Ćwiczenie M-16
Pomiar przyspieszenia ziemskiego przy pomocy spadkownicy
Atwooda
1. Wstęp teoretyczny
1.1. Ruch jednostajny
Ruch jednostajny jest to ruch, w którym w takich samych przedziałach czasowych ciało pokonuje
takie same odcinki drogi.
(1)
Powyższy warunek odpowiada temu, że prędkość (jako wielkość skalarna) jest stała. Dlatego wzór ten
zachodzi też dla dowolnie długich odcinków czasowych.
Ze względu na tor, po jakim porusza się ciało, ruch jednostajny dzielimy na:
·ð ruch jednostajny prostoliniowy
Jest to ruch odbywający się wzdłuż prostej ze stałą prędkością. Zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona
dla ruchu postępowego ciało porusza się ruchem jednostajnie prostoliniowym, jeżeli na ciało nie
działają żadne siły zewnętrzne lub ich wypadkowa wynosi zero. W ruchu jednostajnie prostoliniowym
wektor prędkości jest stały w związku z czym szybkość (wartość wektora prędkości) jest również
stała. Oznacza to, że przyspieszenie jest równe zeru, a prędkość średnia równa jest prędkości
chwilowej.
~ 1 ~
 (2)
(3)
Droga pokonana przez ciało w jednostce czasu równa jest iloczynowi wartości prędkości i czasu
trwania ruchu. Droga zależy wprost proporcjonalnie od czasu.
Jeżeli ruch opisany jest za pomocą położenia S względem czasu t za pomocą funkcji S(t) to droga jest
równa długości krzywej przez nią wyznaczanej.
·ð ruch jednostajny krzywoliniowy  ruch po okrÄ™gu
Jest to ruch po torze o kształcie okręgu z prędkością o stałej wartości. Ruch punktu materialnego
określa funkcja , gdzie nazywa się też drogą kątową (mierzoną w radianach).
( )
Wtedy:
(4)
S  droga
 droga kÄ…towa
r  promień okręgu, po którym porusza się ciało
Po zróżniczkowaniu:
(5)
(6)
Gdy = constans to jest to ruch jednostajny po okręgu.
Okresem w ruchu jednostajnym po okrÄ™gu jest czas potrzebny do przebycia drogi kÄ…towej 2pð.ð ð
ð ð (ð7ð)ð ð
ð ð (ð8ð)ð ð
f  częstotliwość
1.2. Ruch niejednostajny (zmienny)
Ruch zmienny to ruch, w którym prędkość zmienia się. Zmiana prędkości może dotyczyć zarówno jej
wartości jak i kierunku.
~ 2 ~
Wśród ruchów zmiennych wyróżnia się ruch jednostajnie zmienny (o stałym przyspieszeniu), a
pozostałe określa się jako niejednostajnie zmienne (przyspieszenie jest zmienne).
W zależności od charakteru zmiany prędkości wyróżnia się:
·ð ruch prostoliniowy zmienny  wektor prÄ™dkoÅ›ci ma staÅ‚y kierunek, ale jego wartość zmienia siÄ™.
W ruchu jednostajnie zmiennym:
(9)
(10)
Długość drogi przebytej w ciągu czasu t ruchem prostoliniowym jednostajnie zmiennym:
( ) (11)
+" +"
Gdy = 0, to:
(12)
Przykład ruchu  swobodny spadek, gdzie:
(13)
·ð ruch krzywoliniowy  ruch, w którym zmienia siÄ™ kierunek ruchu, a nie zmienia siÄ™ wartość
prędkości. Szczególnym przypadkiem tego ruchu jest ruch jednostajny po okręgu, w którym
zmiana kierunku jest jednostajna, wartość prędkości stała i stałe przyspieszenie dośrodkowe
(ruch ten został opisany wyżej, przy okazji ruchu jednostajnego).
·ð pozostaÅ‚e przypadki ruchu zmiennego  ruch, w którym zmienia siÄ™ zarówno kierunek jak i
wartość prędkości  ruch zmienny po okręgu.
W zależności od charakteru tej zmiany można wyróżnić:
żð ruch jednostajnie zmienny po okrÄ™gu
Zależność prędkości od czasu w ruchu jednostajnie zmiennym po okręgu wyrażają wzory:
Øð w przypadku znajomoÅ›ci poczÄ…tkowej i koÅ„cowej prÄ™dkoÅ›ci kÄ…towej:
~ 3 ~
 (14)
Øð w przypadku znajomoÅ›ci poczÄ…tkowej prÄ™dkoÅ›ci kÄ…towej i przyspieszenia kÄ…towego:
(15)
gdzie:
 kąt zakreślony w czasie t
 początkowa prędkość kątowa
 prędkość kątowa po upływie czasu t
 przyspieszenie kÄ…towe
t  czas trwania ruchu
żð ruch niejednostajnie zmienny
W ruchu niejednostajnie zmiennym po okręgu niezbędna jest znajomość funkcji zmiany
drogi, prędkości lub przyspieszenia w czasie.
(16)
+"
Droga kątowa równa jest całce czasowej prędkości kątowej, stąd:
(17)
Chwilowe przyspieszenie kÄ…towe jest pochodnÄ… funkcji lub jako druga pochodna czasowa drogi
( )
kÄ…towej .
( )
(18)
+"
1.3. Zasada zachowania energii mechanicznej
Energia może być przekształcana z jednej formy w inną, ale nie może być wytwarzana, ani niszczona;
energia całkowita jest stała. Innymi słowy suma energii kinetycznej, potencjalnej, wewnętrznej i
wszystkich innych rodzajów energii nie zmienia się.
Energia kinetyczna i potencjalna jest zachowana tylko w przypadku działania sił zachowawczych.
Energia całkowita jest zachowana zawsze.
~ 4 ~
1.4. Charakterystyka pola grawitacyjnego
Pole grawitacyjne to przestrzeń, w której na dowolne ciało o masie m działa przyciągająca siła
grawitacyjna. Wyróżniamy dwa podstawowe typy pól grawitacyjnych:
·ð pole jednorodne
·ð pole centralne
~ 5 ~
Prawo powszechnego ciążenia
Wartość siły, z jaką oddziałują na siebie dwa ciała punktowe, jest wprost proporcjonalna do iloczynu
ich mas, a odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi. Jej wartość obliczamy ze
wzoru:
(19)
gdzie:
M, m  masy przyciągających się ciał
r  odległość pomiędzy środkami przyciągających się ciał
G  stała grawitacji;
Siły grawitacyjne mają zawsze charakter przyciągający i należą do tzw. oddziaływań wzajemnych.
Oznacza to, że oddziaływania grawitacyjne pomiędzy dwoma dowolnymi ciałami spełniają III zasadę
dynamiki Newtona.
Natężenie pola
Natężenie pola jest wielkością wektorową, definiowaną jako stosunek siły działającej na ciało o masie
m umieszczone w danym punkcie pola grawitacyjnego do wartości masy tego ciała.
×
(20)
×
Natężenie pola ma taką samą jednostkę jak przyspieszenie grawitacyjne. W odróżnieniu od
przyspieszenia, będącego cechą konkretnego ciała, natężenie pola jest cechą danego punktu
przestrzeni, zwanej polem grawitacyjnym. Jego wartość jest zawsze równa wartości przyspieszenia
grawitacyjnego, z jakim porusza się ciało o masie m umieszczone w danym punkcie pola.
W polu jednorodnym wektor × ma w każdym punkcie taki sam zwrot, kierunek i wartość; w polu
centralnym jego wartość jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości od centrum pola.
(21)
×
Energia potencjalna
y
ródłem pola grawitacyjnego jest obiekt posiadający masę. W zależności od warunków zagadnienia
rozpatruje siÄ™ pole grawitacyjne jako pole jednorodne lub jako pole centralne.
~ 6 ~
·ð w pobliżu powierzchni Ziemi
Dla niezbyt dużych wysokości i niezbyt dużych odległości (znacznie mniejszych od promienia
Ziemi) można przyjąć, że pole grawitacyjne Ziemi, w rozpatrywanym obszarze, jest jednorodnym
polem o kierunku pionowym i zwrocie w dół. Energia potencjalna grawitacji ciała o masie m
umieszczonego na wysokość h nad poziom odniesienia (poziom powierzchni Ziemi) jest równa
pracy wykonanej przy podnoszeniu ciała z poziomu odniesienia na wysokość h:
(22)
·ð w centralnym polu grawitacyjnym
W zagadnieniach, w których trzeba rozpatrywać zmiany energii grawitacyjnej w skali
porównywalnej do odległości od z
ródeł grawitacji (np. w lotach kosmicznych, oddziaływaniach
międzyplanetarnych), trzeba uwzględnić niejednorodność pola grawitacyjnego. Za poziom
odniesienia najwygodniej jest wówczas przyjąć nieskończoność, gdzie siła oddziaływania wynosi
0. Wyrażenie na pracę potrzebną do przeniesienia obiektu z pewnego punktu odległego o r od
środka masy M do nieskończoności można wyznaczyć obliczając całkę:
(23)
+" ( )
gdzie:
r  odległość od środka masy z
ródła pola grawitacyjnego do przyciąganego obiektu
M  masa z
ródła pola grawitacyjnego
m  masa przenoszonego ciała
Potencjał grawitacyjny
Jest to wielkość skalarna definiowana jako stosunek energii potencjalnej, jaką posiada ciało o masie
m umieszczone w danym punkcie pola grawitacyjnego, do wartości tej masy.
(24)
W polu centralnym potencjał grawitacyjny obliczamy ze wzoru:
(25)
~ 7 ~
gdzie:
M  masa z
ródła pola
r  odległość od środka masy z
ródła
Potencjał danego punktu pola, wytworzonego przez kilka mas, jest równy algebraicznej sumie
potencjałów pochodzących od każdej z mas z osobna.
1.5. Spadkownica Atwooda
Spadkownica Atwooda zbudowana jest z bloczka, na którym poprzez nic zawieszone są dwa
identyczne obciążniki. Masa obciążników może być zmieniana dzięki zamocowaniu dodatkowych
ciężarków. Przy analizie ruchu w maszynie Atwooda, przyjmuje się, ze nić jest cięgnem doskonale
elastycznym, nierozciągliwym i nieważkim, zaś bloczek jest idealnie płaski, nieważki, porusza się bez
oporów i zapewnia stałą odległość nici od osi obrotu krążka. Dobierając odpowiednio masę poruszają
się pionowo. Na każdy z ciężarków działają dwie siły  siła ciężkości i przeciwnie skierowana do niej
siła naciągu nici. Jeżeli bloczek ma znikomo mała masę, obraca się bez oporów i nic jest nieważka i
doskonale elastyczna, to obie siły naciągu maja takie same wartości i zgodne zwroty. W związku z
tym, ze wszystkie wektory sił są pionowe wystarczy rozpatrzeć zagadnienie tylko w kierunku
pionowym.
Wyprowadzenie wzoru na przyspieszenie grawitacyjne przy pomocy spadkownicy Atwooda:
( ) ( )
{ (26)
) ( ) (27)
(
(
) ( ) (28)
( ) (29)
(30)
droga w ruchu przyspieszonym:
(31)
(32)
(33)
(34)
droga w ruchu jednostajnym:
(35)
~ 8 ~
 (36)
{ (37)
(38)
(39)
PodstawiajÄ…c do wzoru na przyspieszenie grawitacyjne otrzymujemy:
(40)
gdzie:
g  przyspieszenie ziemskie
M  masa dużego ciężarka
m  masa dodatkowego ciężarka
l  droga w ruchu jednostajnie przyspieszonym
S  droga w ruchu jednostajnym
t  czas ruchu jednostajnego
2. Cel i przebieg ćwiczenia
Celem ćwiczenia M-16 jest pomiar przyspieszenia grawitacyjnego na Ziemi przy pomocy spadkownicy
Atwooda. Przed rozpoczęciem wykonywania pomiaru czasu ruchu jednostajnego dokonano zważenia
wszystkich potrzebnych ciężarków. Po ustawieniu wspornika środkowego i górnego na odpowiednie,
wybrane przez nas, wysokości włączamy układ elektroniczny spadkownicy i przystępujemy do
zmierzenia czasu ruchu jednostajnego. Pomiar powtarzamy pięciokrotnie, a na koniec wyznaczamy
średnią wartość czasu. Po podstawieniu do wzoru zmierzonych wartości obliczamy wartość
przyspieszenia grawitacyjnego. Pomiar powtarzamy czterokrotnie dla innych ciężarków dodatkowych
oraz dla innych dróg l i S.
~ 9 ~
3. Wyniki
3.1. Tabela wyników
Numer pomiaru S [m] l [m] M [g] [s] [s] [s] [s] [s]
1 0,2 0,2 6,67 0,473 0,480 0,465 0,465 0,463
2 0,2 0,2 8,26 0,425 0,444 0,438 0,421 0,422
3 0,2 0,2 10,92 0,376 0,369 0,365 0,364 0,365
4 0,15 0,25 10,92 0,243 0,246 0,245 0,246 0,243
3.2. Opracowanie wyników
Czas w ruchu jednostajnym
Korzystając ze wzoru na średnią arytmetyczną
 (41)
"
dokonujemy uśrednienia czasów ruchu. Otrzymane wyniki przedstawia poniższa tabela:

Numer pomiaru
1 0,4692
2 0,4300
3 0,3678
4 0,2446
Przyspieszenie grawitacyjne
Dla każdego z pomiarów podstawiając do wzoru:
(42)
wartości zmierzone doświadczalnie i wyliczone otrzymujemy wartości przyspieszenia grawitacyjnego
dla poszczególnych pomiarów.
Otrzymane wyniki przedstawia tabela:
Numer pomiaru
[ ]
1 8,672727
2 8,436993
3 8,918519
4 9,060201
~ 10 ~
Ostateczny wynik doświadczenia czyli wartość przyspieszenia grawitacyjnego wyznaczony przy
pomocy spadkownicy Atwooda obliczamy ze wzoru:
(43)
 " [ ]
3.3. Rachunek błędów
Odchylenie standardowe wartości średniej przyspieszenie grawitacyjnego obliczamy ze wzoru:
(44)

"
gdzie:
(45)
" " 
( )
( )
Ostatecznie otrzymujemy wzór na odchylenie standardowe wartości średniej przyspieszenia
grawitacyjnego:
(46)
" " 
( )

( )
( )
Ostatecznie otrzymujemy:
4. Podsumowanie
Przyjęta, tablicowa wartość przyspieszenia ziemskiego wynosi . W wyniku
przeprowadzonego doświadczenia otrzymujemy wartość znacznie odbiegającą od tablicowej, a
( )
mianowicie . Błąd względny pomiaru wynosi:
| |
(47)
| |
Takie odstępstwo zostało głównie spowodowane:
·ð niedokÅ‚adnoÅ›ciÄ… pomiaru masy ciężarków dokonywanej przy pomocy wagi szalkowej
·ð niciÄ… zastosowanÄ… w spadkownicy, która byÅ‚a niciÄ… krawieckÄ…, a wiÄ™c rozciÄ…gaÅ‚a siÄ™ i
powodowała tarcie
·ð zużyciem nici (nić byÅ‚a przetarta), co byÅ‚o wynikiem jej nadmiernej eksploatacji
~ 11 ~