WYTRZYMAAOŚĆ ZAOŻONA
Przypadki wytrzymałości złożonej
W praktyce inżynierskiej najczęściej spotyka się złożone
przypadki obciążeń konstrukcji. Do prawidłowego rozwiązy-
wania tych zagadnień konieczna jest znajomość wcześniej
omówionych prostych przypadków, takich jak rozciąganie, skrę-
canie i zginanie, a w szczególności rozkładów naprężeń po-
wstających pod wpływem tych obciążeń. Konieczna jest też
znajomość hipotez wytrzymałościowych, niezbędnych do sfor-
mułowania warunku wytrzymałościowego, uwzględniającego
różnego typu naprężenia, (normalne i styczne), działające w
jednym punkcie.
NAJCZŚCIEJ SPOTYKANE PRZYPADKI:
zginanie ukośne,
zginanie połączone z rozciąganiem (lub ściskaniem),
zginanie połączone ze skręcaniem,
ogólny przypadek wytrzymałości złożonej, a więc połącze-
nie rozciągania, skręcania i zginania.
W praktycznych obliczeniach wytrzymałościowych często
pomija się wpływ obciążeń poprzecznych, dlatego w tym roz-
dziale nie uwzględniono tzw. ścinania, a omówienie wpływu sił
poprzecznych na wytrzymałość zginanych belek ograniczono
do najważniejszych przypadków.
Podstawowym zagadnieniem w obliczeniach wytrzymało-
ściowych konstrukcji lub ich elementów, poddanych obciążeniu
złożonemu, jest identyfikacja obciążeń. Identyfikacja polega
na wykorzystaniu praw statyki do określenia sił i momentów
działających na konstrukcję lub jej fragment, pochodzących od
obciążeń zewnętrznych. Szerokie zastosowanie znajdują tutaj
tzw. zerowe układy sił, pozwalające na określenie sił we-
wnętrznych w poszczególnych częściach konstrukcji.
13 Wytrzymałość złożona 146
Zginanie ukośne
Zginanie ukośne (zginanie złożone) jest bezpośrednio
związane ze zginaniem prostym. Występuje wówczas,
gdy wektor momentu zginającego belkę nie pokrywa się
z kierunkiem żadnej z osi symetrii. Zginanie ukośne
można traktować jako sumę zginania prostego w
płaszczyznie pionowej oraz w płaszczyznie poziomej.
PRZYKAAD
Belka wspornikowa o długości L = 1 m, przekroju prostokątnym o wymiarach b = 3
cm, h = 5 cm jest obciążona na końcu siłą skupioną P = 1 kN, odchyloną od pionu o
kąt a = 20. Wyznaczyć naprężenia, położenie osi obojętnej oraz ugięcie belki. Przy-
jąć E = 2105 MPa.
a)
Maksymalny moment zginający występuje w utwierdzeniu: M = P.L = 11 kNm.
Siłę P, przyłożoną do swobodnego końca belki, rozkłada się na składową pionową
i poziomą. Momenty zginające wywołane tymi składowymi wynoszą
MY = PL sina = 11 sin20o = 0,342 kNm,
MZ = PLcosa = 11 cos20o = 0,940 kNm.
Momenty bezwładności oraz wskazniki wytrzymałości na zginanie wynoszą
bh3 3 53 bh2 3 52
JZ = = = 31,25 cm4, WZ = = = 12,5 cm3,
12 12 6 6
hb3 5 33 hb2 5 32
JY = = = 11,25 cm4, WY = = = 7,5 cm3.
12 12 6 6
Maksymalne naprężenia zginające w płaszczyznie pionowej
MZ 0,940
sgy = = 103 = 75,2 MPa,
WZ 12,3
a w płaszczyznie poziomej
MY 0,342
sgz = = 103 = 45,6 MPa.
WY 7,5
13 Wytrzymałość złożona 147
b) Rozkłady naprężeń przedstawiono na
rys. b. Po zsumowaniu naprężeń z
uwzględnieniu ich znaków w punktach A,
B, C i D, znajdujących się w narożach
przekroju, otrzymuje się naprężenia wy-
padkowe:
sA = -75,2 - 45,6 = -120,8 MPa,
sB = 75,2 - 45,6 = 29,6 MPa,
sC = 75,2 + 45,6 = 120,8 MPa,
sD = -75,2 + 45,6 = -29,6 MPa.
c) Wykres naprężeń normalnych wzdłuż
krawędzi konturu przekroju poprzeczne-
go przedstawiono na rys. c. Widać na
nim, że na krawędziach w dwóch punk-
tach naprężenia są równe zeru. Po zrzu-
towaniu tych punktów na krawędzie
otrzymuje się położenie osi obojętnej,
dzielącej przekrój na część rozciąganą
+ oraz ściskaną . Na rysunku przed-
stawiono również rozkład naprężeń
wzdłuż linii prostopadłej do osi obojętnej.
Przedstawione wyżej rozwiązanie sta-
nowi naturalne wykorzystanie superpo-
zycji zginania w dwóch prostopadłych
płaszczyznach.
13 Wytrzymałość złożona 148
Zginanie i rozciąganie
Wspólne działanie sił rozciągających (ściskających) oraz
momentu zginającego występuje najczęściej przy mimośrodo-
wym obciążeniu pręta. Mimośrodowość może być wywołana
przyłożeniem sił poza środkiem ciężkości, wykrzywieniem osi
pręta lub równocześnie dwoma tymi czynnikami. Na rysunku
przedstawiono przykład obciążenia pręta siłą skupioną przyło-
żoną w punkcie A(ey, ez), przesuniętym względem środka cięż-
kości przekroju o odległość e. Po przyłożeniu w środku ciężko-
ści dwóch sił (P, P), tworzących układ sił zerowych (zrówno-
ważony układ sił), można łatwo zidentyfikować parę sił tworzącą
moment zginający, M = P e, oraz niezrównoważoną siłę ści-
skającą P, przyłożoną w środku ciężkości. Sytuację tę przed-
stawiono na rys. a. Rysunek b pokazuje superpozycję obciążeń:
ściskanie pręta siłą P przyłożoną w środku ciężkości przekroju,
momentem zginającym MZ oraz momentem zginającym MY.
Z wzorów na sumowanie naprężeń, poznanych przy omawia-
niu zginania ukośnego, oblicza się naprężenia w dowolnym
punkcie przekroju:
P MZ MY
s = ą ą y ą z.
A JZ JY
13 Wytrzymałość złożona 149
PRZYKAAD
Obliczyć naprężenia w osiowo ściska-
P
nej kolumnie. Porównać naprężenia w
2a
przekrojach I-I oraz II-II.
II II
Kolumna składa się z części o powierzch-
e
ni a2 (przekrój I-I) oraz z części o po-
wierzchni 2a2 (przekrój II-II).
I I
a
P W przekroju I-I występują naprężenia ściskające od siły
osiowej P:
I - I
P
P
sIP = .
a2
a2
Przekrój II-II jest obciążony mimośrodowo w stosunku do
P P
Zerowy
II - II osi działania siły P. Zerowy układ sił pokazuje działanie siły
układ sił
osiowej P oraz momentu zginającego M = Pe, e = 0,5a. Na-
prężenia normalne od siły osiowej P wynoszą
P
P sIIP = ,
P
2a2
2a2
a od momentu zginającego
3P
a
4a2
6P
M P e 3P
2
3P
sIIM = = = = .
2
4a2 W 4a3 4a2
a (2a)
e
6
Wypadkowe naprężenia normalne w przekroju II-II wyno-
II - II
P
szą:
4a2
- naprężenia ściskające w punkcie A
A B
5P
A A A
sII = sII = -sIIP - sIIM = - ,
4a2
5P
4a2
e - naprężenia rozciągające w punkcie B
P
A A A
sII = -sIIP + sIIM = .
4a2
Porównując maksymalne naprężenia normalne w przekrojach I-I oraz II-II otrzymuje
się
sII 5
= .
sI 4
Działanie momentu zginającego powoduje, że w przekroju II-II o powierzchni 2a2 na-
prężenia są większe niż w przekroju I-I o powierzchni a2.
13 Wytrzymałość złożona 150
a
a
Zginanie i skręcanie
Wspólne działanie zginania i skręcania jest najczęściej spoty-
kanym przypadkiem wytrzymałości złożonej. W ten sposób są
obciążone wały maszyn, pojazdów, skrzyni biegów itp. Ten ro-
dzaj wytrzymałości złożonej charakteryzuje się niejednorodnym
rozkładem naprężeń moment zginający powoduje powstanie
naprężeń normalnych, moment skręcający naprężeń stycznych
(rysunek).
Naprężenia normalne w wałach o przekroju
kołowym: (ZGINANIE):
Mzg
pd3
smax = , W = ,
W 32
Naprężenia styczne: (SKRCANIE):
Mskr pd3
tmax = , W0 = 2 W = .
W0 16
Wskaznik wytrzymałości przekroju kołowe-
go na skręcanie jest równy podwójnemu
wskaznikowi wytrzymałości przekroju na
zginanie.
Naprężenia zredukowane oblicza się według hipotezy Hubera
M2 + 0,75M2
Mzg 2 Mskr 2
ć ć
zg skr
2 2
sred = smax + 3tmax = + 3 = .
W W0 W
Ł ł Ł ł
Dla uproszczenia zapisu wprowadza się często pojęcie mo-
mentu zredukowanego Mred = M2 + 0,75M2 .
zg skr
W przypadku zginania w dwóch wzajemnie prostopadłych
płaszczyznach oblicza się wypadkowy moment zginający
Mzg = M2 + M2 .
Y Z
Warunek wytrzymałościowy przy zginaniu i skręcaniu
Mred
sred = Ł sdop,
W
gdzie W wskaznik wytrzymałości przekroju na zginanie.
13 Wytrzymałość złożona 151
PRZYKAAD
Na wale o kołowym przekroju zamontowano trzy koła zębate o średnicach d1 =
= 100 mm, d2 = 300 mm, d3 = 250 mm (rysunek). Koła te współpracują z innymi ko-
łami, przenosząc siły obwodowe P1 = 4000 N, P2 = 3000 N, P3 = 2000 N. Przyjmując
naprężenia dopuszczalne sdop = 100 MPa, określić z warunku wytrzymałościowego
średnicę wału d.
Jeżeli w osi wału będą przyłożone zerowe
układy sił Pi (rys. b), to można zidentyfikować
momenty skręcające oraz siły zginające wał w
płaszczyznie pionowej i poziomej. Dla koła 1
moment skręcający M1 = P1d1/2 = 200 Nm,
pionowa siła zginająca wał P1 = 4000 N. Dla
koła 2 M2 = P2d2/2 = 450 Nm, pozioma siła
zginająca P2 = 3000 N, dla koła 3 M3 = P3d3/2
= 250 Nm, pozioma siła zginająca (skierowa-
na przeciwnie do P2) P3 = 2000 N. Wał AB
oraz belkę AB zginaną w płaszczyznie piono-
wej oraz w płaszczyznie poziomej, jak również
odpowiadające im wykresy momentów poka-
zano na rysunku obok.
Z wykresów MZ oraz MY można określić mak-
symalne wartości momentów zginających.
Wypadkowe momenty Mzg dla przekrojów wa-
łów pod kołami wynoszą
Otrzymane wartości pozwalają na wykonanie
wykresu Mzg dla charakterystycznych punktów
M(1) = 6402 + 2502 = 687,1 Nm,
zg
w tym zadaniu są to przekroje, w których są
M(2) = 4402 + 562,52 = 714,15 Nm,
zg
umieszczone koła. Dla przekroju, w którym wy-
stępuje maksymalna wartość Mzg, moment
M(3) = 1602 + 502 = 167,63 Nm.
zg
skręcający MS = 250 Nm.
Moment zredukowany dla tego przekroju według hipotezy energetycznej ma wartość
Mred = 714,152 + 0,75 2502 = 746,25Nm.
Z warunku wytrzymałościowego określa się średnicę wału d
Mred pd3 32Mred 3 32 746,25
sred = Ł sdop, W = , d ł 3 = 103 = 42,36 mm.
W 32 psdop p 100
Średnica wału poddanego działaniu momentu skręcającego i momentu zginające-
go w przekroju niebezpiecznym musi być równa co najmniej 42,36 mm.
13 Wytrzymałość złożona 152
OGÓLNY PRZYPADEK WYTRZYMAAOŚCI ZAOŻONEJ
Przeprowadzić obliczenia wytrzymałościowe dla pręta przedstawionego na rysunku.
Przyjąć: P0 = 400 kN, P1 = 80 kN, P2 = 40 kN, P3 = 20 kN.
L = 1m, h = 24 cm, b = 8 cm, kr = 140 MPa.
x P1
P0
y z
P2
P3
B
A
C
h b
x P1 x
Mz P0
My P0 P1
P2
P2
Mx
P1
z P1
P3
P2
P0
P3
y
P3
h
y
z
b
h
Nx = P0 + P1 = 400 + 80 = 480 kN, Ty = P2 = 40 kN, Tz = P3 = 20 kN
L 0,24
Mz = P1 + P2 L = 80 + 40 1,00 = 49,6 kN m
2 2
b L 0,08 1,00
My = P1 + P3 = 80 + 20 =13,2 kN m
2 2 2 2
h 0,24
Mx = MS = P3 = 20 = 2,4 kN m
2 2
13 Wytrzymałość złożona 153
L/2
L/2
b
Wykresy naprężeń normalnych i stycznych
Nx
Mz
x
x
y z
z
y z
B
s
s
A
C
b
h
b
h
b h2
Wz =
6
6Mz 6 49,6
Nx 480
s''= = 103 = 64,6 M Pa
s'= = 10 = 25 M Pa
b h 8 24 b h2 8 242
Ms
My
x
x
z
ts max
z
y
y
z
s
ts
b
h b
h
h b2
Wy =
6
Ms 2,4
ts max = = 103 = 5,9 M Pa
6My 6 13,2
a h b2 0,267 2482
s'''= = 103 = 51,6 M Pa
h b2 2482
ts = g ts max = 0,7535,9 = 4,4 M Pa
x x
Tz
z
y y z
Ty
ty
tz
b b
h h
Ty
3 Tz 3 20
3 3 40
tz = = 10 = 1,6 M Pa
ty = = 10 = 3,1 M Pa
2 b h 2 8 24
2 b h 2 8 24
13 Wytrzymałość złożona 154
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
13wytrzymalosczlozona 2id148więcej podobnych podstron