1) p ≡ p
zasada tożsamości
każde zdanie jest równoważne z samym sobą
2) p ≡~~p
zasada podwójnego
każde zdanie jest równoważne zdaniu
przeczenia
powstałemu przez podwójne jego
zanegowanie
3) ~(p∧~p)
zasada sprzeczności
dwa zdania wzajem sprzeczne nie są oba
prawdziwe, jedno z nich jest prawdziwe, a
jedno z nich jest fałszywe
4) p∨~p
zasada wyłączonego
w przypadku dwóch zdań wzajem
środka
sprzecznych, wyłączona jest jakaś trzecia,
środkowa ewentualność, dwa zdanie wzajem
sprzeczne nie są oba fałszywe, co najwyżej
jedno jest fałszywe, co znaczy ze drugie jest
prawdziwe
5) (p→~p)→ ~p
prawo redukcji do
jeżeli dane zdanie implikuje swoją negację, to
absurdu
ta negacja jest prawdziwa
6) (p∧q)→ p
prawo symplifikacji
koniunkcja dwóch zdań implikuje pierwsze z
nich
7) (p∧q) ≡ (q∧p)
prawo przemienności
koniunkcja pierwszego zdania i drugiego
koniunkcji
zdania jest równoważna koniunkcji drugiego
zdania i pierwszego
8) p → (p∨q)
prawo addycji
każde zdanie implikuje alternatywę, której jest
składnikiem
9) (p∨q) ≡ (q∨p)
prawo przemienności
alternatywa pierwszego zdania i drugiego
alternatywy
zdania jest równoważna alternatywie drugiego
zdania i pierwszego, kolejność składników jest
nieistotna
10) ~(p∧q) ≡ (~p∨~q)
pierwsze prawo de
negacja koniunkcji zdań jest równoważna
Morgana
alternatywie negacji tych zdań
11) ~(p∨q) ≡ (~p∧~q)
drugie prawo de
negacja alternatywy zdań jest równoważna
Morgana
koniunkcji negacji tych zdań
12) [(p→q ∧p] → q
modus ponendo
jeżeli pierwsze zdanie implikuje drugie i jest
ponens
tak jak stwierdza pierwsze zdanie, to jest też
tak, jak stwierdza drugie zdanie
13) [(p→q ∧~q] → ~p
modus tolendo tollens
jeżeli pierwsze zdanie implikuje drugie i nie
jest tak jak stwierdza drugie zdanie, to nie jest
tak, jak stwierdza pierwsze zdanie
14) ~p→ (p→ q)
prawo Dunsa Szkota
gdy zdanie jest fałszywe, to implikuje ono
dowolne zdanie
15) (p→ q) → (~q→ ~p)
prawo transpozycji
gdy jedno zdanie implikuje drugie, to negacja
drugiego implikuje negację pierwszego
16) (p≡q) ≡ (q≡p)
prawo przemienności
równoważność pierwszego zdania z drugim
równoważności
jest równoważna równoważności drugiego
zdania z pierwszym
17) [p∧(q∧r)] ≡ [(p∧q)∧r]
prawo łączności
wskazuje na równoważność złożonych
koniunkcji
koniunkcji, różniących się tylko usytuowaniem
czynników
18) [p∨(q∨r)] ≡ [(p∨q)∨r]
prawo łączności
wskazuje na równoważność złożonych
alternatywy
alternatyw, różniących się tylko usytuowaniem
czynników
19) [p∧(q∨r)] ≡ [(p∧q)∨(p∧r)]
prawo rozdzielności
wskazuje równoważność swoiście złożonej
koniunkcji względem
koniunkcji ze swoiście złożoną alternatywą
alternatywy
20) [p∨(q∧r)] ≡ [(p∨q)∧(p∨r)]
prawo rozdzielności
wskazuje równoważność swoiście złożonej
alternatywy względem
alternatywy ze swoiście złożoną koniunkcją
koniunkcji
21) [p→ (q→ r)] ≡ [q→ (p→ r)]
prawo komutacji
wskazuje ono na równoważność swoiście
przekształconych implikacji
22) [(p∧q)→ r] → [p→ (q→ r)]
prawo eksportacji
implikacja o złożonym poprzedniku implikuje
implikację o swoiście złożonym następniku
23) [p→ (q→ r)] → [(p∧q)→ r]
prawo importacji
implikacja o złożonym następniku implikuje
implikację o swoiście złożonym poprzedniku
24) [(p→ q) ∧ (q→ r)] → (p→ r)
prawo sylogizmu
gdy pierwsze zdanie implikuje drugie, a drugie
hipotetycznego
zdanie implikuje trzecie zdanie, to pierwsze
zdanie implikuje trzecie
25)
[(p→ r)∧(q→ r)∧(p∨q)] → r
prawo dylematu
gdy jedno zdanie implikuje dane zdanie i
konstrukcyjnego
drugie zdanie implikuje dane zdanie i jest tak
jak stwierdza pierwsze lub drugie zdanie, to
jest tak, jak stwierdza zdanie implikowane
przez każde z tych zdań
strona 1 z 4
1) /\x(A) → \/x(A)
prawo zastępowania dużego kwantyfikatora przez mały
kwantyfikator
2) /\x/\y(A) ≡ /\y/\x(A)
prawo przestawiania dużych kwantyfikatorów
3) \/x\/y(A) ≡ \/y\/x(A)
prawo przestawiania małych kwantyfikatorów
4) \/x/\y(A) → /\y\/x(A)
prawo przestawiania małego kwantyfikatora z dużym
5) ~/\x(A) ≡ \/x ~(A)
prawo negowania dużego kwantyfikatora
6) ~\/x(A) ≡ /\x ~(A)
prawo negowania małego kwantyfikatora
7) /\x(A) ≡ ~\/x ~(A)
prawo zastępowania dużego kwantyfikatora
8) \/x(A) ≡ ~/\x ~(A)
prawo zastępowania małego kwantyfikatora
9) /\x(A → B) → [/\x(A) → /\x(B)]
prawo rozkładania dużego kwantyfikatora względem implikacji 10) /\x(A → B) → [\/x(A) → \/x(B)]
prawo rozkładania małego kwantyfikatora względem implikacji 11) /\x(A ∧ B) ≡ /\x(A) ∧ /\x(B)
prawo rozkładania dużego kwantyfikatora względem koniunkcji 12) \/x(A ∨ B) ≡ \/x(A) ∨ \/x(B)
prawo rozkładania małego kwantyfikatora względem
alternatywy
13) /\x(A) ∨ /\x(B) → /\x(A ∨ B)
prawo składania dużego kwantyfikatora względem alternatywy 14) \/x(A ∧ B) → \/x(A) ∧ \/x(B)
prawo rozkładania małego kwantyfikatora względem koniunkcji 15) /\x(A ≡ B) → [/\x(A) ≡ /\x(B)]
prawo ekstensjonalności dla dużego kwantyfikatora
16) /\x(A ≡ B) → [\/x(A) ≡ \/x(B)]
prawo ekstensjonalności dla małego kwantyfikatora
Rozdział 3
1) Z = Y ≡ /\x(x ∈ Z ≡ x ∈ Y)
2) Z ⊂ Y ≡ /\x(x ∈ Z → x ∈ Y)
3) Z ⊆ Y ≡ [/\x(x ∈ Z → x ∈ Y) ∧ \/x(x ∉ Z ∧ x ∈ Y)]
4) Z krzyżuje się z Y ≡ [\/x(x ∈ Z ∧ x ∈ Y) ∧ \/x(x ∈ Z ∧ x ∉ Y) ∧ \/x(x ∉ Z ∧ x ∈ Y)]
5) Z wyklucza się z Y ≡ ~ \/x(x ∈ Z ∧ x ∈ Y)
1) /\x(x ∈ Z ∪ Y ≡ x ∈ Z ∨ x ∈ Y)
2) /\x(x ∈ Z ∩ Y ≡ x ∈ Z ∧ x ∈ Y)
3) /\x(x ∈ Z - Y ≡ x ∈ Z ∧ x ∉ Y)
4) /\x(x ∈ Z’ ≡ x ∈ U ∧ x ∉ Z)
1) (Z ⊂ Y ∧ Y ⊂ X) → Z ⊂ X
dla dowolnych trzech zbiorów - jeśli pierwszy z nich zawiera się w drugim, a drugi zawiera się w trzecim, to pierwszy zbiór też zawiera się w trzecim
2) Z ⊂ (Z ∪ Y)
każdy zbiór zawiera się w sumie powstałej z niego i
dowolnego innego zbioru
3) Z ∪ (Y ∪ X) = (Z ∪ Y) ∪ X
dla dowolnych trzech zbiorów - suma pierwszego i sumy
drugiego oraz trzeciego z nich jest identyczna z sumą
powstałą z sumy pierwszego i drugiego oraz trzeciego z nich 4) (Z ⊂ X ∧ Y ⊂ X) → (Z ∪ Y) ⊂ X
dla dowolnych trzech zbiorów - jeśli pierwszy z nich zawiera się w trzecim i drugi zawiera się w trzecim, to i suma
pierwszego oraz drugiego zbioru zawiera się w trzecim
5) (Z ∩ Y) ⊂ Z
iloczyn dwóch dowolnych zbiorów zawiera się w pierwszym z nich
6) Z ∩ (Y ∩ X) = (Z ∩ Y) ∩ X
dla dowolnych trzech zbiorów - iloczyn pierwszego oraz
iloczynu drugiego i trzeciego z nich jest identyczny z
iloczynem powstałym z iloczynu pierwszego i drugiego z
nich oraz trzeciego zbioru
7) [(Z ⊂ Y) ∧ (Z ⊂ X)] → Z ⊂ (Y ∩ X) dla dowolnych trzech zbiorów - jeśli pierwszy z nich zawiera się w drugim i pierwszy zawiera się w trzecim, to pierwszy zawiera się też w iloczynie drugiego zbioru z trzecim
8) Z ∩ (Y ∪ X) = (Z ∩ Y) ∪ (Z ∩ X)
dla dowolnych trzech zbiorów - iloczyn pierwszego oraz
sumy drugiego i trzeciego z nich jest identyczny z sumą iloczynu pierwszego i drugiego z nich oraz iloczynu
pierwszego i trzeciego z nich
strona 2 z 4
9) Z ∪ (Y ∩ X) = (Z ∪ Y) ∩ (Z ∪ X)
dla dowolnych trzech zbiorów - suma pierwszego oraz
iloczynu drugiego i trzeciego z nich jest identyczna z
iloczynem sumy pierwszego i drugiego z nich oraz sumy
pierwszego i trzeciego z nich
10) Z - Y ⊂ Z
różnica dwóch dowolnych zbiorów zawiera się w pierwszym z nich. Dodajmy, że nie zawiera się w drugim z nich
11) Z ⊂ Y → (X - Y ⊂ X - Z)
dla dowolnych trzech zbiorów - jeśli pierwszy z nich zawiera się w drugim, to różnica trzeciego i drugiego z nich zawiera się w różnicy trzeciego i pierwszego z nich
12) Z - (Y ∪ X) = (Z - Y) ∩ (Z - X)
dla dowolnych trzech zbiorów - różnica pierwszego oraz
sumy drugiego i trzeciego z nich jest identyczna z iloczynem różnicy pierwszego i drugiego z nich oraz różnicy
pierwszego i trzeciego z nich
13) Z - (Y ∩ X) = (Z - Y) ∪ (Z - X)
dla dowolnych trzech zbiorów - różnica pierwszego oraz
iloczynu drugiego i trzeciego z nich jest identyczna z sumą różnicy pierwszego i drugiego z nich oraz różnicy
pierwszego i trzeciego z nich
14) Z ∪ Z’ = U
suma dowolnego zbioru i jego dopełnienia jest identyczna ze zbiorem pełnym, czyli z przyjętym uniwersum
15) Z ∩ Z’ = ∅
iloczyn dowolnego zbioru i jego dopełnienia jest identyczny ze zbiorem pustym
16) (Z ∪ Y)’ = Z’ ∩ Y’
dopełnienie sumy dwóch dowolnych zbiorów jest identyczne z iloczynem dopełnienia pierwszego zbioru i dopełnienia drugiego zbioru
17) (Z ∩ Y)’ = Z’ ∪ Y’
dopełnienie iloczynu dwóch dowolnych zbiorów jest
identyczne z sumą dopełnienia pierwszego zbioru i
dopełnienia drugiego zbioru
Rozdział 4
1) /\x [x ∈D(R) ≡ \/y(xRy)]
dziedzina relacji R
2) /\x [x ∈¯ D(R) ≡ \/y(yRx)]
przeciwdziedzina relacji R
3) /\x [x ∈P(R) ≡ x ∈D(R) ∨ x ∈¯ D(R)]
pole relacji R
1) Relacja R jest zwrotna ≡ /\x (xRx)
relacja zwrotna - relacja podobieństwa
2) Relacja R jest zwrotna w zbiorze
relacja zwrotna w zbiorze Z - relacja podobieństwa w
zbiorze studentów
Z ≡ /\x∈Z (xRx)
3) Relacja R jest niezwrotna w zbiorze
relacja niezwrotna w zbiorze Z – relacja utrzymywania
się
Z ≡ ~ /\x∈Z(xRx)
4) Relacja R jest przeciwzwrotna w zbiorze
relacja przeciwzwrotna w zbiorze Z – relacja bycia
szybszym
Z ≡ /\ x∈Z ~ (xRx)
1) Relacja R jest symetryczna w zbiorze
relacja symetryczna w zbiorze Z – relacja sąsiedztwa
Z ≡ /\ x∈Z /\ y∈Z (xRy → yRx)
2) Relacja R jest niesymetryczna w zbiorze relacja niesymetryczna w zbiorze Z – relacja lubienia Z ≡ ~/\x∈Z /\y∈Z(xRy → yRx)
3) Relacja R jest przeciwsymetryczna w
relacja przeciwsymetryczna w zbiorze Z – relacja
starszeństwa
zbiorze Z ≡ /\x∈Z /\y∈Z [xRy → ~(yRx)]
strona 3 z 4
1) Relacja R jest przechodnia w zbiorze
relacja przechodnia w zbiorze Z – relacja starszeństwa w zbiorze ludzi
Z ≡ /\x∈Z /\y∈Z /\z∈Z (xRy ∧ yRz → xRz)
2) Relacja R jest nieprzechodnią w zbiorze
relacja nieprzechodnia w zbiorze Z – relacja sąsiedztwa w zbiorze państw
Z ≡ ~/\x∈Z /\y∈Z /\z∈Z (xRy ∧ yRz → xRz)
3) Relacja R jest przeciwprzechodnią w
relacja przeciwprzechodnia w zbiorze Z – relacja
zbiorze
ojcostwa w zbiorze ludzi
Z ≡ /\x∈Z /\y∈Z /\z∈Z [xRy ∧ yRz → ~(xRz)]
1) Relacja R
konwers relacji R
1 jest konwersem relacji R2
1 (¯ R ) - relacja wyższości, jej konwersem
≡ /\
jest relacja niższości
x /\y (xR1y ≡ yR2x)
2) Relacja R
iloczyn względny relacji R
1 jest iloczynem względnym
2 i R3 - relacja bycia stryjkiem
relacji R2 i R3
≡ /\x /\y [xR1y ≡ \/z(xR2z ∧ zR3y)]
1) Relacja R jest spójna w zbiorze
relacja spójności – relacja większości w zbiorze liczb
naturalnych
Z ≡ /\x∈Z /\y∈Z (x ≠ y → xRy ∨ yRx)
1) Dwuczłonowa relacja R jest funkcją funkcja jednoargumentowa - zamiast pisać xRy jednoargumentową
piszemy y=f(x)
≡ /\x /\y /\z (xRy ∧ xRz → y = z)
strona 4 z 4