwzględnienia wpływu czynników destrukcyj-
nych można wyróżnić dwie metody postępowania: pośrednią, w której zapewnienie wymaganej
trwałości polega na spełnieniu zaleceń normowych, bez uzasadnienia obliczeniowego, i bezpo-
średnią, polegającą na ilościowej ocenie wpływu czynników destrukcyjnych na konstrukcję w
okresie jej użytkowania.
Półprobabilistyczna metoda stanów granicznych nie jest przystosowana do analizy
niezawodności w sytuacjach, kiedy odporność konstrukcji zależy od czasu. Z kolei
probabilistyczne projektowanie konstrukcji metodami analitycznymi i numerycznymi jest trudne i
pracochłonne, a efektywność obliczeń radykalnie maleje ze wzrostem liczby losowych
zmiennych stanu [5, 6]. W referacie przedstawiono możliwości zastosowania symulacji Monte
Carlo do probabilistycznego wymiarowania elementów żelbetowych z uwzględnieniem wpływu
zależnej od czasu destrukcji betonu i stali zbrojeniowej. Podano przykład probabilistycznego
wymiarowania zbrojenia i oceny ugięcia płyty żelbetowej z uwzględnieniem rozwijających się w
czasie użytkowania uszkodzeń betonu i stali zbrojeniowej.
1
Dr hab. inż., prof PRz, Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska Politechniki Rzeszowskiej
270
2. Metody wymiarowania
Z punktu widzenia oceny bezpieczeństwa konstrukcji metody wymiarowania można
podzielić na: półprobabilistyczne (m.in. częściowych współczynników bezpieczeństwa),
uproszczone probabilistyczne (m.in. wskaz
nika niezawodnoÅ›ci ² ) i w peÅ‚ni probabi-
listyczne. Najczęściej stosowanym sposobem uwzględnienia wpływu czynników destrukcyj-
nych na nośność konstrukcji wymiarowanych metodami półprobabilistycznymi, jest korekta
częściowego współczynnika bezpieczeństwa ł [7]
R
Å‚ = Å‚ ÕDÕPÕM (1)
R Ro
gdzie: Å‚  podstawowy częściowy współczynnik bezpieczeÅ„stwa, ÕD ,ÕP,ÕM  współ-
Ro
czynniki korekcyjne związane z: rozważanym procesem lub czynnikiem destrukcyjnym,
przewidywanymi zabezpieczeniami i strategią utrzymania konstrukcji. Podobnie można
skorygować podstawowy wskaz
nik niezawodnoÅ›ci ² , wymiarujÄ…c konstrukcjÄ™ uproszczonÄ…
metodÄ… probabilistycznÄ…
2 2
² = (ÕDÕPÕM mR - mS ) / (ÕDÕPÕM )2Ã + Ã (2)
R S
gdzie: mR, mS - wartości oczekiwane nośności (odporności) konstrukcji i efektu działania
obciążeÅ„, à ,à - odchylenia standardowe noÅ›noÅ›ci (odpornoÅ›ci) konstrukcji i efektu
R S
działania obciążeń.
Projektowanie i wymiarowanie konstrukcji z wykorzystaniem współczynników
korekcyjnych wymaga ścisłego powiązania ich wartości z rozważanymi stanami granicznymi
i zróżnicowanymi poziomami niezawodności, co powoduje, że oszacowanie wielkości tych
współczynników jest bardzo uciążliwe i niepewne.
Jeżeli rozważany mechanizm degradacji odporności konstrukcji można wyrazić w
postaci zależności intensywności uszkodzeń od czasu użytkowania, to możliwe jest
bezpośrednie zastosowanie jednej z uproszczonych metod probabilistycznych lub metody w
pełni probabilistycznej. Odporność lub nośność konstrukcji w czasie użytkowania R(t)
można wówczas zapisać w formie wzoru
R(t) = g(t) R0 = g(t) R0 (X1, X2,...,Xn) (3)
gdzie: g (t)  funkcja degradacji, R0  początkowa odporność konstrukcji, Xi , i = 1, 2, ...,n 
zmienne losowe uwzględnione w obliczeniach.
Wpływ zabiegów i środków powodujących złagodzenie i zapobieganie skutkom
degradacji konstrukcji można wyrazić przez zróżnicowanie czasu inicjacji uszkodzeń, a
naprawy i działania związane z utrzymaniem konstrukcji można uwzględnić przez
modyfikacje początkowej odporności. Stosowanie metod probabilistycznych jest związane z
poważnymi ograniczeniami, w szczególności jeśli warunki wyrażające stany graniczne są
silnie nieliniowe. Analityczne obliczenia prawdopodobieństwa Pf przekroczenia stanów
granicznych lub obliczenie ilości zbrojenia bądz
wymiarów przekroju niezbędnych aby
wartość Pf nie przekroczyła wartości dopuszczalnej Pfd , są możliwe tylko w szczególnych
przypadkach, a całkowanie numeryczne jest efektywne jeśli warunek graniczny zawiera nie
więcej niż 5  6 zmiennych losowych i obszar całkowania jest z góry znany.
271
Pf = f (z)dz d" Pfd (4)
+"
FA
gdzie: FA  obszar zniszczenia określony przez warunek stanu granicznego, f (.)  funkcja
gęstości rozkładu prawdopodobieństwa, z  wektor m zmiennych losowych. W innych
sytuacjach przybliżone rozwiązania można uzyskać metodami symulacyjnymi. Po losowym
wygenerowaniu N wektorów z, zgodnie z oryginalnymi lub założonymi funkcjami gęstości
prawdopodobieństwa, równanie (4) można zapisać w postaci
N
1
Pf = (z) d" Pfd (5)
"´
N
i=1
gdzie: N  liczba symulacji, ´ (z) = 1 jeÅ›li z"FA, lub ´ (z) = 0 jeÅ›li z " FA .
Procedurę wymiarowania elementu konstrukcyjnego z założonym prawdopodobień-
stwem przekroczenia rozważanego stanu granicznego, za pomocą symulacji Monte Carlo,
można przedstawić w następujący sposób: (a) założyć liczbę symulacji N, (b) wygenerować
ciągi N liczb losowych lub pseudolosowych o rozkładach prawdopodobieństwa zgodnych z
rozkładami wejściowych zmiennych losowych zj , j = 1, 2,..., m, w rozważanych zakresach
zmienności, (c) z warunku granicznego dla rozpatrywanego stanu granicznego elementu
obliczyć wartości poszukiwanej zmiennej wyjściowej (np. pola przekroju zbrojenia) dla
wszystkich N zbiorów wartości zmiennych wejściowych, (d) zbudować histogram częstości
rozkładu zmiennej wyjściowej i obliczyć poszukiwaną wartość (kwantyl), której zaniżenie
jest możliwe z prawdopodobieństwem Pf Pfd .
d"
3. Opis destrukcji elementów żelbetowych w czasie użytkowania
Ilościowy opis destrukcji elementów żelbetowych spowodowanej oddziaływaniami
środowiska zewnętrznego w czasie użytkowania, wymaga rzetelnego rozeznania procesów
chemicznych i towarzyszÄ…cych im zjawisk fizycznych zachodzÄ…cych w betonie i zbrojeniu.
Klasy środowiska, opisy jego charakterystyk, przyczyny, skutki i objawy różnych rodzajów
korozji betonu i stali zbrojeniowej sÄ… przedstawione w normach i obszernej literaturze
przedmiotu, m. in. [1-5, 7]. Informacje te mają jednak z reguły, charakter jakościowy w
dużym stopniu nieprecyzyjny, a modele matematyczne opisujące procesy destrukcji są
zazwyczaj zależnościami statystycznymi, których ekstrapolacja jest bardzo niepewna.
Zagadnienia poprawności i dokładności opisu wpływu destrukcji elementów
żelbetowych w okresie użytkowania konstrukcji, spowodowanej przez korozję betonu i
zbrojenia nie są przedmiotem niniejszego referatu. Zależności przyjęte w przykładzie są
oparte na sugestiach zawartych w literaturze i dotyczą szczególnego przypadku korozji
[4, 5, 7]. W obliczeniach uwzględniono wpływ karbonatyzacji betonu powodującej zmniej-
szenie wysokości strefy ściskanej przekrojów elementu, inicjację korozji rozciąganej stali
zbrojeniowej i redukcjÄ™ pola przekroju rozciÄ…ganego zbrojenia.
Rozwój karbonatyzacji betonu w czasie można opisać za pomocą prostej zależności [4]:
dc (t) = Ä… × t (6)
gdzie: dc  grubość warstwy betonu skorodowanej w wyniku karbonatyzacji, ą  współ-
czynnik karbonatyzacji określany doświadczalnie, t  czas użytkowania elementu.
272
Zakładając, że miarą korozyjnego uszkodzenia zbrojenia jest redukcja początkowego
pola przekroju zbrojenia As , wynik rozwoju korozji można przedstawić w formie zależności
As (t > tkrb ) = As /{1-[(t - tkrb) / t]2} (7)
gdzie: tkrb= (c /ą)2 - czas karbonatyzacji otuliny o grubości c.
4. Przykłady obliczeń probabilistycznych
4.1. Wymiarowanie zginanej płyty żelbetowej z uwzględnieniem wpływu korozji
Rozważane zadanie polega na obliczeniu pola przekroju rozciąganego zbrojenia As w
przekroju krytycznym swobodnie podpartej płyty żelbetowej (rys. 1), tak, żeby
prawdopodobieństwo zniszczenia elementu Pf nie przekroczyło, po 50 latach użytkowania
pÅ‚yty, zaÅ‚ożonej wartoÅ›ci Pfd = 7,2 × 10  5 (odpowiadajÄ…cej wskaz
nikowi niezawodności
² = 3,80).
Rys. 1. Schemat statyczny i przekrój poprzeczny płyty żelbetowej
Obliczenia wykonano przy założeniu zasady płaskich przekrojów, według metody ogólnej
podanej w normie PN-B-03264:1999 [1], z uwzględnieniem wpływu karbonatyzacji betonu i
korozji rozciąganego zbrojenia w czasie użytkowania na nośność graniczną elementu,
wyrażonych za pomocą zależności (6) i (7).
2
As(t)= As /{1-[(t - tkrb)/ t] } (8)
As = (17 / 21)×(0.85 fc / f )×¾ × d × b (9)
y
2 2
¾ Ò! (33/98)×¾ -(17/ 21)×¾ +(M /(b× d × 0,85× fc))= 0 (10)
M = 0,125×(g + p)× L2 (11)
2
tkrb = (c /Ä…) , d(t)= d -Ä… × t (12)
Przyjęto następujące rozkłady i parametry zmiennych losowych uwzględnionych w
obliczeniach:
273
- wytrzymaÅ‚ość betonu na Å›ciskanie fc Ò! LN (fcm = 28, à = 4.86) MPa,
c
- granica plastycznoÅ›ci stali zbrojeniowej fy Ò! LN (fym = 462, à = 35.7) MPa,
y
- wysokość użyteczna przekroju d Ò! N (dm = 130, Ã = 6.5) mm,
d
- grubość otuliny betonowej zbrojenia c Ò! N (cm = 30, Ã = 3) mm,
a
- współczynnik karbonatyzacji Ä… Ò! LN (Ä… = 4.0, ÃÄ… = 0.82) mm/rok,
m
- obciążenia staÅ‚e g Ò! N (gm = 5.0, à = 0.5) kN/m,
g
- obciążenia zmienne p Ò! “ (pm = 5.0, Ã = 1.75) kN/m,
p
- pozostałe zmienne uznano za zdeterminowane i do obliczeń przyjęto ich wartości nominalne,
gdzie: LN, N, “  zmienne losowe o rozkÅ‚adach: logarytmo-normalnym, normalnym
i gamma, xm  wartość oczekiwana, Ã  odchylenie standardowe rozważanej zmiennej
losowej, c = a  Ć /2  otulina prętów zbrojenia o średnicy Ć . Parametry rozkładów
obciążeń dobrano w taki sposób, że wartości których zawyżeniu odpowiada
prawdopodobieństwo 0.001 są równe gd = 5,75 kN/m i pd = 11,7 kN/m, czyli odpowiadają
wartościom obliczeniowym tych obciążeń przyjmowanych w metodzie półprobabilistycznej.
Obliczenia wykonano metodÄ… symulacji Monte Carlo za omocÄ… programu
komputerowego M-Star [6, 8]. Na rys. 2 przedstawiono wyniki obliczeń zbrojenia As po
wykonaniu 500 000 symulacji.
Rys. 2. Wyniki obliczeń zbrojenia rozciąganego w płycie metodą symulacji Monte Carlo
Pole przekroju rozciąganego zbrojenia niezbędnego w przekroju krytycznym płyty, aby
nie uległa ona zniszczeniu w okresie 50 lat użytkowania, z prawdopodobieństwem 1  Pf e"
1  Pfd =1  7,2 × 10  5 = 0.999928, wynosi As = 524 mm2. PrzyjÄ™cie wiÄ™kszego
dopuszczalnego prawdopodobieństwa zniszczenia powoduje zmniejszenie niezbędnego
przekroju zbrojenia, na przykład: jeśli Pfd = 0.0001, to As = 512 mm2, jeśli Pfd = 0.001, to
As = 458 mm2.
Ze względu na niekorzystny wpływ oddziaływań środowiskowych na nośność płyty,
przekrój zbrojenia niezbędny z założonym stałym prawdopodobieństwem, zwiększa się w
czasie użytkowania. Na rys. 3 przedstawiono wykresy zależności niezbędnego przekroju
zbrojenia płyty w zależności od okresu użytkowania, od 0 do 50 lat, oraz od dopuszczalnego
prawdopodobieÅ„stwa zniszczenia: Pfd = 7.2 × 10  5 i Pfd = 10  3.
274
Rys. 3. Zależność przekroju zbrojenia płyty od okresu użytkowania
i prawdopodobieństwa zniszczenia elementu
4.2. Weryfikacja ugięcia płyty żelbetowej w czasie użytkowania
Zadanie polega na weryfikacji ugięcia płyty żelbetowej zwymiarowanej w p. 4.1, poddanej
obciążeniom stałym i części długotrwałej obciążeń zmiennych q = g + 0,8 p. W obliczeniach
uwzględniono wpływ uszkodzeń spowodowanych oddziaływaniami środowiska w czasie
użytkowania elementu. Przyjęto jednakowy sposób opisu wpływu uszkodzeń i zmiennych
losowych uwzględnionych podczas wymiarowaniu zbrojenia płyty i w obliczeniach ugięć.
Wytrzymałość betonu na rozciąganie fct i moduł sprężystości betonu Ec obliczono jako
funkcję wytrzymałości betonu na ściskanie fc, według zależności podanych w PN-B-
03264:1999 [1]. Moduł sprężystości stali zbrojeniowej Es = 200 GPa, i końcowy
współczynnik pełzania betonu, Ś",to = 2,55, obliczony dla wieku obciążenia betonu t0 = 28
dni , wilgotności względnej RH = 65% i miarodajnego wymiaru elementu 14,5 mm, uznano
za wielkości zdeterminowane. Ugięcie zginanej płyty obliczono zgodnie z zaleceniami
PN-B-03264:1999, według wzorów
f = (5 / 48)×(M / B)× L2 (13)
2
B = B" = Ecef × JII /[1- ²1 × ²2(Ã /Ã ) ×(1- JII / JI )] (14)
sr s
gdzie: JI , JII - sprowadzone momenty bezwładności przekroju płyty w fazie I (niezarysowany) i
w fazie II (zarysowany), Ã ,Ã - naprężenia w zbrojeniu w przekroju przez rysÄ™, dla obciążenia
sr s
powodujÄ…cego zarysowanie i obciążenia powodujÄ…cego ugiÄ™cie, ²1 = 1,0  dla prÄ™tów
żebrowanych, ²2 = 0,5  dla obciążeÅ„ dÅ‚ugotrwaÅ‚ych, Ecef = Ec / (1+ Åš",to )  efektywny moduÅ‚
sprężystości betonu. Zakładając pole przekroju zbrojenia As = 524 mm2, niezbędne dla
zapewnienia nośności płyty na zginanie w okresie użytkowania równym 50 lat, obliczono ugięcie
275
elementu, które nie zostanie przekroczone w okresie 50 lat z założonym prawdopodobieństwem
Pf = 0,0686 (odpowiadajÄ…cym wskaz
nikowi niezawodnoÅ›ci ² = 1,50). Obliczenia wykonano za
pomocÄ… programu komputerowego M-Star [8], dla 500 000 symulacji. Na rys. 4 przedstawiono
plik wejściowy i wyniki obliczeń w postaci histogramu ugięcia płyty i wartości ugięć, które nie
będą przekroczone z zadanym prawdopodobieństwem, np. f (Pfd = 1  0,9313 = 0.0687) =
= 14,99 mm, f (Pfd = 1- 0.999 = 0.001) = 20,83 mm.
Rys. 4. Wyniki obliczeń ugięć płyty metodą Monte Carlo
Prawdopodobieństwo przekroczenia dopuszczalnego ugięcia płyty flim= L/200=15 mm
w okresie 50 lat użytkowania elementu zwiększa się z upływem czasu z powodu postępów
korozji. Na rys. 5 przedstawiono wykres zależności Pf (t > 15 mm) w czasie t = 0-50 lat, dla
As =524 mm2.
Rys. 5. Wykres zależności Pf (f > 15 mm) w okresie użytkowania płyty
276
5. Podsumowanie
Destrukcyjny wpływ środowiska zewnętrznego na trwałość konstrukcji żelbetowych
powinien być uwzględniony już w fazie projektowania. Postulat ten jest realizowany
współcześnie w sposób pośredni. Projektant jest zobowiązany do przestrzegania zaleceń
dotyczących doboru materiałów konstrukcyjnych, określenia klasy środowiska, przyjęcia
odpowiednich grubości otuliny betonowej prętów zbrojenia, ograniczenia obliczeniowych
szerokości rys i ewentualnego zastosowania zabezpieczeń antykorozyjnych.
Ocena wpływu destrukcyjnego oddziaływania środowiska na trwałość, czyli nośność i użyt-
kowalność konstrukcji w okresie eksploatacji, wymaga sformułowania ilościowych zależności
wielkości uszkodzeń od czasu i uzależnienia przyjętych miar niezawodności od czasu. Jest to
możliwe w ramach probabilistycznych metod projektowania. Praktyczne możliwości wykorzys-
tania tych metod są jednak poważnie ograniczone ze względu na trudności obliczeniowe,
szczególnie w przypadku poszukiwania rozwiązań metodami analitycznymi i numerycznymi.
Trudności te eliminuje zastosowanie metod symulacyjnych. Przykłady przedstawione w referacie
ilustrują możliwości ich zastosowań do analizy wpływu zmiennych w czasie, losowych
uszkodzeń korozyjnych elementów żelbetowych na prawdopodobieństwo przekroczenia stanów
granicznych nośności i użytkowalności w okresie eksploatacji tych elementów.
Literatura
[1] PN-B-03264:1999. Konstrukcje betonowe, żelbetowe i sprężone. PKN, styczeń 1999.
[2] Eurocode 2. Design of concrete structures  part 1: general rules and rules for
buildings. EN 1992  1 : 2001 (Final draft).
[3] Ściślewski Z., Ochrona konstrukcji żelbetowych. Warszawa, Arkady, 1999.
[4] CEB Bulletin d Information No. 238, New approach to durability of reinforced concrete.
An example for carbonation induced corrosion. ECS, January 2000.
[5] Thoft-Christensen P., Modeling of the deterioration of reinforced concrete structures.
Proc. 9th IFIP WG 7.5 Working Conf. on Reliability and Optimization of Structural
Systems. Ann Arbor, University of Michigan, 2000, s. 15-26.
[6] Marek P., Brozzetti J., Gustar M., editors, Probabilistic Assessment of Structures using
Monte Carlo Simulation. Praha, ITAM Czech Academy of Sciences, 2001.
[7] Faber M., Melchers R., Aspects of safety in design and assessment of deteriorating structures.
Conf. Report, Int. Conf. on Safety, Risk and Reliability. Malta, March 2001, s. 161-166.
[8] Marek P., Gustar M., Monte Carlo simulation programs for PC: M-Star. Prague, 1999.
PROBABILISTIC DIMENSIONING OF REINFORCED CONCRETE
STRUCTURAL ELEMENTS CONSIDERIG DURABILITY
Summary
The problem of probabilistic simulation-based dimensioning of reinforced concrete structural
elements for durability is considered in this paper. It is proposed that modeling of
deterioration of concrete and reinforcing steel should be based on the reliable relationships
between the measures of damage affected by different indirect effects, e.g. chemical and
physical attack, and the time. Using illustrative examples, the potential of simulation-based
probabilistic method of structural dimensioning is demonstrated.