OBIEKTY PNEUMATYCZNE
1. WST
P
Obiektami pneumatycznymi nazywać będziemy obiekty technologiczne, w których zachodzi
transport i gromadzenie gazów.
Celem ćwiczenia jest doświadczalne określenie charakterystyk dynamicznych obiektów
pneumatycznych 1 i 2 rzędu i porównanie ich z charakterystykami otrzymanymi teoretycznie. Podczas
ćwiczenia zwraca się uwagę na podobieństwa i ró\
nicę między układami laboratoryjnymi i układami
przemysłowymi.
2. ELEMENTY UKA
ADÓW PNEUMATYCZNYCH
2.1.Opór pneumatyczny
Oporem pneumatycznym charakteryzuje się dowolny element przepływowy, który wywołuje trwały
spadek ciśnienia przepływającego gazu. Wartość liczbowa oporu pneumatycznego Rp
odpowiada współczynnikowi proporcjonalnoÅ›ci miÄ™dzy spadkiem ciÅ›nienia ´p [N/m2] i
natÄ™\
eniem przepływu masowego G* [kg/s].
´p = Rp Å" G* (1)
´
´
´
Rp ma wymiar [1/m.s]
Zale\
ność (1) mo\
e być przedstawiona w innej postaci:
w2
´p = ¾ Å"Á Å" (2)
´ ¾ Á
´ ¾ Á
´ ¾ Á
2
gdzie: ¾ - współczynnik zale\
ny od liczby Reynoldsa Re
Á - gÄ™stość gazu
w- średnia prędkość gazu
d
L
Rys.1. Opór laminarny w postaci kapilary
dr in\
. Stanisław Świtalski "OBIEKTY PNEUMATYCZNE
1
Dla oporu laminarnego w formie kapilary jak na rys.1.
L 64 w Å" d
¾ = Å" Re = (3)
¾
¾
¾
d Re ½
½
½
½
gdzie: ½  kinematyczny współczynnik lepkoÅ›ci gazu w [m2/s].
Z połączenia wzorów (1), (2), (3) otrzymamy :
128 Å" ·Å" L
·
·
·
Rp = (4)
Ä„ Å" d4 Å" Á
Ä„ Á
Ä„ Á
Ä„ Á
gdzie : · = v Á - dynamiczny współczynnik lepkoÅ›ci gazu [kg/ms].
Wartość oporu laminarnego jest więc stała i nie zale\
y od natÄ™\
enia przepływu.
Dla przepływu turbulentnego słuszna jest zale\
ność:
2
´p = Ä… Å"(G") (5)
´ Ä…
´ Ä…
´ Ä…
Współczynnik ą niezale\
ny od G* ma wymiar [l/m kg]
Dla maÅ‚ych zmian ´p i G* mo\
na zdefiniować opór dynamiczny w zadanym punkcie pracy,
okreÅ›lajÄ…cy proporcjonalność pomiÄ™dzy przyrostem "(´p) i "G*.
"(´p) = Rd Å" "G" (6)
´
´
´
Rd = 2 Å" Ä… Å" G* (7)
Ä…
Ä…
Ä…
0
G* jest to wartość masowego natę\
enia przepływu gazu w punkcie pracy.
0
Opór dynamiczny Rd ma taki sam wymiar jak opór R .
2.2. Pojemność pneumatyczna
Pojemność pneumatyczna charakteryzuje zdolność do gromadzenia masy gazu.
Charakteryzują się nią wszelkiego rodzaju zbiorniki. Jest definiowana za pomocą równania :
dp
G* = Cp Å"
(8)
dt
gdzie: p  ciśnienie w zbiorniku
t  czas
G*- natÄ™\
enie przepływu
Cp- pojemność pneumatyczna w [m s2]
dr in\
. Stanisław Świtalski "OBIEKTY PNEUMATYCZNE
2
Dla komory o stałej objętości V, przy zało\
eniu stałości temperatury gazu (przemiana
izotermiczna), pojemność pneumatyczna określona jest wzorem :
V
Cp = (9)
RT
gdzie: R  indywidualna stała gazowa,
T  temperatura w [K]
Dla komory o zmiennej objętości np. takiej jak przedstawiono na rys.2, pojawia się jeszcze druga
pojemność wynikająca ze zmiany objętości.
Á Å" A2
Á
Á
Á
Cpd = (10)
Cm
gdzie: A  powierzchnia przekroju poprzecznego zbiornika
Cm- - współczynnik proporcjonalności pomiędzy zmianą siły działającej na górną ścianę i
przesunięciem tej ściany (sztywność układu) w [N/m].
Całkowita pojemność jest więc równa:
V0 Á Å" A2
Á
Á
Á
Cpc = + (11)
RT Cm
gdzie : V0 jest objętością komory w stanie początkowym.
H
p
A
G*
Rys.2. Mieszek sprÄ™\
ysty jako przykład obiektu o zmiennej objętości
dr in\
. Stanisław Świtalski "OBIEKTY PNEUMATYCZNE
3
2.3. Inertancja pneumatyczna (wielkość analogiczna do indukcyjności elektrycznej)
Inertancja pneumatyczna charakteryzuje wpływ bezwładności poruszającego się gazu
na spadek ciśnienia w rurociągu. Wpływ ten mo\
e być istotny tylko w długich rurociągach, w
których przepływa gaz pod wysokim ciśnieniem (gaz o du\
ej gęstości). Inertancja Lp
definiowana jest za pomocą równania :
dG"
"p = Lp Å" (12)
dt
Lp ma wymiar [l/m].
3. DYNAMIKA PROSTYCH OBIEKTÓW PNEUMATYCZNYCH
3.1.Obiekt pneumatyczny I rzędu z oporem laminarnym i pojemnością stałą.
P2(t)
V
Rp
P1(t)
G*(t)
Rys.3. Schemat obiektu inercyjnego I rzędu z oporem laminarnym i stałą objętością
Funkcja przejścia tego obiektu, przy zało\
eniu przemiany izotermicznej, jest następująca:
"p2 (s) 1
= (13)
"p1(s) 1+ sÄ
Ä
Ä
Ä
Rp Å" V
gdzie: Ä = (14)
Ä
Ä
Ä
RT
"p2 (t) = p2 (t) - p20 (15)
"p1(t) = p1(t) - p10 (16)
p20 = p10 wartości ciśnień w stanie ustalonym
dr in\
. Stanisław Świtalski "OBIEKTY PNEUMATYCZNE
4
3.2. Obiekt pneumatyczny z oporami turbulentnymi i stałą pojemnością.
Jest to obiekt nieliniowy. Funkcje przejścia mogą być wyznaczone tylko dla małych zmian
wokół ustalonego punktu pracy, przez linearyzację równań opisujących obiekt.
Rd1 Rd2
P2(t)
P1(t) P3(t)
V
Rys.4. Obiekt pneumatyczny z oporami turbulentnymi
Otrzymamy następujące zale\
ności:
"p2 (s) Rd2 1
= Å" (17)
"p1(s) Rd1 + Rd2 1+ sÄ
Ä
Ä
Ä
"p2 (s) Rd1 1
= Å" (18)
"p3 (s) Rd1 + Rd2 1+ sÄ
Ä
Ä
Ä
Rd1 Å" Rd2 V
Ä = Å" (19)
Ä
Ä
Ä
Rd1 + Rd2 RT
Rd1 i Rd2 sÄ… to opory dynamiczne w punkcie pracy. Poniewa\
w stanie ustalonym masowe
natÄ™\
enia przepływu gazu przez oba opory są sobie równe, to zachodzi zale\
ność:
*
G10 = G* = G* (20)
20 0
Na podstawie równania (7) otrzymamy:
Rd1 = 2 Å" G* Å" Ä…1 (21)
Ä…
Ä…
Ä…
0
Rd2 = 2 Å" G* Å" Ä…2 (22)
Ä…
Ä…
Ä…
0
Wartości ą1,ą2 zale\
Ä… od konstrukcji oporu ale nie zale\
Ä… od natÄ™\
enia przepływu.
Ä… Ä…
Ä… Ä…
Ä… Ä…
dr in\
. Stanisław Świtalski "OBIEKTY PNEUMATYCZNE
5
3.3. Obiekt drugiego rzędu z oporami laminarnymi.
Jest to obiekt liniowy. Linearyzacja powoduje tylko przesunięcie układu współrzędnych ale nie
powoduje zmiany charakteru równań.
a) Zbiorniki nie obciÄ…\
ajÄ…ce siÄ™.
Rp1
P2(t) Rp2 P3(t)
P1(t)
V2
V1
Wzmacniacz separator
Rys.5. Obiekt pneumatyczny z dwoma zbiornikami i oporami laminarnymi
Funkcja przejścia ma postać:
"p3 (s) 1
= (23)
"p1(s) (1+ sÄ1)(1+ sÄ2 )
Ä Ä
Ä Ä
Ä Ä
Rp1 Å" V1 Rp2 Å" V2
Ä1 = Ä2 = (24)
Ä Ä
Ä Ä
Ä Ä
RT RT
dr in\
. Stanisław Świtalski "OBIEKTY PNEUMATYCZNE
6
b) Zbiorniki obciÄ…\
ajÄ…ce siÄ™.
Rp1 Rp2
P2(t) P3(t)
P1(t)
V1 V2
Rys.6. Obiekt pneumatyczny z oporami laminarnymi i zbiornikami obciÄ…\
ajÄ…cymi siÄ™.
Funkcja przejścia tego obiektu ma postać:
"p3 (s) 1 1
= = (25)
"p1(s) (1+ sÄ1)(1+ sÄ2 ) + sÄ3 (1+ sT1)(1+ sT2 )
Ä Ä Ä
Ä Ä Ä
Ä Ä Ä
Rp1 Å" V1 Rp2 Å" V2 Rp1 Å" V2
Ä1 = Ä2 = Ä3 = (26)
Ä Ä Ä
Ä Ä Ä
Ä Ä Ä
RT RT RT
Stałe czasowe T1 i T2 są wynikiem przekształceń matematycznych i w przeciwieństwie do
staÅ‚ych Ä1 , Ä2 , Ä3 , nie majÄ… prostej interpretacji fizycznej.
3.4. Obiekt pneumatyczny ze zmienną objętością i oporem laminarnym.
SprÄ™\
yna o stałej
Cm
TÅ‚ok
P2(t)
Rp
V0
P1(t)
Rys.7. Obiekt pneumatyczny ze zmienną objętością.
dr in\
. Stanisław Świtalski "OBIEKTY PNEUMATYCZNE
7
Jest to obiekt nieliniowy. Funkcja przejścia mo\
e być wyznaczona dla niewielkich zmian
parametrów wokół stanu ustalonego.
"p2 (s) 1
= (27)
"p1(s) 1+ sÄ
Ä
Ä
Ä
ëÅ‚ V0 ÁA2 ÷Å‚
öÅ‚
Á
Á
Á
ìÅ‚
Ä = Rp Å" + (28)
Ä
Ä
Ä
ìÅ‚
RT Cm ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
4.. OPIS STANOWISKA LABORATORYJNEGO
Schemat stanowiska laboratoryjnego przedstawiony jest na rys.8.
Trzy ró\
ne opory pneumatyczne wmontowane sÄ… w przewody zaopatrzone we wtyki
pneumatyczne rozłączne. Opór pierwszy jest tak dobrany, \
e liczba Reynoldsa, przy ró\
nicy
ciśnień 40 kPa, wynosi około 1000. Mo\
na zatem zało\
yć , \
e w tym oporze przepływ ma
charakter laminarny. Liczba Reynoldsa dla drugiego oporu wynosi około 2300, czyli około
wartości przyjmowanej powszechnie w literaturze jako wartość graniczna dla przepływu
laminarnego. Dla trzeciego oporu liczba Reynoldsa wynosi około 10000. Mo\
na zało\
yć , \
e
przepływ przez ten opór ma charakter burzliwy nawet przy niewielkich spadkach ciśnień na
oporze.
A
ącząc opory pneumatyczne ze zbiornikami o ró\
nych objętościach otrzymujemy ró\
ne obiekty
dynamiczne. Na stanowisku pomiarowym dostępne są zbiorniki o następujących objętościach:
V1= 0.3 ]l], V2= 0.9 [l], V3 = 3 [l]. Czasza siłownika pneumatycznego membranowego została
wykorzystana jako objętość zmienna. Jej wartość ulega zmianie wraz ze zmianą ciśnienia
powietrza. W stanie początkowym objętość czaszy wynosi około 0.6 [l].
.Na badane obiekty mo\
na podawać trzy rodzaje wymuszeń: skokowe, sinusoidalne o dowolnie
dobieranej pulsacji, oraz w postaci fali prostokÄ…tnej. Wymuszenia generowane sÄ… przez
sterownik S7 i przetwarzane na sygnał pneumatyczny przez przetwornik elektropneumatyczny.
Przebiegi sygnału wejściowego i wyjściowego rejestrowane są na rejestratorze analogowym oraz
za pomocą sterownika S7. Na moduł wejść analogowych sterownika podawane są napięcia
0-5 VDC uzyskiwane z przetworników pneumo-elektrycznych.
dr in\
. Stanisław Świtalski "OBIEKTY PNEUMATYCZNE
8
A
Ä…cze MPI
0-20 mA 0-5 VDC 0-5 VDC
Rejestrator
analogowy
P/E
P/E
E/P
V1 V2 V3
Przewód
elastyczny
V4
Zmienna
Opór pneumatyczny
objętość
wymienny
Rys. 8. Uproszczony schemat stanowiska laboratoryjnego.
dr in\
. Stanisław Świtalski "OBIEKTY PNEUMATYCZNE
9
5. PROGRAM ĆWICZENIA
5.1. Zdjąć odpowiedzi obiektów inercyjnych I rzędu (jak na rys.3) dla wszystkich kombinacji
oporów i pojemności (9 przebiegów).
5.2. Dla jednego z obiektów inercyjnych I rzędu zdjąć odpowiedzi obiektu na wymuszenie
sinusoidalne przy 5 ró\
nych częstotliwościach sygnału wejściowego.
5.3. Dla obiektu inercyjnego I rzędu z punktu 5.2. zdjąć odpowiedzi obiektu na wymuszenie w
postaci fali prostokątnej przy 2 ró\
nych częstotliwościach sygnału wejściowego.
5.4. Połączyć opory i pojemności w ten sposób, aby otrzymać obiekt drugiego rzędu wg rys.6.
Dobrać wartości oporów i pojemności w ten sposób, aby zbiorniki jak najmniej się obcią\
ały.
Zdjąć odpowiedz
takiego obiektu na skok jednostkowy.
5.5. Zrealizować obiekt I rzędu ze zmienną objętością i zdjąć odpowiedz
tego obiektu na skok
jednostkowy
6. W SPRAWOZDANIU NALEśY UMIEŚCIĆ
6.1. Wyprowadzenie funkcji przejścia obiektu zaproponowanego przez prowadzącego
ćwiczenie.
6.2. Określenie stałych czasowych obiektów I rzędu na podstawie przebiegów zdjętych w
punkcie 5.1. Podać sposób określenia tych stałych czasowych.
6.3. Na podstawie przebiegów zdjętych w punkcie 5.2 wyznaczyć stałą czasową obiektu
(obliczenia przeprowadzić dla ka\
dej częstotliwości). Porównać otrzymane stałe czasowe i
podać przyczyny rozbie\
ności.
6.4. Na podstawie przebiegów zdjętych w punkcie 5.2 narysować fragment charakterystyki
amplitudowo-fazowej obiektu na płaszczyz
nie Nyquista..
6.5. Dla obiektu drugiego rzędu z punktu 5.4 wyjaśnić sposób doboru oporów i pojemności
zapewniajÄ…cy najmniejszÄ… obciÄ…\
alność. Napisać funkcję przejścia obiektu. Wyznaczyć liczbowe
wartości występujących w nich stałych czasowych. Wyznaczyć wartości stałych T1 i T2 (patrz
wzór 25).
6.6. Przedyskutować kształt odpowiedzi na skok jednostkowy obiektu ze zmienną objętością. W
szczególności wyjaśnić przyczynę skokowej zmiany nachylenia otrzymanego przebiegu.
dr in\
. Stanisław Świtalski "OBIEKTY PNEUMATYCZNE
10