- 1 - | S t r o n a
MATEMATYKA  LISTA WYRÓWNAWCZA
I. Działania na zbiorach
Zadanie 1.
7*# 7) . Wyznacz zbiór , jeżeli :
)# )#
Dane sÄ… zbiory = (1,5), = 4, i = 5,
a) = ( *" ) )" ; b) = *" ( )" ); c) = *" *" ; d) = )" )" .
Zadanie 2.

)#-1,6). Wyznacz zbiory:
Dane sÄ… zbiory = (-", 3), =
a) *" ; b) )" ; c) \ ; d) \ .
II Funkcja liniowa
Zadanie 3.
Obliczyć wartość funkcji dla danych argumentów:
( )
a) = 3 + 5, = -2, = 13, = 12.7, = -4, = 0, = 0.3;
( )
b) = 2 - 1 + 3 2, = 1, = 0, = 2 + 1, = 2 2, = 2 - 1.
" " " " "
Zadanie 4.
Znajdz
wzór i narysuj wykres funkcji liniowej wiedząc, że:
( ) (-3
) ( )
a) (-1)=2 i 3 = -2; b) = -2 i 2 = 13.
Zadanie 5.
Znajdz
wzór i narysuj wykres funkcji liniowej przechodzącej przez punkty:

a) = (3; 4) i = (-2; 1); b) = (2; 1) i = (-3; -2); c) = (6; ) i = (4; -2);


d) = (-2; 3 ) i = (1 ; 3 ); e) = (-4; 3) i = (-2; 1.5); f) = (1; 3) i = (5; 3).

Zadanie 6.
Który z wykresów funkcji z zadań 3, 4 i 5 przedstawia funkcję rosnącą, który  malejącą, a który stałą?
Zadanie 7.
Rozwiązać równania:
( ) ( ) ( )
a) 6 2 - 9 = 0; b) 5 - 14 = 9; c) 4 + 3 = 11; d) 2 - 6 = 3( + 12);

( ) ( )
e) 4 - 9 = 2(2 + 5); f) 2 + 4 = + 2 - ; g) + = 0; h) = ;

" "

| | | |
i) - + 1.5 = 3 + 2; j 1 + 2 = 3 - "
" 2; k) 5 - 3 = 4; l) 7 - 3 = 5.

Zadanie 8.
Rozwiązać nierówności:
( )
a) 2 - 3 d" 7; b) -3 + 2 > 4; c) 4 4 + 1 d" 4 + 3;
( ) ( )
d) 5 - 1 > 6 + 2 - + 1; e) 1 - 2 e" 3 - 14; f) 2 - 2 < 2 + 3 2;
" "
3| 1|
| | | | | |
g) 2 - < 4 ; h) 3 - e" 1 ; i) - 1 + + 3 < 6.
Zadanie 9.
Rozwiąż układy równań:
+ = 5
+ = 3 3 + 2 = -1 + - 3 = 2 - 1

2 ; d) 3( + 2) = 6( + 1).
a) 2 - = 3; b) ; c) - = 4
2 - 3 = 8
+ 2 = 7
Zadanie 10.
Określ dziedzinę funkcji:

( ) ( ) ( )
a) = 1 - 3 ; b) = 2 - 4 - " - ; c) = - 1 - .
" " 1 "

"
- 2 - | S t r o n a
III. Funkcja kwadratowa
( )
FunkcjÄ… kwadratowÄ… nazywamy funkcjÄ™ postaci = + + , gdzie `" 0.
Pierwiastki funkcji f(x), czyli rozwiązania równania:
+ + = 0 (*)
zależą od tak zwanego wyróżnika równania kwadratowego danego wzorem
"= - 4 .
" "
" "
10 jeżeli "> 0 to równanie (*) ma dwa rozwiązania: = , =


20 jeżeli "= 0 to równanie (*) ma jedno rozwiązanie (podwójne): , =

30 jeżeli "< 0 to równanie (*) nie ma rozwiązań.
Zadania 11.
Rozwiąż równania:
a) - 5 + 6 = 0; b) - 11 + 18 = 0; c) - 8 + 16 = 0; d) (4 + 3) = 7;
e) (3 - 5) - 9 = 0; f) + 4 - 3.5 = 0; g) -3 + 7 - 2 = 0; h) - 3 + 1 = 0;

i) (2 + 3) + 1 = 0; j) + 3 + 5 = 0; k) -3 + 5 = 0; l) 4 - 1 = 0.
Zadanie 12.
SporzÄ…dz
wykresy funkcji:
( ) ( )
a) = - 5 + 6; b) = - 11 + 18; itd.  patrz zadanie 11.
a następnie zmieniając w zadaniu 11 znak  = na znak  > (e", <, d") rozwiąż otrzymane nierówności.
Zadanie 13.
Określ dziedziny funkcji:
( ) ( )
a) = " - 5 + 6; b) = " - 11 + 18; itd.  patrz zadanie 11.
Zadanie 14.
Określ dziedzinę funkcji:

( )
a) = - 3 + 1 - + .
"
IV. Wielomiany
1. Twierdzenie Bezouta. Liczba jest pierwiastkiem wielomianu ( ) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian
( ) jest podzielny przez dwumian - .
( )
2. Jeżeli wielomian - go stopnia ma pierwiastków , , & , to Można go zapisać w postaci =
( )( ) ( )
- - & - , gdzie jest współczynnikiem przy .
3. Twierdzenie o pierwiastkach całkowitych. Pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach
całkowitych są podzielnikami wyrazu wolnego .
4. Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych. Jeśli liczba wymierna różna od zera (ułamek nieskracalny)

( )
jest pierwiastkiem wielomianu = + + ï" + o współczynnikach caÅ‚kowitych (przy
czym `" 0 i `" 0) to jest podzielnikiem wyrazu wolnego , natomiast jest podzielnikiem
współczynnika .
Zadanie 15.
( ) ( )
Rozstrzygnij, czy wielomiany = + 2 ( + + 1) i = 3 + 2 - 2 są równe.
- 3 - | S t r o n a
Zadanie 16.
Wykonaj dzielenie wielomianu ( ) przez wielomian ( ):
( ) ( ) ( ) ( )
a) = + 4 - 7 - 10, = - 2; b) = 2 + 4 - 7 - 10, = + 2;
( ) ( ) ( ) ( )
c) = 3 - 2 - 5, = -2 + - 3; d) = -2 + 3 - 2 - 1, = 2 - .
Zadanie 17.
Nie wykonując dzielenia zbadaj, czy wielomian ( ) jest podzielny przez wielomian ( ), jeżeli:
( ) ( )
a) = - 2 + - 3 + + 2, = - 2;
( ) ( ) ( )
b) = - 3 + + 3 - 2, = - 1 ( - 2).
Zadanie 18.
Naszkicować wykresy funkcji:
( ) ( ) ( )
a) = 2( - 3) ( - 2) ; b) = -4(2 - 3) (3 + 4) ; c) = ( - 1) ( - 2) ( - 3) ;
( )
d) = ( - ) ( - ) ( - ) , gdzie < < ;
( )
e) = ( - 1) ( - 3) ( + 7) , gdzie k jest liczbą naturalną większą od 0.
Zadanie 19.
Rozwiąż równania:
a) - - 8 + 8 = 0; b) 6 - 7 - + 2 = 0; c) (2 - 1) = + - 1;
d) - + 16 = 0; e) - - 2 + 2 = 0; f) 3(2 - 5) = 5 - 2 .
Zadanie 20.
Rozwiąż nierówności:
a) - - 8 + 8 > 0; b) - - 8 + 8 e" 0; c) - - 8 + 8 < 0;
d) - - 8 + 8 d" 0; e) - - 2 + 2 e" 0; f) 3(2 - 5) < 5 - 2 .
Zadanie 21.
Rozwiązać nierówności:
a) ( ) > 0; b) ( ) e" 0; c) ( ) < 0; d) ( ) d" 0
biorÄ…c kolejne funkcje z zadania 20.
V. Funkcje wymierne
Zadanie 22.
Naszkicować wykresy funkcji:

( ) ( ) ( ) ( )
a) = ; b) = ; c) = ; d) = ;


( ) ( ) ( ) ( )
e) = ; f) = 2 + ; g) = ; h) = 1 - .

Zadanie 23.
Rozwiązać nierówności:
a) ( ) > 0; b) ( ) e" 0; c) ( ) < 0; d) ( ) d" 0.
biorÄ…c kolejne funkcje z zadania 22.
Zadanie 24.
Rozwiązać nierówności:


a) < 1; b) > ; c) d" ; d) ( ) d" 0.

- 4 - | S t r o n a
VI. Funkcja wykładnicza
Zadanie 25.
Naszkicuj wykres funkcji:

( ) ( ) ( ) ( )
a) = 2 ; b) = 3 ; c) = ; d) = .

Zadanie 26.
Rozwiąż równania:
a) 2 = 8; b) 2 = 4 ; c) 3| | = 9 ; d) 4 = 8 ;

( )
e) 0.25 = 8 ; e) 9 = 3 27; f) 27 = 9 .
" " "
Zadanie 27.
Rozwiąż równania:
a) 2 + 2 = 72; b) 2 + 3 " 2 - 14 = 0; c) 8 " 3 + 9 = 17.
Zadanie 28.
Rozwiąż nierówności:




a) 3 < 3 ; b) e" ; c) 3 - 3 - > 0; d) 4 8 d" " .
"

VII. Funkcja logarytmiczna
Logarytmem o podstawie z liczby nazywamy taką liczbę dla której zachodzi równość = .
Oznaczamy go symbolem . Możemy zapisać to również następująco:
= "! =

Na przykład: 8 = 3, bo 2 = 8; = -2, bo 3 = .

Definiując logarytm zakłada się, że > 0 i `" 1, oraz > 0.
( )
Funkcją logarytmiczną nazywamy każdą funkcję postaci = ; jej naturalną dziedziną jest zbiór jest
( )
0, " .
Zadanie 29.
Naszkicuj wykres funkcji:
( ) ( ) ( )
a) = ( - 3); b) = ( + 1); c) ! = (- ).

Zadanie 30.
Rozwiąż równania:
( ) ( )
a) = 3; b) . - 2 = 4; c) = 0; d) log - 3 = -1.
Zadanie 31.
Rozwiąż nierówności:
( )
a) ( - 3);2; b) (2 - 7 e" 2 - (8 - ); c) . 3 - 2 d" -1.
Działania na potęgach i pierwiastkach - wzory prawdziwe przy odpowiednich założeniach
( )
1) " = ; 2) : = ; 3) = " ;


( ) ( )
4) " = ; 5) : = = = : ; 6) = ;




7) = ; 8) " = " " ; 9) = 1.
" "
"