ALGEBRA LINIOWA. ĆWICZENIA
Przestrzeń linowa
ALEXANDER DENISJUK
Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem
http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/
Ćwiczenie 1. Oblicz 2a1 + 5a2 - a3 dla a1 = (4, 1, 3, -2), a2 = (1, 2, -3, 2), a3 = (16, 9, 1, -3).
Ćwiczenie 2. Rozwiąż równanie
(1) a1 + 2a2 + 3a3 + 4x = 0, gdzie a1 = (5, -8, -1, 2), a2 = (2, -1, 4, -3), a3 = (-3, 2, -5, 4).
(2) -3(a1 - x) + 2(2a2 - x) = 5(a3 + x), gdzie a1 = (2, 5, 1, 3), a2 = (0, 1, 5, 10), a3 = (-3, 2, -5, 4).
(3) a1 - 2a2 - 3a3 - 4x = 0, gdzie a1 = (15, 8, 1, -2), a2 = (2, -1, 4, -3), a3 = (-3, 2, -5, 4).
(4) 3(a1 - x) + 2(a2 + x) = 5(a3 + x), gdzie a1 = (2, 5, 1, 3), a2 = (10, 1, 5, 10), a3 = (-3, 2, -5, 4).
Ćwiczenie 3. Wyznacz, czy zbiór wektorów jest liniowo niezależnym:
(1) { (1, 2, 3), (3, 6, 7) }, (5) { (4, -5, 2, 6), (2, -2, 1, 3), (6, -3, 3, 9), (4, -1, 5, 6) },
(2) { (5, 4, 3), (3, 3, 2), (8, 1, 3) }, (6) { (1, 0, 0, 2, 5), (0, 1, 0, 3, 4), (0, 0, 1, 4, 7), (2, -3, 4, 11, 12) }.
(3) { (4, -2, 6), (6, -3, 9) },
(4) { (2, -3, 1), (3, -1, 5), (1, -4, 3) },
Ćwiczenie 4. Dany jest układ liniowo niezależnych wektorów a . . . , ak. Czy wektory b1, . . . , bn będą nie-
Å„Å‚1,
zależne liniowo: ôÅ‚b1 = a1,
ôÅ‚
ôÅ‚
Å„Å‚
ôÅ‚b = a1 + 2a2,
ôÅ‚
ôÅ‚
2
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚b1 = 3a1 + 2a2 + a3 + a4,
ôÅ‚
òÅ‚b = a1 + 2a2 + 3a3,
3
(1) b2 = 2a1 + 5a2 + 3a3 + 2a4,
(5)
ôÅ‚
ółb = 3a1 + 4a2 + 2a3 + 3a4;
ôÅ‚b4 = a1 + 2a2 + 3a3 + 4a4,
ôÅ‚
3 ôÅ‚
ôÅ‚
Å„Å‚
ôÅ‚b5 = a1 + 2a2 + 3a3 + 4a4 + 5a5,
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚b1 = a1 + a2,
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
ôÅ‚
ôÅ‚b = a2 + a3,
b6 = a1 + 2a2 + 3a3 + 4a4 + 5a5 + 6a6;
ôÅ‚
ôÅ‚
2
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚b = a3 + a4,
ôÅ‚b1 = a1 + a2,
ôÅ‚
3
ôÅ‚
ôÅ‚b = a1 + a2 + a3,
(2)
ôÅ‚
ôÅ‚
2
ôÅ‚b4 = a4 + a5,
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚b = a2 + a3 + a4,
ôÅ‚
ôÅ‚b5 = a5 + a6,
3
ôÅ‚
ôÅ‚
(6)
ôÅ‚
ół
ôÅ‚
4
ôÅ‚b = a3 + a4 + a5,
b6 = a6 + a1;
ôÅ‚
ôÅ‚
Å„Å‚
ôÅ‚b5 = a4 + a5 + a6,
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚b1 = 3a1 + 4a2 - 5a3 - 2a4 + 4a5,
ół
b6 = a5 + a6;
(3) b1 = 8a1 + 7a2 - 2a3 + 5a4 - 10a5,
Å„Å‚
ôÅ‚
ółb = 2a1 - a2 + 8a3 - a4 + 2a5;
ôÅ‚b1 = a1 - a2,
ôÅ‚
1
ôÅ‚
ôÅ‚b = a2 - a3,
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
2
ôÅ‚
ôÅ‚b1 = a1,
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚b = a3 - a4,
ôÅ‚
ôÅ‚b = a1 + a2,
3
ôÅ‚
ôÅ‚
2
(7)
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚b4 = a4 - a5,
òÅ‚b = a1 + a2 + a3,
ôÅ‚
ôÅ‚
3
ôÅ‚
(4) ôÅ‚b5 = a5 - a6,
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚b4 = a1 + a2 + a3 + a4,
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
ôÅ‚
ôÅ‚
b6 = a6 - a1.
ôÅ‚b5 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5,
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
b6 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6;
Ćwiczenie 5. Znajdz
bazę powłoki układu wektorów oraz współrzędne danych wektorów w tej bazie:
(1) a1 = (1, 2, 0, 0), a2 = (1, 2, 3, 4), a3 = (3, 6, 0, 0);
(2) a1 = (5, 2, -3, 1), a2 = (4, 1, -2, 3), a3 = (1, 1, -1, 2), a4 = (3, 4, -1, 2), a5 = (7, -6, -7, 0);
(3) a1 = (2, -1, 3, 5), a2 = (4, -3, 1, 3), a3 = (3, -2, 3, 4), a4 = (4, -1, -15, 17);
(4) a1 = (1, 2, 3, -4), a2 = (2, 3, -4, 1), a3 = (2, -5, 8, -3), a4 = (5, 26, -9, -12), a5 = (3, -4, 1, 2);
(5) a1 = (2, 3, -4, -1), a2 = (1, -2, 1, 3), a3 = (5, -3, -1, 8), a4 = (3, 8, -9, -5);
(6) a1 = (2, 2, 7, -1), a2 = (3, -1, 2, 4), a3 = (1, 1, 3, 1);
1
2 ALEXANDER DENISJUK
(7) a1 = (3, 2, -5, 4), a2 = (3, -1, 3, -3), a3 = (3, 5, -13, 11);
(8) a1 = (2, 1), a2 = (3, 2), a3 = (1, 1), a4 = (2, 3);
(9) a1 = (2, 1, -3), a2 = (3, 1, -5), a3 = (4, 2, -1), a4 = (1, 0, -7);
(10) a1 = (2, 3, 5, -4, 1), a2 = (1, -1, 2, 3, 5), a3 = (3, 7, 8, -11, -3), a4 = (1, -1, 1, -2, 3);
(11) a1 = (2, -1, 3, 4, -1), a2 = (1, 2, -3, 1, 2), a3 = (5, -5, 12, -11, -5), a4 = (1, -3, 6, 3, -3);
(12) a1 = (4, 3, -1, 1, -1), a2 = (2, 1, -3, 2, -5), a3 = (1, -3, 0, 1, -2), a4 = (1, 5, 2, -2, 6).
E-mail address: [e-mail]
Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych, Zamiejscowy Ośrodek Dydaktyczny w Gdańsku, ul. Brze-
gi 55, 80-045 Gdańsk