11 stycznia 2011 r.
Wariant nr lim
Zadanie nr 1
Królestwo Ekonometrii podzielone jest na Księstwo Korelacji, Regresji i Trendu, pomiędzy którymi zachodzi wymiana dóbr i usług gospodarczych. Poniżej dana jest niepełna informacja o macierzy struktury kosztów A, macierzy Leontiewa L i macierzy do niej odwrotnej L-1
dotyczących trzech księstw Królestwa Ekonometrii (pierwszy wiersz i kolumna odpowiadają Księstwu Korelacji, drugi wiersz i kolumna Księstwu Regresji, a trzeci Księstwu Trendu).
0,6
0,64 0,4
,
0,25 ,
! 1,2 2,56 1,6
0,6
1
Wiadomo ponadto, że Księstwo Trendu w procesie produkcji nie zużywa materiałów wytworzonych w Księstwie Korelacji, a zużycie własnych materiałów w Księstwie Korelacji jest sześciokrotnie wyższe niż zużycie materiałów pochodzących z Księstwa Trendu.
Współczynnik materiałochłonności w Księstwie Regresji jest równy 0,7. Wiadomo też, że wzrost produkcji globalnej w Księstwie Korelacji o 80, przy niezmienionej produkcji globalnej w pozostałych księstwach spowoduje spadek produkcji końcowej w Księstwie Regresji o 10 oraz aby uzyskać spadek produkcji końcowej w Księstwie Korelacji o 10, przy niezmienionej produkcji końcowej w pozostałych księstwach, należy zmniejszyć produkcję globalną w Księstwie Korelacji o 28. W okresie t produkcja globalna wyniosła w poszczególnych księstwach odpowiednio 800, 600 i 400. W Księstwie Trendu zużycie środków trwałych nie występowało, w Księstwie Korelacji było równe co do wartości zyskowi, a w Księstwie Regresji wartość dodana brutto była o 50% wyższa od wartości dodanej netto. W każdym księstwie współczynnik płacochłonności wynosił 5%.
a) (4 pkt) Uzupełnij brakujące pola macierzy A, L i L-1.
b) (2 pkt) Zapisz tabelę przepływów międzygałęziowych dla Królestwa Ekonometrii w okresie t.
c) (2 pkt) Policz współczynniki rentowności każdego księstwa. W którym księstwie rentowność jest najwyższa?
d) (2 pkt) W okresie t+ 1 produkcja globalna w Księstwie Korelacji spadła o 10%, produkcja globalna w Księstwie Trendu wzrosła o 10%, a produkcja globalna w Księstwie Regresji nie zmieniła się. Wyznacz nowy wektor produkcji końcowej.
e) (2 pkt) Wyznacz wektor produkcji globalnej i końcowej w Królestwie Matematyki w okresie t+2, przy założeniu, że w stosunku do okresu t+1 planowane jest zmniejszenie produkcji globalnej w Księstwie Korelacji o 40, zwiększenie produkcji końcowej w Księstwie Trendu o 5 i pozostawienie produkcji końcowej w Księstwie Regresji na niezmienionym poziomie.
Znany nam dobrze student, z racji tego że zaczęło mu się lepiej powodzić, postanowił zmienić swą dietę. Zrezygnował z zupek Vifon i psiej karmy na rzecz chleba „Złocisty” firmy Oskroba i piersi indyka marki Tesco. Wciąż jednak zależy mu na minimalizacji dziennych kosztów wyżywienia, aby mieć więcej kasy na imprezy. 500 g chleba kosztuje 4 zł, zaś 1 kg piersi z indyka 18 zł. Kromka chleba o masie 50 g zawiera 100 kcal i 10 g białka. Porcja piersi z indyka zaś, o masie 100 g, zawiera 400 kcal i 60 g białka. Student chce dostarczyć swojemu organizmowi dziennie co najmniej 3600 kcal i 400 g białka. Chce również, aby masa spożytego przez niego chleba była nie mniejsza niż masa spożytego mięsa.
a) (2 pkt) Zapisz zadanie PL, którego rozwiązanie pozwoli studentowi wyznaczyć optymalny menu.
b) (3 pkt) Wyznacz optymalne menu studenta i minimalny koszt dziennego wyżywienia, rozwiązując zadanie PL metodą graficzną.
c) (1 pkt) Które warunki są napięte w rozwiązaniu optymalnym?
d) (2 pkt) Jak zmieni się minimalny koszt, gdy chleb podrożeje do 4,50 zł za 500 g? Jaka będzie wówczas decyzja optymalna studenta?
e) (2 pkt) W jakich granicach może się zmieniać minimalna kaloryczność dziennych posiłków wymagana przez studenta, aby struktura bazowa rozwiązania optymalnego nie uległa zmianie?
f) (2 pkt) Jakie wartości powinna przyjmować cena piersi, aby zbiór rozwiązań optymalnych zadania był nieograniczony (przyjmij, że cena piersi może wyrażać się dowolną liczbą rzeczywistą, również ujemną)?
Zadanie nr 3
Malwinka chciała za pomocą Solvera rozwiązać następujące zadanie PL: 2$! % $ $& '($
przy poniższym zestawie warunków ograniczających:
$! % $ % $& * 10
) 4$ 2$& + 20 -
2$
! % $& + 30
$!, $, $& * 0
Poniżej przedstawiony jest raport wrażliwości wygenerowany przez Solver dla rozwiązania optymalnego do tego zadania. Niestety, Jasio – złośliwy brat Malwinki – pozmieniał część liczb w przeklejonym do Worda wydruku. Malwinka, gdy ponownie usiadła do komputera zobaczyła, że coś jest nie tak. Brat przyznał się przy których liczbach majstrował (zostały one zaznaczone gwiazdką). Dzięki temu Malwinka wie, że wszystkie pozostałe liczby są poprawne, wśród tych zaznaczonych gwiazdką zaś część jest poprawna a część błędna.
Wartość
Przyrost
Współczynnik
Dopuszczalny
Dopuszczalny
Nazwa
Końcowa
Krańcowy
funkcji celu
wzrost
Spadek
x1
15
0
2
1E+30
2
x2
5
1,5(*)
1
3(*)
1
x3
0
-1,5
-1(*)
1,5
3(*)
Warunki ograniczające
Wartość
Cena
Prawa strona
Dopuszczalny
Dopuszczalny
Nazwa
Końcowa
Dualna
w. o.
wzrost
Spadek
I
10,00(*)
0,00
10
10(*)
20(*)
II
20,00
-0,25(*)
20
1E+30
20
III
30,00
1,00
30
1E+30
20
a) (4 pkt) Wypowiedz się, wraz z uzasadnieniem, na temat każdej liczby zaznaczonej gwiazdką czy może ona być poprawna czy też musi być błędna.
b) (1 pkt) Które warunki są luźne w rozwiązaniu optymalnym?
c) (2 pkt) Ile wyniesie maksymalna wartość funkcji celu, gdy współczynnik funkcji celu przy x3 wyniesie 1?
d) (2 pkt) Ile wyniesie maksymalna wartość funkcji celu, gdy wyraz wolny w trzecim warunku ograniczającym zmieni swą wartość na 50?
e) (2 pkt) Czy istnieją takie wartości współczynników funkcji celu, dla których rozwiązanie (10; 5; 10) jest rozwiązaniem optymalnym przy danych warunkach ograniczających? Dlaczego?
f) (1 pkt) Jakie rozwiązanie byłoby optymalne w przypadku minimalizacji funkcji
. $!, $, $& 6$! 3$ % 3$& przy niezmienionych warunkach ograniczających?
Zadanie nr 4
Spółka melioracyjna „Szlam” rozpatruje projekty budowy 6 rzecznych zbiorników przeciwpowodziowych, mających stanowić jednocześnie źródło zaopatrzenia w wodę małych elektrowni. Celem realizacji przedsięwzięcia jest umożliwienie zgromadzenia w zbiornikach jak największej ilości wody. Planowana pojemność każdego z sześciu zbiorników wynosi odpowiednio (w mln m3 wody): 1,2; 1,6; 0,9; 1,8; 2,1; 1,5.Ze względu na ukształtowanie terenu i stosunki wodne należy zagwarantować spełnienie następujących warunków (numer projektu odpowiada numerowi zbiornika):
1. Jeśli realizowany będzie drugi projekt, to nie może być realizowany projekt szósty.
2. Realizacja projektu pierwszego wymaga realizacji projektu piątego.
3. Dokładnie jeden z projektów: trzeci albo czwarty musi zostać wykonany.
4. Projekty: pierwszy, drugi i trzeci wykluczają się wzajemnie.
a) (3 pkt) Zapisz zadanie PL, pozwalające ustalić, które projekty należy realizować.
b) (1 pkt) Czy możliwe jest zgromadzenie w zbiornikach przynajmniej 6 mln m3 wody?
Uzasadnij.
Zadanie nr 5
Firma Y przenosi swoją siedzibę z Warszawy do Rzeszowa. Koordynacja tego przedsięwzięcia nie jest prosta, a wymagane czynności składające się na całe przedsięwzięcie są opisane w poniższej tabelce:
Czas
Czynności
Czynność
Opis czynności
trwania
bezpośrednio
[tydzień]
poprzedzające
A
Wybranie miejsca na biuro
3
--
B
Stworzenie planu finansowego i organizacyjnego
5
--
C
Określenie potrzeb personalnych
3
B
D
Projekt wnętrza
4
A, C
E
Określenie ilości potrzebnego wyposażenia
8
D
Wybór personelu przeniesionego do nowego
F
2
C
oddziału
G
Zatrudnienie nowych pracowników
4
F
Przeniesienie
kluczowych
pracowników
do
H
2
F
Rzeszowa
Zawarcie
umów
finansowych
z
osobą
I
5
B
wynajmującą biura w Rzeszowie
J
Przeszkolenie nowego personelu
3
E, G
a) (3 pkt) Narysuj graf tego przedsięwzięcia wieloczynnościowego.
b) (2 pkt) Wyznacz ścieżkę krytyczną w tym grafie.
c) (1 pkt) Jaki jest najkrótszy możliwy czas realizacji przedsięwzięcia?
d) (2 pkt) Oblicz i zinterpretuj zapas czynności A.
e) (2 pkt) Jak zmieni się czas krytyczny jeśli czas wykonania czynności G zostanie wydłużony o 5 tygodni?