ad 5
Krzysztof Makarski
18. Technologia
Zaczynamy zajmować si ¾
e stron ¾
a poda·
zow ¾
a gospodarki. Zaczynamy od najbardziej podsta-wowego poj ¾
ecia - technologii.
Technologia opisywana jest za pomoc ¾
a funkcji produkcji. Jest to sposób na opisanie ograniczeń jakie napotyka przedsi ¾
ebiorca.
Nak÷
ady i wyniki.
Zarówno nak÷
ady (czynniki produkcji) jak i wynik produkcji (produkt) s ¾
a strumieniami.
Opisywanie ograniczeń technicznych.
Zbiór produkcyjny - zbiór takich kombinacji nak÷
adów i wyników, które obejmuj ¾
a technicznie
wykonalne sposoby produkcji.
Rysunek 18.1
Funkcja produkcji - brzeg zbioru produkcyjnego (mierzy maksymalny, mo·
zliwy produkt przy
danych nak÷
adach).
W przypadku dwu czynników produkcji wygodnym sposobem opisywania funkcji produkcji s ¾
a izokwanty. Izokwanty - takie kombinacje nak÷
adów które daj ¾
a ten sam poziom produktu.
Izokwanty s ¾
a podobne do krzywych oboj ¾
etności. Pami ¾
etaj jednak ·
ze poziom produkcji (np.
5 par butów) w odró·
znieniu od poziomu u·
zyteczności (np. 5 utyli) ma interpretacj ¾
e eko-
nomiczn ¾
a (zatem nie mo·
zna stosować monotonicznych transformacji w odniesieniu do funkcji produkcji).
Przyk÷
ady technologii.
sta÷
e proporcje - jeden cz÷
owiek, jedna ÷
opata y = minfx1; x2g.
Rysunek 18.2
substytuty doskona÷
e - czerwony i czarny o÷
ówek
Rysunek 18.3
Cobb-Douglas - y = Axaxb
1
2
W÷
asności technologii.
Przyjmujemy poni·
zsze za÷
o·
zenia
1
ecej nak÷
adów nie wyprodukuje mniej produktu (lub inaczej w÷
asność
swobodnego dysponowania). Mówimy, ·
ze funkcja produkcji f (x) jest monotoniczna, je·
zeli dla ka·
zdego x1 = (x1; x1; :::; x1 ) i x2 = (x2; x2; :::; x2 ), x1
x2, wówczas f (x1)
1
2
n
1
2
n
f (x2).
Wypuk÷
e - średnie produkuj ¾
a wi ¾
ecej ni·
z ekstrema (dla dowolnych dwóch metod wyt-warzania wytwarzaj ¾
acych taki sam produkt, ich kombinacja nie wyprodukuje mniej).
Mówimy, ·
ze funkcja produkcji f (x) jest wypuk÷
a, je·
zeli dla ka·
zdego x1 = (x1; x1; :::; x1 )
1
2
n
i x2 = (x2; x2; :::; x2 ), f (x1) = f (x2), wówczas dla ka 1
2
n
·
zdego
2 [0; 1], f( x1 + (1
)x2)
f (x1).
Mówimy, ·
ze funkcja produkcji f (x) jest ściśle wypuk÷
a, je·
zeli dla ka·
zdego x1 = (x1; x1; :::; x1 )
1
2
n
i x2 = (x2; x2; :::; x2 ), f (x1) = f (x2), wówczas dla ka 1
2
n
·
zdego
2 (0; 1), f( x1 + (1
)x2) > f (x1).
Rysunek 18.4
Produkt krańcowy.
Niech f (x1; x2) b ¾
edzie funkcj ¾
a produkcji, M P1 mówi ile dodatkowych jednostek produktu zostanie wyprodukowanych po zwi ¾
ekszeniu nak÷
adu czynnika 1 o jednostk¾
e (przy niezmienionym
nak÷
adzie czynnika 2).
M P1 = f1(x1; x2)
M P2 = f2(x1; x2)
Techniczna stopa substytucji.
Techniczna stopa substytucji
odpowiednik krańcowej stopy substytucji formu÷
a
M P
T RS =
1
M P2
Prawo malej ¾
acej krańcowej produkcyjności.
Zwi ¾
ekszanie nak÷
adu czynnika zwi ¾
eksza produkt, ale te przyrosty s ¾
a malej ¾
ace.
Rysunek 18.5
Nazywamy to prawem malej ¾
acego krańcowego produktu.
D÷
ugi i krótki okres.
Wszystkie czynniki zmienne - d÷
ugi okres.
2
e - krótki okres.
Korzyści skali.
Mówimy, ·
ze funkcja produkcji spe÷
nia
sta÷
e korzyści skali, je·
zeli dla ka·
zdego
> 0, f ( x1; x2) = 1f (x1; x2)
rosn ¾
ace korzyści skali, je·
zeli dla ka·
zdego
> 0, f ( x1; x2) = af (x1; x2) i a > 1: rosn ¾
ace korzyści skali, je·
zeli dla ka·
zdego
> 0, f ( x1; x2) = af (x1; x2) i a < 1: Lektura.
Varian, rozdzia÷18, bez 18.8.
19. Maksymalizacja zysku.
W ekonomii przyjmuje si ¾
e, ·
ze celem …rmy jest to co ich w÷
aściciele chcieliby ·
zeby …rma robi÷
a.
Przy bardzo ogólnych warunkach sprowadza si ¾
e to do maksymalizacji wartości …rmy. Przy troch ¾
e mocniejszych warunkach, sprowadza si ¾
e to do maksymalizacji zysku.
Zyski.
Zyski s ¾
a zde…niowane jako przychody minus koszty.
n
X
m
X
=
piyi
wixi
i=1
i=1
Wszystkie czynniki produkcji powinny być uwzgl ¾
ednione wed÷
ug ich cen rynkowych
(nawet je·
zeli nie jest kupowane na rynku)
Dlaczego? Bo mo·
ze być sprzedane na rynku, zatem wykorzystywanie w produkcji a nie gdzieś indziej jest kosztem utraconych mo·
zliwości. (np. wk÷
ad pracy w÷
aściciela
…rmy).
Sk÷
adniki zysku (koszty i przychody) s ¾
a mierzone strumieniami.
Organizacja przedsi ¾
ebiorstw.
Mamy:
Przedsi ¾
ebiorstwa indywidualne - jeden w÷
aściciel.
Spó÷
ka - kilku w÷
aścicieli.
Korporacja - wielu w÷
aścicieli.
3
Zyski i wartość rynkowa akcji.
Wartość rynkowa …rmy.
Maksymalizowanie wartości rynkowej …rmy jest dobrze zde…niowanym obiektem przy bardzo s÷
abych za÷
o·
zeniach. Oznacza to, ·
ze jest to bardzo ogólny rezultat. Ponadto maksymalizacja wartości …rmy jest zgodne z interesem w÷
aścicieli …rmy.
W świecie bez niepewności, wartości …rmy jest równa dzisiejszej wartości przysz÷
ych
zysków, co powoduje, ·
ze maksymalizacja wartości …rmy jest równowa·
zne maksymal-
izacji wartości dzisiejszej zysków.
Problemy pojawiaj ¾
a si ¾
e w świecie z niepewności ¾
a.
Mimo to ograniczymy nasze analizy do prostszego problemu maksymalizacji zysku.
Czynniki sta÷
e i zmienne.
Rozró·
zniamy.
czynniki sta÷
e - wielkość zatrudnienia czynnika nie mo·
ze być zmieniona (np. fabryka
lub sprz ¾
et)
quasi-sta÷
e czynniki - mo·
zna je wyeliminować tylko je·
zeli produkuje si ¾
e zero (reklama,
elektryczność, ogrzewanie, itp.).
czynniki zmienne - mo·
zna dowolnie wybierać ich wielkość.
Krótkookresowa maksymalizacja zysku.
Analitycznie mo·
zna zapisać
max pf (x1; x2)
w1x1
w2x2
x1
pf 0(x1; x2) = w1
pM P1(x ; x
1
2)
= w1
warunek optymalności: wartościowy produkt krańcowy równa si ¾
e wynagrodzeniu czyn-
nika.
Maksymalizacja zysku w d÷
ugim okresie.
Analitycznie mo·
zna zapisać
max pf (x1; x2)
w1x1
w2x2
(x1;x2)
4
pf1(x ; x ) = w
1
2
1
pf2(x ; x ) = w
1
2
2
lub
pM P1(x ; x ) = w
1
2
1
pM P2(x ; x ) = w
1
2
2
Maksymalizacja zysku i korzyści skali.
Sta÷
e korzyści implikuj ¾
a, ·
ze d÷
ugoterminowe zyski wynosz ¾
a zero. Gdyby by÷
y dodatnie wów-
czas …rmy wybieraj ¾
ac nieskończon ¾
a produkcj ¾
e osi ¾
agn ¾
e÷
yby niekończone zyski. Niemniej fakt,
·
ze zyski wynosz ¾
a zero nie oznacza, ·
ze czynniki produkcji nie s ¾
a wynagradzane (w tym kapi-
ta÷
).
Rosn ¾
ace korzyści skali i model doskonale konkurencyjny nie daj ¾
a si ¾
e pogodzić.
Minimalizacja kosztów.
Aby rozwi ¾
azać problem maksymalizacji zysku, z wielu wzgl ¾
edów, wygodne jest podzie-
lenie problemu na dwa etapy. W pierwszym etapie rozwi ¾
azujemy problem minimalizacji
kosztów, co pozwala znaleźć funkcj ¾
e kosztów c(y). Natomiast w etapie drugim rozwi ¾
azujemy
(uproszczony, bo uwzgl ¾
edniaj ¾
acy funkcj ¾
e kosztów c(y) wyprowadzon ¾
a w problemie minimal-
izacji kosztów) problem maksymalizacji zysku.
Lektura.
Varian, rozdzia÷19, bez 19.6, 19.8 i 19.10.
20. Minimalizacja kosztów
Naszym celem ostatecznym jest rozwi ¾
azanie problemu maksymalizacji zysku, przypomnij sobie, ·
ze problem maksymalizacji zysku postanowiliśmy rozwi ¾
azać w dwóch krokach. Krok
pierwszy to minimalizacja kosztów i wyprowadzenie funkcji kosztów c(y), a krok drugi to maksymalizacja zysku przy danej funkcji kosztów (ju·
z otrzymanej).
Minimalizacja kosztów.
Celem problemu minimalizacji kosztów jest otrzymanie funkcji kosztów c(y) opisuj ¾
acej ile
b ¾
edzie kosztować wyprodukowanie y jednostek produktu w natańczy mo·
zliwy sposób.
5
Problem minimalizacji kosztów ma postać: c(y) = min w1x1 + w2x2
(x1;x2)
p.w. f (x1; x2) = y
Warunek na minimalizacj ¾
e kosztów
M P1(x ; x )
w
1
2
= T RS(x ; x ) =
1
(20.1)
M P
1
2
2(x ; x )
w
1
2
2
Wyprowadzenie tego warunku na ćwiczeniach.
Przyk÷
ady dla funkcji produkcji f (x1; x2) = minfx1; x2g, wówczas c(w1; w2; y) = (w1 +
w2)y.
Funkcja produkcji Cobba-Douglasa na ćwiczeniach.
Korzyści skali i funkcja kosztów.
Mamy nast ¾
epuj ¾
ac ¾
a zale·
zność:
rosn ¾
ace korzyści skali generuj ¾
a malej ¾
ace koszty przeci ¾
etne (AC)
sta÷
e korzyści skali generuj ¾
a sta÷
e koszty przeci ¾
etne (AC)
malej ¾
ace korzyści skali generuj ¾
a rosn ¾
ace koszty przeci ¾
etne (AC)
Koszty d÷
ugookresowe i krótkookresowe.
Przypomnijmy sobie:
d÷
ugi okres: wszystkie nak÷
ady zmienne
d÷
ugi okres: niektóre nak÷
ady sta÷
e
Koszty sta÷
e i quasi-sta÷
e.
Rozró·
zniamy:
koszty sta÷
e: zwi ¾
azane ze sta÷
ymi czynnikami - zawsze musz ¾
a być zap÷
acone, bez
wzgl ¾
edu na wielkość produkcji.
koszty quasi-sta÷
e: zwi ¾
azane z quasi-sta÷
ymi czynnikami - musz ¾
a być zap÷
acone, gdy
produkcja jest dodatnia.
Koszty utopione.
Koszy utopione - koszty które ju·
z zosta÷
y poniesione i nie mog ¾
a być odzyskane.
Lektura.
Varian, rozdzia÷20, bez 20.2.
6