SiMR studia magisterskie FIZYKA semestr zimowy 2010/2011
Uwaga: Na kolokwium można się posługiwać własnoręcznie sporządzoną notatką na kartce A4 zapisanej po obu stronach. Wszelkie wzory,
stałe fizyczne i inne informacje mogą być zapisane pismem odręcznym. Notatka musi być podpisana na środku kartki przez właściciela +
wolne pole na podpis wykładowcy. Notatkę należy przedstawić do akceptacji przy wpisywaniu się na listę. Wszelkie inne pomoce i ściągi,
materiały drukowane lub powielane są niedozwolone, jak również korzystanie z książek, komputerów i telefonów komórkowych.
Zagadnienia objęte kolokwium 2:
1. Elementy fizyki statystycznej - rozkład kanoniczny liczby obsadzonych stanów w zależności od energii w stanie równowagi
termodynamicznej, czynnik Boltzmanna, przykłady:
a) kwantowy - atomy o spinie ½ w polu magnetycznym  magnetyzacja paramagnetyka.
b) klasyczny- gaz doskonały  rozkład Maxwella prędkości cząsteczek, prędkość średnia, średnia energia cząsteczek.
2. Cząstki identyczne nierozróżnialne w mechanice kwantowej, funkcja falowa symetryczna lub antysymetryczna ze względu
na zamianę cząstek, bozony i fermiony, spin całkowity lub połówkowy.
3. Zakaz Pauliego. Część przestrzenna i spinowa funkcji falowej dwu elektronów, oddziaływanie wymiany.
4. Statystyki kwantowe Bosego-Einsteina i Fermiego-Diraca, wyprowadzenie z postulatu równowagi szczegółowej,
porównanie z rozkładem Boltzmanna.
5. Elektrony swobodne w metalu  model trójwymiarowego pudła, funkcje falowe, dozwolone wartości wektora falowego,
gęstość stanów w funkcji energii.
6. Gaz elektronów w temperaturze T=0 K, energia Fermiego, wyznaczenie EF dla typowej koncentracji elektronów w metalu,
temperatura Fermiego, prędkość Fermiego.
7. Rozkład energii elektronów w temperaturze T>0 K, wzbudzenia w pobliżu energii Fermiego, wkład elektronów do ciepła
właściwego metalu.
8. Przewodność elektryczna metali, średnia droga swobodna elektronu, prędkość dryfu, ruchliwość, rozpraszanie na drganiach
atomów i defektach kryształu, zależność oporu elektrycznego od temperatury.
9. Kwantowy obraz przepływu prądu  przesunięcie kuli Fermiego w przestrzeni wektora falowego k, czas relaksacji.
10. Ruch nośników ładunku w polu elektrycznym i magnetycznym - efekt Halla, współczynnik Halla, wyznaczanie
koncentracji i znaku nośników ładunku.
11. Powstawanie pasm energetycznych z atomowych poziomów energetycznych. Klasyfikacja ciał stałych ze względu na
elektronowÄ… strukturÄ™ pasmowÄ… - obsadzenie pasm w metalach i izolatorach.
12. Tworzenie się przerw energetycznych na skutek dyfrakcji prawie swobodnych elektronów na strukturze krystalicznej. Opis
pasm w przestrzeni wektora falowego k.
13. Prędkość grupowa elektronu w paśmie, wpływ zewnętrznego pola elektrycznego, przyspieszenie, masa efektywna.
14. Elektrony w paśmie niemal całkowicie zapełnionym - opis za pomocą dziur, ładunek i masa efektywna dziury.
15. Półprzewodniki, przerwa energetyczna, struktura pasmowa typowych półprzewodników.
16. Koncentracja elektronów i dziur w półprzewodniku samoistnym w zależności od temperatury, efektywna gęstość stanów w
pasmach przewodnictwa i walencyjnym, położenie poziomu Fermiego w przerwie energetycznej.
17. Domieszkowanie półprzewodników, donory i akceptory, energia jonizacji domieszki  model atomu wodoru, poziomy
donorowe i akceptorowe.
18. Koncentracja nośników ładunku w półprzewodniku domieszkowanym w zależności od temperatury, zakresy wymrażania
nośników, nasycenia i samoistny. Zastosowanie efektu Halla do pomiaru koncentracji nośników.
19. Przewodność elektryczna półprzewodników, zależność ruchliwości nośników od temperatury.
20. Złącze p-n w stanie równowagi, przesunięcie pasm  potencjał dyfuzyjny (kontaktowy), szerokość warstwy zubożonej
skokowego złącza p-n.
21. Złącze p-n z przyłożonym napięciem, zmiana szerokości warstwy zubożonej, charakterystyka prądowo-napięciowa. Diody
prostownicze. Przebicie złącza p-n: tunelowe (dioda Zenera) i lawinowe.
22. Diody świecące (elektroluminescencyjne). Rekombinacja promienista, związek między szerokością przerwy wzbronionej a
długością fali (barwą) światła. Fotodiody.
23. Lasery półprzewodnikowe, uzyskiwanie inwersji obsadzeń. Zastosowanie heterostruktury półprzewodnikowej.
24. Absorpcja oraz emisja spontaniczna i wymuszona promieniowania elektromagnetycznego, równowaga termodynamiczna
atomów i promieniowania.
25. Zasada działania lasera: inwersja obsadzeń, wzbudzanie atomów, rezonator optyczny.
26. Pompowanie optyczne, impulsowa akcja laserowa; laser rubinowy - układ trójpoziomowy, układ czteropoziomowy.
27. Laser helowo-neonowy: wzbudzanie zderzeniami w wyładowaniu elektrycznym, układ poziomów energetycznych.
28. Właściwości światła laserowego. Zastosowania laserów.
1
Podręczniki:
1. D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Podstawy fizyki, PWN, Warszawa 2003, tom 5.
2. W. Bogusz, J. Garbarczyk, F. Krok, Podstawy fizyki, Oficyna Wydawnicza PW, 1997.
3. R. Eisberg , R. Resnick: Fizyka kwantowa, PWN 1983.
Pytania ze sprawdzianów
1. Atomy sodu mają dwa poziomy energetyczne oddzielone o "E=E2-E1=2,09 eV. Oblicz stosunek liczby atomów w stanie
wzbudzonym o energii E2 do liczby atomów w stanie podstawowym E1, gdy para sodu ma temperaturę T=1000 K. Stała
Boltzmanna ma wartość kB=1,38×10-23 J/K.
2. UkÅ‚ad atomów, z których każdy ma moment magnetyczny równy µB=9,3×10-24 J/T znajduje siÄ™ w polu magnetycznym o
indukcji B=0,2 T. W jakiej temperaturze liczba atomów, których moment magnetyczny ma zwrot zgodny z polem
magnetycznym jest e=2,718 razy większa od liczby atomów, które mają moment magnetyczny zwrócony przeciwnie?
3. Biorąc pod uwagę rozkład prędkości cząsteczek gazu doskonałego w temperaturze T, uszereguj od największej do
najmniejszej: prędkość średnia, prędkość najbardziej prawdopodobna, prędkość średnia kwadratowa. Podaj wzór wyrażający
jedną z tych prędkości.
4. Czym różnią się fermiony od bozonów? Wymień przykłady cząstek, które są bozonami i tych, które są fermionami.5.
Zapisz funkcję rozkładu Fermiego-Diraca. Naszkicuj wykres tej funkcji w temperaturze T=0 K i temperaturze T0 K. Zaznacz
charakterystyczne wartości na osi poziomej i na osi pionowej.
6. Sformułuj zakaz Pauliego i pokaż, że obowiązuje on, gdy funkcja falowa układu cząstek identycznych zmienia znak po
przestawieniu dwu czÄ…stek.
7. Srebro i glin mają taką samą strukturę krystaliczną, w której do elementarnej komórki sześciennej należą 4 atomy. Stała
sieci (długość krawędzi elementarnego sześcianu) jest dla obu metali w przybliżeniu taka sama a=0,41 nm. Do gazu
elektronów swobodnych w metalu każdy atom srebra wnosi 1 elektron, zaś atom glinu 3 elektrony. Oblicz koncentrację
elektronów swobodnych (liczbę elektronów w 1m3) w srebrze i w glinie. Energia Fermiego jest równa 5,5 eV dla srebra.
Oszacuj wartość energii Fermiego dla glinu.
8. Posługując się funkcją gęstości stanów naszkicuj wykresy rozkładu liczby elektronów swobodnych w metalu w zależności
od energii w temperaturze T1=0 K i T2=1000 K.
9. Przedstaw na wykresie zależność od temperatury oporu elektrycznego typowego metalu. Jakie procesy określają postać tej
zależności w różnych zakresach temperatury?
10. Naszkicuj zależność energii elektronu od wektora falowego k dla elektronów swobodnych i dla elektronów oddziałujących
z siecią krystaliczną (sieć jednowymiarowa, odległość między sąsiednimi atomami jest a). Zaznacz dla jakich wartości k
występują skokowe zmiany energii.
11. Rysunek przedstawia układ pasm energetycznych pewnego energia
ciała stałego. Czy jest to izolator, przewodnik, półprzewodnik?
pasmo przewodnictwa
Uzasadnij odpowiedz
.
przerwa energetyczna 4 eV
pasmo walencyjne
12. Jak zależy od temperatury iloczyn np koncentracji elektronów w paśmie przewodnictwa i koncentracji dziur w paśmie
walencyjnym półprzewodnika? Zapisz wzór i przedstaw tę zależność na odpowiednim wykresie.
13. Posługując się modelem wodoropodobnym dla centrum domieszkowego oszacuj energię potrzebną do wzbudzenia
nadmiarowego elektronu z atomu donoru do pasma przewodnictwa w krysztale germanu. Masa efektywna elektronu w paśmie
przewodnictwa w germanie jest me*=0,12me, staÅ‚a dielektryczna germanu jest µr=15,8. Energia jonizacji atomu wodoru jest
EJ=13,6 eV.
14. Naszkicuj położenie pasm energetycznych i oblicz potencjał kontaktowy krzemowego złącza p-n. Poziom Fermiego w
krzemie typu n leży 0,13 eV poniżej krawędzi pasma przewodnictwa, w krzemie typu p jest 0,08 eV powyżej krawędzi pasma
walencyjnego, przerwa energetyczna jest Eg=1,11 eV.
15. Przez krzemowe złącze p-n w temperaturze T=300 K płynie prąd o natężeniu I1=50 nA, gdy przyłożono napięcie V1= -0,4
V (polaryzacja w kierunku zaporowym). Jakie jest natężenie prądu I2, gdy przyłożono napięcie V2=+0,4 V (polaryzacja w
kierunku przewodzenia)?
Przykładowe pytania i zadania dodatkowe
1. Prostopadłościenna płytka krzemu typu n służąca do pomiaru efektu Halla ma szerokość w=1 cm w kierunku osi y i grubość
d=0,2 mm w kierunku z. Prąd o natężeniu I=10 mA płynie w kierunku x a pole magnetyczne o indukcji B=0,2 T jest
przyłożone w kierunku z. Napięcie Halla zmierzone między ściankami prostopadłymi do osi y jest VH=0,03 V. Wyznacz
koncentrację elektronów w paśmie przewodnictwa.
2
2. Oporność elektryczna wÅ‚aÅ›ciwa miedzi w temperaturze T=295 K jest Á=1,7×10-8 &! m. Każdy atom wnosi jeden elektron do
gazu elektronów swobodnych. Gęstość miedzi jest d=8,93 g/cm3, masa molowa M=63,55 g/mol, liczba Avogadro
N0=6,02×1023 mol-1.
Oblicz: a) koncentrację elektronów przewodnictwa N; b) ruchliwość elektronów u; c) średni czas między zderzeniami
elektronów Ä; d) Å›redniÄ… drogÄ™ swobodnÄ… › elektronów poruszajÄ…cych siÄ™ z prÄ™dkoÅ›ciÄ… termicznÄ… v=1,6×106 m/s; e) prÄ™dkość
dryfu elektronów w polu elektrycznym o natężeniu E=100 V/m;
3. Oblicz koncentrację elektronów w paśmie przewodnictwa n i dziur p w paśmie walencyjnym oraz przewodność elektryczną
właściwą krzemu w temperaturze 300 K: a) biorąc pod uwagę tylko nośniki samoistne;
b) w krzemie typu n, jeśli jeden atom krzemu na milion został zastąpiony przez atom fosforu.
Ruchliwość elektronów przyjmij µ=0,135 m2 V-1 s-1, efektywnÄ… koncentracjÄ™ elektronów w paÅ›mie przewodnictwa
NC=2,2×1025 m-3 i takie same wartoÅ›ci dla dziur. Masa molowa krzemu M=28 g/mol, gÄ™stość d=2,3 g/cm3, przerwa
energetyczna Eg=1,12 eV.4. Przedstaw, jak na podstawie stopnia obsadzenia i układu pasm energetycznych można
klasyfikować ciała stałe.5. Jak opisuje się prąd niesiony przez elektrony w niemal zapełnionym paśmie za pomocą dziur? Jakie
są ich własności?
6. Przerwa energetyczna jest Eg=1,12 eV w krzemie, Eg=0,67 eV w germanie. Oba półprzewodniki nie są domieszkowane. a)
W którym z półprzewodników koncentracja nośników w temperaturze pokojowej jest większa?
b) Czy większa jest koncentracja elektronów czy koncentracji dziur w każdym z półprzewodników?
7. Próbkę krzemu domieszkowano fosforem (5 elektronów walencyjnych). Które ze stwierdzeń są prawdziwe?
a) Liczba dziur w paśmie walencyjnym zmalała; b) Opór właściwy wzrósł; c) Próbka stała się elektrycznie naładowana; d)
Przerwa energetyczna zmniejszyła się; e) Liczba elektronów w paśmie przewodnictwa wzrosła.
8. Jak zdefiniowana jest ruchliwość nośników ładunku? Wyraz
ruchliwość elektronów swobodnych w metalu wzorem
zawierającym średnią drogę swobodną między zderzeniami.
9. Przedstaw na wykresie zależność od temperatury oporu elektrycznego typowego metalu. Jakie procesy określają postać tej
zależności w różnych zakresach temperatury?
11. Podaj wzór określający masę efektywną elektronu w paśmie przewodnictwa. Jaki wzór określa masę efektywną dziury?
12. Opisz wybrane zastosowanie złącza p-n (diody półprzewodnikowej).
13. Dioda świecąca wykonana z półprzewodnika GaAsP emituje światło czerwone. Gdy patrzysz przez kryształ tego
półprzewodnika na białą kartkę to widzisz kartkę: a) czerwoną, b) niebieską; c) białą; d) nic nie widać bo kryształ nie jest
przezroczysty.
14. Jaka jest największa długość fali światła, które wzbudzi elektron z pasma walencyjnego do pasma przewodnictwa:
a) diamentu Eg=5,5 eV? b) krzemu Eg=1,12 eV? c) arsenku galu Eg=1,5 eV? d) siarczku kadmu Eg=2,4 eV?
Do jakiej części widma elektromagnetycznego należy to światło?
15. Laser emituje światło o długości fali =600 nm w prawie równoległej wiązce o średnicy d=2 cm. Jaka jest średnica koła
oświetlanego na ścianie Pałacu Kultury przez taki laser umieszczony na gmachu SiMR w odległości L=2600 m. Rozmiar
kÄ…towy centralnego krążka przy dyfrakcji na otworze koÅ‚owym o Å›rednicy d jest dany wzorem sin¸=1,22/d.
16. Narysuj schemat poziomów energetycznych wybranego typu lasera. Zaznacz między którymi poziomami następuje
wzbudzenie atomów a między którymi emisja wymuszona światła laserowego.
17. Wymień warunki, jakie powinny być spełnione aby nastąpiła emisja laserowa.
18. Zgodnie ze znaczeniem akronimu LASER jest wzmacniaczem światła. Opisz jak zachodzi zwiększenie energii wiązki
światła w laserze.
19. Rozważ atomy gazu, w przypadku których różnica energii między poziomem podstawowym a poziomem wzbudzonym
odpowiada energii fotonu o długości fali =450 nm. Oblicz stosunek liczby atomów w stanie wzbudzonym do liczby atomów
w stanie podstawowym w równowadze termodynamicznej w temperaturze T=300 K. W jakiej temperaturze liczba atomów w
stanie wzbudzonym stanowiłaby połowę liczby atomów w stanie podstawowym?
20. Laser emituje światło o długości fali =690 nm w postaci impulsów o czasie trwania 10 ps i energii 0,15 J na impuls. Jaka
jest długość emitowanej paczki falowej? Ile fotonów jest w każdym impulsie? Jaka jest moc szczytowa promieniowania w
impulsie? Jaka szerokość rozkładu długości fali " wynika z zasady nieoznaczoności?
21. Pręt lasera rubinowego ma średnicę D = 8 mm i długość l = 60 mm. Rubin jest kryształem Al2O3, w którym 0,03%
czÄ…steczek stanowi domieszka Cr2O3. GÄ™stość rubinu jest Á = 4 g/cm3, masa molowa M = 102 g/mol.
a) Oszacuj maksymalną energię wypromieniowaną w impulsie tego lasera, który emituje światło o długości fali  = 694 nm.
Załóż całkowitą inwersję obsadzeń poziomów energetycznych atomów chromu.
b) Traktując pręt lasera jak rezonator optyczny, oblicz ile węzłów fali stojącej znajduje się wzdłuż osi lasera. O jaką wielkość
" należy zmienić długość fali, aby zwiększyć liczbę węzłów o 1? Jaką część długości fali stanowi "?
3