Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 6
6. Ciążenie powszechne (grawitacja)
6.1 Prawo powszechnego ciążenia
Newton - 1665 spadanie ciał. Skoro istnieje siła przyciągania pomiędzy dowolnym
ciałem i Ziemią, to musi istnieć siła między każdymi dwoma masami m1 i m2. Skoro siła
jest proporcjonalna do masy ciała to musi być proporcjonalna do każdej z mas m1 i m2
oddzielnie czyli:
F <" m1m2
Newton zastanawiał się również, czy siła działająca na ciała będzie malała wraz ze
wzrostem odległości. Doszedł do wniosku, że gdyby ciało znalazło się w odległości ta-
kiej jak Księżyc to będzie ono miało takie samo przyspieszenie jak Księżyc bowiem
natura siły grawitacyjnej pomiędzy Ziemią i Księżycem jest taka sama jak pomiędzy
Ziemią i każdym ciałem.
Przykład 1
Obliczmy jakie jest przyspieszenie Księżyca i jaki jest stosunek przyspieszenia
Księżyca do przyspieszenia grawitacyjnego przy powierzchni Ziemi?
Zastosujemy równanie na przyspieszenie dośrodkowe (wykład 3 - ruch jednostajny po
okręgu). Wówczas:
2 2
v 4Ä„ RK
2
a = = É RK =
2
RK T
gdzie RK jest odlegÅ‚oÅ›ciÄ… od Ziemi do Księżyca. Ta odlegÅ‚ość wynosi 3.86·105 km,
a okres obiegu Księżyca T = 27.3 dnia. Otrzymujemy więc
a = 2.73·10-3 m/s2
W pobliżu powierzchni Ziemi przyspieszenie wynosi 9.8 m/s2. Stąd stosunek przyspie-
szeń wynosi:
a/g = 1/3590 E" (1/60)2
2 2
W granicach błędu a/g = RZ / RK .
Newton wykonał takie obliczenia i wyciągnął wniosek, że siła przyciągania między
dwoma masami maleje odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odległości między nimi
(odległość między środkami mas). Sformułował więc prawo powszechnego ciążenia
m1m2
F ~
2
r
Stałą proporcjonalności oznacza się G, więc
6-1
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
m1m2
F = G (6.1)
2
r
Newton oszacowaÅ‚ wartość staÅ‚ej G zakÅ‚adajÄ…c Å›redniÄ… gÄ™stość Ziemi Á = 5·103 kg/m3
(porównać to z gÄ™stoÅ›ciÄ… pierwiastków z ukÅ‚adu okresowego np. ÁSi = 2.8·103 kg/m3,
ÁFe = 7.9·103 kg/m3).
Punktem wyjścia jest równanie:
m1m2
F = G
2
r
Jeżeli wez
miemy r = RZ to otrzymamy:
m1m2
F = G
2
RZ
Zgodnie z II zasadÄ… Newtona F = ma, gdzie a = g.
StÄ…d
m1m2
G = mg
2
RZ
więc
2
gRZ
G =
M
Z
Wiemy, że MZ = ÁVZ wiÄ™c
2
gRZ 3g
G = =
4
3
Á Ä„RZ 4Ä„ÁRZ
3
UwzglÄ™dniajÄ…c RZ = 6.37·106 m otrzymamy G = 7.35·10-11 Nm2/kg2 co jest wartoÅ›ciÄ…
tylko o 10% wiÄ™kszÄ… niż ogólnie przyjÄ™ta wartość 6.67·10-11 Nm2/kg2.
Porównując przyspieszenie grawitacyjne na orbicie Księżyca i na powierzchni Ziemi,
Newton zakładał, że Ziemia zachowuje się tak jakby jej cała masa była skupiona w
środku. Zgadywał, że tak ma być ale dowód matematyczny przeprowadził dopiero 20
lat póz
niej (wtedy też sformułował rachunek całkowy).
Równanie (6.1) nazywa się prawem powszechnego ciążenia, ponieważ dokładnie to sa-
mo prawo stosuje się do wszystkich sił grawitacyjnych. To samo prawo wyjaśnia spada-
nie ciał na Ziemię, tłumaczy ruch planet, pozwala obliczyć ich masy i okresy obiegu.
Przykład 2
Jaki był okres obiegu Księżyca przez moduł statku Apollo?
F = ma
6-2
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
M m
K
F = G
R2
gdzie MK jest masą Księżyca, a R promieniem orbity po jakiej krąży moduł o masie m.
Ponieważ przyspieszenie
2
4Ä„ R
a =
2
T
więc
2
M m ëÅ‚ öÅ‚
4Ä„ R
K
ìÅ‚ ÷Å‚
G = mìÅ‚ 2 ÷Å‚
R2 íÅ‚ T
Å‚Å‚
2
4Ä„ R3
2
T =
GM
K
R3
T = 2Ä„
GM
K
PodstawiajÄ…c wartoÅ›ci liczbowe: promieÅ„ Księżyca R = 1740 km, masÄ™ MK = 7.35·1022
kg i G = 6.67·10-11 Nm2/kg2, otrzymamy T = 6.5·103 s czyli 108 minut.
6.2 Doświadczenie Cavendisha
Newton obliczył wartość stałej G na podstawie przyjętego założenia o średniej war-
tości gęstości Ziemi. Gdyby Ziemia miała tak jak gwiazdy jądro o super wielkiej gęsto-
ści to wynik uzyskany przez Newtona byłby obarczony dużym błędem. Czy można wy-
znaczyć stałą G w laboratorium niezależnie od masy Ziemi i tym samym uniknąć błędu
związanego z szacowaniem gęstości Ziemi?
W tym celu trzeba zmierzyć siłę oddziaływania dwóch mas m1 i m2 umieszczonych
w odległości x (rysunek).
m1 m2
F F
x
Wówczas siła
F = Gm1m2/x2
czyli
Fx2
G =
m1m2
6-3
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Zauważmy, że dla mas każda po 1 kg oddalonych od siebie o 10 cm siła F ma wartość
F = 6.67·10-9 N tj. 109 razy mniej niż ciężar 1 kg i jest za maÅ‚a by jÄ… wykryć (dokÅ‚adnie)
zwykłymi metodami.
Problem ten rozwiązał Henry Cavendish w 1797 r. Wykorzystał on fakt, że siła po-
trzebna do skręcenia długiego, cienkiego włókna kwarcowego o kilka stopni jest bardzo
mała. Cavendish najpierw wykalibrował włókna, a następnie zawiesił na nich pręt z
dwiema małymi kulkami ołowianymi na końcach (rysunek a). Następnie w pobliżu każ-
dej z kulek umieścił większą kulę ołowianą i zmierzył precyzyjnie kąt o jaki obrócił się
prÄ™t (rysunek b). Pomiar wykonane metodÄ… Cavendisha dajÄ… wartość G = 6.67·10-11
Nm2/kg2.
b)
a)
m
M
M
m
Ä…
6.2.1 Ważenie Ziemi
Mając już godną zaufania wartość G, Cavendish wyznaczył MZ z równania:
2
gRZ
M =
Z
G
Wynik pomiaru jest równie dokładny jak wyznaczenia stałej G. Cavendish wyznaczył
też masę Słońca, Jowisza i innych planet, których satelity zostały zaobserwowane. Np.
na rysunku poniżej niech M będzie masą Słońca, a m masą planety krążącej wokół
Słońca np. Ziemi.
6-4
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
M
R
m
Wtedy
F = GMm/R2
Ponieważ przyspieszenie
a = 4Ä„2R/T
to z równania F = ma otrzymujemy
2
ëÅ‚ öÅ‚
Mm 4Ä„ R
ìÅ‚ ÷Å‚
G = mìÅ‚ 2 ÷Å‚
R2 íÅ‚ T
Å‚Å‚
czyli
2
4Ä„ R3
M =
2
GT
Jeżeli R jest odległością Ziemia - Słońce, T = 1 rok, to M jest masą Słońca. Podobne
obliczenia można przeprowadzić dla innych planet.
6.3 Prawa Keplera ruchu planet
Zanim Newton zapostulował prawo powszechnego ciążenia, Johannes Kepler
stwierdził, że ruch planet stosuje się do trzech prostych praw. Prawa Keplera wzmocni-
ły hipotezę Kopernika. Praca Keplera (1609 - 1619) była wielkim odkryciem i aktem
odwagi zwłaszcza po tym jak w 1600 roku spalono na stosie Giordana Bruno zwolenni-
ka systemu heliocentrycznego. Przypomnijmy, że nawet Galileusz został zmuszony do
publicznego odwołania swoich poglądów (1633 r) mimo, że papież był jego przyjacie-
lem.
Dogmatem wtedy był pogląd, że planety poruszają się wokół Ziemi po skomplikowa-
nych torach, które są złożeniem pewnej liczby okręgów. Np. do opisania orbity Marsa
trzeba było około 12 okręgów różnej wielkości.
Kepler poszukiwał nieskomplikowanej geometrycznie orbity, żeby udowodnić że Mars
i Ziemia muszą obracać się wokół Słońca. Po latach pracy odkrył trzy proste prawa,
które zgadzały się z wynikami pomiarowymi pozycji planet z bardzo dużą dokładno-
ścią. Te prawa stosują się też do satelitów okrążających jakąś planetę.
6-5
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
" Pierwsze prawo Keplera
Każda planeta krąży po orbicie eliptycznej, ze Słońcem w jednym z ognisk tej elipsy.
" Drugie prawo Keplera (prawo równych pól)
Linia łącząca Słońce i planetę zakreśla równe pola w równych odstępach czasu.
" Trzecie prawo Keplera
Sześciany półosi wielkich orbit dowolnych dwóch planet mają się do siebie jak kwadra-
ty ich okresów obiegu. (Półoś wielka jest połową najdłuższej cięciwy elipsy).
3
R1 T12
Dla orbit kołowych =
3
R2 T22
Newton rozwijając swoją teorię potrafił dowieść, że tylko wtedy, gdy siła jest odwrotnie
proporcjonalna do kwadratu odległości, orbita dowolnej planety jest elipsą ze Słońcem
3
R1 T12
w jednym z ognisk oraz, że = . Newton wyprowadził prawa Keplera z zasad dy-
3
R2 T22
namiki. Przykładowo wyprowadz
my III prawo Keplera dla planet poruszajÄ…cych siÄ™ po
orbitach kołowych.
Korzystając z otrzymanego uprzednio wzoru na masę Słońca otrzymamy dla pierwszej
planety:
2 3
4Ä„ R1
M =
GT12
a dla drugiej
2 3
4Ä„ R2
M =
GT22
Porównując otrzymamy
3 3 3
R1 R2 R1 T12
= czyli =
3
T12 T22 R2 T22
Drugie prawo Keplera wynika z zasady zachowania pędu (dowód można pominąć).
6.4 Ciężar
Ciężar zazwyczaj definiujemy jako siłę ciążenia działającą na ciało. W pobliżu po-
wierzchni Ziemi dla ciała o masie m będzie ona równa mg. Na Księżycu ciężar jest
mniejszy w porównaniu z ciężarem na Ziemi około sześć razy.
M m
K
G
2 2
FK RK M RZ
K
= = = 0.165
2
FZ G M Z m M RK
Z
2
RZ
Definicja ciężaru może być myląca. Np. astronauta pomimo, że działa na niego jeszcze
siła ciążenia uważa, że jest w stanie nieważkości. Fizjologiczne odczucie ciężaru czyli
ile siły trzeba włożyć np. do podniesienia ręki.
6-6
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
6.4.1 Ciężar pozorny, masa bezwładna i masa grawitacyjna
Ważną konsekwencją tego, że siła grawitacyjna działająca na ciało jest proporcjo-
nalna do jego masy, jest możliwość pomiaru masy za pomocą mierzenia siły grawita-
cyjnej. Można to zrobić używając wagi sprężynowej albo porównując siły grawitacyjne
działające na masę znaną (wzorzec) i na masę nieznaną innymi słowy ważąc ciało na
wadze. Powstaje pytanie czy w obu metodach mierzymy tę samą właściwość. Np. gdy
spróbujemy pchnąć klocek po idealnie gładkiej poziomej powierzchni to wymaga to
pewnego wysiłku, a przecież ciążenie nie pojawia się tu w ogóle. Konieczność przyło-
żenia siły jest związana z masą. Ta masa występuje we wzorze F = ma. Nazywamy ją
masą bezwładną m. W innej sytuacji utrzymujemy ten klocek uniesiony w górę w stanie
spoczynku. Bezwładność nie odgrywa tu żadnej roli bo ciało nie przyspiesza, jest w
spoczynku. Ale musimy używać siły o wartości równej przyciąganiu grawitacyjnemu
między ciałem i Ziemią, żeby ciało nie spadło. Odgrywa tu rolę ta właściwość ciała,
która powoduje jego przyciąganie przez inne obiekty takie jak Ziemia i siła jest tu dana
wzorem
m'M
Z
F = G
2
RZ
gdzie m' jest masą grawitacyjną. Czy m i m' ciała są sobie równe?
Masa bezwładna m1 spadając swobodnie w pobliżu powierzchni Ziemi ma przyspiesze-
nie a1, przy czym
m1' M
Z
m1a1 = G
2
RZ
jeżeli inna masa m2 uzyskuje inne przyspieszenie a2 to
m2 'M
Z
m2a2 = G
2
RZ
Dzieląc te równania przez siebie otrzymamy
m1a1 m1'
=
m2a2 m2 '
Widzimy, że jeżeli wszystkie ciała spadają z tym samym przyspieszeniem a1 = a2 = g to
stosunek mas bezwładnych jest równy stosunkowi mas grawitacyjnych. Jeżeli dla jednej
substancji ustalimy, że masa bezwładna jest równa masie grawitacyjnej to prawdziwe to
będzie dla wszystkich substancji. Aktualnie jesteśmy w stanie stwierdzić, że a1 = a2 z
dokładnością 10-10. Te wyniki sugerują, że masa bezwładna jest równa masie grawita-
cyjnej. To stwierdzenie nazywa się zasadą równoważności.
Konsekwencją jest to, że nie można rozróżnić między przyspieszeniem układu (labora-
torium), a przyspieszeniem grawitacyjnym. Ta zasada jest punktem wyjścia ogólnej teo-
rii względności Einsteina.
6-7
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
6.5 Pole grawitacyjne
Na przykładzie sił grawitacyjnych omówimy ważne w fizyce pojęcie pola. Nasze
rozważania rozpoczynamy od umieszczenia masy M w początku układu. W punkcie
przestrzeni opisanym wektorem r znajduje siÄ™ natomiast masa m. Wektor r opisuje po-
łożenie masy m względem masy M więc siłę oddziaływania grawitacyjnego między ty-
mi masami (równanie 6.1) możemy zapisać w postaci wektorowej
Mm r Mm
F = -G = -G r (6.2)
2
r r r3
Zwróćmy uwagę, że siłę tę możemy potraktować jako iloczyn masy m i wektora ł(r)
przy czym
F M
Å‚ (r) = = -G r (6.3)
m r3
Jeżeli w punkcie r umieścilibyśmy inną masę np. m' to ponownie moglibyśmy zapisać
siłę jako iloczyn masy m' i tego samego wektora ł(r)
F'= m'Å‚ (r)
Widzimy, że wektor ł(r) nie zależy od obiektu na który działa siła (masy m) ale zależy
od z
ródła siły (masa M) i charakteryzuje przestrzeń otaczającą z
ródło (wektor r). Ozna-
cza to, że masa M stwarza w punkcie r takie warunki, że umieszczona w nim masa m
odczuje działanie siły. Inaczej mówiąc masie M przypisujemy obszar wpływu (działa-
nia), czyli pole.
Zwróćmy uwagę, że rozdzieliliśmy siłę na dwie części. Stwierdzamy, że jedna masa
wytwarza pole, a następnie to pole działa na drugą masę. Taki opis pozwala uniezależ-
nić się od obiektu (masy m) wprowadzanego do pola.
Z pojęcia pola korzysta się nie tylko w związku z grawitacją. Jest ono bardzo uży-
teczne również przy opisie zjawisk elektrycznych i magnetycznych. y
ródłami i obiek-
tami działania pola elektrycznego są ładunki w spoczynku, a pola magnetycznego ła-
dunki w ruchu. Właściwości pól wytwarzanych przez ładunki elektryczne omówimy w
dalszych rozdziałach.
Chociaż pole jest pojęciem abstrakcyjnym jest bardzo użyteczne i znacznie uprasz-
cza opis wielu zjawisk. Na przykład gdy mamy do czynienia z wieloma masami, mo-
żemy najpierw obliczyć w punkcie r pole pochodzące od tych mas, a dopiero potem siłę
działającą na masę umieszczoną w tym punkcie.
Z polem sił wiąże się nie tylko przestrzenny rozkład wektora natężenia pola, ale
również przestrzenny rozkład energii. Właśnie zagadnieniom dotyczącym pracy
i energii są poświecone następne rozdziały.
6.5.1 Pole grawitacyjne wewnÄ…trz kuli
Rozpatrzmy teraz pole czaszy kulistej o masie m i promieniu R. Dla r > R pole jest
równe Gm/r2 tj. tak jakby cała masa była skupiona w środku kuli (przykład z satelitą).
Jakie jest jednak pole wewnÄ…trz czaszy?
6-8
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Rozważmy przyczynki od dwóch leżących naprzeciwko siebie powierzchni A1 i A2
w punkcie P wewnątrz czaszy (rysunek poniżej). Fragment A1 czaszy jest z
ródłem siły
F1 ~ A1/(r1)2 ciÄ…gnÄ…cej w lewo. Powierzchnia A2 jest z
ródłem siły ciągnącej w prawo F2
~ A2/(r2)2 .
A1
A2
r1
P
r2
Mamy więc
F1 A1 r22
=
F2 A2 r12
Z rozważań geometrycznych widać, że
A1 r12
=
A2 r22
(pola powierzchni stożków ~ do kwadratu wymiarów liniowych)
Po podstawieniu do pierwszego równania otrzymujemy
F1
= 1
F2
Tak więc wkłady wnoszone przez A1 i A2 znoszą się. Można w ten sposób podzielić całą
czaszę i uzyskać siłę wypadkową równą zero. Tak więc wewnątrz czaszy pole grawita-
cyjne jest równe zeru. Pole wewnątrz czaszy mającej skorupę dowolnej grubości też jest
zero bo możemy podzielić tę skorupę na szereg cienkich warstw koncentrycznych.
Na rysunku poniżej przedstawiono pełną kulę o promieniu R i masie M.
P
r
R
W punkcie P pole pochodzące od zewnętrznej warstwy jest zerem. Pole pochodzi więc
tylko od kuli o promieniu r czyli
a = Gm/r2 lub a = GÁV/r2
6-9
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
M M
Dla kuli V = 4Ä„r3/3. GÄ™stość Á = wiÄ™c pole w punkcie P wynosi a = G r
4
R3
Ä„R3
3
Widzimy, że pole zmienia się liniowo z r.
a
g
~1/r2
~r
r
R
Z
6-10