11 stycznia 2011 r.
Wariant nr
√
Zadanie nr 1
Królestwo Matematyki podzielone jest na Księstwo Algebry, Analizy i Geometrii, pomiędzy którymi zachodzi wymiana dóbr i usług gospodarczych. Poniżej dana jest niepełna informacja o macierzy struktury kosztów A, macierzy Leontiewa L i macierzy do niej odwrotnej L-1
dotyczących trzech księstw Królestwa Matematyki (pierwszy wiersz i kolumna odpowiadają Księstwu Algebry, drugi wiersz i kolumna Księstwu Analizy, a trzeci Księstwu Geometrii).
0,2 0,2
1,4 0,32 0,2
,
,
0,6 1,28
0,2
1,5
Wiadomo ponadto, że Księstwo Analizy w procesie produkcji nie zużywa wytworzonych u siebie materiałów, a Księstwo Algebry zużywa w procesie produkcji materiały własne i materiały z Księstwa Geometrii w równej wysokości. Współczynnik materiałochłonności w Księstwie Geometrii jest równy 0,7. Wiadomo też, że spadek produkcji globalnej w Księstwie Algebry o 100, przy niezmienionej produkcji globalnej w pozostałych księstwach spowoduje wzrost produkcji końcowej w Księstwie Analizy o 25 oraz aby uzyskać wzrost produkcji końcowej w Księstwie Geometrii o 10, przy niezmienionej produkcji końcowej w pozostałych księstwach, należy zwiększyć produkcję globalną w Księstwie Analizy o 8. W okresie t produkcja globalna wyniosła w poszczególnych księstwach odpowiednio 400, 200 i 160. W
Księstwie Algebry zużycie środków trwałych nie występowało, w Księstwie Analizy było równe co do wartości zyskowi, a w Księstwie Geometrii wartość dodana brutto była o 50%
wyższa od wartości dodanej netto. W każdym księstwie współczynnik płacochłonności wynosił 10%.
a) (4 pkt) Uzupełnij brakujące pola macierzy A, L i L-1.
b) (2 pkt) Zapisz tabelę przepływów międzygałęziowych dla Królestwa Matematyki w okresie t.
c) (2 pkt) Policz współczynniki rentowności każdego księstwa. W którym księstwie rentowność jest najniższa?
d) (2 pkt) W okresie t+ 1 produkcja globalna w Księstwie Algebry spadła o 100, produkcja globalna w Księstwie Geometrii wzrosła o 50, a produkcja globalna w Księstwie Analizy nie zmieniła się. Wyznacz nowy wektor produkcji końcowej.
e) (2 pkt) Wyznacz wektor produkcji globalnej i końcowej w Królestwie Matematyki w okresie t+2, przy założeniu, że w stosunku do okresu t+1 planowane jest zmniejszenie produkcji końcowej w Księstwie Algebry o 4, zwiększenie produkcji globalnej w Księstwie Geometrii o 40 i pozostawienie produkcji końcowej w Księstwie Analizy na
niezmienionym poziomie.
Zadanie nr 2
Znany nam dobrze student, z racji tego że zaczęło mu się lepiej powodzić, postanowił zmienić swą dietę. Zrezygnował z zupek Vifon i psiej karmy na rzecz chleba „Królewski” firmy Oskroba i piersi kurczaka marki Tesco. Wciąż jednak zależy mu na minimalizacji dziennych kosztów wyżywienia, aby mieć więcej kasy na imprezy. 500 g chleba kosztuje 4 zł, zaś 1 kg piersi z kurczaka 15 zł. Kromka chleba o masie 50 g zawiera 100 kcal i 10 g białka. Porcja piersi z kurczaka zaś, o masie 100 g, zawiera 300 kcal i 40 g białka. Student chce dostarczyć swojemu organizmowi dziennie co najmniej 3000 kcal i 320 g białka. Chce również, aby masa spożytego przez niego chleba była nie mniejsza niż masa spożytego mięsa.
a) (2 pkt) Zapisz zadanie PL, którego rozwiązanie pozwoli studentowi wyznaczyć optymalny menu.
b) (3 pkt) Wyznacz optymalne menu studenta i minimalny koszt dziennego wyżywienia, rozwiązując zadanie PL metodą graficzną.
c) (1 pkt) Które warunki są napięte w rozwiązaniu optymalnym?
d) (2 pkt) Jak zmieni się minimalny koszt, gdy piersi z kurczaka podrożeją do 16 zł/kg?
Jaka będzie wówczas decyzja optymalna studenta?
e) (2 pkt) W jakich granicach może się zmieniać minimalna dzienna dawka białka wymagana przez studenta, aby struktura bazowa rozwiązania optymalnego nie uległa
zmianie?
f) (2 pkt) W jakim przedziale powinna zawierać się cena chleba, aby zbiór rozwiązań optymalnych zadania był pusty (przyjmij, że cena chleba może wyrażać się dowolną liczbą rzeczywistą, również ujemną)?
Zadanie nr 3
Justynka chciała za pomocą Solvera rozwiązać następujące zadanie PL:
2 3! " #$
przy poniższym zestawie warunków ograniczających:
! & 10
% 2 & 30 (
2,5! ' 20
, , ! & 0
Poniżej przedstawiony jest raport wrażliwości wygenerowany przez Solver dla rozwiązania optymalnego do tego zadania. Niestety, Staszek – złośliwy brat Justynki – pozmieniał część liczb w przeklejonym do Worda wydruku. Justynka, gdy ponownie usiadła do komputera zobaczyła, że coś jest nie tak. Brat przyznał się przy których liczbach majstrował (zostały one zaznaczone gwiazdką). Dzięki temu Justynka wie, że wszystkie pozostałe liczby są poprawne, wśród tych zaznaczonych gwiazdką zaś część jest poprawna a część błędna.
Wartość
Przyrost
Współczynnik
Dopuszczalny
Dopuszczalny
Nazwa
Końcowa
Krańcowy
funkcji celu
wzrost
Spadek
x1
20
3,5(*)
1(*)
1E+30
3,8
x2
10
0
2
1E+30
1,9
x3
0
-9,5
3
9,5(*)
0,5(*)
Warunki ograniczające
Wartość
Cena
Prawa strona
Dopuszczalny
Dopuszczalny
Nazwa
Końcowa
Dualna
w. o.
wzrost
Spadek
I
10,00(*)
0,00
10
20
10(*)
II
30,00
2,00(*)
30
10(*)
1E+30
III
20,00
5,00
20
1E+30
5
a) (4 pkt) Wypowiedz się, wraz z uzasadnieniem, na temat każdej liczby zaznaczonej gwiazdką czy może ona być poprawna czy też musi być błędna.
b) (1 pkt) Które warunki są luźne w rozwiązaniu optymalnym?
c) (2 pkt) Ile wyniesie maksymalna wartość funkcji celu, gdy współczynnik funkcji celu przy x1 wyniesie 4?
d) (2 pkt) Ile wyniesie maksymalna wartość funkcji celu, gdy wyraz wolny w trzecim warunku ograniczającym zmieni swą wartość na 10?
e) (2 pkt) Czy istnieją takie wartości współczynników funkcji celu, dla których rozwiązanie (16; 2; 1) jest rozwiązaniem optymalnym przy danych warunkach
ograniczających? Dlaczego?
f) (1 pkt) Jakie rozwiązanie byłoby optymalne w przypadku minimalizacji funkcji
)*, , !+ 2 4 6! przy niezmienionych warunkach ograniczających?
Zadanie nr 4
Pracownia rzemieślnicza „Wytrych” zatrudnia 3 ślusarzy, którzy dokonują końcowej obróbki kluczy do specjalnych zasuw produkowanych w pracowni. Pracownia specjalizuje się w wytwarzaniu trzech rodzajów zasuw. Liczba zamówień na każdy rodzaj zasuw stale przewyższa zdolności produkcyjne pracowni. Każdy ze ślusarzy potrafi wykonać klucze do każdego rodzaju zasuwy, ale z różną wydajnością. Dana jest macierz C, której elementy cij są miarami wydajności (w kluczach na miesiąc) i-tego ślusarza w obróbce j-tego rodzaju kluczy; i,j = 1, 2, 3.
30 10 20
, 40 20 30
20 20 40
Kierownik pracowni chce, na najbliższy miesiąc przydzielić każdemu ślusarzowi końcową obróbkę jednego rodzaju kluczy tak, aby łączna liczba wykonanych w tym miesiącu wszystkich trzech rodzajów kluczy była jak największa.
a) (3 pkt) Zapisz zadanie PL, pozwalające ustalić optymalny plan pracy ślusarzy.
b) (1 pkt) Czy przy danych założeniach możliwe jest ukończenie 100 kluczy w najbliższym miesiącu? Uzasadnij.
Zadanie nr 5
Poniżej opisane jest przedsięwzięcie wieloczynnościowe wdrażania nowego produktu przez firmę X:
Czas
Czynności
Czynność
Opis czynności
trwania
bezpośrednio
[tydzień]
poprzedzające
A
Wykonanie projektu produktu
6
--
B
Wykonanie planu badań rynku
2
--
C
Przygotowanie technologii produkcji
4
A
D
Zbudowanie prototypu
6
A
E
Przygotowanie broszury reklamowej
3
A
F
Ocena kosztów
2
C, D
G
Wstępne testowanie produktu
5
D
H
Badanie rynku
3
B, E
I
Raport cenowy i prognozy
2
H
J
Raport końcowy
2
F, G, I
a) (3 pkt) Narysuj graf tego przedsięwzięcia wieloczynnościowego.
b) (2 pkt) Wyznacz ścieżkę krytyczną w tym grafie.
c) (1 pkt) Jaki jest najkrótszy możliwy czas realizacji przedsięwzięcia?
d) (2 pkt) Oblicz i zinterpretuj zapas czynności I.
e) (2 pkt) Jak zmieni się czas krytyczny jeśli czas wykonania czynności F zostanie wydłużony o 4 tygodnie?