I Budownictwa 2011 2012
Matematyka I, Lista 2: Liczby zespolone, wielomiany.
Zadanie 1. Wykonać działania:
" " " "
1 - 4i i
a) (2 - 2i) - 3(-1 + 4i), b) (3 + 4i)(5 - i), c) ( 2 + i 3)( 2 - i 3), d) , e) ,
2 + i 2i - 1
7 + 3i (3 + i)2 3i 4 + i (1 - 2i)3
f) , g) , h) , i) (2 - 3i)2 - 5 , j) .
-3i 1 + 4i (1 + i)2 3 - 4i 2i
Zadanie 2. Rozwiązać równania w zbiorze liczb zespolonych:
a) 3i + z = 1 + 2i - 4iz, b) (1 + 2i)x + 4 = 3x, c) 2iz = 5 - i - (3 - 2i)x,
d) 2z - z = iz + 1, e) Rez + z = 2 + i, f) 3z + Imz = 2iz - 1 + 3i.
Zadanie 3. Na płaszczyznie zespolonej zaznaczyć zbiór spełniający warunki:
Ą Ą Ą 5Ą
a) |z| = 2, argz = b |z| = 3, argz = c) |z| d" 4, d) < argz d" ,
4 6 2 4
e) - 2 d" Rez < 4, f) 1 < Imz < 3, g) |z - i| d" 2, h) z = z.
Zadanie 4. Podane liczby przedstawić w postaci trygonometrycznej:
a) 8, b) - 7, c) 2i, d) - 4i,
e) 3 + 3i, f) - 1 + i, g) - 1 - i, h) 1 - i,
" " " "
i) 3 + i, j) - 3 + i, k) - 3 - i l) 3 - i,
" " " "
m) 2 + 2i 3, n) - 1 + i 3, o) - 1 - i 3, p) 1 - i 3.
Zadanie 5. Podane liczby przedstawić w postaci algebraicznej oraz zaznaczyć na płaszczyz
nie zespolonej:
Ą 3Ą 3Ą
2
a) 2(cos 0 + i sin 0), b) ei , c) 3eiĄ, d) cos + i sin ,
2 2
"
Ą 3Ą 3Ą 5Ą 5Ą 7Ą
4 4
e) ei , f) 2 cos + i sin , g) 2 cos + i sin , h) ei .
4 4 4 4
Zadanie 6. Wykonać podane działania:
4Ą
"
5
Ą Ą 4Ą 4i 8ei
7
a) 3 cos + i sin (2 - 2i), b) 4ei (-1 + i 3), c) , d) " .
5 5 Ą Ą
-2 3 - 2i
5 cos + i sin
9 9
Zadanie 7. Obliczyć, wynik podać w postaci algebraicznej:
" " "
a) (1 + i)16, b) (1 + i 3)9, c) ( 3 + i)27, d) (-1 + i)27, e) (1 - i 3)7,
"
(1 + i)2eĄi
f) (- 3 - i)5, g) .
Ą
i
e- 4 - i)3
(1
1
Zadanie 8. Obliczyć podane pierwiastki, jeśli to możliwe, wynik podać w postaci algebraicznej:
" " " " " " "
3 3 3 4 4
a) -1 + i, b) 1 - i 3, c) 8, d) -125i, e) -27, f) -16, g) -i.
Zadanie 9. W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równania kwadratowe:
a) x2 - 4 = 0, b) x2 + 9 = 0, c) 5x2 - 10x = 0, d) x2 + x - 2 = 0, e) x2 - 6x + 9 = 0,
f) x2 - 2x + 3 = 0, g) 10x2 + 2x + 1 = 0, h) 2x2 + ix + 1 = 0, i) z2 + 2iz - 3 = 0.
Zadanie 10. W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równania:
a) x3 - 27 = 0, b) z4 + 16 = 0, c) x4 - 2x2 - 3 = 0, d) z8 - 15z2 - 16 = 0, e) x3 + x2 + 9x + 9 = 0,
f) z3 + 3z2 - 6z - 8 = 0, g) x4 + x3 + 2x2 + 4x - 8 = 0, h) x4 + 3x3 - x2 - 13x - 10 = 0.
Zadanie 11*. Przedstawić sin x i cos x za pomocą funkcji wykładniczej o wykładniku zespolonym, korzystając
ze wzoru Eulera: eix = cos x + i sin x.
Ą Ą Ą Ą
ą 0
6 4 3 2
" "
1 2 3
sin ą 0 1
2 2 2
" "
3 2 1
cos ą
1 0
2 2 2
"
"
3
tg ą -
0 1 3
3
"
"
3
ctg ą -
3 1 0
3
2Ą 3Ą 5Ą
ą Ą
3 4 6
"
"
1
2
3
sin ą 0
2
2
2
"
"
1
2
cos ą - 3
- -1
2
-
2
2
7Ą 5Ą 4Ą 3Ą
ą
6 4 3 2
" "
1 2 3
sin ą - - - -1
2 2 2
" "
3 2 1
cos ą
- - - 0
2 2 2
5Ą 7Ą 11Ą
ą
2Ą
3 4 6
"
"
1
2
3 -
sin ą - 0
2
-
2
"2 "
1
2
3
cos ą
1
2
2
2
A. Chwastyk, A. Metelski
2