5. Ogólne zasady projektowania układów
REGULACJI

Projektowanie układów regulacji jest złożonym procesem, w którym możemy
wyróżnić następujące fazy:
analizÄ™ zadania,
projekt wstępny,
identyfikacjÄ™ dynamicznÄ…,
analizę właściwości układu oryginalnego (niekorygowanego),
korekcję właściwości układu,
analizę właściwości układu skorygowanego.

Podczas analizy zadania projektant powinien razem z użytkownikiem rozważyć
następujące problemy:
wymaganą dokładność statyczną, a więc dopuszczalną wartość błędu statycznego,
spowodowanego działaniem sygnału sterującego i/lub zakłócającego,
wymaganą dokładność dynamiczną, a więc ograniczenia nałożone na przeregulowanie
i czas regulacji,
wymagania dodatkowe jak: koszt budowy, niezawodność, małą wrażliwość na warunki
środowiska, odporność na drgania itp.

W ramach projektu wstępnego projektant powinien opracować koncepcję
rozwiązania zadania, sporządzić schemat blokowy funkcjonalny i dobrać elementy
układu najlepiej dopasowane do właściwości obiektu i warunków pracy
zaliczymy
tutaj między innymi: elementy pomiarowe, elementy wykonawcze i wzmacniacze.

W trakcie identyfikacji dynamicznej projektant powinien otrzymać funkcje
przejścia członów i elementów układu oraz sporządzić schemat blokowy z
funkcjami przejścia.

Podczas analizy właściwości układu oryginalnego projektant powinien określić
błąd statyczny, przeregulowanie i czas regulacji przy skokowym sygnale
sterującym i/lub zakłócającym. Następnie powinien porównać wyniki z wymaganiami
użytkownika i określić cele ewentualnej korekcji układu. Możemy tutaj zaliczyć
następujące cele cząstkowe:
minimalizacjÄ™ lub likwidacjÄ™ przeregulowania,
minimalizacjÄ™ czasu regulacji,
minimalizację lub likwidację błędu statycznego.
W praktyce często możliwa jest jednoczesna realizacja kilku pojedynczych
wymagań, na przykład:
minimalizacja czasu regulacji i przeregulowania,
minimalizacja błędu statycznego i przeregulowania,
minimalizacja błędu statycznego, przeregulowania i czasu regulacji.

W ramach korekcji projektant powinien dobrać regulator realizujący cele
określone podczas analizy układu oryginalnego. Dobór powinien obejmować
określenie struktury i funkcji przejścia oraz wyznaczenie wzmocnienia i stałych
czasowych przy zadanym kryterium jakości.

W ramach analizy właściwości układu skorygowanego projektant powinien ponownie
wyznaczyć błąd statyczny, przeregulowanie i czas regulacji, a następnie
porównać wyniki z wymaganiami użytkownika.

6. regulatory w układach regulacji

6.1. Wprowadzenie

Regulatorem nazywamy człon wprowadzony dodatkowo do układu dla poprawienia
właściwości eksploatacyjnych tego układu. Ze względu na usytuowanie regulatora
mówimy o korekcji szeregowej, która polega na umieszczeniu regulatora w głównej
linii regulacji zgodnie ze schematem blokowym pokazanym na rysunku 1.2,
powtórzonym tutaj jako rysunek 6.1.













Rys 6.1. Schemat blokowy skorygowanego układu regulacji

Powyżej zasygnalizowano problem korekcji ze względu na usytuowanie regulatora
w układzie regulacji. Problem ten należy także rozważyć z punktu widzenia
właściwości obiektu regulacji. Ze względu na rodzaj dominujących biegunów
funkcji przejścia rozróżniamy dwie grupy obiektów:
Obiekty typowe, nazywane inaczej standardowymi.
Obiekty nietypowe, nazywane inaczej niestandardowymi.

Obiektami typowymi nazywamy umownie takie obiekty, których funkcja przejścia
zawiera dominujące bieguny rzeczywiste, na przykład


(6.1)

W przypadku takich obiektów mają zastosowanie regulatory konwencjonalne
omówione w rozdziale 6.2.

Obiektami nietypowymi nazywamy umownie takie obiekty, których funkcja
przejścia zawiera dominujące bieguny zespolone, na przykład


(6.2)

W przypadku takich obiektów regulatory konwencjonalne nie dają oczekiwanych
wyników i należy zastosować specjalne metody postępowania.



Regulatory liniowe

Regulatory konwencjonalne, są stosowane wyłącznie do korekcji szeregowej
układów z typowymi obiektami regulacji. Ze względu na sposób przetwarzania
sygnału uchybu e(t) w sygnał u(t) możemy je podzielić na następujące grupy:
Regulatory liniowe.
Regulatory dwupołożeniowe.
Regulatory trójpołożeniowe.
Regulatory impulsowe.

W ramach niniejszego podręcznika będziemy zajmować się pierwszą grupą
regulatorów. Zasadę działania tych regulatorów można zilustrować za pomocą
ogólnego schematu blokowego jak na rysunku 6.2.














Rys. 6.2. Ogólny schemat blokowy regulatora

Ze schematu widać, że sygnał wyjściowy regulatora może zawierać trzy składowe


(6.3)

gdzie

UP(s) - składowa proporcjonalna do sygnału uchybu, wytwarzana przez blok P,
UI(s) - składowa całkowa (całka z sygnału uchybu) wytwarzana przez blok I,
UD(s) - składowa różniczkowa (pochodna z sygnału uchybu) wytwarzana przez
blok D.

Ze względu na udział poszczególnych składowych w sygnale generowanym przez
regulator, w praktyce znalazły zastosowanie następujące regulatory:
Regulator proporcjonalny o symbolu P.
Regulator proporcjonalno-całkowy o symbolu PI.
Regulator proporcjonalno-różniczkowy o symbolu PD.
Regulator proporcjonalno-całkowo-różniczkowy o symbolu PID.
Nie znalazł zastosowania regulator I, gdyż jego obecność w układzie silnie
pogarsza właściwości dynamiczne wydłużając znacznie czas regulacji. Nie znalazł
również zastosowania regulator D, gdyż jego obecność w układzie ogranicza się
tylko do przebiegów przejściowych.


6.2.1. Regulator P

Regulatorem proporcjonalnym nazywamy człon, którego sygnał wyjściowy jest
proporcjonalny do sygnału uchybu. Funkcję przejścia regulatora idealnego
zapisuje siÄ™ w postaci


(6.4)

przy czym

Kr - nastawialny współczynnik wzmocnienia,
Ke - efektywny współczynnik wzmocnienia o wartości

Ke=Kr (6.5)

W praktyce
w przypadku regulatorów analogowych
może wystąpić rzeczywiste
działanie regulatora, objawiające się inercyjnością wynikającą z rozwiązania
konstrukcyjnego. Funkcję przejścia regulatora rzeczywistego zapisujemy wtedy
najczęściej w postaci


(6.6)

gdzie

T - nienastawialna stała czasowa wynikająca z inercji regulatora.

Charakterystyki czasowe regulatora, poddanego działaniu skokowego sygnału
uchybu, mają postać pokazaną na rysunku 6.3.













Rys. 6.3. Charakterystyki skokowe regulatora P: uid
charakterystyka
regulatora
idealnego, urz
charakterystyka regulatora rzeczywistego, Ae - wartość sygnału
skokowego

Rzeczywisty regulator P można w pewnych warunkach uważać za idealny. Jest to
możliwe wtedy, gdy stała czasowa regulatora jest znacznie mniejsza od stałych
czasowych obiektu regulacji.


6.2.2. Regulator PI

Regulatorem proporcjonalno-całkowym nazywamy człon, którego sygnał wyjściowy
zawiera sumę składowej proporcjonalnej i całkowej z sygnału uchybu. Funkcję
przejścia regulatora w wersji idealnej zapisuje się zwykle w postaci


(6.7)

gdzie

Kr - nastawialne wzmocnienie,
Ti - nastawialna stała czasowa, nazywana inaczej czasem zdwojenia.

Powyższy zapis jest dogodny do wyznaczania charakterystyk czasowych regulatora,
lecz nie nadaje się do budowy charakterystyk częstotliwościowych i syntezy
regulatora na podstawie metody dominujących stałych czasowych. Wtedy
wygodniejszy jest zapis przekształcony do postaci zawierającej czynniki
pierwszego stopnia typu (Ts+1), zatem


(6.8)

gdzie

Ke - efektywne wzmocnienie regulatora wyrażone wzorem


(6.9)

Charakterystyka czasowa regulatora przy skokowym sygnale uchybu ma postać
pokazanÄ… na rysunku 6.4.















Rys. 6.4. Charakterystyka skokowa idealnego regulatora PI, Ae - wartość sygnału
skokowego

W praktyce
w przypadku regulatorów analogowych
może wystąpić rzeczywiste
działanie regulatora, objawiające się inercyjnością wynikającą z rozwiązania
konstrukcyjnego. Funkcję przejścia regulatora rzeczywistego zapisuje się
najczęściej w postaci


(6.10)

czyli po przekształceniu


(6.11)

gdzie

Ke - wzmocnienie efektywne wyrażone wzorem (6.9),
T - nienastawialna stała czasowa wynikająca z inercji regulatora.

Charakterystyka czasowa rozpatrywanego regulatora rzeczywistego przy skokowym
sygnale uchybu ma postać jak na rysunku 6.5.
















Rys. 6.5. Charakterystyka skokowa rzeczywistego regulatora PI, Ae - wartość
sygnału skokowego

Po upływie czasu t 4T, wynikającego z inercji regulatora, charakterystyka
regulatora rzeczywistego różni się od idealnej o wartość błędu wynoszącego


(6.12)

gdzie

Ae - wartość skokowego sygnału uchybu


6.2.3. Regulator PD

Regulatorem proporcjonalno-różniczkowym nazywamy człon, którego sygnał
wyjściowy zawiera sumę składowej proporcjonalnej i różniczkowej z sygnału
uchybu. W wersji idealnej posługujemy się funkcją przejścia


(6.13)

gdzie

Kr - nastawialny współczynnik wzmocnienia,
Ke - efektywny współczynnik wzmocnienia o wartości

Ke=Kr (6.14)

Td - nastawialna stała czasowa, nazywana inaczej czasem wyprzedzenia.

Charakterystyka czasowa przy skokowym sygnale uchybu ma postać jak na rysunku
6.6.














Rys. 6.6. Charakterystyka skokowa idealnego regulatora PD, Ae - wartość sygnału
skokowego

Różniczkowanie rzeczywiste jest zawsze obarczone inercją, więc w przypadku
regulatora rzeczywistego będziemy posługiwać się najczęściej funkcją przejścia


(6.15)

czyli po przekształceniu


(6.16)

przy czym

Ke - efektywny współczynnik wzmocnienia wyrażony wzorem (6.14),
ad - nienastawialny współczynnik różniczkowania rzeczywistego przyjmujący
najczęściej
wartość 8 ¸ 15, Å›rednio 10.

Charakterystyka czasowa regulatora przy skokowym sygnale uchybu ma postać
pokazanÄ… na rysunku 6.7.























Rys. 6.7. Charakterystyka skokowa rzeczywistego regulatora PD, Ae - wartość
sygnału skokowego


6.2.4. Regulator PID

Regulatorem proporcjonalno-całkowo-różniczkowym nazywamy człon, którego sygnał
wyjściowy zawiera sumę składowej proporcjonalnej, całkowej i różniczkowej z
sygnału uchybu. W wersji idealnej posługujemy się najczęściej funkcją
przejścia


(6.17)

gdzie
Kr - nastawialny współczynnik wzmocnienia,
Ti - nastawialny czas zdwojenia,
Td - nastawialny czas wyprzedzenia.

Charakterystyka czasowa rozpatrywanego regulatora przy skokowym sygnale uchybu
ma postać jak na rysunku 6.8.
Funkcja przejścia (6.17) ma postać niedogodną do syntezy regulatora za pomocą
metody dominujących stałych czasowych. Wtedy można posłużyć się zapisem


(6.18)

Dla dalszego przekształcenia zapisu (6.18) przeprowadzimy rozkład trójmianu
kwadratowego, występującego w liczniku, na czynniki rzeczywiste i założymy, że
stałe czasowe Ti i Td różnią się istotnie od siebie, mianowicie

przy czym
(6.19)

Wtedy można napisać

















Rys. 6.8. Charakterystyka skokowa idealnego regulatora PID, Ae - wartość
sygnału skokowego



(6.20)

WartoÅ›ci współczynników h i l dla rozkÅ‚adu trójmianu przy b = 5 ¸ 10 majÄ…
postać podaną w tabeli 6.1.

Tabela 6.1


b
h
l

5.0
3.6180
1.3820

6.0
4.7321
1.2679

7.0
5.7913
1.2087

8.0
6.8284
1.1716

9.0
7.8541
1.1459

10.0
8.8730
1.1270

Zakładając dość często spotykaną wartość b = 5 otrzymamy ostatecznie po
zaokrągleniu wartości liczbowych


(6.21)

gdzie

Ke - efektywne wzmocnienie regulatora o wartości


(6.22)

Biorąc pod uwagę efekt różniczkowania rzeczywistego otrzymamy następującą
funkcję przejścia regulatora


(6.23)

lub po przekształceniach


(6.24)

W liczniku wzoru (6.24) występuje trójmian kwadratowy, który podobnie jak
(6.20) rozłożymy na czynniki rzeczywiste


(6.25)

WartoÅ›ci współczynników h i l dla rozkÅ‚adu trójmianu przy ad = 8¸15 i b =5¸10
mają postać podaną w tabeli 6.2.

Tabela 6.2


ad
b
h
l

8.0
5.0
3.5328
1.5922

8.0
6.0
4.6839
1.4411

8.0
7.0
5.7571
1.3679

8.0
8.0
6.8018
1.3232

8.0
9.0
7.8323
1.2927

8.0
10.0
8.8545
1.2705

9.0
5.0
3.5431
1.5680

9.0
6.0
4.6895
1.4216

9.0
7.0
5.7610
1.3501

9.0
8.0
6.8049
1.3063

9.0
9.0
7.8347
1.2764

9.0
10.0
8.8565
1.2546

10.0
5.0
3.5512
1.5488

10.0
6.0
4.6939
1.4061

10.0
7.0
5.7642
1.3358

10.0
8.0
6.8073
1.2927

10.0
9.0
7.8367
1.2633

10.0
10.0
8.8582
1.2418

11.0
5.0
3.5578
1.5331

11.0
6.0
4.6975
1.3934

11.0
7.0
5.7667
1.3242

11.0
8.0
6.8092
1.2817

11.0
9.0
7.8383
1.2526

11.0
10.0
8.8596
1.2313

12.0
5.0
3.5631
1.5202

12.0
6.0
4.7005
1.3828

12.0
7.0
5.7688
1.3145

12.0
8.0
6.8109
1.2725

12.0
9.0
7.8397
1.2437

12.0
10.0
8.8607
1.2226

13.0
5.0
3.5676
1.5093

13.0
6.0
4.7030
1.3739

13.0
7.0
5.7706
1.3064

13.0
8.0
6.8122
1.2647

13.0
9.0
7.8408
1.2361

13.0
10.0
8.8617
1.2153

14.0
5.0
3.5714
1.5000

14.0
6.0
4.7051
1.3663

14.0
7.0
5.7721
1.2994

14.0
8.0
6.8134
1.2580

14.0
9.0
7.8417
1.2297

14.0
10.0
8.8625
1.2089

15.0
5.0
3.5747
1.4920

15.0
6.0
4.7070
1.3597

15.0
7.0
5.7734
1.2933

15.0
8.0
6.8144
1.2522

15.0
9.0
7.8426
1.2241

15.0
10.0
8.8632
1.2035

Biorąc pod uwagę często spotykane wartości

i
(6.26)

otrzymamy po zaokrągleniu wartości liczbowych

i
(6.27)

Wtedy funkcja przejścia regulatora rzeczywistego przyjmie postać


(6.28)

gdzie


(6.29)

Charakterystyka czasowa regulatora dla skokowego sygnału uchybu ma postać jak
na rys 6.9.



















Rys. 6.9. Charakterystyka skokowa rzeczywistego regulatora PID, Ae - wartość
sygnału skokowego


6.2.5. Regulatory liniowe w pakiecie Matlab/Simulink

W pakiecie Matlab/Simulink występują dwa regulatory konwencjonalne typu PID
Regulator idealny.
Regulator rzeczywisty.

Regulator idealny zbudowany jest według schematu pokazanego na rysunku 6.10.
Na podstawie tego schematu można napisać następującą funkcję przejścia
regulatora:


Rys. 6.10. Schemat idealnego regulatora PID


(6.30)

Biorąc pod uwagę funkcje przejścia (6.17) i (6.30) można stwierdzić, że
zgodność obydwu zapisów będzie możliwa po spełnieniu następujących warunków


(6.31)

(6.32)

(6.33)
Regulator rzeczywisty zbudowany jest według schematu pokazanego na rysunku
6.11

Rys. 6.11. Schemat rzeczywistego regulatora PID

Na podstawie tego schematu możemy napisać


(6.34)

gdzie

N - współczynnik różniczkowania rzeczywistego

Zgodność zapisów funkcji przejścia (6.23) i (6.34) będzie możliwa, gdy zostaną
spełnione następujące warunki


(6.35)

(6.36)

(6.37)

(6.38)


6.3. Zadania

Zadanie 6.1
Dane są charakterystyki skokowe dwóch regulatorów pokazane na rysunkach 6.12 i
6.13. Podać w postaci symbolicznej funkcje przejścia tych regulatorów. Dla
lepszego uwypuklenia kształtu charakterystyk, skokowy sygnał uchybu wprowadzono
po upływie 1 [s].


Zadanie 6.2
Sporządzić schematy blokowe regulatorów, wynikające z zapisów funkcji
przejścia w postaci wzorów (6.17) i (6.23).


Rys. 6.12


Rys. 6.13


Zadanie 6.3
Dane są dwa regulatory rzeczywiste opisane funkcjami przejścia jak niżej.
Wyznaczyć charakterystyki czasowe regulatorów dla skokowego sygnału uchybu i
zbadać wpływ stałej czasowej T na kształt charakterystyk.


(6.39)


(6.40)
Przyjąć następujące dane liczbowe


Kr
=
1.5


Ti
=
5
[s]

Td
=
1
[s]

ad
=
10


T
=
0.5
[s]

Ae
=
1



Zadanie 6.4
Zapisać funkcje przejścia (6.39) i (6.40) w postaci dogodnej do syntezy
regulatorów metodą dominujących stałych czasowych.

7. MOżLIWOśCI UPROSZCZENIA ZAPISU FUNKCJI
PRZEJśCIA TYPOWYCH OBIEKTóW REGULACJI

Funkcje przejścia obiektów rzeczywistych zawierają niekiedy bardzo
zróżnicowane stałe czasowe, co oznacza, że obok stałych czasowych bardzo dużych
występują stałe czasowe bardzo małe. W takiej sytuacji funkcję przejścia
obiektu można zapisać w postaci


(7.1)

gdzie:

TDk
-
duże stałe czasowe, odpowiedzialne za obecność dominujących czynników
rzeczywistych pierwszego stopnia (biegunów dominujących),
TMi
-
małe stałe czasowe, odpowiedzialne za obecność biegunów nie dominujących

Jeżeli suma wszystkich małych stałych czasowych jest mniejsza od każdej z
dużych stałych, czyli gdy


(7.2)

to można dokonać następującego uproszczenia


(7.3)

gdzie:

TMz - zastępcza stała czasowa dla grupy małych stałych czasowych, wynosząca


(7.4)

Tak więc wzór (7.1) można zapisać następująco


(7.5)

Zwykle obiekt regulacji zawiera nie więcej niż jedną lub dwie duże stałe
czasowe i wtedy dla k=1 (jedna duża stała czasowa) otrzymamy obiekt drugiego
rzędu


(7.6)

następnie dla k=2 (dwie duże stałe czasowe) otrzymamy obiekt trzeciego rzędu

(7.7)

Liczba zer funkcji przejścia regulatora powinna być dostosowana do liczby
dominujących biegunów funkcji przejścia obiektu. W przypadku funkcji przejścia
(7.6) i (7.7) sformułować następujące wstępne zalecenia doboru regulatora:
Jeżeli funkcja przejścia obiektu ma jeden biegun dominujący - jak na przykład
wyrażona wzorem (7.6), to funkcja przejścia regulatora nie powinna zawierać
więcej niż jedno zero. Można zatem zalecać stosowanie następujących członów: P,
PI, PD.
Jeżeli funkcja przejścia obiektu ma dwa bieguny dominujące - jak na przykład
wyrażona wzorem (7.7), to funkcja przejścia regulatora nie powinna zawierać
więcej niż dwa zera. Można zatem zalecać stosowanie następujących członów: P,
PI, PD, PID.