Metoda Janssena (1895) do obliczania naporu w silosach
Kanał równoległy
Rysunek pokazuje naprężenia działające na warstwę materiału
sypkiego o grubości dz.
Ãx  Å›rednie pionowe naprężenie
normalne,
Ãn - poziome naprężenie normalne
na ścianie,
Ä - naprężenie styczne na Å›cianie,
Õw  kÄ…t tarcia na Å›cianie,
ł - ciężar objętościowy,
dz  wysokość,
2a  szerokość kanału
Warunek równowagi dla kanału szczelinowego (bez sił
bezwładności) jest następujący (depth b>> width a)
Ã × 2a ×1.0 - (à + dà )× 2a ×1.0 - 2Ä × dz ×1.0 + Å‚ × 2a× dz ×1.0 = 0
z zz
Ä × dz
-dà - + Å‚ × dz = 0
z
a
dà Ä
z
+ - Å‚ = 0
dz a
Warunek równowagi dla kanału walcowego (bez sił bezwładności)
à ×Ä„ × a2 - (à + dà )×Ä„ × a2 -Ä ×Ä„ × 2a × dz + Å‚ ×Ä„ × a2 × dz = 0
z zz
dà 2Ä
z
+ -Å‚ = 0
dz a
dà mÄ
z
+ -Å‚ = 0
dz a
Rów. przybiera następującą postać
dà mM
z
+ Ã - Å‚ = 0
z
Ä /Ãn = tanÕw
dz a
Ãn
= K
mM mM
Ã
- zz
Å‚ a
z
aa
à = e ( e + C)
z
mM
M = K × tanÕw
0 mM
- z
Å‚ a Å‚ a
Å‚ a
à = Ã
0 0
a
z = 0,
zz
C = Ã -
à = + (à - )e
dla
z
zz
mM
mM mM
à = 0
dla z = 0,
mM
z
- z
Å‚ a
a
à = (1- e )
z
mM
Å‚ a
à =
z(x=")
Dla nieskończenie wysokiego kanału (z=")
mM
à = ł z
Dla kanaÅ‚u idealnie gÅ‚adkiego (Õw=0o)
z
à = K ×Ã
G
nz
T
Ä = M ×Ã
G = T + R
z
R
Dla przypadku warstwy płaskiej z warunku równowagi sił
(pomija się wyrazy wyższego rzędu) otrzymujemy
Dla kanału stożkowego
-(à + dà )Ä„ (z ×tg¸w)2 +à Ą (z ×tg¸w - dz ×tg¸w)2 +
Kanał zbieżny
zz z
dz dz
(Ä ×cos¸w cos¸w +Ãb ×sin¸w cos¸w )2Ä„ × z ×tg¸w -
Å‚ × dz ×Ä„ ×(z ×tg¸w)2 = 0
dà 2
z
+ (Ã -Ãn -Ä × ctg¸w) + Å‚ = 0
z
dz z
Dla kanału klinowego
dà 1
z
+ (Ã -Ãn -Ä × ctg¸w) + Å‚ = 0
z
dz z
dà m
z
+ (Ã -Ãn -Ä × ctg¸w) + Å‚ = 0
z
dz z
dà mÃ
zz
+ [(1- M (ctgÕw + ctg¸w)] + Å‚ = 0
dz z
dÃÃ
zz
+ mN + Å‚ = 0
dz z
N = [1- M (ctgÕw + ctg¸w)]
Å‚
à = - z + Cz-mN
A) Jeśli z
mN `"-1
mN +1
0 Å‚ H
mN 0
z = H
dla à = Ã
C = H (Ã + )
z
zz
mN +1
Å‚Å‚ H H
0
à = - z + (à + )( )mN
zz
mN +1 mN +1 z
z = H Ã = 0
dla
z
Å‚ H
à = - [-1+ ( )mN +1]
z
mN +1 z
1
M <
à = "
W wierzchołku kanału (z=0) gdy mN>0
ctgÕw + ctg¸w
z
1
à = 0
z
M >
gdy mN<0
ctgÕw + ctg¸w
B) Jeśli mN=-1 rozwiązaniem jest
à = -(C -ł ln z)z
z
H
à = ł z ln
z
z
Dla elementu o kształcie warstwy walcowej lub kulistej
Rozwiązanie jest następujące dla brzegu nieobciążonego (r=rz)
Å‚ K rz
à = [-1+ ( )mN +1]
z
mN `"-1
mN +1 r
rz
à = ł Kr ln
z
mN = -1
r
Określenie stałej M (kanał równoległy)
Stałą M można określić na podstawie 3 różnych założeń:
- uplastycznienie materiału przy ścianie silosu,
- uplastycznienie materiału w środku silosu,
- uplastycznienie materiału w środku i przy ścianie.
a b
Naprężenia główne w stanie czynnym (a) i biernym (b)
opróżnianie
sinÕw
sin´ sin[arcsin +Õw]
sin´
M =
sinÕw
1- sin´ cos[arcsin +Õw]
sin´
napełnianie
sinÕw
sin´ sin[arcsin -Õw]
sin´
M =
sinÕw
1+ sin´ cos[arcsin -Õw]
sin´
Określenie stałej M (kanał zbieżny)
Stałą M można określić na podstawie 3 różnych założeń:
- uplastycznienie materiału przy ścianie silosu,
- uplastycznienie materiału w środku silosu,
- uplastycznienie materiału w środku i przy ścianie.
opróżnianie
sinÕw
(1+ sin´ )sin´ sin[arcsin +Õw]
sin´
M =
sinÕw
1- sin2 ´ cos[arcsin +Õw + 2¸w]
sin´
napełnianie
sinÕw
(1- sin´ )sin´ sin[arcsin -Õw]
sin´
M =
sinÕw
1- sin2 ´ cos[arcsin -Õw - 2¸w]
sin´
Porównanie parametru M
a
b
Zależność stałej M od efektywnego kąta tarcia wewnętrznego
i kąta tarcia na ścianie (a) kanał równoległy, b) kanał zbieżny)
Analiza naprężeń
Kanał równoległy
-
-
Ä
- Ãn
Ã
z Ä =
Ãn =
à =
z
Å‚ a
Å‚ a
Å‚ a
Rozkłady bezwymiarowych naprężeń wzdłuż ściany nieobciążonego u góry
kanaÅ‚u pÅ‚askiego (opróżnianie uplastycznienie przy Å›cianie, Õw=10o)
Kanał zbieżny
napełnianie
napełnianie i opróżnianie
Rozkłady bezwymiarowych naprężeń wzdłuż ściany nieobciążonego u góry
kanału zbieżnego (stan czynny i czynny, element walcowy, uplastycznienie
przy Å›cianie i w Å›rodku, Ć=30o, Õw=10o, ¸w=20o)
Kanał złożony
Rozkłady bezwymiarowych naprężeń wzdłuż ściany
nieobciążonego u góry kanału złożonego
opróżnianie (Ć=30o, Õw=10o, ¸w=20o)