WYTRZYMAA
OŚĆ ZA
OŻONA
Przypadki wytrzymałości złożonej
W praktyce inżynierskiej najczęściej spotyka się złożone
przypadki obciążeń konstrukcji. Do prawidłowego rozwiązy-
wania tych zagadnień konieczna jest znajomość wcześniej
omówionych prostych przypadków, takich jak rozciąganie, skrę-
canie i zginanie, a w szczególności rozkładów naprężeń po-
wstających pod wpływem tych obciążeń. Konieczna jest też
znajomość hipotez wytrzymałościowych, niezbędnych do sfor-
mułowania warunku wytrzymałościowego, uwzględniającego
różnego typu naprężenia, (normalne i styczne), działające w
jednym punkcie.
NAJCZ
ŚCIEJ SPOTYKANE PRZYPADKI:
 zginanie ukośne,
 zginanie połączone z rozciąganiem (lub ściskaniem),
 zginanie połączone ze skręcaniem,
 ogólny przypadek wytrzymałości złożonej, a więc połącze-
nie rozciągania, skręcania i zginania.
W praktycznych obliczeniach wytrzymałościowych często
pomija się wpływ obciążeń poprzecznych, dlatego w tym roz-
dziale nie uwzględniono tzw. ścinania, a omówienie wpływu sił
poprzecznych na wytrzymałość zginanych belek ograniczono
do najważniejszych przypadków.
Podstawowym zagadnieniem w obliczeniach wytrzymało-
ściowych konstrukcji lub ich elementów, poddanych obciążeniu
złożonemu, jest identyfikacja obciążeń. Identyfikacja polega
na wykorzystaniu praw statyki do określenia sił i momentów
działających na konstrukcję lub jej fragment, pochodzących od
obciążeń zewnętrznych. Szerokie zastosowanie znajdują tutaj
tzw. zerowe układy sił, pozwalające na określenie sił we-
wnętrznych w poszczególnych częściach konstrukcji.
13 Wytrzymałość złożona 134
Zginanie ukośne
Zginanie ukośne (zginanie złożone) jest bezpośrednio
związane ze zginaniem prostym. Występuje wówczas,
gdy wektor momentu zginającego belkę nie pokrywa się
z kierunkiem żadnej z osi symetrii. Zginanie ukośne
można traktować jako sumę zginania prostego w
płaszczyz
nie pionowej oraz w płaszczyz
nie poziomej.
PRZYKA
AD
Belka wspornikowa o długości L = 1 m, przekroju prostokątnym o wymiarach b = 3
cm, h = 5 cm jest obciążona na końcu siłą skupioną P = 1 kN, odchyloną od pionu o
kąt a� = 20��. Wyznaczyć naprężenia, położenie osi obojętnej oraz ugięcie belki. Przy-
jąć E = 2��105 MPa.
a)
Maksymalny moment zginający występuje w utwierdzeniu: M = P.L = 1��1 kN��m.
Siłę P, przyłożoną do swobodnego końca belki, rozkłada się na składową pionową
i poziomą. Momenty zginające wywołane tymi składowymi wynoszą
MY =� PL sina� =� 1��1�� sin20o� =� 0,342 kN��m,
MZ =� PLcosa� =� 1��1�� cos20o� =� 0,940 kN��m.
Momenty bezwładności oraz wskaz
niki wytrzymałości na zginanie wynoszą
bh3 3 �� 53 bh2 3 �� 52
JZ =� =� =� 31,25 cm4, WZ =� =� =� 12,5 cm3,
12 12 6 6
hb3 5 �� 33 hb2 5 �� 32
JY =� =� =� 11,25 cm4, WY =� =� =� 7,5 cm3.
12 12 6 6
Maksymalne naprężenia zginające w płaszczyz
nie pionowej
MZ 0,940
s�gy =� =� 103 =� 75,2 MPa,
WZ 12,3
a w płaszczyz
nie poziomej
MY 0,342
s�gz =� =� 103 =� 45,6 MPa.
WY 7,5
13 Wytrzymałość złożona 135
b) Rozkłady naprężeń przedstawiono na
rys. b. Po zsumowaniu naprężeń z
uwzględnieniu ich znaków w punktach A,
B, C i D, znajdujących się w narożach
przekroju, otrzymuje się naprężenia wy-
padkowe:
s�A =� -�75,2 -� 45,6 =� -�120,8 MPa,
s�B =� 75,2 -� 45,6 =� 29,6 MPa,
s�C =� 75,2 +� 45,6 =� 120,8 MPa,
s�D =� -�75,2 +� 45,6 =� -�29,6 MPa.
c) Wykres naprężeń normalnych wzdłuż
krawędzi konturu przekroju poprzeczne-
go przedstawiono na rys. c. Widać na
nim, że na krawędziach w dwóch punk-
tach naprężenia są równe zeru. Po zrzu-
towaniu tych punktów na krawędzie
otrzymuje się położenie osi obojętnej,
dzielącej przekrój na część rozciąganą
 + oraz ściskaną    . Na rysunku przed-
stawiono również rozkład naprężeń
wzdłuż linii prostopadłej do osi obojętnej.
Przedstawione wyżej rozwiązanie sta-
nowi naturalne wykorzystanie superpo-
zycji zginania w dwóch prostopadłych
płaszczyznach.
13 Wytrzymałość złożona 136
Zginanie i skręcanie
Wspólne działanie zginania i skręcania jest najczęściej spoty-
kanym przypadkiem wytrzymałości złożonej. W ten sposób są
obciążone wały maszyn, pojazdów, skrzyni biegów itp. Ten ro-
dzaj wytrzymałości złożonej charakteryzuje się niejednorodnym
rozkładem naprężeń  moment zginający powoduje powstanie
naprężeń normalnych, moment skręcający naprężeń stycznych
(rysunek).
Naprężenia normalne w wałach o przekroju
kołowym: (ZGINANIE):
Mzg
p�d3
s�max =� , W =� ,
W 32
Naprężenia styczne: (SKR
CANIE):
Mskr p�d3
t�max =� , W0 =� 2 �� W =� .
W0 16
Wskaz
nik wytrzymałości przekroju kołowe-
go na skręcanie jest równy podwójnemu
wskaz
nikowi wytrzymałości przekroju na
zginanie.
Naprężenia zredukowane oblicza się według hipotezy Hubera
M2 +� 0,75M2
Mzg 2 Mskr 2
ć� �� ć� ��
zg skr
2 2
�� �� �� ��
s�red =� s�max +� 3t�max =� +� 3�� �� =� .
�� ��
W W0 W
Ł� ł� Ł� ł�
Dla uproszczenia zapisu wprowadza się często pojęcie mo-
mentu zredukowanego Mred =� M2 +� 0,75M2 .
zg skr
W przypadku zginania w dwóch wzajemnie prostopadłych
płaszczyznach oblicza się wypadkowy moment zginający
Mzg =� M2 +� M2 .
Y Z
Warunek wytrzymałościowy przy zginaniu i skręcaniu
Mred
s�red =� Ł� s�dop,
W
gdzie W  wskaz
nik wytrzymałości przekroju na zginanie.
13 Wytrzymałość złożona 137
PRZYKA
AD
Na wale o kołowym przekroju zamontowano trzy koła zębate o średnicach d1 =
= 100 mm, d2 = 300 mm, d3 = 250 mm (rysunek). Koła te współpracują z innymi ko-
łami, przenosząc siły obwodowe P1 = 4000 N, P2 = 3000 N, P3 = 2000 N. Przyjmując
naprężenia dopuszczalne s�dop = 100 MPa, określić z warunku wytrzymałościowego
średnicę wału d.
Jeżeli w osi wału będą przyłożone zerowe
układy sił Pi (rys. b), to można zidentyfikować
momenty skręcające oraz siły zginające wał w
płaszczyz
nie pionowej i poziomej. Dla koła 1
moment skręcający M1 = P1��d1/2 = 200 N��m,
pionowa siła zginająca wał P1 = 4000 N. Dla
koła 2 M2 = P2��d2/2 = 450 N��m, pozioma siła
zginająca P2 = 3000 N, dla koła 3 M3 = P3��d3/2
= 250 N��m, pozioma siła zginająca (skierowa-
na przeciwnie do P2) P3 = 2000 N. Wał AB
oraz belkę AB zginaną w płaszczyz
nie piono-
wej oraz w płaszczyz
nie poziomej, jak również
odpowiadające im wykresy momentów poka-
zano na rysunku obok.
Z wykresów MZ oraz MY można określić mak-
symalne wartości momentów zginających.
Wypadkowe momenty Mzg dla przekrojów wa-
łów pod kołami wynoszą
Otrzymane wartości pozwalają na wykonanie
wykresu Mzg dla charakterystycznych punktów 
M(1) =� 6402 +� 2502 =� 687,1 N��m,
zg
w tym zadaniu są to przekroje, w których są
M(2) =� 4402 +� 562,52 =� 714,15 N��m,
zg
umieszczone koła. Dla przekroju, w którym wy-
stępuje maksymalna wartość Mzg, moment
M(3) =� 1602 +� 502 =� 167,63 N��m.
zg
skręcający MS = 250 N��m.
Moment zredukowany dla tego przekroju według hipotezy energetycznej ma wartość
Mred =� 714,152 +� 0,75 �� 2502 =� 746,25N��m.
Z warunku wytrzymałościowego określa się średnicę wału d
Mred p�d3 32Mred 3 32 �� 746,25
s�red =� Ł� s�dop, W =� , d ł� 3 =� 103 =� 42,36 mm.
W 32 p�s�dop p� ��100
Średnica wału poddanego działaniu momentu skręcającego i momentu zginające-
go w przekroju niebezpiecznym musi być równa co najmniej 42,36 mm.
13 Wytrzymałość złożona 138
OGÓLNY PRZYPADEK WYTRZYMAA
OŚCI ZA
OŻONEJ
Przeprowadzić obliczenia wytrzymałościowe dla pręta przedstawionego na rysunku.
Przyjąć: P0 = 400 kN, P1 = 80 kN, P2 = 40 kN, P3 = 20 kN.
L = 1m, h = 24 cm, b = 8 cm, kr = 140 MPa.
x P1
P0
y z
P2
P3
B
A
C
h b
x P1 x
Mz P0
My P0 P1
P2
P2
Mx
P1
z P1
P3
P2
P0
P3
y
P3
h
y
z
b
h
Nx =� P0 +� P1 =� 400 +� 80 =� 480 kN, Ty =� P2 =� 40 kN, Tz =� P3 =� 20 kN
L 0,24
Mz =� P1 �� +� P2 �� L =� 80 �� +� 40 ��1,00 =� 49,6 kN �� m
2 2
b L 0,08 1,00
My =� P1 �� +� P3 �� =� 80 �� +� 20 �� =�13,2 kN �� m
2 2 2 2
h 0,24
Mx =� MS =� P3 �� =� 20 �� =� 2,4 kN �� m
2 2
13 Wytrzymałość złożona 139
L/2
L/2
b
Wykresy naprężeń normalnych i stycznych
Nx
Mz
x
x
y z
z
y z
B
s� 
s�
A
C
b
h
b
h
b �� h2
Wz =�
6
6Mz 6�� 49,6
Nx 480
s�''=� =� ��103 =� 64,6 M Pa
s�'=� =� ��10 =� 25 M Pa
b �� h 8�� 24 b �� h2 8�� 242
Ms
My
x
x
z
t�s max
z
y
y
z
s�  
t�s
b
h b
h
h �� b2
Wy =�
6
Ms 2,4
t�s max =� =� ��103 =� 5,9 M Pa
6My 6 ��13,2
a� �� h �� b2 0,267�� 24��82
s�'''=� =� ��103 =� 51,6 M Pa
h �� b2 24��82
t�s =� g� �� t�s max =� 0,753��5,9 =� 4,4 M Pa
x x
Tz
z
y y z
Ty
t�y
t�z
b b
h h
Ty
3 Tz 3 20
3 3 40
t�z =� =� ��10 =� 1,6 M Pa
t�y =� =� ��10 =� 3,1 M Pa
2 b �� h 2 8�� 24
2 b �� h 2 8�� 24
13 Wytrzymałość złożona 140