Obwody i sygnały
Wykłady
Wykład 10
Analiza sieci z elementami inercyjnymi liniowymi
 cz. 1
1
Analiza sieci z elementami inercyjnymi liniowymi - wstęp
5ØEÜ1
5ØEÜ1
5ØEÜ2
5ØEÜ2
5Ø?Ü
5Ø6Ü
5Ø6Ü
J
J
5Ø?Ü U
R1
U
R1
2
Analiza sieci z elementami inercyjnymi liniowymi - wstęp
Zasobnik ßð nowe elementy L, C, M
Kondensator
Równanie definicyjne kondensatora liniowego
5Ø^Ü5Ø6Ü = 5Ø6Ü " 5ØbÜ5Ø6Ü
5Ø6Ü  pojemność kondensatora mierzona w faradach [F],
5Ø^Ü5Ø6Ü  Å‚adunek kondensatora mierzony w kulombach [C],
5ØbÜ5Ø6Ü  spadek napiÄ™cia na kondensatorze mierzony w woltach [V].
qC
qC=C"uC
qC=f(uC)
iC
uC
C
uC
a)
b)
Charakterystyki (idealnych) kondensatorów liniowego i nieliniowego (a) i oznaczenie kondensatora liniowego (b)
3
Analiza sieci z elementami inercyjnymi liniowymi - wstęp
qC
qC=C"uC
Zasobnik ßð nowe elementy L, C, M
qC=f(uC)
iC
Kondensator
uC
C
uC
ZwiÄ…zki dla kondensatora liniowego stacjonarnego:
a)
b)
prÄ…d
5ØQÜ5Ø^Ü5Ø6Ü 5ØaÜ 5ØQÜ5ØbÜ5Ø6Ü(5ØaÜ)
5ØVÜ5Ø6Ü 5ØaÜ = = 5Ø6Ü
,
5ØQÜ5ØaÜ 5ØQÜ5ØaÜ
napięcie
5ØaÜ
1
5ØbÜ5Ø6Ü 5ØaÜ = 5ØbÜ5Ø6Ü 5ØaÜ0 + żÿ 5ØVÜ5Ø6Ü 5Øß 5ØQÜ5Øß ,
5Ø6Ü
5ØaÜ0
 zmagazynowania energia
5ØaÜ 5ØaÜ 5Ø^Ü5Ø6Ü 5ØaÜ
2 2
5Ø^Ü5Ø6Ü 5Øß 5ØQÜ5Ø^Ü5Ø6Ü 5Øß 1 5Ø^Ü5Ø6Ü 5ØaÜ - 5Ø^Ü5Ø6Ü 5ØaÜ0
5ØJÜ5Ø6Ü 5ØaÜ0; 5ØaÜ = żÿ 5ØbÜ5Ø6Ü 5Øß 5ØVÜ5Ø6Ü 5Øß 5ØQÜ5Øß = żÿ " 5ØQÜ5Øß = żÿ 5Ø^Ü5Ø6Ü5ØQÜ5Ø^Ü5Ø6Ü = =
5Ø6Ü 5ØQÜ5Øß 5Ø6Ü 25Ø6Ü
5ØaÜ0 5ØaÜ0 5Ø^Ü5Ø6Ü(5ØaÜ0)
5Ø6Ü
2 2
" 5ØbÜ5Ø6Ü 5ØaÜ - 5ØbÜ5Ø6Ü(5ØaÜ0) .
2
4
Analiza sieci z elementami inercyjnymi liniowymi - wstęp
Zasobnik ßð nowe elementy L, C, M
Induktor
Równanie definicyjne induktora liniowego
5Ø÷Þ5Ø?Ü = 5Ø?Ü " 5ØVÜ5Ø?Ü
5Ø?Ü  indukcyjność induktora mierzona w henrach [H],
5Ø÷Þ5Ø?Ü  strumieÅ„ magnetyczny induktora mierzony w weberach [Wb],
5ØVÜ5Ø?Ü  prÄ…d induktora mierzony w amperach [A].
5Ø1ß5ØsÜ = 5ØsÜ " 5ØŠÜ5ØsÜ
5Ø÷ÞL
iL
5Ø1ß5ØsÜ = 5؇Ü(5ØŠÜ5ØsÜ)
uL
L
iL
a)
b)
Charakterystyki (idealnych) induktorów liniowego i nieliniowego (a) i oznaczenie induktora liniowego (b)
5
Analiza sieci z elementami inercyjnymi liniowymi - wstęp
Zasobnik ßð nowe elementy L, C, M
5Ø1ß5ØsÜ = 5ØsÜ " 5ØŠÜ5ØsÜ
5Ø÷Þ
Induktor
iL
ZwiÄ…zki dla induktora liniowego stacjonarnego:
5Ø1ß5ØsÜ = 5؇Ü(5ØŠÜ5ØsÜ)
uL
napięcie L
iL
5ØQÜ5Ø÷Þ5Ø?Ü 5ØaÜ 5ØQÜ5ØVÜ5Ø?Ü(5ØaÜ)
5ØbÜ5Ø?Ü 5ØaÜ = = 5Ø?Ü
,
5ØQÜ5ØaÜ 5ØQÜ5ØaÜ
prÄ…d a)
b)
5ØaÜ
1
5ØVÜ5Ø?Ü 5ØaÜ = 5ØVÜ5Ø?Ü 5ØaÜ0 + żÿ 5ØbÜ5Ø?Ü 5Øß 5ØQÜ5Øß ,
5Ø?Ü
5ØaÜ0
 zmagazynowania energia
5ØaÜ 5ØaÜ 5Ø÷Þ5Ø?Ü 5ØaÜ
2 2
1 5Ø÷Þ5Ø?Ü 5ØaÜ - 5Ø÷Þ5Ø?Ü 5ØaÜ0
5Ø÷Þ5Ø?Ü 5Øß
5ØJÜ5Ø?Ü 5ØaÜ0; 5ØaÜ = żÿ 5ØbÜ5Ø6Ü 5Øß 5ØVÜ5Ø6Ü 5Øß 5ØQÜ5Øß = żÿ "5ØQÜ5Ø÷Þ5Ø?Ü 5Øß 5ØQÜ5Øß = żÿ 5Ø÷Þ5Ø?Ü5ØQÜ5Ø÷Þ5Ø?Ü = =
5Ø?Ü 5ØQÜ5Øß
5Ø?Ü 25Ø?Ü
5ØaÜ0 5ØaÜ0 5Ø÷Þ5Ø?Ü 5ØaÜ0
5Ø?Ü
2 2
" 5ØVÜ5Ø?Ü 5ØaÜ - 5ØVÜ5Ø?Ü (5ØaÜ0) .
2
6
Analiza sieci z elementami inercyjnymi liniowymi - wstęp
Zasobnik ßð nowe elementy L, C, M
Indukcyjności sprzężone
Równania definicyjne indukcyjności sprzężonych
5Ø÷Þ1 = 5Ø?Ü15ØVÜ1 + 5Ø@Ü5ØVÜ2
5Ø÷Þ2 = 5Ø@Ü5ØVÜ1 + 5Ø?Ü25ØVÜ2
M
4
i1 i2
2
$1
L1
L2
$2
u1
u2
i1
i2
$1 $2
M>0
1
3
a)
b)
Przykład indukcyjności sprzężonych (a) i ich sposób ich przedstawiania w sieci (model obwodowy indukcyjności sprzężonych) (b)
7
Analiza sieci z elementami inercyjnymi liniowymi - wstęp
M
Zasobnik ßð nowe elementy L, C, M
4
2 i1 i2
L1 L2
Indukcyjności sprzężone cd
u1
u2
Równania definicyjne indukcyjności sprzężonych
$1 $2
5Ø÷Þ1 = 5Ø?Ü15ØVÜ1 + 5Ø@Ü5ØVÜ2
1 3
b)
5Ø÷Þ2 = 5Ø@Ü5ØVÜ1 + 5Ø?Ü25ØVÜ2
ObowiÄ…zuje zasada oznaczeÅ„, że strumienie 5Ø?Ü 5ØVÜ i 5Ø@Ü5ØVÜ dodajÄ… siÄ™, gdy oba prÄ…dy 5ØVÜ i 5ØVÜ , 5Ø]Ü `" 5Ø^Ü,
5Ø]Ü 5Ø]Ü 5Ø^Ü 5Ø]Ü 5Ø^Ü
5Ø]Ü, 5Ø^Ü " {1, 2} jednoczeÅ›nie wpÅ‚ywajÄ… do kropek (lub jednoczeÅ›nie wypÅ‚ywajÄ… z kropek), inaczej
odejmujÄ… siÄ™ (nadto musi być 5Ø@Ü d" 5Ø?Ü15Ø?Ü2 czyli może być zarówno 5Ø@Ü < 0 jak i 5Ø@Ü > 0).
W analizowanych sieciach kropkowanie będzie znane (wynika ono z przestrzennego wzajemnego
usytuowania uzwojeń modelowanego zestawu cewek rzeczywistych).
5ØQÜ5Ø÷Þ
PamiÄ™tajÄ…c, że 5ØbÜ = uzyskujemy, że
5ØQÜ5ØaÜ
5ØQÜ 5ØQÜ
5ØbÜ1 = 5Ø?Ü15ØQÜ5ØaÜ5ØVÜ1 + 5Ø@Ü5ØQÜ5ØaÜ5ØVÜ2
żÿ
5ØQÜ 5ØQÜ
5ØbÜ2 = 5Ø@Ü5ØQÜ5ØaÜ5ØVÜ1 + 5Ø?Ü25ØQÜ5ØaÜ5ØVÜ2
8
Analiza sieci z elementami inercyjnymi liniowymi - wstęp
Zasobnik ßð nowe
elementy L, C, M
połączenie równoległe:
A
ączenie kondensatorów
"
kondensatorów 5Ø6Ü = 5Ø6Ü5ØVÜ,
i induktorów 1
1
"
induktorów = ,
5Ø?Ü5ØVÜ
5Ø?Ü
połączenie szeregowe:
1 1
"
kondensatorów = ,
5Ø6Ü 5Ø6Ü5ØVÜ
"
induktorów 5Ø?Ü = 5Ø?Ü5ØVÜ .
"! "!
5Ø?Ü2
5Ø?Ü
5Ø6Ü 5Ø6Ü 5Ø?Ü5Ø[Ü
5Ø6Ü 5Ø6Ü
5Ø?Ü
1
1 2
5Ø[Ü
a) b)
5Ø6Ü
5Ø6Ü
2
1
5Ø?Ü 5Ø?Ü
1 2
"!
"!
5Ø6Ü
5Ø?Ü
5Ø6Ü
5Ø6Ü
3
5Ø?Ü 5Ø?Ü
5Ø[Ü
5Ø[Ü 3
c) d)
Parametry zastępcze połączeń elementów inercyjnych: a) równoległego kondensatorów, b) równoległego induktorów, c) szeregowego
kondensatorów, d) szeregowego induktorów
9
Analiza sieci z elementami inercyjnymi liniowymi - wstęp
Sygnały czasu ciągłego
v
Przebieg fizyczny niosący informację, będący funkcją czasu,
nazywamy sygnałem.
Gdy czas przebiega niezerowy przedział zbioru liczb
t
0
rzeczywistych, mówimy o sygnale czasu ciągłego.
Przykład sygnału nieokresowego i pozaokresowego
jednocześnie
Sygnały czasu ciągłego dzielimy na:
" deterministyczne,
" stochastyczne.
Wśród sygnałów deterministycznych wyróżniamy:
5ØcÜ
" przyczynowe,
" nieprzyczynowe,
0
5ØaÜ
a także, według innego kryterium podziału, sygnały:
5ØGÜ 5ØGÜ
" dyskretnowidmowe (okresowe i prawie okresowe),
Przykład sygnału okresowego
" ciągłowidmowe (pozaokresowe)
10
Analiza sieci z elementami inercyjnymi liniowymi - wstęp
Sygnały czasu ciągłego
5ØcÜ
Do najczęściej wykorzystywanych parametrów sygnałów
okresowych należą:
" okres podstawowy,
0
5ØaÜ
" pulsacja podstawowa,
5ØGÜ 5ØGÜ
" wartość średnia,
Przykład sygnału okresowego
" wartość skuteczna.
5ØGÜ  okres podstawowy (patrz rysunek),
25Øß
5Øß = - pulsacja podstawowa,
5ØGÜ
1 5ØaÜ5Ø\Ü+5ØGÜ
5ØßÅ›5Ø_Ü = 5Øß(5ØaÜ)5ØQÜ5ØaÜ - wartość Å›rednia,
+"5ØaÜ5Ø\Ü
5ØGÜ
1 5ØaÜ5Ø\Ü+5ØGÜ
5Øß5Ø`Ü5Ø`Ü = 5Øß2(5ØaÜ)5ØQÜ5ØaÜ - wartość skuteczna
+"5ØaÜ5Ø\Ü
5ØGÜ
Sygnały prawie okresowe to takie sygnały nieprzyczynowe, które nie są okresowe (czyli są
nieokresowe), ale dają się przedstawić w postaci sumy (skończonej lub nie) sygnałów
okresowych.
11
Analiza sieci z elementami inercyjnymi liniowymi - wstęp
Sygnały czasu ciągłego
Wybrane sygnały
" jedynka Heaviside a 1(5ØaÜ) = 0,5(1 + sgn(5ØaÜ))
5ØcÜ
5ØcÜ
1 5ØaÜ - 5ØNÜ
1 5ØaÜ
1
1
5ØaÜ
0 5ØaÜ
0 5ØNÜ
1 5ØaÜ - 5ØNÜ = żÿ0 dla 5ØaÜ < 5ØNÜ
1 5ØaÜ = żÿ0 dla 5ØaÜ < 0
1 dla 5ØaÜ > 5ØNÜ
1 dla 5ØaÜ > 0
Funkcja Heaviside a i jej wersja opóz
niona o 5Ø‚Ü > 5ØÎß
" impuls Diraca ´(5ØaÜ)
"
(1) a" Pole_pod_5Ø9ß 5Ø•Ü = 5ØÏß = 5Ø9ß 5Ø•Ü 5ØÜ5Ø•Ü
+"-"
5ØaÜ
5ØQÜ
´(t)
5ØÿÞ 5ØaÜ = 1 5ØaÜ oraz żÿ 5ØÿÞ(5ØeÜ)5ØQÜ5ØeÜ = 1 5ØaÜ
5ØQÜ5ØaÜ
-"
(1)
t
0
Funkcja impulsowa Diraca, zwana też dystrybucjÄ… ´(t)
12
Analiza sieci z elementami inercyjnymi liniowymi - wstęp
Sygnały czasu ciągłego
Wybrane sygnały
" impuls bramkowy,
5ØcÜ(5ØaÜ) = 1(5ØaÜ - 5ØNÜ )  1 5ØaÜ - 5ØNÜ
1 2
5ØGÜ
5ØcÜ
5ØcÜ 5ØaÜ = 1 5ØaÜ - 2 Å" 1 5ØaÜ - + 1(5ØaÜ - 5ØGÜ)
2
1 1
5ØNÜ
1
0
5ØGÜ
5ØNÜ
5ØaÜ
0
5ØGÜ t
2
2
-1
(a)
" fala prostokÄ…tna
0 dla 5Ø[Ü5ØGÜ+5ØGÜ>5ØaÜ>5Ø[Ü5ØGÜ
2
5ØcÜ 5ØaÜ = żÿ 5Ø[Ü=0,Ä…1,Ä…2,&
1 dla 5Ø[Ü+1 5ØGÜ>5ØaÜ>5Ø[Ü5ØGÜ+5ØGÜ
2
5ØcÜ
5ØGÜ 5ØGÜ
1
2 2
0
5ØaÜ
5ØGÜ
5ØGÜ 5ØGÜ
13
Analiza sieci z elementami inercyjnymi liniowymi - wstęp
Sygnały czasu ciągłego
Wybrane sygnały
" impuls trójkątny typu piły,
5Ø4Ü5ØaÜ dla 0<5ØaÜ<5ØGÜ
5ØcÜ5ØGÜ(5ØaÜ) = żÿ
5ØGÜ
0 dla 5ØaÜ<0 5ØYÜ5ØYÜ5ØYÜ 5ØaÜ>5ØGÜ
5ØcÜ
5ØGÜ
A
0 5ØGÜ 5ØaÜ
" fala trójkątna typu piły itd.
"
5ØcÜ 5ØaÜ = żÿ 5ØcÜ5ØGÜ 5ØaÜ - 5Ø[Ü5ØGÜ
5Ø[Ü=-"
gdzie 5ØcÜ5ØGÜzdefiniowano powyżej
5ØcÜ
5Ø4Ü
5ØGÜ 5ØaÜ
0
14
Analiza sieci z elementami inercyjnymi liniowymi - wstęp
Sygnały czasu ciągłego
Wybrane sygnały
- o dystrybucji 5ØÿÞ(5ØaÜ)
1 5ØQÜ5ØÏß 5ØaÜ,5Øß 5ØaÜ
5ØÏß 5ØaÜ, 5Øß = 5ØaÜ5ØÏß 5ØaÜ - 5ØaÜ - 5Øß 5ØÏß 5ØaÜ - 5Øß , 5ØÿÞ 5ØaÜ, 5Øß = , 5ØÏß 5ØaÜ, 5Øß = 5ØÿÞ(5ØeÜ, 5Øß)5ØQÜ5ØeÜ
+"-"
5Øß 5ØQÜ5ØaÜ
1 5ØaÜ, 5Øß ´(5ØaÜ, 5Øß)
1
5Øß-1
Pole_pod_5ØÿÞ 5ØaÜ, 5Øß = 5Øß " 5Øß-1 = 1
0 0
5ØaÜ
µ
5ØaÜ
µ
0 dla 5ØaÜ `" 0
5ØÿÞ 5ØaÜ = lim 5ØÿÞ 5ØaÜ, 5Øß = żÿ
5Øß0 +" dla 5ØaÜ = 0
"
"
Pole_pod_5ØÿÞ 5ØaÜ = lim [Pole_pod_5ØÿÞ(5ØaÜ, 5Øß)] = 1 = żÿ 5ØÿÞ 5ØaÜ 5ØQÜ5ØaÜ
5Øß0
-"
(1)
Dystrybucja ´(t) (tzw. funkcja impulsowa Diraca, pseudofunkcja). PodejÅ›cie
0 t
uproszczone, poglÄ…dowe okreÅ›lajÄ…ce ´(t)
|5Øß=
Dla wytworzenia wyobraz
ni o tym obiekcie na rysunku wykorzystano ciÄ…g funkcyjny 5ØÿÞ5Ø[Ü 5ØaÜ = 5ØÿÞ 5ØaÜ, 5Øß 1 do
5Ø[Ü
przedstawienia 5ØÿÞ(5ØaÜ). Gdy 5Ø[Ü dąży do nieskoÅ„czonoÅ›ci (5Øß dąży do 0) ciÄ…g funkcyjny 5ØÿÞ5Ø[Ü(5ØaÜ)  zmierza wyglÄ…dem i pewnymi
wÅ‚asnoÅ›ciami do 5ØÿÞ(5ØaÜ). Gdy nie jesteÅ›my pewni rezultatu operacji, w której uczestniczy dystrybucja 5ØÿÞ(5ØaÜ), uciekamy siÄ™
do obliczenia granicy rezultatu tej operacji wprzódy zastÄ™pujÄ…c argument 5ØÿÞ(5ØaÜ) w tej operacji przez 5ØÿÞ(5ØaÜ, 5Øß) i zmierzajÄ…c
potem z 5Øß do zera.
15
Analiza sieci z elementami inercyjnymi liniowymi - wstęp
Sygnały czasu ciągłego
Wybrane sygnały
- wÅ‚aÅ›ciwoÅ›ci 5ØÿÞ(5ØaÜ)
" mnożenie 5ØÿÞ(5ØaÜ) przez staÅ‚Ä…:
"
0 dla 5ØaÜ `" 0
0 " 5ØÿÞ 5ØaÜ a" 0, zaÅ› dla 5ØNÜ `" 0 jest 5ØNÜ " 5ØÿÞ 5ØaÜ = żÿ przy żÿ 5ØNÜ " 5ØÿÞ 5ØaÜ 5ØQÜ5ØaÜ = 5ØNÜ,
" dla 5ØaÜ = 0
-"
" zwiÄ…zek z uskokiem jednostkowym:
5ØaÜ
5ØQÜ
żÿ 5ØÿÞ 5Øß 5ØQÜ5Øß = 1 5ØaÜ oraz 1 5ØaÜ = 5ØÿÞ 5ØaÜ ,
5ØQÜ5ØaÜ
-"
" właściwość próbkowania:
jeżeli 5ØeÜ(5ØaÜ) jest dowolnym sygnaÅ‚em to
5ØeÜ 5ØaÜ 5ØÿÞ 5ØaÜ = 5ØeÜ 0 5ØÿÞ 5ØaÜ ,
5ØeÜ 5ØaÜ 5ØÿÞ 5ØaÜ - 5ØaÜ0 = 5ØeÜ 5ØaÜ0 5ØÿÞ 5ØaÜ - 5ØaÜ0 ,
" właściwość filtracji:
jeżeli 5ØeÜ(5ØaÜ) jest dowolnym sygnaÅ‚em to
"
5ØeÜ 5ØaÜ 5ØÿÞ 5ØaÜ = 5ØeÜ 0 ,
+"-"
"
5ØeÜ 5ØaÜ 5ØÿÞ 5ØaÜ - 5ØaÜ0 = 5ØeÜ 5ØaÜ0 ,
+"-"
" zmiana skali:
5ØaÜ
5ØÿÞ = 5ØaÜ0 5ØÿÞ(5ØaÜ),
5ØaÜ0
16
Analiza sieci z elementami inercyjnymi liniowymi - wstęp
Sygnały czasu ciągłego
Wybrane sygnały
- wÅ‚aÅ›ciwoÅ›ci 5ØÿÞ(5ØaÜ)
" parzystość:
5ØÿÞ -5ØaÜ = 5ØÿÞ(5ØaÜ),
" moduł splatania:
jeżeli 5ØeÜ(5ØaÜ) jest dowolnym sygnaÅ‚em to
" "
5ØeÜ 5ØaÜ " 5ØÿÞ 5ØaÜ = żÿ 5ØeÜ 5Øß 5ØÿÞ 5ØaÜ - 5Øß 5ØQÜ5Øß = żÿ 5ØeÜ 5ØaÜ - 5Øß 5ØÿÞ 5Øß 5ØQÜ5Øß = 5ØeÜ(5ØaÜ),
-" -"
czyli 5ØÿÞ(5ØaÜ) jest moduÅ‚em operacji splotu.
Splot jest definiowany następująco:
"
5ØšÜ 5Ø•Ü = 5Ø™Ü5ØÏß 5Ø•Ü " 5Ø™Ü5ØÐß 5Ø•Ü = żÿ 5Ø™Ü5ØÏß 5ØIß 5Ø™Ü5ØÐß 5Ø•Ü - 5ØIß 5ØÜ5ØIß .
-"
17
Analiza sieci z elementami inercyjnymi liniowymi - wstęp
Sygnały czasu ciągłego
Wybrane sygnały
- pochodna dystrybucyjna sygnałów z nieciągłościami w postaci ograniczonych skoków
5ØÜ
!5Ø`Ü = lim 5ØcÜ 5ØaÜ - lim 5ØcÜ 5ØaÜ ,
-
+
5ØaÜ5ØaÜ5ØXÜ
5ØaÜ5ØaÜ5ØXÜ
!
1
2
5ØcÜ5ØQÜ5ØQÜ5Ø`Ü5ØaÜ5Ø_Ü 5ØaÜ = 5ØcÜ2 5ØaÜ + żÿ !5Ø`Ü5ØÿÞ(5ØaÜ - 5ØaÜ5Ø`Ü)
5Ø`Ü
!0
!
2
Pochodna uogólniona (dystrybucyjna) funkcji 5ØÜ(5Ø•Ü)
5ØaÜ 5ØaÜ
5ØaÜ
0
1 2
2
5ØaÜ 5ØaÜ 5ØaÜ
5ØQÜ
2
żÿ 5ØcÜ 5Øß 5ØQÜ5Øß = 5ØcÜ 5ØaÜ i żÿ 5ØcÜ 5Øß 5ØQÜ5Øß = żÿ 5ØcÜ 5Øß 5ØQÜ5Øß = 5ØcÜ 5ØaÜ
dystr
5ØQÜ5ØaÜ
-" -" -"
dystr
18
Analiza sieci z elementami inercyjnymi liniowymi - wstęp
Sygnały czasu ciągłego
Wybrane sygnały
- pochodna dystrybucyjna sygnałów z nieciągłościami w postaci ograniczonych skoków
Przykłady
a) 5ØaÜ3 + 5ØÜ25ØaÜ - 2 5ØÿÞ 5ØaÜ = 0 + 5ØÜ0 - 2 5ØÿÞ 5ØaÜ = -5ØÿÞ 5ØaÜ ,
"
b) 5ØÜ- 5ØeÜ-5ØaÜ 5ØÿÞ 2 - 5ØaÜ 5ØQÜ5ØaÜ = 5ØÜ-(5ØeÜ-2),
+"-"
2
c) na rysunku przedstawiono pewnÄ… funkcjÄ™ 5ØcÜ(5ØaÜ) i jej pochodnÄ… dystrybucyjnÄ… 5ØcÜ 5ØaÜ
dystr
(strzaÅ‚ka z liczbÄ… 5ØNÜ wewnÄ…trz nawiasu zwykÅ‚ego
ulokowana w punkcie 5ØaÜ osi 5ØaÜ oznacza dystrybucjÄ™
0
5ØNÜ " 5ØÿÞ(5ØaÜ-5ØaÜ ); warto dÅ‚ugość strzaÅ‚ki rysować
0
proporcjonalnÄ… do |5ØNÜ|).
5ØcÜ 5ØaÜ 
dystr
5ØcÜ(5ØaÜ)
5Ø4Ü1
(5ØhÜ )
5Ø4Ü
5ØGÜ1
5ØÐß
1
A2
5ØGÜ
5ØGÜ
5ØGÜ
3
2
3
5ØaÜ 5ØaÜ
5ØGÜ 5ØGÜ 5ØGÜ
0 5ØGÜ
0
1 2 4 5ØGÜ
4
1
25Ø4Ü2
-5Ø4Ü
T1
2
5ØGÜ2 - 5ØGÜ3
(5ØhÜ - 5ØhÜ )
5ØÐß 5ØÏß
19