Metoda Janssena (1895) do obliczania naporu w silosach
Kanał równoległy
Rysunek pokazuje naprężenia działające na warstwę materiału
sypkiego o grubości dz.
�x  średnie pionowe naprężenie
normalne,
�n - poziome naprężenie normalne
na ścianie,
� - naprężenie styczne na ścianie,
�w  kąt tarcia na ścianie,
ł - ciężar objętościowy,
dz  wysokość,
2a  szerokość kanału
Warunek równowagi dla kanału szczelinowego (bez sił
bezwładności) jest następujący (depth b>> width a)
� � 2a �1.0 - (� + d� )� 2a �1.0 - 2� � dz �1.0 + ł � 2a� dz �1.0 = 0
z zz
� � dz
-d� - + ł � dz = 0
z
a
d� �
z
+ - ł = 0
dz a
Warunek równowagi dla kanału walcowego (bez sił bezwładności)
� �Ą � a2 - (� + d� )�Ą � a2 -� �Ą � 2a � dz + ł �Ą � a2 � dz = 0
z zz
d� 2�
z
+ -ł = 0
dz a
d� m�
z
+ -ł = 0
dz a
Rów. przybiera następującą postać
d� mM
z
+ � - ł = 0
z
� /�n = tan�w
dz a
�n
= K
mM mM
�
- zz
ł a
z
aa
� = e ( e + C)
z
mM
M = K � tan�w
0 mM
- z
ł a ł a
ł a
� = �
0 0
a
z = 0,
zz
C = � -
� = + (� - )e
dla
z
zz
mM
mM mM
� = 0
dla z = 0,
mM
z
- z
ł a
a
� = (1- e )
z
mM
ł a
� =
z(x=")
Dla nieskończenie wysokiego kanału (z=")
mM
� = ł z
Dla kanału idealnie gładkiego (�w=0o)
z
� = K ��
G
nz
T
� = M ��
G = T + R
z
R
Dla przypadku warstwy płaskiej z warunku równowagi sił
(pomija się wyrazy wyższego rzędu) otrzymujemy
Dla kanału stożkowego
-(� + d� )Ą (z �tg�w)2 +� Ą (z �tg�w - dz �tg�w)2 +
Kanał zbieżny
zz z
dz dz
(� �cos�w cos�w +�b �sin�w cos�w )2Ą � z �tg�w -
ł � dz �Ą �(z �tg�w)2 = 0
d� 2
z
+ (� -�n -� � ctg�w) + ł = 0
z
dz z
Dla kanału klinowego
d� 1
z
+ (� -�n -� � ctg�w) + ł = 0
z
dz z
d� m
z
+ (� -�n -� � ctg�w) + ł = 0
z
dz z
d� m�
zz
+ [(1- M (ctg�w + ctg�w)] + ł = 0
dz z
d��
zz
+ mN + ł = 0
dz z
N = [1- M (ctg�w + ctg�w)]
ł
� = - z + Cz-mN
A) Jeśli z
mN `"-1
mN +1
0 ł H
mN 0
z = H
dla � = �
C = H (� + )
z
zz
mN +1
łł H H
0
� = - z + (� + )( )mN
zz
mN +1 mN +1 z
z = H � = 0
dla
z
ł H
� = - [-1+ ( )mN +1]
z
mN +1 z
1
M <
� = "
W wierzchołku kanału (z=0) gdy mN>0
ctg�w + ctg�w
z
1
� = 0
z
M >
gdy mN<0
ctg�w + ctg�w
B) Jeśli mN=-1 rozwiązaniem jest
� = -(C -ł ln z)z
z
H
� = ł z ln
z
z
Dla elementu o kształcie warstwy walcowej lub kulistej
Rozwiązanie jest następujące dla brzegu nieobciążonego (r=rz)
ł K rz
� = [-1+ ( )mN +1]
z
mN `"-1
mN +1 r
rz
� = ł Kr ln
z
mN = -1
r
Określenie stałej M (kanał równoległy)
Stałą M można określić na podstawie 3 różnych założeń:
- uplastycznienie materiału przy ścianie silosu,
- uplastycznienie materiału w środku silosu,
- uplastycznienie materiału w środku i przy ścianie.
a b
Naprężenia główne w stanie czynnym (a) i biernym (b)
opróżnianie
sin�w
sin� sin[arcsin +�w]
sin�
M =
sin�w
1- sin� cos[arcsin +�w]
sin�
napełnianie
sin�w
sin� sin[arcsin -�w]
sin�
M =
sin�w
1+ sin� cos[arcsin -�w]
sin�
Określenie stałej M (kanał zbieżny)
Stałą M można określić na podstawie 3 różnych założeń:
- uplastycznienie materiału przy ścianie silosu,
- uplastycznienie materiału w środku silosu,
- uplastycznienie materiału w środku i przy ścianie.
opróżnianie
sin�w
(1+ sin� )sin� sin[arcsin +�w]
sin�
M =
sin�w
1- sin2 � cos[arcsin +�w + 2�w]
sin�
napełnianie
sin�w
(1- sin� )sin� sin[arcsin -�w]
sin�
M =
sin�w
1- sin2 � cos[arcsin -�w - 2�w]
sin�
Porównanie parametru M
a
b
Zależność stałej M od efektywnego kąta tarcia wewnętrznego
i kąta tarcia na ścianie (a) kanał równoległy, b) kanał zbieżny)
Analiza naprężeń
Kanał równoległy
-
-
�
- �n
�
z � =
�n =
� =
z
ł a
ł a
ł a
Rozkłady bezwymiarowych naprężeń wzdłuż ściany nieobciążonego u góry
kanału płaskiego (opróżnianie uplastycznienie przy ścianie, �w=10o)
Kanał zbieżny
napełnianie
napełnianie i opróżnianie
Rozkłady bezwymiarowych naprężeń wzdłuż ściany nieobciążonego u góry
kanału zbieżnego (stan czynny i czynny, element walcowy, uplastycznienie
przy ścianie i w środku, Ć=30o, �w=10o, �w=20o)
Kanał złożony
Rozkłady bezwymiarowych naprężeń wzdłuż ściany
nieobciążonego u góry kanału złożonego
opróżnianie (Ć=30o, �w=10o, �w=20o)