3. Funkce
3.10. Goniometrické funkce
Goniometrické funkce ostrého Ĺ›hlu definujeme pomocí pravoĹ›hlého trojĹ›helníku. M%1Ĺ‚jme
pravoĹ›hlĹĽ trojĹ›helník s odv%1Ĺ‚snami a,b a pYeponou c . Pak definujeme:
Sinus Ä… je pom%1Ĺ‚r délky odv%1Ĺ‚sny protilehlé k Ĺ›hlu Ä… a délky pYepony pravoĹ›hlého
trojĹ›helníku.
a
sinÄ… = .
c
Kosinus Ä… je pom%1Ĺ‚r délky odv%1Ĺ‚sny pYilehlé k Ĺ›hlu Ä… a délky pYepony pravoĹ›hlého
trojĹ›helníku.
b
cosÄ… = .
c
Tangens Ä… je pom%1Ĺ‚r délek odv%1Ĺ‚sny protilehlé k Ĺ›hlu Ä… a odv%1Ĺ‚sny pYilehlé k Ĺ›hlu Ä…
pravoĹ›hlého trojĹ›helníku.
a
tanÄ… = .
b
Kotangens Ä… je pom%1Ĺ‚r délek odv%1Ĺ‚sny pYilehlé k Ĺ›hlu Ä… a odv%1Ĺ‚sny protilehlé k Ĺ›hlu Ä…
pravoĹ›hlého trojĹ›helníku
b
cotÄ… = .
a
B
a c
.
Ä…
CA
b
157
3. Funkce
Velikost Ĺ›hlu oblouková a stupHová míra
Uva~ujme jednotkovou kru~nici k se stYedem S , tj. kru~nici o polom%1Ĺ‚ru 1. Délka této kru~nice je
2Ä„ Ä„
2Ä„ . Délka kru~nicového oblouku, je-li velikost Ĺ›hlu 1° , je nebo . Jestli~e velikosti Ĺ›hlo
360 180
zapisujeme ve stupních, Yíkáme, ~e pou~ívám stupHovou míru. Krom%1Ĺ‚ jednotky 1 stupeH, ozn. 1° ,
pou~íváme i menaí jednotky: 1 minuta, ozn. 1', pro aedesátinu stupn%1Ĺ‚ a 1 vteYina, ozn. 1'', pro jednu
aedesátinu minuty.
Jeden radián je stYedovĹĽ Ĺ›hel, kterĹĽ pYísluaí na jednotkové kru~nici oblouku o délce 1. Radián je
jednotkovĹĽ Ĺ›hel v obloukové míYe, ozn. rad.
PYevodní vztah mezi stupni a radiány dostaneme z pYímé Ĺ›m%1Ĺ‚rnosti
2Ä„ rad& & & & & & .. 360 stupHo
x rad& & & & & & ...Ä… stupHo
Ä….Ä„ x.180
x = Ä… =
180 Ä„
Funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens
Goniometrické funkce obecného Ĺ›hlu definujeme pomocí jednotkové kru~nice. V kartézské soustav%1Ĺ‚
souYadnic sestrojíme kru~nici se stYedem v po%0Ĺ„átku a o polom%1Ĺ‚ru jedna. Ka~dému reálnému %0Ĺ„íslu Ä…
mo~eme pYiYadit orientovanĹĽ Ĺ›hel velikosti Ä… ( v obloukové míYe), jeho~ po%0Ĺ„áte%0Ĺ„ní rameno je kladná
osa x . Prose%0Ĺ„ík koncového ramene s kru~nicí ozna%0Ĺ„me M[xM , yM ]. Funkce sinus, kosinus, tangens a
kotangens definujeme takto:
sinÄ… cosÄ…
sinÄ… = yM cosÄ… = xM tanÄ… = cotÄ… =
cosÄ… sinÄ…
y
y
M[x ,yM]
M
yM
1
Ä…
x
0
0 M
-1 1 x
-1 1 x
-1
-1
158
3. Funkce
y = cos x
y = sin x
y y
y y
1 1
1 1
Ä„
Ä„
-
- 2 - 2
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
Ä„
Ä„
0
0 0
x x
x - 0
x
2
2
-1 -1
-1 -1
Defini%0Ĺ„ní obor
R R
Obor hodnot
-1,1 -1,1
Parita lichá sudá
Perioda
2Ä„ 2Ä„
Rostoucí V ka~dém intervalu V ka~dém intervalu
Ą Ą Ą + 2kĄ ,2Ą + 2kĄ
- + 2kĄ , + 2kĄ
2 2
Klesající V ka~dém intervalu V ka~dém intervalu
Ą 3Ą 0 + 2kĄ ,Ą + 2kĄ
+ 2kĄ , + 2kĄ
2 2
Omezená Shora i zdola omezená Shora i zdola omezená
Maximum V ka~dém bod%1Ĺ‚ V ka~dém bod%1Ĺ‚
x = 2kĄ
Ä„
x = + 2kĄ
2
Minimum V ka~dém bod%1Ĺ‚ V ka~dém bod%1Ĺ‚
Ą x = Ą + 2kĄ
x = - + 2kĄ
2
Písmeno k v tabulce jako ozna%0Ĺ„uje libovolné celé %0Ĺ„íslo.
y
y
2
2
y=sinx
1
1
5Ä„ 3Ä„
Ä„
- -
- 2
2 2
Ä„ Ä„
-2Ä„ 3Ä„ Ä„ 2Ä„ 5Ä„ x
0
0
x
-
2
2 2
-1
-1
-2
-2
y
y
2
2
y=cosx
1
1
3Ä„ 5Ä„
Ä„
-
-
2 - 2
2
Ä„ Ä„
5Ä„ -2Ä„ Ä„ 3Ä„ 2Ä„
0
0
x
x
-
2
2 2
-1
-1
-2
-2
159
3. Funkce
y = tan x y = cot x
y y
y y
4 4
4 4
3 3
3 3
2 2
2 2
1 1
1 1
Ä„ Ä„ Ä„
-
2 2 2
- Ä„ -
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
0 0
- 0 0
x x
x x
2
-1 -1
-1 -1
-2 -2
-2 -2
-3 -3
-3 -3
-4 -4
-4 -4
Defini%0Ĺ„ní obor Mno~ina vaech Mno~ina vaech
x `" kĄ
x `" (2k + 1)Ä„
2
Obor hodnot
R R
Parita lichá lichá
Ä„ Ä„
Perioda
Rostoucí V ka~dém intervalu
_________________
Ä„ Ä„
ëĹ‚ öĹ‚
ěĹ‚- + kÄ„ , + kÄ„
÷Ĺ‚
2 2
íĹ‚ Ĺ‚Ĺ‚
Klesající _________________________ V ka~dém intervalu
(0 + kĄ ,Ą + kĄ )
Omezená Shora i zdola neomezená Shora i zdola neomezená
Maximum Neexistuje Neexistuje
Minimum Neexistuje Neexistuje
Písmeno k v tabulce jako ozna%0Ĺ„uje libovolné celé %0Ĺ„íslo.
y
y
4
4
3
3
y=tanx
2
2
1
1
5Ä„ 3Ä„
Ä„
- -
2 2 2
-2Ä„ 3Ä„ - Ä„ 2Ä„ 5Ä„ x
Ä„ Ä„
0
0
x
-
2
2 2
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
160
3. Funkce
y
y
6
6
5
5
4
4
y=cotx
3
3
2
2
1
1
3Ä„ 3Ä„ 5Ä„
Ä„ Ä„
-
-
2 - 2 2 Ä„
2 2
Ä„
-2Ä„ 2Ä„
0
0
x
x
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5
-6
-6
Znaménko funkce I. kvadrant II. kvadrant III. kvadrant IV. kvadrant
+ + - -
sin x
cos x
+ - - +
tan x + - + -
cot x + - + -
MonotĂłnnost funkce I. kvadrant II. kvadrant III. kvadrant IV. kvadrant
roste klesá klesá roste
sin x
cos x klesá klesá roste roste
tan x roste roste roste roste
cot x klesá klesá klesá klesá
Goniometrické funkce jsou periodické.
Platí: Pro ka~dé k " Z a pro ka~dé x " R je cos(x + k.2Ä„ ) = cos x
sin(x + k.2Ä„ ) = sin x .
Ĺ„Ĺ‚
Pro ka~dé k " Z a pro ka~dé x " R - (2k +1)Ä„ üĹ‚ je tan(x + k.Ä„ ) = tan x .
ňĹ‚ ĹĽĹ‚
2
ół ţĹ‚
Pro ka~dé k " Z a pro ka~dé x " R -{kÄ„} je cot(x + k.Ä„ ) = cot x .
Funkce sinus je lichá, platí tedy sin(-x) = -sin x .
Funkce kosinus je sudá, platí tedy cos(-x) = cos x .
Funkce tangens je lichá, platí tedy tan(-x) = - tan x .
Funkce kotangens je lichá, platí tedy cot(-x) = -cot x .
161
3. Funkce
45° 60° 90° 180° 270° 360°
Ä…° 0°
30°
Ä„
x rad
0 Ä„ Ä„ Ä„ Ä„ 3 2Ä„
Ä„
6 4 3 2 2
0 -1 0
sin x 0 1 1
2 3
2
2 2
cos x
1 0 -1 0 1
1
3 2
2
2 2
tan x 0 1 ND 0 ND 0
3 3
3
cot x ND 1 0 ND 0 ND
3 3
3
ND zna%0Ĺ„í není definována, body nepatYí defini%0Ĺ„nímu oboru.
Goniometrické vzorce
Pro ka~dé x " D( f ) platí: sin2 x + cos2 x = 1
tan x.cot x = 1
Sou%0Ĺ„tové vzorce: sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y
sin(x - y) = sin x cos y - cos x sin y
cos(x + y) = cos x cos y - sin x sin y
cos(x - y) = cos x cos y + sin x sin y
tan x + tan y
tan(x + y) =
1 - tan x.tan y
tan x - tan y
tan(x - y) =
1 + tan x.tan y
cot x.cot y -1
cot(x + y) =
cot x + cot y
cot x.cot y + 1
cot(x - y) =
cot y - cot x
Vzorce pro dvojnásobnĹĽ Ĺ›hel: sin 2x = 2 sin x cos x
cos 2x = cos2 x - sin2 x
2 tan x
tan 2x =
1 - tan2 x
cot2 x -1
cot 2x =
2 cot x
162
3. Funkce
XeaenĹĽ pYíklad
Ä„
" Sestrojte graf funkce y = cosëĹ‚ + xöĹ‚ .
ěĹ‚ ÷Ĺ‚
6
íĹ‚ Ĺ‚Ĺ‚
Xeaení
Budeme postupovat od jednoduaaího grafu. Tím je graf funkce y = cos x .
Ä„
Nyní sestrojíme graf funkce y = cosëĹ‚ + xöĹ‚ .
ěĹ‚ ÷Ĺ‚
6
íĹ‚ Ĺ‚Ĺ‚
Ä„
x = 0.............y = cosëĹ‚ öĹ‚
ěĹ‚ ÷Ĺ‚
6
íĹ‚ Ĺ‚Ĺ‚
Ä„ Ä„
x = ...........y = cosëĹ‚ öĹ‚
ěĹ‚ ÷Ĺ‚
6 3
íĹ‚ Ĺ‚Ĺ‚
Ä„ Ä„
x = ...........y = cosëĹ‚ öĹ‚
ěĹ‚ ÷Ĺ‚
3 2
íĹ‚ Ĺ‚Ĺ‚
Ä„ 2Ä„
x = ...........y = cosëĹ‚ öĹ‚
ěĹ‚ ÷Ĺ‚
2 3
íĹ‚ Ĺ‚Ĺ‚
Ä„
Posuneme graf funkce y = cos x ve sm%1Ĺ‚ru záporné osy x o .
6
y
y
1
1 y=cos(x)
Ä„
2
Ä„
0
0
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 x
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 x
3
Ä„
-1
-1
y=cos( + x)
6
-2
-2
" Sestrojte graf funkce y = sin 2x .
Xeaení
Budeme postupovat od jednoduaaího grafu. Tím je graf funkce y = sin x .
Nyní sestrojíme graf funkce y = sin 2x .
163
3. Funkce
x = 0.............y = sin 0
Ä„ Ä„
x = ...........y = sin
6 3
Ä„ 2Ä„
x = ...........y = sin
3 3
Ä„
x = ...........y = sinĄ
2
x = Ä„............y = sin 2Ä„
Prob%1Ĺ‚h grafu se 2x zrychlí , perioda se zkrátí na polovinu.
y
y
y=sinx
1
1
Ä„
Ä„
2
0
0
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 x
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 x
-1
-1
y=sin2x
-2
-2
" Sestrojte graf funkce y = sin x +1.
Xeaení
Budeme postupovat od jednoduaaího grafu. Tím je graf funkce y = sin x .
Nyní sestrojíme graf funkce y = sin x +1.
x = 0.............y = sin 0 +1
Ä„ Ä„
x = ...........y = sin +1
6 6
Ä„ Ä„
x = ...........y = sin +1
3 3
Ä„ Ä„
x = ...........y = sin +1
2 2
x = Ą............y = sinĄ +1
Funk%0Ĺ„ní hodnoty se zv%1Ĺ‚taí o 1, posuneme tedy graf funkce y = sin x o 1 ve kladném sm%1Ĺ‚ru osy y.
y
y
y=sinx+1
2
2
y=sinx
1
1
0
0
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 x
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 x
-1
-1
164
3. Funkce
" Sestrojte graf funkce y =1,5.cos x .
Xeaení
Budeme postupovat od jednoduaaího grafu. Tím je graf funkce y = cos x .
Nyní sestrojíme graf funkce y =1,5.cos x .
x = 0.............y =1,5.cos0
Ä„ Ä„
x = ...........y =1,5.cos
6 6
Ä„ Ä„
x = ...........y =1,5.cos
3 3
Ä„ Ä„
x = ...........y =1,5.cos
2 2
x = Ą............y =1,5.cosĄ
Funk%0Ĺ„ní hodnoty se zv%1Ĺ‚taí 1,5krát.
y
y
y=1.5cosx
1.5
1.5
1
1
y=cosx
0.5
0.5
0
0
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x
-0.5
-0.5
-1
-1
Ä„
" Sestrojte graf funkce y = 2.cosëĹ‚ + xöĹ‚ - 0,5 .
ěĹ‚ ÷Ĺ‚
6
íĹ‚ Ĺ‚Ĺ‚
Xeaení
Budeme postupovat od nejjednoduaaího grafu. Tím je graf funkce y = cos x .
Ä„
Nyní sestrojíme graf funkce y = cosëĹ‚ + xöĹ‚ . Posuneme graf funkce y = cos x ve sm%1Ĺ‚ru záporné
ěĹ‚ ÷Ĺ‚
6
íĹ‚ Ĺ‚Ĺ‚
Ä„
osy x o .
6
Ä„
y = 2.cosëĹ‚ + xöĹ‚ Nyní ka~dou funk%0Ĺ„ní hodnotu zdvojnásobíme.
ěĹ‚ ÷Ĺ‚
6
íĹ‚ Ĺ‚Ĺ‚
Ä„
y = 2.cosëĹ‚ + xöĹ‚ - 0,5 od pYedchozí funk%0Ĺ„ní hodnoty ode%0Ĺ„teme 0,5 tzn. posuneme graf o 0,5 ve
ěĹ‚ ÷Ĺ‚
6
íĹ‚ Ĺ‚Ĺ‚
sm%1Ĺ‚ru záporné osy y .
165
3. Funkce
y
y
1
1
y=cos(x)
Ä„
2 Ä„
3Ä„ 5
0
0
2Ä„
-2 -1 1 2 3 4 6 7 x
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 x
Ä„
2
y=cos( + x)
6
-1
-1
Ä„
y=2.cos( + x)
6
Ä„
-2
-2 y=2.cos( + x) - 0.5
6
3 Ä„
öĹ‚
" Sestrojte graf funkce y = .sinëĹ‚2x - ÷Ĺ‚
+ 0,6 .
ěĹ‚
2 4
íĹ‚ Ĺ‚Ĺ‚
Xeaení
Budeme postupovat od nejjednoduaaího grafu. Tím je graf funkce y = sin x .
Nyní sestrojíme graf funkce y = sin 2x . Perioda funkce se zkrátí na polovinu, tedy Ä„ .
Ä„ Ä„
öĹ‚
y = sinëĹ‚2x - ÷Ĺ‚
Posuneme graf funkce y = sin 2x ve sm%1Ĺ‚ru kladné osy x o .
ěĹ‚
4 4
íĹ‚ Ĺ‚Ĺ‚
3 Ä„ 3
öĹ‚
y = .sinëĹ‚2x - ÷Ĺ‚
Nyní ka~dou funk%0Ĺ„ní hodnotu vynásobíme .
ěĹ‚
2 4 2
íĹ‚ Ĺ‚Ĺ‚
3 Ä„
öĹ‚
y = .sinëĹ‚2x - ÷Ĺ‚
+ 0,6 K pYedchozí funk%0Ĺ„ní hodnot%1Ĺ‚ pYi%0Ĺ„teme 0,6 tzn. posuneme graf o 0,6 ve
ěĹ‚
2 4
íĹ‚ Ĺ‚Ĺ‚
sm%1Ĺ‚ru kladné osy y .
y
y
3
Ä„
y= .sin(2.x- )+0.6
2 4
2
2
1
1 y=sin(x)
Ä„
y=sin(2.x- )
4
0
0
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 x
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 x
y=sin(2.x)
-1
-1
3
Ä„
y= .sin(2.x- )
2 4
-2
-2
166
3. Funkce
XeaenĹĽ pYíklad
Ä„
" Sestrojte graf funkce y = tan(x + ) .
4
Xeaení
Ä„ Ä„
NejdYíve musíme ur%0Ĺ„it defini%0Ĺ„ní obor funkce: cos(x + ) `" 0 odtud x `" + kÄ„ .
4 4
Ä„ Ä„
Graf funkce y = tan x posuneme o v záporném sm%1Ĺ‚ru osy x, x = + kÄ„ jsou asymptoty grafu
4 4
funkce.
y
y
4
4
y=tanx
Ä„
y=tan(x+ )
4
3
3
2
2
1
1
5Ä„ 3Ä„ 3Ä„
Ä„ Ä„
- - -
4 2 4 4 2
5Ä„
-2Ä„ 3Ä„ - 3Ä„ 0 Ä„ Ä„ 2Ä„
Ä„ Ä„
0
x
x
- -
2 4
2 4 4
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
167
3. Funkce
Úlohy k Yeaení
Úloha 3.14.
Velikosti Ĺ›hlo ve stupHové míYe vyjádYete v míYe obloukové:
Ä…
0° 30° 135° 12°30' 330° 154° 317°18'
x
f&
Úloha 3.15.
Velikosti Ĺ›hlo v obloukové míYe vyjádYete v míYe stupHové:
x Ä„
4 4 17 1 0,75 4,2
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
3 5 9 10
Ä…
f&
Úloha 3.16.
Postupn%1Ĺ‚ zakreslete do té~e soustavy souYadnic grafy t%1Ĺ‚chto funkcí
Ä„ Ä„ Ä„
öĹ‚ öĹ‚ öĹ‚
a) y = cos x; y = cos 0,5x; y = cosëĹ‚0,5x + ; y = 2.cosëĹ‚0,5x + ; y = 2.cosëĹ‚0,5x + -1
ěĹ‚ ÷Ĺ‚ ěĹ‚ ÷Ĺ‚ ěĹ‚ ÷Ĺ‚
4 4 4
íĹ‚ Ĺ‚Ĺ‚ íĹ‚ Ĺ‚Ĺ‚ íĹ‚ Ĺ‚Ĺ‚
3Ä„ 3Ä„ 3Ä„
öĹ‚ öĹ‚ öĹ‚
b) y = sin x; y = sin 4x; y = sinëĹ‚4x - ÷Ĺ‚ ěĹ‚ ěĹ‚
; y = 0,7.sinëĹ‚4x - ÷Ĺ‚
; y = 0,7.sinëĹ‚4x - ÷Ĺ‚
+ 1
ěĹ‚
2 2 2
íĹ‚ Ĺ‚Ĺ‚ íĹ‚ Ĺ‚Ĺ‚ íĹ‚ Ĺ‚Ĺ‚
f&
Úloha 3.17.
Ä„
Sestrojte graf funkce y = -0,5. tan(2x + )
6
f&
168
3. Funkce
VĹĽsledky
3.14. Velikosti Ĺ›hlo ve stupHové míYe vyjádYete v míYe obloukové:
Ä…
0° 30° 135° 12°30' 330° 154° 317°18'
x
0 0,48 1,76
Ä„ 3 11 2,69
Ä„ Ä„
6 4 6
3.15. Velikosti Ĺ›hlo v obloukové míYe vyjádYete v míYe stupHové:
x Ä„
4 4 17 1 0,75 4,2
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
3 5 9 10
Ä…
240° 180° 144° 340° 18° 135° 756°
3.16.
y
a) y
3
3
2
2
y=cos0,5x
1
1
y=cosx
0
0 Ä„
-2 -1 1 2 3 4 5 7 8 9 10 x
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
y=cos(0,6 )
5.x+
4
-1
-1
Ä„
y=2.cos(0,5.x+ )+1
4
Ä„
-2
-2 y=2.cos(0,5.x+ )
4
-3
-3
b)
y
y
2
2
3Ä„
y=0,7.sin(4.x- )+1
2
y=sin(x)
1
1
0
0
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 x
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 x
3Ä„
y=0,7.sin(4.x- )
2
-1
-1
y=sin(4.x) 3Ä„
y=sin(4.x- )
2
-2
-2
169
3. Funkce
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
3.17. Ur%0Ĺ„íme defini%0Ĺ„ní obor: cos(2x + ) `" 0 odtud x `" + k . x = + k jsou asymptoty
6 6 2 6 2
grafu.
Budeme postupovat op%1Ĺ‚t od nejjednoduaaího grafu, jako v pYedchozích pYíkladech s funkcemi
sinus a kosinus.
y = tan x
y = tan 2x Zkrátíme periodu na polovinu tedy na Ä„ .
Ä„ Ä„
y = tan(2x + ) Graf posuneme o v záporném sm%1Ĺ‚ru osy x .
6 6
Ä„
y = -0,5. tan(2x + ) Funk%0Ĺ„ní hodnoty vynásobíme - 0,5.
6
y
y
Ä„
tg(2x+ ) tgx
2
2 Ä„
6 -0,5.tg(2x+ )
6
1
1
0
0
-2 -1 1 2 3 x
-2 -1 1 2 3 x
-1
-1
tg2x
-2
-2
170
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
edukomp kl 3?u przy naprawczev3page36page3baza 33? EXAM LANGUAGE ELEMENTSfor students11id?3więcej podobnych podstron