Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 6
6. CiÄ…\
enie powszechne (grawitacja)
6.1 Prawo powszechnego ciÄ…\
enia
Newton - 1665 spadanie ciał. Skoro istnieje siła przyciągania pomiędzy dowolnym
ciałem i Ziemią, to musi istnieć siła między ka\
dymi dwoma masami m1 i m2. Skoro siła
jest proporcjonalna do masy ciała to musi być proporcjonalna do ka\
dej z mas m1 i m2
oddzielnie czyli:
F <" m1m2
Newton zastanawiał się równie\
, czy siła działająca na ciała będzie malała wraz ze
wzrostem odległości. Doszedł do wniosku, \
e gdyby ciało znalazło się w odległości ta-
kiej jak KsiÄ™\
yc to będzie ono miało takie samo przyspieszenie jak Księ\
yc bowiem na-
tura siły grawitacyjnej pomiędzy Ziemią i Księ\
ycem jest taka sama jak pomiędzy Zie-
miÄ… i ka\
dym ciałem.
Przykład 1
Obliczmy jakie jest przyspieszenie KsiÄ™\
yca i jaki jest stosunek przyspieszenia
KsiÄ™\
yca do przyspieszenia grawitacyjnego przy powierzchni Ziemi?
Zastosujemy równanie na przyspieszenie dośrodkowe (wykład 3 - ruch jednostajny po
okręgu). Wówczas:
2
v2 2 4Ä„ RK
a = = É RK =
2
RK T
gdzie RK jest odległością od Ziemi do Księ\
yca. Ta odlegÅ‚ość wynosi 3.86·105 km,
a okres obiegu KsiÄ™\
yca T = 27.3 dnia. Otrzymujemy więc
a = 2.73·10-3 m/s2
W pobli\
u powierzchni Ziemi przyspieszenie wynosi 9.8 m/s2. StÄ…d stosunek przyspie-
szeń wynosi:
a/g = 1/3590 E" (1/60)2
2 2
W granicach błędu a/g = RZ / RK .
Newton wykonał takie obliczenia i wyciągnął wniosek, \
e siła przyciągania między
dwoma masami maleje odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odległości między nimi
(odległość między środkami mas). Sformułował więc prawo powszechnego cią\
enia
m1m2
F ~
2
r
Stałą proporcjonalności oznacza się G, więc
6-1
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
m1m2
F = G (6.1)
2
r
Newton oszacowaÅ‚ wartość staÅ‚ej G zakÅ‚adajÄ…c Å›redniÄ… gÄ™stość Ziemi Á = 5·103 kg/m3
(porównać to z gÄ™stoÅ›ciÄ… pierwiastków z ukÅ‚adu okresowego np. ÁSi = 2.8·103 kg/m3,
ÁFe = 7.9·103 kg/m3).
Punktem wyjścia jest równanie:
m1m2
F = G
2
r
Je\
eli wez
miemy r = RZ to otrzymamy:
m1m2
F = G
2
RZ
Zgodnie z II zasadÄ… Newtona F = ma, gdzie a = g.
StÄ…d
m1m2
G = mg
2
RZ
więc
2
gRZ
G =
M
Z
Wiemy, \
e MZ = ÁVZ wiÄ™c
2
gRZ 3g
G = =
4
3
Á Ä„RZ 4Ä„ÁRZ
3
UwzglÄ™dniajÄ…c RZ = 6.37·106 m otrzymamy G = 7.35·10-11 Nm2/kg2 co jest wartoÅ›ciÄ…
tylko o 10% większą ni\
ogólnie przyjÄ™ta wartość 6.67·10-11 Nm2/kg2.
Porównując przyspieszenie grawitacyjne na orbicie Księ\
yca i na powierzchni Ziemi,
Newton zakładał, \
e Ziemia zachowuje się tak jakby jej cała masa była skupiona w
środku. Zgadywał, \
e tak ma być ale dowód matematyczny przeprowadził dopiero 20 lat
póz
niej (wtedy te\
sformułował rachunek całkowy).
Równanie (6.1) nazywa się prawem powszechnego cią\
enia, poniewa\
dokładnie to sa-
mo prawo stosuje się do wszystkich sił grawitacyjnych. To samo prawo wyjaśnia spada-
nie ciał na Ziemię, tłumaczy ruch planet, pozwala obliczyć ich masy i okresy obiegu.
Przykład 2
Jaki był okres obiegu Księ\
yca przez moduł statku Apollo?
F = ma
6-2
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
M m
K
F = G
R2
gdzie MK jest masÄ… KsiÄ™\
yca, a R promieniem orbity po jakiej krÄ…\
y moduł o masie m.
Poniewa\
przyspieszenie
2
4Ä„ R
a =
2
T
więc
2
ëÅ‚ öÅ‚
M m 4Ä„ R
K
ìÅ‚ ÷Å‚
G = mìÅ‚ 2 ÷Å‚
R2 íÅ‚ T
Å‚Å‚
2
4Ä„ R3
2
T =
GM
K
R3
T = 2Ä„
GM
K
Podstawiając wartości liczbowe: promień Księ\
yca R = 1740 km, masÄ™ MK = 7.35·1022
kg i G = 6.67·10-11 Nm2/kg2, otrzymamy T = 6.5·103 s czyli 108 minut.
6.2 Doświadczenie Cavendisha
Newton obliczył wartość stałej G na podstawie przyjętego zało\
enia o średniej war-
tości gęstości Ziemi. Gdyby Ziemia miała tak jak gwiazdy jądro o super wielkiej
gęstości to wynik uzyskany przez Newtona byłby obarczony du\
ym błędem. Czy mo\
na
wyznaczyć stałą G w laboratorium niezale\
nie od masy Ziemi i tym samym uniknąć
błędu związanego z szacowaniem gęstości Ziemi?
W tym celu trzeba zmierzyć siłę oddziaływania dwóch mas m1 i m2 umieszczonych
w odległości x (rysunek). Wówczas siła
F = Gm1m2/x2
czyli
Fx2
G =
m1m2
m1 m2 Zauwa\
my, \
e dla mas ka\
da po 1 kg oddalo-
nych od siebie o 10 cm siła F ma wartość
F F
F = 6.67·10-9 N tj. 109 razy mniej ni\
ciÄ™\
ar 1
kg i jest za mała by ją wykryć (dokładnie) zwy-
x
kłymi metodami.
6-3
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Problem ten rozwiązał Henry Cavendish w 1797 r. Wykorzystał on fakt, \
e siła potrzeb-
na do skręcenia długiego, cienkiego włókna kwarcowego o kilka stopni jest bardzo ma-
ła. Cavendish najpierw wykalibrował włókna, a następnie zawiesił na nich pręt z dwie-
ma małymi kulkami ołowianymi na końcach (rysunek a). Następnie w pobli\
u ka\
dej z
kulek umieścił większą kulę ołowianą i zmierzył precyzyjnie kąt o jaki obrócił się pręt
(rysunek b). Pomiar wykonane metodÄ… Cavendisha dajÄ… wartość G = 6.67·10-11
Nm2/kg2.
b)
a)
m
M
M
m
Ä…
6.2.1 Wa\
enie Ziemi
MajÄ…c ju\
godną zaufania wartość G, Cavendish wyznaczył MZ z równania:
2
gRZ
M =
Z
G
Wynik pomiaru jest równie dokładny jak wy-
znaczenia stałej G. Cavendish wyznaczył te\

masę Słońca, Jowisza i innych planet, których
satelity zostały zaobserwowane. Np. na ry-
M
sunku obok niech M będzie masą Słońca, a m
R
masÄ… planety krÄ…\
ącej wokół Słońca np. Zie-
m
mi. Wtedy
F = GMm/R2
Poniewa\
przyspieszenie
a = 4Ä„2R/T
to z równania F = ma otrzymujemy
6-4
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
2
ëÅ‚ öÅ‚
Mm 4Ä„ R
ìÅ‚ ÷Å‚
G = mìÅ‚ 2 ÷Å‚
R2 íÅ‚ T
Å‚Å‚
czyli
2
4Ä„ R3
M =
2
GT
Je\
eli R jest odległością Ziemia - Słońce, T = 1 rok, to M jest masą Słońca. Podobne ob-
liczenia mo\
na przeprowadzić dla innych planet.
6.3 Prawa Keplera ruchu planet
Zanim Newton zapostulował prawo powszechnego cią\
enia, Johannes Kepler
stwierdził, \
e ruch planet stosuje się do trzech prostych praw. Prawa Keplera wzmocniły
hipotezę Kopernika. Praca Keplera (1609 - 1619) była wielkim odkryciem i aktem od-
wagi zwłaszcza po tym jak w 1600 roku spalono na stosie Giordana Bruno zwolennika
systemu heliocentrycznego. Przypomnijmy, \
e nawet Galileusz został zmuszony do pu-
blicznego odwołania swoich poglądów (1633 r) mimo, \
e papie\
był jego przyjacielem.
Dogmatem wtedy był pogląd, \
e planety poruszają się wokół Ziemi po skomplikowa-
nych torach, które są zło\
eniem pewnej liczby okręgów. Np. do opisania orbity Marsa
trzeba było około 12 okręgów ró\
nej wielkości.
Kepler poszukiwał nieskomplikowanej geometrycznie orbity, \
eby udowodnić \
e Mars
i Ziemia muszą obracać się wokół Słońca. Po latach pracy odkrył trzy proste prawa, któ-
re zgadzały się z wynikami pomiarowymi pozycji planet z bardzo du\
ą dokładnością. Te
prawa stosujÄ… siÄ™ te\
do satelitów okrą\
ajÄ…cych jakÄ…Å› planetÄ™.
" Pierwsze prawo Keplera
Ka\
da planeta krÄ…\
y po orbicie eliptycznej, ze Słońcem w jednym z ognisk tej elipsy.
" Drugie prawo Keplera (prawo równych pól)
Linia łącząca Słońce i planetę zakreśla równe pola w równych odstępach czasu.
" Trzecie prawo Keplera
Sześciany półosi wielkich orbit dowolnych dwóch planet mają się do siebie jak kwadraty
ich okresów obiegu. (Półoś wielka jest połową najdłu\
szej cięciwy elipsy).
3
R1 T12
Dla orbit kołowych =
3
R2 T22
Newton rozwijając swoją teorię potrafił dowieść, \
e tylko wtedy, gdy siła jest odwrotnie
proporcjonalna do kwadratu odległości, orbita dowolnej planety jest elipsą ze Słońcem
3
R1 T12
w jednym z ognisk oraz, \
e = . Newton wyprowadził prawa Keplera z zasad dy-
3
R2 T22
namiki. Przykładowo wyprowadz
my III prawo Keplera dla planet poruszajÄ…cych siÄ™ po
orbitach kołowych.
Korzystając z otrzymanego uprzednio wzoru na masę Słońca otrzymamy dla pierwszej
planety:
2 3
4Ä„ R1
M =
GT12
a dla drugiej
6-5
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
2 3
4Ä„ R2
M =
GT22
Porównując otrzymamy
3 3 3
R1 R2 R1 T12
= czyli =
3
T12 T22 R2 T22
Drugie prawo Keplera wynika z zasady zachowania pędu (dowód mo\
na pominąć).
6.4 CiÄ™\
ar
CiÄ™\
ar zazwyczaj definiujemy jako siłę cią\
enia działającą na ciało. W pobli\
u po-
wierzchni Ziemi dla ciała o masie m będzie ona równa mg. Na Księ\
ycu ciÄ™\
ar jest
mniejszy w porównaniu z cię\
arem na Ziemi około sześć razy.
M m
K
G
2 2
FK RK M RZ
K
= = = 0.165
2
FZ G M Z m M RK
Z
2
RZ
Definicja ciÄ™\
aru mo\
e być myląca. Np. astronauta pomimo, \
e działa na niego jeszcze
siła cią\
enia uwa\
a, \
e jest w stanie niewa\
kości. Fizjologiczne odczucie cię\
aru czyli
ile siły trzeba wło\
yć np. do podniesienia ręki.
6.4.1 CiÄ™\
ar pozorny, masa bezwładna i masa grawitacyjna
Wa\
nÄ… konsekwencjÄ… tego, \
e siła grawitacyjna działająca na ciało jest proporcjo-
nalna do jego masy, jest mo\
liwość pomiaru masy za pomocą mierzenia siły grawitacyj-
nej. Mo\
na to zrobić u\
ywajÄ…c wagi sprÄ™\
ynowej albo porównując siły grawitacyjne
działające na masę znaną (wzorzec) i na masę nieznaną innymi słowy wa\
ąc ciało na
wadze. Powstaje pytanie czy w obu metodach mierzymy tę samą właściwość. Np. gdy
spróbujemy pchnąć klocek po idealnie gładkiej poziomej powierzchni to wymaga to
pewnego wysiłku, a przecie\
ciÄ…\
enie nie pojawia się tu w ogóle. Konieczność przyło-
\
enia siły jest związana z masą. Ta masa występuje we wzorze F = ma. Nazywamy ją
masą bezwładną m. W innej sytuacji utrzymujemy ten klocek uniesiony w górę w stanie
spoczynku. Bezwładność nie odgrywa tu \
adnej roli bo ciało nie przyspiesza, jest w
spoczynku. Ale musimy u\
ywać siły o wartości równej przyciąganiu grawitacyjnemu
między ciałem i Ziemią, \
eby ciało nie spadło. Odgrywa tu rolę ta właściwość ciała, któ-
ra powoduje jego przyciąganie przez inne obiekty takie jak Ziemia i siła jest tu dana
wzorem
m'M
Z
F = G
2
RZ
gdzie m' jest masą grawitacyjną. Czy m i m' ciała są sobie równe?
Masa bezwładna m1 spadając swobodnie w pobli\
u powierzchni Ziemi ma przyspiesze-
6-6
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
nie a1, przy czym
m1' M
Z
m1a1 = G
2
RZ
je\
eli inna masa m2 uzyskuje inne przyspieszenie a2 to
m2 'M
Z
m2a2 = G
2
RZ
Dzieląc te równania przez siebie otrzymamy
m1a1 m1'
=
m2a2 m2 '
Widzimy, \
e je\
eli wszystkie ciała spadają z tym samym przyspieszeniem a1 = a2 = g to
stosunek mas bezwładnych jest równy stosunkowi mas grawitacyjnych. Je\
eli dla jednej
substancji ustalimy, \
e masa bezwładna jest równa masie grawitacyjnej to prawdziwe to
będzie dla wszystkich substancji. Aktualnie jesteśmy w stanie stwierdzić, \
e a1 = a2 z
dokładnością 10-10. Te wyniki sugerują, \
e masa bezwładna jest równa masie grawita-
cyjnej. To stwierdzenie nazywa się zasadą równowa\
ności.
KonsekwencjÄ… jest to, \
e nie mo\
na rozró\
nić między przyspieszeniem układu (labora-
torium), a przyspieszeniem grawitacyjnym. Ta zasada jest punktem wyjścia ogólnej teo-
rii względności Einsteina.
6.5 Pole grawitacyjne
Na przykładzie sił grawitacyjnych omówimy wa\
ne w fizyce pojęcie pola. Nasze
rozwa\
ania rozpoczynamy od umieszczenia masy M w początku układu. W punkcie
przestrzeni opisanym wektorem r znajduje siÄ™ natomiast masa m. Wektor r opisuje po-
Å‚o\
enie masy m względem masy M więc siłę oddziaływania grawitacyjnego między tymi
masami (równanie 6.1) mo\
emy zapisać w postaci wektorowej
Mm r Mm
F = -G = -G r (6.2)
2 3
r r r
Zwróćmy uwagę, \
e siłę tę mo\
emy potraktować jako iloczyn masy m i wektora ł(r)
Å‚
Å‚
Å‚
przy czym
F M
Å‚ (r) = = -G r (6.3)
3
m r
Je\
eli w punkcie r umieścilibyśmy inną masę np. m' to ponownie moglibyśmy zapisać
siłę jako iloczyn masy m' i tego samego wektora ł
Å‚(r)
Å‚
Å‚
F'= m'Å‚ (r)
6-7
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Widzimy, \
e wektor Å‚(r) nie zale\
y od obiektu na który działa siła (masy m) ale zale\
y
Å‚
Å‚
Å‚
od z
ródła siły (masa M) i charakteryzuje przestrzeń otaczającą z
ródło (wektor r). Ozna-
cza to, \
e masa M stwarza w punkcie r takie warunki, \
e umieszczona w nim masa m
odczuje działanie siły. Inaczej mówiąc masie M przypisujemy obszar wpływu (działa-
nia), czyli pole.
Zwróćmy uwagę, \
e rozdzieliliśmy siłę na dwie części. Stwierdzamy, \
e jedna masa
wytwarza pole, a następnie to pole działa na drugą masę. Taki opis pozwala uniezale\
-
nić się od obiektu (masy m) wprowadzanego do pola.
Z pojęcia pola korzysta się nie tylko w związku z grawitacją. Jest ono bardzo
u\
yteczne równie\
przy opisie zjawisk elektrycznych i magnetycznych. y
ródłami i
obiektami działania pola elektrycznego są ładunki w spoczynku, a pola magnetycznego
ładunki w ruchu. Właściwości pól wytwarzanych przez ładunki elektryczne omówimy w
dalszych rozdziałach.
Chocia\
pole jest pojęciem abstrakcyjnym jest bardzo u\
yteczne i znacznie
upraszcza opis wielu zjawisk. Na przykład gdy mamy do czynienia z wieloma masami,
mo\
emy najpierw obliczyć w punkcie r pole pochodzące od tych mas, a dopiero potem
siłę działającą na masę umieszczoną w tym punkcie.
Z polem sił wią\
e się nie tylko przestrzenny rozkład wektora natę\
enia pola, ale
równie\
przestrzenny rozkład energii. Właśnie zagadnieniom dotyczącym pracy i energii
są poświecone następne rozdziały.
6.5.1 Pole grawitacyjne wewnÄ…trz kuli
Rozpatrzmy teraz pole czaszy kulistej o masie m i promieniu R. Dla r > R pole jest
równe Gm/r2 tj. tak jakby cała masa była skupiona w środku kuli (przykład z satelitą).
Jakie jest jednak pole wewnÄ…trz czaszy?
Rozwa\
my przyczynki od dwóch le\
Ä…cych naprzeciwko siebie powierzchni A1 i A2
w punkcie P wewnÄ…trz czaszy. Fragment A1 czaszy jest z
ródłem siły F1 ~ A1/(r1)2 cią-
gnÄ…cej w lewo. Powierzchnia A2 jest z
ródłem siły ciągnącej w prawo F2 ~ A2/(r2)2 .
Mamy więc
F1 A1 r22
=
F2 A2 r12
A1
A2
Z rozwa\
ań geometrycznych widać, \
e
r1
P
r2
A1 r12
=
A2 r22
(pola powierzchni sto\
ków ~ do kwadratu wymiarów liniowych)
Po podstawieniu do pierwszego równania otrzymujemy
F1
= 1
F2
Tak więc wkłady wnoszone przez A1 i A2 znoszą się. Mo\
na w ten sposób podzielić całą
czaszę i uzyskać siłę wypadkową równą zero. Tak więc wewnątrz czaszy pole grawita-
6-8
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
cyjne jest równe zeru. Pole wewnątrz czaszy mającej skorupę dowolnej grubości te\
jest
zero bo mo\
emy podzielić tę skorupę na szereg cienkich warstw koncentrycznych.
Na rysunku obok przedstawiono pełną kulę o pro-
mieniu R i masie M. W punkcie P pole pochodzÄ…ce
P od zewnętrznej warstwy jest zerem. Pole pochodzi
więc tylko od kuli o promieniu r czyli
r
a = Gm/r2 lub a = GÁV/r2
R
M
Dla kuli V = 4Ä„r3/3. GÄ™stość Á = wiÄ™c pole
4
Ä„R3
3
M
w punkcie P wynosi a = G r
R3
Widzimy, \
e pole zmienia siÄ™ liniowo z r.
a
g
~1/r2
~r
r
RZ
6-9