SiMR studia magisterskie FIZYKA semestr zimowy 2011/2012
Uwaga: Na kolokwium można się posługiwać własnoręcznie sporządzoną notatką na kartce A4 zapisanej po obu stronach. Wszelkie wzory, stałe
fizyczne i inne informacje mogą być zapisane pismem odręcznym. Notatka musi być podpisana na środku kartki przez właściciela + wolne pole na
podpis wykładowcy. Notatkę należy przedstawić do akceptacji przy wpisywaniu się na listę. Wszelkie inne pomoce i ściągi, materiały drukowane lub
powielane są niedozwolone, jak również korzystanie z książek, komputerów i telefonów komórkowych.
Zagadnienia objęte kolokwium 1:
1. Nagroda Nobla z fizyki 2011  odkrycie przyspieszania ekspansji Wszechświata poprzez obserwacją odległych supernowych. .
2. Prawo promieniowania Kirchhoffa, promieniowanie ciała doskonale czarnego - wzór Stefana-Boltzmanna, prawo Wiena. Widmo
promieniowania elektromagnetycznego.
3. Rozkład widmowy promieniowania termicznego, założenia i wzór Plancka. Kosmiczne promieniowanie reliktowe.
4. Fotony: energia i pęd. Zjawisko fotoelektryczne. Efekt Comptona. Tworzenie pary elektron-pozyton.
5. Interferencja światła z dwu szczelin, siatka dyfrakcyjna, dyfrakcja na szczelinie, nałożenie efektów interferencji i dyfrakcji w
doświadczeniu z dwoma szczelinami.
6. Dyfrakcja na strukturach krystalicznych, warunek Bragga, pomiary dyfrakcji promieniowania rentgenowskiego.
7. Falowe właściwości materii, hipoteza de Broglie a, dyfrakcja elektronów. Długość fali elektronu i cząstki makroskopowej.
8. Fale materii: zależność dyspersyjna �(k), prędkość fazowa i grupowa, porównanie z falami elektromagnetycznymi.
9. Złożenie fal o różnych częstościach, związek między szerokością rozkładu liczby falowej a rozciągłością paczki fal.
10. Opis cząstki swobodnej jako paczki falowej, poszerzanie się paczki falowej. Interpretacja statystyczna funkcji falowej.
11. Zasada nieoznaczoności Heisenberga, związek z falowym opisem cząstek.
12. Równanie Schr�dingera, rozwiązanie w postaci fali biegnącej, zgodność z klasycznym związkiem między energią i pędem.
13. Rozdzielenie zmiennych przestrzennych i czasu w równaniu Schr�dingera, funkcje i wartości własne energii.
14. Próg potencjału, opis klasyczny i kwantowy, strumień cząstek, współczynniki odbicia i przejścia, wnikanie cząstek w obszar
energetycznie wzbroniony.
15. Bariera potencjału, współczynnik przejścia, zjawisko tunelowe. Skaningowy mikroskop tunelowy.
16. Cząstka w pułapce  jednowymiarowa nieskończenie głęboka studnia potencjału, fale stojące, poziomy energetyczne.
17. Cząstka w zagrodzie dwuwymiarowej, degeneracja poziomów energii.
18. Studnia potencjału o skończonej głębokości, rozwiązanie równania Schr�dingera, stany związane cząstki i wartości energii.
19. Oscylator harmoniczny- opis klasyczny: energia, zasięg ruchu, prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w różnych położeniach.
20. Równanie Schr�dingera oscylatora harmonicznego, funkcja falowa stanu podstawowego, znajdowanie funkcji własnych metodą
rozwinięcia w szereg - wielomiany Hermite a, poziomy energii.
21. Formalizm mechaniki kwantowej, operatory, wartości własne i ich związek z obserwacjami, przemienność operatorów - komutator,
operatory położenia, pędu i energii.
22. Operatorowe rozwiązanie zagadnienia oscylatora harmonicznego, operatory kreacji i anihilacji wzbudzeń oscylatora.
23. Moment pędu w mechanice kwantowej, operatory składowych momentu pędu, przedstawienie we współrzędnych sferycznych,
Ć
wartości własne operatora Lz .
24. Przemienność operatorów składowych i kwadratu momentu pędu oraz ich wartości własne, operatory L+ i L- zwiększania i
zmniejszania wartości składowej Lz, kwantowanie przestrzenne. Opis obrotów w 3 wymiarach - funkcje kuliste.
25. Związek między momentem pędu a momentem magnetycznym elektronu, magneton Bohra, efekt Zeemana.
26. Spin elektronu, doświadczenie Sterna-Gerlacha, spinowy moment magnetyczny, macierzowa reprezentacja operatorów spinu.
27. Atomu wodoru, linie widmowe, wzór Balmera. Model Bohra, energia jonizacji, poziomy energii, promień orbity elektronu.
28. Równanie Schr�dingera elektronu w atomie wodoru, współrzędne sferyczne, rozwiązanie dla stanu podstawowego.
29. Liczby kwantowe określające stan elektronu w atomie i ich znaczenie. Symbole powłok i orbitali atomowych.
30. Radialne funkcje falowe, rozkład radialny prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w odległości r od jądra, porównanie z
modelem Bohra.
31. Przestrzenne rozkłady gęstości prawdopodobieństwa dla orbitali elektronowych w atomie wodoru.
32. Cząstki identyczne nierozróżnialne w mechanice kwantowej, symetria funkcji falowej przy zamianie cząstek.
33. Bozony i fermiony, spin całkowity lub połówkowy. Zakaz Pauliego. Przestrzenna i spinowa funkcja falowa dwu elektronów.
34. Liczba stanów elektronowych w atomie, atomy wieloelektronowe, układ poziomów energii, obsadzanie orbitali elektronowych.
35. Przykładowe konfiguracje elektronów, gazy szlachetne, litowce, chlorowce, układ okresowy pierwiastków, metale przejściowe.
36. Wiązania chemiczne, wiązania w ciele stałym, porównanie energii wiązania, rozkład elektronów walencyjnych:
a) wiązanie jonowe  potencjał przyciągania i odpychania, energia wiązania, struktura kryształów jonowych;
b) wiązanie kowalencyjne, orbitale wiążące i niewiążące, kierunkowość, hybrydyzacja orbitali;
c) wiązanie wodorowe, wyjątkowość jonu H+ - protonu, struktura wody i białek;
d) wiązanie molekularne (van der Waalsa), potencjał Lennarda-Jonesa;
e) wiązanie metaliczne w ciałach stałych.
Podręczniki:
1. D. Halliday, R. Resnick, J. Walker: Podstawy fizyki, PWN 2003, tom 5.
2. Jay Orear: Fizyka, WNT 1994, tom 2.
3. W. Bogusz, J. Garbarczyk, F. Krok: Podstawy fizyki, Oficyna Wydawnicza PW 1997.
4. R. Eisberg , R. Resnick: Fizyka kwantowa, PWN 1983.
1
Pytania ze sprawdzianów
1. Opisz krótko jedno znane Ci osiągnięcie naukowe, za które przyznano nagrodę Nobla z fizyki w ciągu stu dziesięciu lat
od 1901 do 2010 roku.
2. Z jaką prędkością biegnie światło próżni? Częstotliwość fali elektromagnetycznej używanej przez telefony komórkowe
wynosi 1,8 GHz. Oblicz długość tej fali.
3. Oszacuj drogę jaką przebywa światło w próżni w czasie 1 roku, tj. podaj ile metrów ma rok świetlny (jednostka
odległości w astrofizyce).
4. Jakie założenia wprowadził Planck do teorii promieniowania elektromagnetycznego aby uzasadnić wzór na rozkład
natężenia promieniowania ciała doskonale czarnego w zależności od długości fali? Oszacuj energię kwantu światła
(fotonu) o długości fali =0,5 �m (światło zielone) i wyraz
ją w elektronowoltach.
5. Zapisz wzór na szerokość kątową wiązki światła, które uległo dyfrakcji na szczelinie o szerokości a. Jak najprościej
można uzasadnić ten wzór? Zilustruj rozumowanie rysunkiem.
6. Zapisz prawo Bragga. Promieniowanie rentgenowskie o długości fali =0,14 nm odbite od pewnej rodziny płaszczyzn
atomowych w krysztale pojawia się pod kątem 2�=60o od wiązki padającej. Jaka jest odległość d między sąsiednimi
płaszczyznami atomowymi tej rodziny?
7. Sformułuj hipotezę de Broglie a. Oszacuj długość fali elektronu, który został przyspieszony przez różnicę potencjału
U=1000 V.
8. Cząstka jest opisywana przez zespoloną funkcję falową: �(x,t)=f(x)exp(-i�t). Jak obliczyć prawdopodobieństwo
znalezienia cząstki na odcinku od x1=0 nm do x2=5 nm? Czy wartość tego prawdopodobieństwa zależy od czasu?
9. Zapisz równanie Schr�dingera zależne od czasu dla cząstki o masie m poruszającej się wzdłuż osi x w obszarze,
w którym energia potencjalna V jest stała. Sprawdz
, czy funkcja �(x,t)=Aexp[-i(kx+�t)] może być rozwiązaniem tego
równania. Zapisz związek między stałymi k i �.
10. Zapisz równanie Schr�dingera niezależne od czasu dla cząstki o masie m poruszającej wzdłuż osi x w obszarze,
w którym energia potencjalna V nie zależy od położenia. Sprawdz
, że funkcja �(x)=Aexp(-ąx)+Bexp(+ąx) jest
rozwiązaniem tego równania, gdy energia cząstki jest mniejsza od energii potencjalnej E11. Elektrony o energii E=9 eV padają z obszaru, w którym potencjał jest równy zero na stromy próg potencjału o
wysokości V0=5 eV. Oblicz współczynnik odbicia.
12. Elektron o masie m=9,1�10-31 kg jest zamknięty w jednowymiarowej pułapce o szerokości a=0,5 nm. Zapisz wzór na
dozwolone wartości energii tego elektronu. Jaka jest najmniejsza dozwolona energia tego elektronu? Oblicz jej przybliżoną
wartość i wyraz
w elektronowoltach [eV].
13. W cząsteczce HBr proton (jon H+) o masie mp=1,67�10-27 kg wykonuje drgania harmoniczne o częstotliwości
�=1�1014Hz. Cięższy jon Br- traktujemy jak nieruchomy. Oblicz energię drgań zerowych tego oscylatora kwantowego.
Traktując cząsteczkę jak oscylator klasyczny, oblicz amplitudę drgań protonu, przy której energia byłaby równa energii
zerowej.
2
h2 d nĄx
14. Operator ma funkcje własne
� = - �n(x)= C sin�# ś# określone dla 0d"xd"L, gdzie n=1,2,3,... zaś C jest stałą.
ś# ź#
2m dx2 L
�# #
Wyznacz wartości własne operatora odpowiadające tym funkcjom własnym. Jaką wielkość fizyczną reprezentuje ten
operator? Jaki układ fizyczny opisuje ten zbiór funkcji własnych?
15. Sprawdz
, czy funkcja falowa y(x)=Ax exp(-bx2) spełnia równanie Schr�dingera oscylatora harmonicznego. Wyraz
stałą
b przez masę m i częstość drgań własnych � oscylatora.
16. Narysuj diagram kwantowania przestrzennego momentu pędu, gdy liczba kwantowa określająca kwadrat wektora jest
l=3. Jaka jest długość wektora momentu pędu? Podaj dozwolone wartości składowej Lz momentu pędu.
Ć Ć Ć
17. Zapisz związki komutacyjne dla operatorów składowych wektora momentu pędu Lx, Ly, Lz . Oblicz komutatory:
Ć Ćx Ć Ćy
Ć Ć
[Lz , L2] i [Lz, L2 ] aby wykazać, że operatory składowej i kwadratu momentu pędu są przemienne [Lz, L2]= 0 .
Ć Ć Ć Ć Ć
Skorzystaj z tożsamości [�, B2]= [�, B]B + B[�Ć B].
,
18. Zapisz hamiltonian oscylatora harmonicznego wyrażony przez operatory kreacji a+ i anihilacji a- wzbudzenia. Znając
wartość komutatora [�-,�+]= 1 oblicz komutator operatora kreacji i hamiltonianu [�+, $
].
19. Wyrażenie na poziomy energetyczne atomu wodoru można zapisać w postaci En=(-13,6 eV)/n2. Zapisz wzór na
długość fali drugiej linii widmowej w serii Lymana (przejście z poziomu n1=3 do n2=1) i oszacuj jej wartość.
20. Funkcja falowa elektronu w atomie wodoru może być zapisana jako Ynlm, gdzie n, l, m są liczbami kwantowymi. Które
z następujących symboli są funkcjami falowymi dozwolonych stanów atomu wodoru? a) Y100 b) Y101 c) Y211 d)
Y222 e) Y321.
Podaj wartość bezwzględną momentu pędu odpowiadającą każdej ze wskazanych funkcji falowych.
21. Korzystając z reprezentacji operatorów spinu elektronu przez macierze 2x2 oblicz wynik działania operatorów
składowych spinu \
x, \
y na funkcje własne �ę!, ��! operatora składowej \
z .
2
Przykładowe pytania i zadania dodatkowe
1. Sformułuj zasadę nieoznaczoności Heisenberga. Posługując się przykładem zilustruj związek między zasadą
nieoznaczoności a opisem cząstek przez fale.
2. Zapisz równanie wyrażające przekaz energii fotonu elektronowi w zjawisku fotoelektrycznym. Światło o długości fali
=0,3 �m pada na powierzchnię metalu i zostaje pochłonięte. Praca wyjścia elektronu z metalu jest W=2,5 eV. Oblicz
największą energię kinetyczną wybijanych elektronów.
3. W skaningowym mikroskopie tunelowym czubek igły znajduje się w odległości d=0,5 nm od powierzchni metalu.
Oszacuj współczynnik transmisji T dla elektronów, jeśli w obszarze między metalem a igłą energia tunelujących elektronów
jest mniejsza od energii potencjalnej: V-E=2,5 eV.4. Stosując notację Ynlm, wypisz wszystkie możliwe funkcje falowe,
których główna liczba kwantowa jest n=4. Ile jest takich funkcji falowych?
5. Dwie wąskie szczeliny w folii złotej są oddalone od siebie o d=5 �m. Na szczeliny pada strumień elektronów o
jednakowej energii kinetycznej. Na kliszy umieszczonej w odległości L=0,2 m od szczelin zarejestrowano obraz
interferencyjny. Oblicz energię kinetyczną elektronów, gdy odległość między kolejnymi minimami natężenia jest 10 �m?
6. Jak można zaobserwować falowe właściwości elektronów?
7. Elektron jest zamknięty w jednowymiarowym pudle ograniczonym nieprzenikalnymi ściankami w x=0 i x=3,0�10-10 m.
a) Podaj wyrażenie na funkcję falową tego elektronu, która jest falą stojącą o trzech połowach długości fali mieszczących
się w pudle. Naszkicuj rozkład gęstości prawdopodobieństwa odpowiadający tej funkcji falowej.
b) Jaka jest energia zerowa elektronu E1 (odpowiedz
wyraz
w eV i w J)?
c) Jakie są energie fotonów emitowanych przez ten elektron przy przejściach między sąsiednimi poziomami energii ?
Napisz ogólny wzór i podaj kilka przykładowych wartości.
8. Elektron jest zamknięty w jednowymiarowej, nieskończenie głębokiej studni potencjału. Przy przejściach między
poziomami energii, elektron emituje fale elektromagnetyczne. Największa długość fali emitowanej przez ten elektron jest
max =1,6�"10-7 m. Oblicz szerokość studni potencjału.
9. Opisz przykład układu, w którym energia jest skwantowana - występują dyskretne poziomy energii.
10. Foton, elektron i proton mają energię 1 keV. Jakie długości fal odpowiadają tej energii ?
11. Foton, elektron i proton są opisywane prze fale o długości =0,1 nm. Jakie są energie tych cząstek?
12. Oblicz długość fali  i naturalną szerokość " linii widmowej emitowanej przez atomy sodu w stanie wzbudzonym o
energii E1=2,1 eV i średnim czasie życia �=1,5�"10-8 s.
13. Które z następujących stwierdzeń dotyczących liczb kwantowych opisujących stan elektronu w atomie wodoru jest
fałszywe ? Uzasadnij. a) Wszystkie stany z l=0 mają również m=0, niezależnie od n.
b) Ilość możliwych wartości liczby magnetycznej m zależy jedynie od wartości orbitalnej liczby kwantowej l.
c) Najmniejsza wartość głównej liczby kwantowej n, która może występować z daną orbitalną liczbą kwantową l jest n=l+1.
14. Dlaczego falowa natura materii nie ujawnia się podczas ruchu ciał makroskopowych?
15. Jak wyglądałby świat, gdyby elektrony nie podlegały zakazowi Pauliego? Rozważ atomy wieloelektronowe.
16. Poziomy energetyczne cząstki, która jest zamknięta w sześcianie o boku L są dane wzorem:
E(nx,ny,nz)=(h2/8mL2)�"(nx2 + ny2 + nz2). Ile stanów kwantowych odpowiada poziomowi energii E=14h2/8mL2 ? Zapisz liczby
kwantowe nx,ny,nz odpowiadające tym stanom kwantowym.
17. Cząstka o masie m, poruszająca się z prędkością znacznie mniejszą od prędkości światła, jest opisywana przez
zespoloną funkcję falową: Ś(x,t)=Aexp[(i(kx-�t)]=A[cos(kx-�t)+isin(kx-�t)]. Ile wynosi prędkość fazowa a ile prędkość
grupowa tej fali? Ile wynoszą: energia, pęd i prędkość cząstki?
18. Liczby kwantowe dwu elektronów litu (Z=3) równe są n=1, l=0, m=0, ms=-1/2 oraz n=1, l=0, m=0, ms=+1/2. Jakie liczby
kwantowe może przyjąć trzeci elektron, gdy atom jest: a) w stanie podstawowym, b) w pierwszym stanie wzbudzonym?
19. Zapisz związek między orbitalnym momentem pędu elektronu a momentem magnetycznym oraz między spinowym
momentem pędu a odpowiadającym mu momentem magnetycznym.
20. Podaj nazwę wiązania chemicznego, które odpowiada za tworzenie się każdego z podanych ciał stałych: a) diament C;
b) kryształ fluorku litu LiF, c) miedz
Cu; d) lód  kryształy wody H2O; e) kryształ argonu Ar w temperaturze 80 K.
21. Co to jest hybrydyzacja sp3? Podaj przykład ciała stałego, w którym występuje.
22. Narysuj schemat poziomów energetycznych oscylatora harmonicznego. Podaj wyrażenie na dozwolone wartości
energii. Jeśli atom w cząsteczce wykonuje drgania o częstotliwości �=2�1014 Hz to jaka energia jest potrzebna do
wzbudzenia drgania?
23. Dlaczego falowa natura materii nie ujawnia się podczas ruchu ciał makroskopowych?
24. Maksimum rozkładu widmowego promieniowania Słońca przypada na długość fali max=510 nm. Przyjmując, że
powierzchnia Słońca promieniuje jak ciało doskonale czarne, oszacuj temperaturę powierzchni Słońca. Oblicz całkowitą
moc promieniowania elektromagnetycznego emitowanego przez 1 m2 powierzchni Słońca.
25. Oblicz długość fali  i naturalną szerokość " linii widmowej emitowanej przez atomy sodu w stanie wzbudzonym o
energii E1=2,1 eV i średnim czasie życia �=1,5�"10-8 s.
26. Obsadzenie poziomów elektronowych w stanie podstawowym atomu argonu zapisujemy: 1s22s22p63s23p6. Ile
elektronów tworzy wraz z jądrem atom argonu? Zapisz obsadzenie stanów elektronowych w atomie wapnia, który składa
się z jądra atomowego i 20 elektronów. Podaj oznaczenia literowe powłok elektronowych całkowicie zapełnionych
w atomie wapnia.
27. Jakie przyczynki do energii należy uwzględnić, aby określić zmianę energii podczas tworzenia się kryształu soli
kuchennej NaCl z atomów sodu i chloru?
3