7. regulatory w układach z opóźnieniem

7.1. Wprowadzenie

Układy z opóźnieniem mogą być korygowane szeregowo za pomocą regulatorów
liniowych o wyjściu ciągłym, poznanych w rozdziale 6 w I części. Tak więc
schemat blokowy układu skorygowanego można przedstawić jak na rysunku 6.1 lub
8.1 z I części, który powtarzamy tutaj jako rysunek 7.1.













Rys. 7.1. Schemat blokowy skorygowanego układu regulacji z opóźnieniem

Dla uproszczenia przyjmiemy idealne wersje poznanych regulatorów, opisane w I
części funkcjami przejścia (6.4), (6.7), (6.13) i (6.17), czyli


(7.1)


(7.2)


(7.3)


(7.4)

Na podstawie analizy przebiegów w układach z rozpatrywanymi regulatorami i
obiektami inercyjnymi z opóźnieniem, można stwierdzić, że:
Regulatory P mogą współpracować jedynie z obiektami o małym opóźnieniu, czyli
na ogół znacznie mniejszym od stałej czasowej obiektu.
Regulatory PI dobrze współpracują z obiektami z opóźnieniem, o ile nie wymaga
się, aby czas regulacji był mniejszy niż 6t. Regulatory te szczególnie nadają
się do współpracy z obiektami o jednej stałej czasowej.
Regulatory PD wywierają pozytywny wpływ na układy regulacji, gdyż w końcowej
fazie procesów przejściowych występuje silne tłumienie oscylacji.
Regulatory PID są najbardziej uniwersalne i można je stosować wtedy, gdy nie
wymaga się, aby czas regulacji był mniejszy niż (4-6)t. Dalsze skrócenie czasu
regulacji do teoretycznej wartości 2t jest możliwe po zastosowaniu regulatorów
specjalnych np. regulatora Smitha.

Syntezę parametryczną omawianych regulatorów konwencjonalnych można
przeprowadzić za pomocą następujących metod, kryteriów i wskaźników jakości
pracy układów regulacji:
Metoda Zieglera-Nicholsa.
Kryterium stabilności aperiodycznej.
Kryterium optymalnego modułu.
Parametry odpowiedzi skokowej układu.
Całkowe wskaźniki jakości.
Metoda inwersji dynamicznej.
Zastosowanie przybornika NCD z pakietu Matlab.


7.2. Metoda Zieglera-Nicholsa

Metoda Zieglera-Nicholsa umożliwia dobór parametrów regulatora na podstawie
badań układu rzeczywistego. Spotyka się ją w dwóch wariantach:
Wariant 1. Nastawienia regulatorów na podstawie parametrów układu sprowadzonego
do granicy stabilności.
Wariant 2. Nastawienia regulatorów na podstawie parametrów charakterystyki
skokowej obiektu regulacji.
Szczegółowy opis metody przedstawiono w rozdziale 8.4.1 w I części podręcznika,
więc tutaj zacytujemy najważniejsze fragmenty tego opisu.

Wariant 1
Na podstawie badań układu sprowadzonego do granicy stabilności proponuje się
nastawienia regulatorów przedstawione w tabeli 7.1, w której zastosowano
oznaczenia Krgr - graniczne wzmocnienie, Tosc - okres oscylacji.

Tabela 7.1. Nastawienia regulatorów wg Zieglera i Nicholsa

Regulator
Kr
Ti
Td
P
0.5Krgr
-
-
PI
0.45Krgr
0.83Tosc
-
PID
0.6Krgr
0.5Tosc
0.125Tosc

Wariant 2
Zakłada się, że obiekt regulacji można opisać funkcją przejścia członu
inercyjnego pierwszego rzędu z opóźnieniem


(7.5)
gdzie
Tz - zastępcza stała czasowa,
t - zastępczy czas opóźnienia.
Dla tak opisanego obiektu proponuje się nastawienia regulatorów zestawione w
tabeli 7.2.

Tabela 7.2. Nastawienia regulatorów wg Zieglera i Nicholsa

Regulator
Kr
Ti
Td
P

-
-
PI

3.3t
-
PID

2t
0.5t


7.3. Kryterium stabilności aperiodycznej

Kryterium stabilności aperiodycznej
poznane w rozdziale 8.4.2 w I części
podręcznika
umożliwia wyznaczenie parametrów regulatora w ten sposób, aby w
równaniu charakterystycznym wystąpił dominujący wielokrotny pierwiastek
rzeczywisty. Taki pierwiastek jest odpowiedzialny za aperiodyczną odpowiedź
skokową mającą najkrótszy czas regulacji ze wszystkich odpowiedzi
aperiodycznych.

7.3.1. Zapis funkcji przejścia obiektów i regulatorów w jednostkach względnych

Dla usprawnienia procesów obliczeniowych celowym jest zastosowanie jednostek
względnych, odnoszących wszystkie wielkości do czasu opóźnienia t. Wymienione
jednostki mają postać



-
względny operator Laplaceła,


-
względna strata czasowa obiektu,


-
względny czas wyprzedzenia regulatora,


-
względny czas zdwojenia regulatora,


-
wzmocnienie w układzie otwartym.

Rozważmy funkcję przejścia obiektu inercyjnego pierwszego rzędu z opóźnieniem


(7.6)

Dokonując prostego podstawienia


(7.7)

otrzymamy funkcję nowej zmiennej r

(7.8)

Powyższą funkcję przejścia można zapisać ogólnie w postaci


(7.9)

gdzie
q - parametr o wartości 1 lub 0
Jeżeli q = 1 to otrzymujemy znaną funkcję przejścia obiektu inercyjnego
(statycznego) (7.8),
Jeżeli q = 0 to otrzymujemy funkcję przejścia obiektu całkującego
(astatycznego)


(7.10)

Stosując podstawienia analogiczne do pokazanych we wzorze (7.7) otrzymamy
następujące zapisy funkcji przejścia regulatorów


(7.11)


(7.12)


(7.13)


(7.14)


7.3.2. Wymagane parametry regulatora

Zgodnie z zaleceniami kryterium otrzymamy wyniki zestawione w tabelach 7.3 i
7.4.

Tabela 7.3. Parametry regulatorów współpracujących z obiektami statycznymi

Regulator
Pierwiastek wielokrotny, jego krotność i nastawienia regulatora
P
, k = 2

PD
, k = 3


PI
, k = 3


PID
, k = 4





Tabela 7.4. Parametry regulatorów współpracujących
z obiektami astatycznymi

Regulator
Pierwiastek wielokrotny, jego krotność i nastawienia regulatora
P
, k = 2

PD
, k = 3


PI
, k = 3


PID
, k = 4




Po wyznaczeniu parametrów względnych należy powrócić do nastawialnych
(rzeczywistych) parametrów regulatora, czyli wyznaczyć:


(7.15)


(7.16)


(7.17)


7.4. Kryterium optymalnego modułu

Rozważmy schemat blokowy układu regulacji sprowadzony do postaci z
jednostkowym sprzężeniem zwrotnym, pokazany na rysunku 7.2.
Na podstawie tego schematu otrzymujemy funkcję przejścia układu zamkniętego:


(7.18)










Rys. 7.2. Schemat blokowy skorygowanego układu regulacji, sprowadzony
do postaci z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym

Kryterium optymalnego modułu zostało opracowane wyłącznie dla zapisu (7.18) i
sprowadza się do doboru parametrów regulatora na podstawie następujących
wymagań:
Pasmo przenoszenia sygnału użytecznego powinno być jak najszersze.
Charakterystyka amplitudowa układu zamkniętego nie powinna mieć szczytu
rezonansowego, lecz powinna maleć monotonicznie możliwie wolno, tak jak
pokazano na rysunku 7.3.













Rys. 7.3. Charakterystyka amplitudowo-częstotliwościowa układu zamkniętego

Warunki umożliwiające realizację tych postulatów można krótko zapisać w postaci


(7.19)

przy czym k = 2l, l jest liczbą poszukiwanych parametrów regulatora.

Biorąc pod uwagę zapis funkcji przejścia obiektów i regulatorów w jednostkach
względnych
opisanych w rozdziale 7.3.1
otrzymano wyniki zestawione w
tabelach 7.5 i 7.6.












Tabela 7.5. Parametry regulatorów współpracujących
z obiektami statycznymi

Regulator
Nastawienia regulatora
P

PD


PI


PID





Tabela 7.6. Parametry regulatorów współpracujących
z obiektami astatycznymi

Regulator
Nastawienia regulatora
P

PD


PI

PID



Po wyznaczeniu parametrów względnych należy powrócić do nastawialnych
(rzeczywistych) parametrów regulatora, czyli tak jak poprzednio wyznaczyć:


(7.20)


(7.21)


(7.22)


7.5. Parametry odpowiedzi skokowej układu

Z odpowiedzią skokową związane są
między innymi
następujące właściwości
eksploatacyjne, opisane w rozdziale 4.1 w I części podręcznika:
przeregulowanie,
czas regulacji.
W trakcie projektowania układów regulacji występują różne zestawienia wymagań
nałożonych na wymienione właściwości. Dość często stawia się wymagania:
małe przeregulowanie, najczęściej k 0% i minimalny czas regulacji tr,
średnie przeregulowanie, najczęściej k 20% i minimalny czas regulacji tr,
Praktyczne zastosowanie znalazły wzory uzyskane w wyniku badań modelowych przy
skokowym zakłóceniu na wejściu obiektu.
W przypadku obiektów statycznych opisanych funkcją przejścia


(7.23)

otrzymano wzory zebrane w tabeli 7.7. Natomiast dla obiektów astatycznych o
funkcji przejścia


(7.24)

otrzymano wzory zebrane w tabeli 7.8.
Tabela 7.7. Parametry regulatorów współpracujących z obiektami statycznymi

Typ
regulatora
Przeregulowanie k 0%
Minimum czasu regulacji tr

Przeregulowanie k 20%
Minimum czasu regulacji tr


Parametry

Parametry

P

4.5

6.5
PI

8

12
PID

5.5

7



Tabela 7.8. Parametry regulatorów współpracujących z obiektami astatycznymi

Typ
regulatora
Przeregulowanie k 0%
Minimum czasu regulacji tr

Przeregulowanie k 20%
Minimum czasu regulacji tr


Parametry

Parametry

P

5.5

7.5
PI

13.2

15
PID

9.8

12



7.6. Całkowe wskaźniki jakości

Zagadnienie syntezy regulatora można jednoznacznie rozwiązać wtedy, gdy można
posłużyć się wskaźnikiem jakości obejmującym całokształt właściwości
eksploatacyjnych układu. Pożądane jest przy tym, aby zastosowany wskaźnik miał
interpretację energetyczną lub ekonomiczną. Wymienione warunki spełniają
wskaźniki całkowe odniesione do sygnału uchybu, który reprezentuje straty
energetyczne układu regulacji.
Sygnał uchybu rozpatrywano już w rozdziale 4 w I części podręcznika, lecz na
potrzeby stosowania wskaźników całkowych rozwiniemy krótko to zagadnienie,
mianowicie napiszemy wzór ogólny


(7.25)

gdzie


es
-
składowa ustalona sygnału uchybu, nazywana inaczej uchybem statycznym lub
błędem statycznym,

ep(t)
-
składowa nieustalona sygnału uchybu, nazywana inaczej uchybem przejściowym, dla
układów poprawnie zaprojektowanych powinna zachodzić zależność

(7.26)

zależność ta jest podstawowym warunkiem stosowania wskaźników całkowych;
omawiając te wskaźniki będziemy krótko pisać uchyb mając na myśli wyłącznie
uchyb przejściowy.

Do podstawowych wskaźników całkowych zaliczamy:

Całkę z sygnału uchybu, stosowaną, gdy uchyb nie zmienia znaku, a straty są
proporcjonalne do uchybu


(7.27)

Całkę z sygnału uchybu pomnożonego przez czas, stosowaną, gdy uchyb nie zmienia
znaku, a straty są proporcjonalne do uchybu i czasu


(7.28)

Całkę z bezwzględnej wartości sygnału uchybu, stosowaną, gdy uchyb zmienia
znak, a straty są proporcjonalne do uchybu


(7.29)

Całkę z bezwzględnej wartości sygnału uchyby pomnożonej przez czas, stosowaną,
gdy uchyb zmienia znak, a straty są proporcjonalne do uchybu i czasu

(7.30)

Całkę z kwadratu sygnału uchybu, stosowaną niezależnie od zmian znaku uchybu,
gdy straty są proporcjonalne do kwadratu uchybu


(7.31)

W praktyce dość często stosuje się wskaźnik I2, gdyż zamiast całkowania w
dziedzinie czasu można dokonać wygodniejszego całkowania w dziedzinie zmiennej
zespolonej.
Wymagane wartości parametrów regulatora można również uzyskać na podstawie
badań modelowych, których wyniki pokazano w tabeli 7.9.

Tabela 7.9. Parametry regulatorów według kryterium całkowego

Typ
regulatora
Obiekty statyczne (7.23)
Minimum

Obiekty astatyczne (7.24)
Minimum


Parametry

Parametry

P
-
-
-
-
PI

16

18
PID

10

15

Z konwencjonalnym stosowaniem wskaźników całkowych wiążą się pewne
niedogodności, mianowicie:
Całki obliczone przykładowo według (7.31) okazują się najczęściej bardzo
skomplikowane, co powoduje duże trudności rachunkowe związane z minimalizacją.
Nie zawsze istnieje rozwiązanie problemu, co widać przykładowo z tabeli 7.9.
Wzmocnienie regulatora minimalizujące całkę może znaleźć się poza przedziałem
wynikającym ze stabilności układu
po zakończeniu minimalizacji należy zawsze
jej wynik weryfikować pod kątem wymaganego zapasu wzmocnienia.
Układy zaprojektowane w ten sposób mogą mieć dość duże przeregulowania
charakterystyk skokowych, przekraczające nawet 60%
taki wynik otrzymano w
rozdziale 7.8 w przykładzie 7.1.

7.7. Metoda inwersji dynamicznej

Metoda inwersji dynamicznej umożliwia zaprojektowanie regulatora w ten sposób,
aby równanie charakterystyczne układu zamkniętego miało zadane położenie
pierwiastków dominujących. Położenie to określane jest pośrednio przez podanie
przeregulowania charakterystyki skokowej układu zamkniętego, które najczęściej
przyjmuje wartości z przedziału (0-50)%. Tak więc
w zależności od wartości
przeregulowania
można otrzymać następujące pierwiastki dominujące i związane
z nimi charakterystyki skokowe:
dominujący wielokrotny pierwiastek rzeczywisty ujemny, odpowiedzialny za
charakterystykę aperiodyczną o minimalnym czasie regulacji
jest to efekt
uzyskiwany za pomocą kryterium stabilności aperiodycznej,
dominujące pierwiastki zespolone z ujemną częścią rzeczywistą, odpowiedzialne
za charakterystykę oscylacyjną tłumioną
jest to efekt uzyskiwany za pomocą
pozostałych kryteriów, metod i wskaźników jakości.
Proponowane wartości przeregulowania i związanego z nim współczynnika
pomocniczego przedstawiono w tabeli 7.10.

Tabela 7.10. Wartości przeregulowania i współczynnika pomocniczego

k [%]
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
b [-]
2.718
1.944
1.720
1.561
1.437
1.337
1.248
1.172
1.104
1.045
0.992

Po wyborze wartości przeregulowania wyznaczamy współczynnik czasu opóźnienia


(7.32)

Następnie z tabeli 7.11 dobieramy parametry regulatora, przy czym zestawiono w
niej najczęściej występujące obiekty regulacji i od razu zaproponowano dla nich
regulatory umożliwiające uzyskanie wysokich właściwości statycznych i
dynamicznych, mianowicie:
dla układów klasy 0 (statycznych) zaproponowano regulatory PI lub PID,
dla układów klasy 1 (astatycznych) zaproponowano regulatory P lub PD.

Tabela 7.11. Proponowane rodzaje i nastawienia regulatorów

Funkcja przejścia
obiektu
Regulator




Rodzaj
Kr
Ti
Td

P

-
-

PI

T
-

PD

-
T

PID

T1+T2


PID





7.8. Przykłady syntezy parametrycznej regulatorów

Przykład 7.1
Dany jest układ regulacji o schemacie blokowym z jednostkowym sprzężeniem
zwrotnym jak na rysunku 7.4. Funkcja przejścia obiektu regulacji ma następujące
współczynniki


KzK
=
2.5


T
=
2
[s]

t
=
1
[s]










Rys. 7.4. Schemat blokowy układu regulacji

Za pomocą pakietu Matlab/Simulink zbadać właściwości następujących wariantów
układu
układu niekorygowanego (OR),
układu z regulatorem PI dobranym metodą inwersji dynamicznej przy k = 0 (ID),
układu z regulatorem PI dobranym według kryterium stabilności aperiodycznej
(SA),
układu z regulatorem PI dobranym według kryterium optymalnego modułu (OM),
układu z regulatorem PI dobranym dla minimum przeregulowania i czasu regulacji
(KT),
układu z regulatorem PI dobranym metodą Zieglera-Nicholsa (ZN),
układu z regulatorem PI dobranym dla minimum całki I2 (I2).

Rozwiązanie
Na podstawie wymienionych metod, kryteriów i wskaźników dobrano parametry
regulatora PI, a wyniki doboru przedstawiono w tabeli 7.12.
Tabela 7.12. Nastawienia regulatora PI

Metoda
ID
SA
OM
KT
ZN
I2
Kr
0.29
0.31
0.42
0.48
0.72
0.80
Ti [s]
2.00
1.92
2.03
1.80
3.30
1.60

Biorąc pod uwagę wartości liczbowe parametrów z tabeli 7.12, dla ID i SA
stwierdzamy, że są one na tyle zbliżone do siebie, że do symulacji można
przyjąć ich wartości średnie:


Kr
=
0.30


Ti
=
1.96
[s]

Schematy blokowe układu oryginalnego i skorygowanego oraz wyniki badań
symulacyjnych pokazano na rysunkach 7.5 i 7.6.

Rys. 7.5. Schematy blokowe układów do badań symulacyjnych



Rys. 7.6. Wyniki badań symulacyjnych

Na podstawie otrzymanych wyników badań symulacyjnych można sformułować
następujące wnioski:
Najlepsze wyniki korekcji uzyskuje się za pomocą kryterium stabilności
aperiodycznej (SA), kryterium optymalnego modułu (OM) i metody inwersji
dynamicznej (ID).
Średnie wyniki korekcji uzyskuje się za pomocą metody Zieglera-Nicholsa (ZN)
oraz według parametrów odpowiedzi skokowej
minimum przeregulowania i czasu
regulacji (KT).
Niezadowalające wyniki korekcji uzyskuje się za pomocą wskaźnika całkowego
(I2). Dla poprawienia tych wyników wskazane jest około dwukrotne zmniejszenie
otrzymanego wzmocnienia regulatora.


Przykład 7.2
Dany jest układ regulacji z przykładu 7.1. Dobrać parametry regulatora PI za
pomocą przybornika NCD. Jako wartości startowe poszukiwanych parametrów przyjąć
wartości według wskaźnika całkowego I2, czyli


Kr
=
0.80


Ti
=
1.60
[s]

Rozwiązanie
Schemat blokowy układu z dołączonym blokiem optymalizacji pokazano na rysunku
7.7. Na wstępie optymalizacji narzucono następujące ograniczenia na sygnał
wyjściowy układu
ograniczenia górne: 1.05 i 1.01,
ograniczenia dolne: 0.95 i 0.99,
ograniczenia boczne: 4[s] i 6[s].

Rys. 7.7. Schemat blokowy do optymalizacji

Wyniki optymalizacji zilustrowano rysunkiem 7.8.



Rys. 7.8. Główne okno przybornika NCD po zakończeniu optymalizacji

Dla podanych wyżej ograniczeń otrzymano następujące parametry regulatora


Kr
=
0.37


Ti
=
2.07
[s]



Literatura

Gessing R.: Teoria sterowania. Tom I. Układy liniowe. Skrypty Uczelniane
Politechniki Śląskiej, nr 1302. Gliwice 1987.
Górecki H.: Analiza i synteza układów regulacji z opóźnieniem. WNT. Warszawa
1971.
Markowski A., Kostro J., Lewandowski A.: Automatyka w pytaniach i
odpowiedziach. WNT. Warszawa 1979.
Mrozek B., Mrozek Z.: Matlab 5.x, Simulink 2.x. Poradnik użytkownika. Wyd. PLJ.
Warszawa 1998.
Potvin A.F.: Nonlinear Control Design Toolbox. The MathWorks, Inc. 1994.
ViteŁkov� M.: Controller tuning for processes with time delay. ICAMC ł95. 12 th
International Conference on Automation in Mining. Gliwice 1995.