Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol
METODA ELEMENTÓW SKOC
CZONYCH W
WYBRANYCH ZAGADNIENIACH MECHANIKI
KONSTRUKCJI INŻYNIERSKICH
Politechnika Poznańska 2003 r.
Alma Mater
PRZEDMOWA 1


Przedmowa do wydania elektronicznego Alma Mater
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
SPIS Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol 1
TREŚCI METODA ELEMENTÓW SKOC
CZONYCH W WYBRANYCH ZAGADNIENIACH
MECHANIKI KONSTRUKCJI INŻYNIERSKICH
Przedmowa Okładka
Przedmowa Okładka
SPIS TREŚCI
1. Wstęp
2. Wprowadzenie
2.1. Czym jest MES
2.2. Co zawiera opracowanie
3. Kratownica jako bezpośrednia ilustracja metody
3.1. Sztywność elementu w globalnym układzie współrzędnych
3.2. Scalenie czyli agregacja macierzy sztywności układu
3.3. Modyfikacja układu równań przez wprowadzenie warunków brzegowych
3.4. Odpowiedz
układu i podsumowanie głównych kroków metody
3.5. Układ współrzędnych lokalnych i globalnych oraz transformacja wektorów i macierzy
4. Metody aproksymacyjnego rozwiązywania równań różniczkowych
4.1. Uwagi wstępne i koncepcje podstawowe
4.1.1 Metoda Ritza
4.1.2. Metoda wariacyjna Rayleigha-Ritza
4.2 Metoda ważonych reziduów
4.2.1. Punkt kollokacji
4.2.2. Podobszar kollokacji
4.2.3. Metoda najmniejszych kwadratów
4.2.4. Metoda Galerkina
4.2.5. Przykład MES w aproksymacji Galerkina
5. Podstawowe sformułowania metody elementów skończonych w nawiązaniu do
równań mechaniki kontinuum
5.1 Podstawowe równania liniowej sprężystości
5.1.1 Podstawowe równania w zapisie wskaz
nikowym
5.1.2 Podstawowe równania w zapisie macierzowym
5.2. Analiza przybliżona problemu brzegowego
5.3. Podstawy MES wynikające z równania pracy wirtualnej
5.4. Podstawy MES wyprowadzone z twierdzenia o minimum całkowitej energii potencjalnej
5.5. Podsumowanie
6. Płaski stan naprężenia i odkształcenia
6.1. Podsumowanie równań opisujących płaskie stany
6.2. Elementy trójkątne płaskiego stanu naprężeń i odkształceń
6.2.1. Trójwęzłowy element o stałych odkształceniach
6.2.2. Sześciowęzłowy element trójkątny o liniowej zmianie odkształceń
6.3. Elementy czworokątne płaskiego stanu naprężeń i odkształceń
6.3.1. Element czworokątny biliniowy
6.3.2. Elementy czworokątne składane z elementów trójkątnych
6.4. Wyjaśnienia końcowe i podsumowanie
7. Sformułowanie izoparametryczne
7.1. Współrzędne naturalne
7.2. Element czworokątny
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
SPIS Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol 2
TREŚCI METODA ELEMENTÓW SKOC
CZONYCH W WYBRANYCH ZAGADNIENIACH
MECHANIKI KONSTRUKCJI INŻYNIERSKICH
7.3. Element trójkątny
7.4. Element ośmiowęzłowy Q8
7.5. Izoparametryczny element przestrzenny  sześciościan
7.6. Całkowanie numeryczne
7.7. Błędy w rozwiązaniach MES
7.8. Uwagi końcowe
8. Elementy płytowe i powłokowe
8.1. Naprężenia i odkształcenia płyt cienkich (Kirchhoffa)
8.2. Wybrane elementy płytowe
8.2.1. Niedostosowany element prostokątny
8.2.2. Dostosowany element prostokątny
8.2.3. Element trójkątny
8.3.Element trójkątny powłokowy
9. Wybrane zagadnienia dynamiki konstrukcji
9.1. Zagadnienia własne w dynamice konstrukcji
9.2. Transformacja uogólnionego problemu własnego do postaci standardowej
9.3. Metody całkowania równań ruchu
9.3.1. Metody całkowania bezpośredniego
9.3.2. Metoda superpozycji modalnej
10. Wybrane zagadnienia stateczności konstrukcji
10.1. Podstawowe elementy teorii stateczności konstrukcji
10.2. Stany krytyczne układów zachowawczych
10.3. Sformułowanie macierzy dla płaskiego elementu belkowego
10.4. Sformułowanie macierzy dla elementu płytowego
10.5. Uwagi końcowe
11. Uwagi o komputerowych obliczeniach metodą elementów skończonych
12. Literatura
Dodatki
A. Rozwiązanie układu równań liniowych algebraicznych
B. Całkowanie numeryczne w przestrzeni dwuwymiarowej
C. Rozwiązanie uogólnionego problemu własnego metodą iteracji odwrotnych
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
1. WST
P 1
1.


WST
P
Rozwój metody elementów skończonych (MES) datuje się od połowy lat sześćdziesiątych,
choć co prawda podaje się nazwisko Couranta, który jako matematyk w 1942 roku opublikował pra-
cę uważaną dziś za pionierską w tej dziedzinie. Należy jednak podkreślić, że rozwój metody jest za-
sługą zarówno matematyków, jak i inżynierów mechaników, zmagających się z trudnymi proble-
mami praktycznymi. Chęć dokonania analizy takich konstrukcji jak samoloty, pojazdy kosmiczne,
konstrukcje budowli towarzyszące reaktorom atomowym, czy platformy do wydobywania ropy naf-
towej z dna mórz wywołała wielkie zainteresowanie metodą elementów skończonych i spowodowa-
ła podjęcie prac nad oprogramowaniem komputerowym.
Obecnie co roku ukazuje się ogromna liczba prac naukowych, które w mniejszym lub więk-
szym stopniu dotyczą problematyki związanej z metodą elementów skończonych. Wobec szybkiego
rozwoju i dostępności sprzętu komputerowego rozwiązywanie coraz to trudniejszych problemów
algebraicznych nie stwarza już większych kłopotów. W naturalny sposób to, co przed kilku laty by-
ło wyłączną domeną ośrodków komputerowych, staje się teraz powszechną praktyką inżynierską.
Ta rewolucja dzieje się za przyczyną niewiarygodnego postępu w elektronice i jest niejako pochod-
ną rewolucji mikroprocesorowej. Daje ona projektantom do ręki bardzo dobre narzędzia pracy, ja-
kimi są mikrokomputery. Posługiwanie się tymi najnowszymi zdobyczami techniki wymaga od in-
żynierów specjalnego przygotowania, takiego, by korzystanie z nich otwierało nowe horyzonty po-
znawania zjawisk czy podejmowania problemów dotąd nie rozwiązanych.
Razem z rozwojem metody elementów skończonych dla wielu problemów mechaniki pojawi-
ła się szansa ich realnego rozwiązania. Dotąd, ze względu na trudności w jednoczesnym spełnieniu
wszystkich wymagań narzucanych na własności rozwiązań, tylko nieliczna grupa zadań była roz-
wiązywana analitycznie. Większość problemów z inżynierskiej praktyki, charakteryzująca się skom-
plikowanymi warunkami brzegowymi i sformułowana w kategoriach analizy matematycznej, nie mo-
gła być w ogóle rozwiązana. Dopiero pojawienie się metod nawiązujących do dyskretyzacji, a co za
tym idzie do zmiany formy matematycznego opisu problemów (z analitycznego na algebraiczny)
umożliwiło podejmowanie tych skomplikowanych zadań.
Niniejszy skrypt przeznaczony jest dla studentów budownictwa lądowego (także wydziałów
mechanicznych) i stanowi wprowadzenie do rozległej tematyki związanej z analizą konstrukcji za
pomocą metody elementów skończonych. Skrypt ten nie ma stanowić kompendium wiedzy na temat
MES, lecz ma być pomocą do wykładów. Wiele elementów zawartych w tym opracowaniu wymaga
obszernego komentarza, którego Czytelnik w nim nie znajdzie. Uważamy, że te właśnie komentarze
mogą stanowić dodatkową treść wykładu i ćwiczeń niezbędnych do nabrania biegłości. Skrypt po-
wstał jako zbiór notatek autorów do prowadzenia wykładu na temat MES w ramach tzw. wykładów
obieralnych l w ramach studium podyplomowego dla inżynierów środowiska poznańskiego.
Pragniemy wyrazić podziękowanie Panu Prof. Michałowi Kleiberowi, recenzentowi tego skryp-
tu, którego uwagi przyczyniły się do poprawienia prezentacji zawartego materiału. Bardzo przydało
się nam doświadczenie, które nabyliśmy w trakcie wykonywania przez naszych studentów prac dy-
plomowych, związanych z zastosowaniem MES w budownictwie. Tym naszym młodszym kolegom, z
którymi spędziliśmy długie godziny na dyskusjach i przy komputerach, składamy więc niniejszym
podziękowanie. Dziękujemy też studentom koła naukowego, zapaleńcom, dzięki którym znajdujemy
satysfakcję z uprawianej przez nas dydaktyki. Dziękujemy także wszystkim naszym przyjaciołom z
Pracowni Metod Komputerowych Instytutu Technologii i Konstrukcji Budowlanych PP, na których
pomoc, merytoryczną dyskusję i zaangażowanie w pracę służącą słusznej sprawie mogliśmy zawsze
liczyć. Dziękujemy także programowi edukacyjnemu TEMPUS - JEP - 0369 -90, który wspierał wy-
danie tego skryptu. Dziękujemy naszym żonom Annom.
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
2. WPROWADZENIE 1
2.


WPROWADZENIE
2.1. Czym jest MES
Element skończony jest podobszarem zdyskretyzowanego kontinuum. Jego wymiar jest skończony
(nie jest infinitezymalnie mały), a jego kształt jest zwykle prostszy od kształtu geometrii problemu, który jest
idealizowany. Najważniejszą cechą metody elementów skończonych (lub metody elementu skończonego)
jest możliwość zastąpienia problemu analitycznego, zapisywanego za pomocą równań różniczkowych, pro-
blemem algebraicznym. Zabieg ten znacznie upraszcza postępowanie prowadzące do rozwiązania problemu,
a w wielu przypadkach, szczególnie w zastosowaniach rzeczywistych problemów inżynierskich, umożliwia
w ogóle znalezienie satysfakcjonujących wyników.
Podkreślmy, że klasyczna analiza problemów mechaniki ośrodków ciągłych wymaga znalezienia
funkcji pól naprężeń, odkształceń i przemieszczeń, które spełniają równania różniczkowe równowagi, zależ-
ności konstytutywne oraz warunki zgodności geometrycznej w każdym punkcie obszaru, włączając w to
również brzegi. Te niezwykle silne ograniczenia spowodowały, że klasycznych rozwiązań analitycznych jest
bardzo mało. Ponadto dyskretyzacja równań różniczkowych za pomocą metody różnic skończonych ma za-
sadniczą wadę, polegającą na trudnościach w modelowaniu warunków brzegowych co wiedzie do wyników
obarczonych dużymi błędami.
Metoda elementów skończonych opiera się na przyjęciu aproksymacji pola przemieszczeń lub pola
naprężeń czy też połączeniu tych przybliżeń w każdym elemencie. My ograniczymy się w tym opracowaniu
do tak zwanego sformułowania przemieszczeniowego, zakładającego wyłącznie funkcje aproksymujące
właśnie pole przemieszczeń.
Jakkolwiek zasadniczą dziedziną aplikacji stosowanej tu metody jest mechanika konstrukcji inżynier-
skich, to nie chcielibyśmy, by Czytelnik odniósł wrażenie, że metoda ta służy wyłącznie do rozwiązywania
zadań inżynierskich. Jest to główna przyczyna, dla której umieszczono w tym opracowaniu rozdział 4,
pokazujący aproksymacyjne podejścia do problemu rozwiązywania równań różniczkowych.
W sytuacji, gdy mówimy o konstrukcji i zakładamy funkcje aproksymujące przemieszczenia w ele-
mentach, niezbędne są następujące kroki prowadzące do rozwiązania problemu, na przykład statyki kon-
strukcji:
1. dokonać podziału kontinuum (rama, płyta, tarcza) na skończoną liczbę podobszarów (elemen-
tów) o nieskomplikowanej geometrii (trójkąty, czworokąty itp.),
2. wybrać szczególne punkty (węzły) w tych elementach, w których będą wymuszone warunki
równowagi i zgodności,
3. założyć funkcje przemieszczeń w każdym elemencie, tak by przemieszczenia dowolnego
punktu elementu zależały tylko od przemieszczeń jego węzłów (poszukiwane będą przemiesz-
czenia wszystkich węzłów układu),
4. spełnić zależności odkształcenie-przemieszczenie i naprężenie-odksztalcenie dla elementów,
5. wyznaczyć sztywność i równoważne obciążenia węzłowe dla elementu na podstawie
równania pracy wirtualnej lub zasad energetycznych,
6. ułożyć równania równowagi węzłów zdyskretyzowanego układu na podstawie informacji
z poziomu elementów,
7. rozwiązać układ równań równowagi (równania liniowe algebraiczne), znajdując prze-
mieszczenia wszystkich węzłów,
8. obliczyć naprężenia w wybranych punktach elementów,
9. wyznaczyć reakcje w węzłach podporowych.
W wielu zastosowaniach inżynierskich podział kontinuum na elementy narzuca się niejako sam, głów-
nie w przypadkach, gdy struktura składa się z elementów prostych (kratownic, ram). W innych przypadkach
złożonych stanów naprężeń podział ten wcale nie jest taki oczywisty. Trzeba dysponować dużym doświad-
czeniem, by umieć dobrze zasugerować dyskretyzację. Przykłady dyskretyzacji różnych układów konstruk-
cyjnych pokazano na rysunku 2.1.
Większość wymienionych wyżej punktów mogłaby stać się przedmiotem osobnych opracowań i każde
z nich zawierałoby wiele szczegółów, których nie sposób było zamieścić w tym opracowaniu. Zdajemy sobie
sprawę, że chcąc poruszyć tyle ważnych z inżynierskiego punktu widzenia problemów, musieliśmy dokonać
pewnego wyboru.
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
2. WPROWADZENIE 2
Rys. 2.1. Dyskretyzacja konstrukcji
2.2. Co zawiera opracowanie
Poruszane problemy dotyczą elementów mechaniki, w związku z czym znacznym ułatwieniem dla
Czytelnika byłoby przypomnienie zagadnień z kursów wytrzymałości materiałów, mechaniki budowli i teorii
sprężystości. W ogóle uważamy, że w prawidłowo zorganizowanym procesie dydaktycznym wszelkie sfor-
mułowania numeryczne problemów inżynierskich powinny być poprzedzone gruntowną wiedzą "klasyczną".
Niezwykle pomocna może tu być wiedza z algebry liniowej (rachunek macierzowy, problemy rozwiązywa-
nia układów równań liniowych czy problemy wektorów i wartości własnych) oraz z teorii aproksymacji i
klasycznego rachunku wariacyjnego. Wybrane pozycje literatury, które pomogą w lepszym rozumieniu tego
opracowania, jak i te, które pozwolą na dalsze studia nad metodą elementów skończonych, zestawiono na
końcu opracowania.
W rozdziale 3 niniejszego opracowania zamieszczono najprostszą ilustrację MES na przykładzie kra-
townicy płaskiej i przedstawiono zasadnicze kroki procesu obliczania konstrukcji.
W rozdziale 4 omówiono różne podejścia do aproksymacyjnego rozwiązywania równań różniczko-
wych, ukazując zasadnicze różnice między aproksymacją dokonywaną na całym obszarze a taką, którą
przyjmuje się w podobszarze. Kontynuowanie w tym rozdziale tego samego przykładu numerycznego po-
zwoliło na porównanie skuteczności i dokładności przyjmowanych aproksymacji.
W kolejnym rozdziale podsumowano podstawowe równania liniowej sprężystości równolegle w zapi-
sach wskaz
nikowym i wygodnym dla nas macierzowym. Zdefiniowano podstawy metody elementów skoń-
czonych, wynikające z równania pracy wirtualnej i wykorzystania funkcjonału całkowitej energii potencjal-
nej. W tymże rozdziale 5 omówiono też wybrane elementy skończone jednowymiarowe.
W rozdziale 6 zawarto analizę płaskich stanów naprężenia i odkształcenia i dyskusję nad elementami
używanymi do opisania tych stanów.
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
2. WPROWADZENIE 3
Po wyprowadzeniu praw transformacji wektorów i macierzy z układu współrzędnych lokalnego do
globalnego w (rozdz.3.), dalej wykorzystano głównie opisy lokalne, nie rozważając każdorazowo bardzo
podobnych elementów transformacji. W rozdziale 7 zaproponowano opis izoparametryczny (powszechnie
używany przy definiowaniu elementów skończonych) i omówienie kolejnych elementów dwu-i trójwymi-
arowych. Niezbędne tutaj było odwołanie się do procedur całkowania numerycznego.
W rozdziale 8 zamieszczono pewne podstawowe wiadomości o formułowaniu elementów płytowych i
powłokowych. Te właśnie konstrukcje wykorzystuje się często w praktyce inżynierskiej i one właśnie najle-
piej ilustrują siłę metody.
W kolejnych rozdziałach podjęto próbę sformułowania prostych zadań dynamiki i liniowej stateczno-
ści, odwołujących się w konsekwencji do rozwiązania problemu własnego. Zdajemy sobie sprawę, że ostat-
nio nawet na naszym ubogim rynku wydawniczym pojawiły się bardzo wartościowe i obszerne opracowania,
które kompleksowo naświetliły problematykę dynamiki i stateczności. Świadomie ograniczyliśmy się do
wybranych, najprostszych elementów sformułowań, które mają tylko ilustrować zagadnienia, nie zarysowu-
jąc nawet części problematyki. Zgodnie z intencją te nie omówione, choć istotne dla Czytelnika problemy
będą dyskutowane i komentowane w trakcie wykładu.
W spisie literatury zamieszczono głównie pozycje książkowe, których przestudiowanie polecamy Czy-
telnikowi. Niestety, duża ich część może okazać się trudno dostępna, co nie powinno zniechęcić zaintereso-
wanych do dalszego poszukiwania i pogłębiania wiedzy na temat zastosowań metody elementów skończo-
nych.
W Dodatkach zestawiono niektóre informacje dotyczące problemów całkowania numerycznych i za-
gadnień algebraicznych, takich jak rozwiązywanie układów równań liniowych oraz problemu wartości i
wektorów własnych.
Zadania
1. Podaj definicje macierzy i wektora.
2. Które z poniżej zapisanych macierzy są sobie równe?
6
�ł - 3 6 6
łł �ł - 8 2
łł
łł �ł - 3
A =
�ł4 8 śł, B = �ł śł, C = 8
�ł4 śł
�ł �ł �ł5 6 - 7�ł �ł �ł
2 5
�ł łł
6
�ł - 8 2 6 3
łł �ł łł
�ł śł
D =
�ł0
�ł śł, E = 8śł, F = �ł-1 8 śł
�ł5 6 - 7�ł �ł �ł
�ł
0 - 5śł
�ł �ł
3. Jakie są reguły dodawania i mnożenia macierzy?
4. Dla macierzy, których jawną postać podano w zadaniu 2 wykazać, że spełnione są następujące
zależności:
A + E = E + A,
6D = D6,
F(A + E) = FA + FE,
(B + D)F = BF + DF,
BF `" FB ,
(BF)A = B(FA),
(BF)T = FT BT .
5. Oblicz wartość wyznacznika macierzy E .
6. Zapisz następujące wektory jako macierze kolumnowe:
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
2. WPROWADZENIE 4
p = 3i - 6 j + 4k, r = 5i + 7 j,
q = 5i + 7k, u = 7i - 8 j +15k.
7. Wyznacz długości wektorów p , q i u z zadania 6.
8. Określ wielkość kąta między wektorami q i u .
9. Używając macierzy odwrotnej rozwiąż następujący układ równań:
5x + 2 y + 3z = 5
ńł
�ł2x + 3y + 4z = 7 .
�ł
�ł3x + 4 y + 5z = 9
ół
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 3. KRATOWNICA JAKO BEZPOŚREDNIA ILUSTRACJA METODY 1
3.


KRATOWNICA JAKO BEZPOŚREDNIA ILUSTRACJA METODY
Chcąc w najprostszy sposób zilustrować ideę podziału struktury na elementy (dyskretyzacji) oraz
technikę budowania macierzy sztywności całego układu, posłużymy się prostym przykładem kratownicy
płaskiej. Dla tego przykładu w naturalny sposób narzuca się podział, czyli dyskretyzacja, która zakłada, że
każdy pręt kratownicy jest jednocześnie elementem. Pełną informację o stanie odkształceń, naprężeń i
przemieszczeń pręta (elementu) uzyskamy, gdy będziemy znali przemieszczenia jego końców. Zakładamy
oczywiście klasycznie, że węzły są idealnymi przegubami, a siły są tak przyłożone w węzłach, że wszystkie
elementy przenoszą wyłącznie siły osiowe oraz że materiał prętów jest liniowo-sprężysty. Ograniczamy się
do geometrycznie liniowej teorii.
3.1. Sztywność elementu w globalnym układzie współrzędnych
Rozważmy pręt (1-2), którego położenie w układzie współrzędnych x0 y , wspólnym dla całej roz-
ważanej struktury (w tzw. układzie globalnym), jest przedstawione na rysunku 3.1.
Załóżmy, że stałe na długości elementu pole powierzchni przekroju pręta oznaczono przez A , zaś
moduł Younga materiału - przez E . Długość elementu wyznaczamy z prostej zależności geometrycznej jako
funkcję współrzędnych węzłów:
(3.1)
L = (x2 - x1)2 + ( y2 - y1)2
Potrzebne relacje definiujące nachylenie elementu mają postać:
x2 - x1 y2 - y1
cosą = c = , siną = s = (3.2)
L L
Rys. 3.1. Element kratownicy płaskiej. Definicja stopni swobody i sił wewnętrznych
Przemieszczenia węzłów elementu zgrupujemy w jednym wektorze czteroskładnikowym:
T
d = [u1, v1, u2, v2] (3.3)
O takim elemencie mówimy, że ma cztery stopnie swobody.
W wyniku obciążenia i deformacji całego układu rozważany pręt zajmie położenie . Pomijając efekty
drugorzędne, wydłużenie elementu zapiszemy w postaci zależności
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 3. KRATOWNICA JAKO BEZPOŚREDNIA ILUSTRACJA METODY 2
"L = (u2 - u1)c + (v2 - v1)s (3.4)
Odkształcenie podłużne pręta zdefiniujemy klasycznie jako
"L
� = (3.5)
L
i wyrazimy za pomocą wektora przemieszczeń węzłów w następujący sposób:
1
� = B �" d , gdzie B = �"[- c - s c s] (3.6)
L
Macierz B nazywana bywa macierzą zgodności geometrycznej. Wprost z prawa Hooke'a wynika, że
siła osiowa N w elemencie wynosi:
N = E �" A�"� = E �" A�" B �" d = C �" d (3.7)
gdzie macierz C = E �" A�" B nazywana jest niekiedy macierzą sił węzłowych.
Zapiszmy teraz siły węzłowe, wyrażone w składowych odniesionych do układu globalnego, działające
w węzłach 1 i 2 . Niech wektor tych sił będzie oznaczony przez P :
P = [H1 V1 H2 V2] (3.8)
Odpowiednie siły węzłowe wyrażone są za pomocą następujących zależności:
H1 = -N �" c , V1 = -N �" s , H2 = N �" c , V2 = N �" s . (3.9)
W końcu więc otrzymujemy
�ł c2 c �" s - c2 - c �" s
łł
�ł
c �" s s2 - c �" s - s2 śł
E �" A
�ł śł
P = BT �" L �" N = BT �" L �" E �" A�" B �" d = Ke �" d = �" �" d
(3.10)
�ł śł
L - c2 - c �" s c2 c �" s
�ł śł
�ł- c �" s - s2 c �" s s2 �ł
Dla tego prostego elementu od razu udało się nam wyrazić składowe operatora Ke (macierzy sztyw-
ności elementu) w globalnym układzie współrzędnych. Dla wielu innych elementów taka praktyka byłaby
nieskuteczna. Okaże się potem, że znacznie praktyczniejsze jest wyznaczenie odpowiednich operatorów Ke
w układach odniesionych do tzw. współrzędnych lokalnych.
Ponieważ składowe wszystkich macierzy sztywności Ke muszą być wyrażone w odniesieniu do jed-
nego wspólnego układu współrzędnych, trzeba będzie reprezentacje tych operatorów przetransformować z
układu lokalnego do globalnego. W rozdziale 3.5 zajmiemy się problemem transformacji składowych wekto-
rów z układu lokalnego do globalnego, a tym samym wyprowadzimy odpowiednie formuły transformacyjne
dla macierzy sztywności.
Przyjrzyjmy się przez chwilę macierzy sztywności elementu Ke . A
atwo zauważyć, że macierz ta jest
symetryczna i osobliwa. Można się też przekonać, że zadeklarowanie przemieszczeń węzłów d , odpowiada-
jących sztywnej translacji elementu bądz
sztywnego obrotu, nie wywołuje żadnych sił węzłowych.
Znając macierze sztywności Ke wszystkich elementów, będziemy mogli zbudować macierz sztywno-
ści całego układu, która jest operatorem wiążącym wektor przemieszczeń wszystkich węzłów układu z wek-
torem obciążeń węzłowych układu.
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 3. KRATOWNICA JAKO BEZPOŚREDNIA ILUSTRACJA METODY 3
3.2. Scalenie czyli agregacja macierzy sztywności układu
Proces budowania macierzy sztywności układu z macierzy sztywności elementów wyrażonych w tym
samym układzie współrzędnych (układzie globalnym) nazywamy agregacją. Agregacja zapewnia równość
przemieszczeń węzłów, które jednocześnie należą dc różnych elementów. Jest też spełnieniem równań
nierozdzielności odkształceń w węzłach układu.
Rys. 3.2.Kratownica płaska obciążona dwiema siłami
Prześledz
my proces agregowania macierzy sztywności układu na przykładzie kratownicy przedsta-
wionej na rysunku 3.2. Układ ten składa się z sześciu elementów, które łączą ze sobą pięć węzłów. Globalna
liczba stopni swobody układu jest równa 10 (po dwie składowe przemieszczeń w każdym węz
le). Tak więc
globalna macierz sztywności układu ma wymiary 10x10 . Agregacja macierzy sztywności układu K
(10x10) polega na sumowaniu składowych macierzy sztywności elementów Ke (4x4) w odpowiednich
miejscach macierzy K . Jeżeli założymy, że element e łączy węzły i oraz j , to składowe macierzy Ke
będą umieszczone w macierzy układu K w taki sposób, by zwiększyć sztywność odpowiednich wyrazów
tej macierzy.
Na przykład składowe macierzy trzeciego i czwartego elementu kratownicy (rys. 3.2 ) będą umiesz-
czone w miejscach związanych z przemieszczeniami węzłów 2 i 4 dla elementu 3 oraz 4 i 3 dla elemen-
tu 4 . Umieszczenie odpowiednich składowych tych elementów w macierzy sztywności ilustruje rysunek
3.3.
+
Miejsce dodawania składowych macierzy trzeciego elementu zaznaczono znakiem , zaś czwartego -
znakiem o .
Wektor obciążenia w tym prostym przypadku (10x1) jest wektorem sił zewnętrznych. W sytuacjach
bardziej skomplikowanych, kiedy obciążenia węzłowe są wynikiem sił działających na poszczególne ele-
menty, proces scalania wygląda bardzo podobnie i polega na sumowaniu efektów wziętych z elementów w
odpowiednich miejscach wektora globalnego.
Zauważmy, że utworzona macierz sztywności układu jest macierzą symetryczną i osobliwą. Wynika to
ze sposobu scalania tej macierzy i faktu, że wszystkie macierze elementów mają tę samą własność. Utwor-
zony układ równań
K �" d = P (3.11)
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 3. KRATOWNICA JAKO BEZPOŚREDNIA ILUSTRACJA METODY 4
Rys. 3.3. Agregacja macierzy sztywności
gdzie K jest zbudowaną macierzą sztywności układu (10x10) , d jest wektorem przemieszczeń wę-
złów (10x1) oraz P jest wektorem obciążeń węzłów (10x1) , nie ma w tej postaci rozwiązania, gdyż
nie są jeszcze zdefiniowane warunki brzegowe.
3.3. Modyfikacja układu równań przez wprowadzenie warunków brzegowych
Wprowadzenie w zadaniu warunków brzegowych polega na takiej modyfikacji układu równań (3.11),
która spowoduje, że przy założonych obciążeniach P przemieszczenia punktów podporowych będą równe
zeru. Spośród kilku stosowanych sposobów modyfikacji tego układu zaproponujmy następujący. Polega on
na umieszczeniu na głównej przekątnej macierzy K , w wierszu odpowiadającym zerowemu przemieszcze-
niu, liczby równej 1.0 oraz na wyzerowaniu reszty wyrazów tego wiersza i kolumny. Zeruje się także od-
powiedni wiersz wektora P . W ten sposób w danym równaniu jest tylko jedna niewiadoma - przemi-
eszczenie, które musi być równe zeru. W omawianym przykładzie, który jest ilustracją dokonywanych
kroków, zerowe musi być przemieszczenie węzłów 1 i 4 w obu kierunkach (stopnie swobody 1, 2 oraz 7,
8), a także przemieszczenie węzła 5 w kierunku poziomym (stopień swobody 9). Zbudowana w wyniku
agregacji macierz sztywności musi być zmodyfikowana według następującego schematu (puste pola ozna-
czają wyrazy niezerowe):
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 3. KRATOWNICA JAKO BEZPOŚREDNIA ILUSTRACJA METODY 5
d1 �ł łł
0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 �ł łł
�ł łł
�ł śł �ł śł
�ł śł
�ł śł �ł śł
�ł0 1 0 0 0 0 0 0 0 0śł d2 0
�ł śł �ł śł
�ł śł
0 0 0 0
�ł śł �ł śł
�ł0 0 śł
�ł śł �ł śł
�ł śł
0 0 0 0
�ł śł �ł śł
�ł0 0 śł
�ł śł �ł śł
�ł śł
0 0 0 0
�ł śł �ł śł
�ł0 0 śł
�" =
(3.12)
�ł śł �ł śł
�ł śł
0 0 0 p1śł
�ł śł �ł
�ł0 0 śł
�ł śł �ł śł
�ł śł
0
�łd7 śł �ł śł
�ł0 0 0 0 0 0 1 0 0 0śł
�ł śł �ł śł
�ł śł
0
�łd8 śł �ł śł
�ł0 0 0 0 0 0 0 1 0 0śł
�ł śł �ł śł
�ł śł
0
�łd9 śł �ł śł
�ł0 0 0 0 0 0 0 0 1 0śł
�ł śł �ł śł
�ł śł
0 0 0
p1�ł
�ł śł �ł śł
�ł0 0 �ł
�ł �ł �ł
W powyższym układzie równań podano postać wektora obciążenia. Zaproponowany zabieg modyfi-
kacji polega na utrzymaniu nie zmienionej liczby stopni swobody układu, przy czym w sposób naturalny
otrzymamy zerowe przemieszczenia punktów, w których zdefiniowano podparcie. Macierz sztywności ukła-
du jest nieosobliwa i dodatnio określona, a wobec zadanych obciążeń P istnieje jednoznaczne rozwiązanie
tego układu. W wyniku rozwiązania układu równań liniowych (3.12) otrzymamy pozostałe, nieznane dotąd
przemieszczenia d3, d4, d5, d6, d10. Nie będziemy się w tym miejscu zajmowali technikami nume-
rycznymi rozwiązywania układów równań liniowych, które w niektórych przypadkach (symetria, duże wy-
miary macierzy, itp.) są bardzo skomplikowane. Jedną z możliwych propozycji, jak rozwiązywać układ rów-
nań (3.12), zamieszczono w Dodatku A.
3.4. Odpowiedz
układu i podsumowanie głównych kroków metody
O rozwiązaniu problemu możemy mówić, gdy znamy już wszystkie przemieszczenia węzłów. Wy-
bierając z nich odpowiednie składowe globalnego wektora przemieszczeń na podstawie (3.7), określimy siły
osiowe we wszystkich prętach, dalej reakcje podpór (z równowagi węzłów podporowych). By znalez
ć reak-
cje podpór, czyli siły równoważące węzły w kierunku odebranego stopnia swobody, wystarczy przemnożyć
d
K
dany wiersz macierzy (przed modyfikacją) przez znany już wektor przemieszczeń i uwzględnić obci-
P
ążenie .
W celu zautomatyzowania wymienionych powyżej kroków należy w zbiorze danych zdefiniować ma-
cierze, w których będą zestawione informacje o geometrii wszystkich elementów, oraz macierze definiujące
topologię struktury czyli zestawienie numerów węzłów należących do wszystkich elementów.
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 3. KRATOWNICA JAKO BEZPOŚREDNIA ILUSTRACJA METODY 6
Rys. 3.4. Schemat blokowy obliczeń kratownicy
Podsumowania zasadniczych kroków metody dokonano na rysunku 3.4. Przedstawia on ogólny sche-
mat blokowy programu realizującego obliczenia dowolnej kratownicy. Oprócz znanych i używanych już
oznaczeń na schemacie występuje: Nelem - liczba elementów układu oraz Lelem - licznik tych elemen-
tów.
3.5. Układ współrzędnych lokalnych i globalnych oraz transformacja wektorów i
macierzy
Spróbujmy jeszcze przedyskutować problem rozwiązywania zadania kratownicy, rozpoczynając od
budowania wyrazów macierzy sztywności i wektorów przemieszczeń i obciążeń w układzie związanym z
elementem. Przyczyna powtórnego analizowania tego samego problemu leży w tym, że dla większości ele-
mentów znacznie bardziej użyteczne jest odnoszenie się do układu współrzędnych lokalnych, a dopiero na
koniec transformowanie odpowiednich wektorów i macierzy do wspólnego układu odniesienia (globalnego).
Rozpatrzmy element 1 - 2 w takim układzie osi x'0 y' , że oś x' pokrywa się z osią pręta, zaś y' jest
protopadłą do niej, a początek układu znajduje się w jednym z węzłów (rys.3.5).
Przez u1' , u2' oznaczono przemieszczenia węzłów 1 i 2 wzdłuż osi pręta, zaś przez v1' , v2' -
prostopadłe do osi pręta. Odpowiednie siły węzłowe oznaczono dużymi literami U i V .
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 3. KRATOWNICA JAKO BEZPOŚREDNIA ILUSTRACJA METODY 7
Rys. 3.5. Element kratownicy w lokalnym układzie współrzędnych
Zgodnie z prawem Hooke'a wydłużenie elementu wynosi:
N �" L
� = (3.13)
E �" A
gdzie N jest siłą podłużną, L - długością pręta, E - modułem Younga. Tak więc siły działające w węzłach
wzdłuż osi pręta wyrażają się w postaci:
E �" A E �" A
U1' = (u1' - u2' ) , U2' = (u2' - u1' ). (3.14)
L L
Ponadto z równań równowagi wynika, że
U1' = -U2' oraz V1' = V2' = 0 (3.15)
Zapisując powyższe równania równowagi w postaci układu równań otrzymujemy :
1 0 -1 0 u1' U1'
�ł łł �ł łł �ł łł
�ł śł �łv śł �łV śł
0 0 0 0
E �" A
1' 1'
�ł śł �ł śł �ł śł,
�" �" = (3.16)
L �ł-1 0 1 0 śł �łu2' śł �łU2' śł
�ł śł �łv śł �łV śł
0 0 0 0
�ł �ł �ł 2' �ł �ł 2' �ł
gdzie oczywiście długość elementu L można wyrazić w znany sposób jako funkcję współrzędnych węzłów
(3.1). Otrzymany wynik zapiszemy krócej w postaci równania macierzowego :
Ke' �" de' = pe' ,
(3.17)
w którym indeks e odnosi wielkości do elementu, zaś ' informuje o posługiwaniu się układem lokalnym
x'0 y' .
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 3. KRATOWNICA JAKO BEZPOŚREDNIA ILUSTRACJA METODY 8
Przejdz
my do relacji między układem lokalnym i globalnym. Rozważmy dowolny wektor r (np. iden-
tyfikujący położenie punktu P ) w dwóch układach współrzędnych x0 y (globalnym) i x'0 y' (lokalnym)
jak to ma miejsce na rysunku 3.6.
Rys. 3.6. Układ współrzędnych: lokalny x'0 y' i globalny xoy .
Jeżeli przez i i j oznaczymy wersory osi układu x0 y zaś przez i' i j' wersory osi układu
x'0 y' , to wektor r może być w tych układach wyrażony w postaci następującej reprezentacji:
r = rxi + ry j w układzie x0 y
(3.18)
oraz
r = rx'i'+ry' j'. w układzie x'0 y'
Z równości lewych stron wynika, że
rxi + ry j = rx'i'+ry' j'
(3.19)
Mnożąc skalarnie obie strony tej równości przez wektor i , otrzymujemy:
rx = rx'i'i + ry' j'i ,
(3.20)
gdyż ii = 0 , zaś ij = 0 ze względu na ortogonalność osi. Jeżeli oznaczymy, że
ii'= cos(x, x') = n11'
ij'= cos(x, y') = n12'
wówczas mnożąc obie strony (3.19) także skalarnie przez j , możemy napisać:
rx = rx'n11 + ry'n12'
,
(3.21)
ry = rx'n21 + ry'n22
lub macierzowo
rx �ł rx'
�ł łł n11 n12 �ł łł
łł
=
(3.22)
�łr śł �łr śł
�łn n22śł �" ,
y y'
�ł 21 �ł
�ł �ł �ł �ł
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 3. KRATOWNICA JAKO BEZPOŚREDNIA ILUSTRACJA METODY 9
albo krócej r = T �" r' oraz, co łatwo udowodnić,
T T -1
(3.23)
r'= T r , gdzie T = T ,
gdzie T jest macierzą transformacji.
Wracając do zadania z kratownicą, zanim dokonamy procesu agregacji globalnej macierzy sztywności
konstrukcji, musimy wielkości K oraz p i d przetransformować do układu globalnego.
Jeżeli przyjmiemy, że
r' [u1' v1']T
(3.24)
oraz
r [u1 v1]T ,
to dla dwóch węzłów elementu kratownicy możemy zapisać :
u1' n11 n12 u1 u2' n11 n12 u2
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
= i = ,
(3.25)
�łv śł �łn n22śł �" �łv śł �łv śł �łn n22śł �" �łv śł
�ł 1' �ł �ł 21 �ł �ł 1�ł �ł 2' �ł �ł 21 �ł �ł 2 �ł
czyli przemieszczenia dla elementu e można wyrazić jako
u1' u1
�ł łł �ł łł
�łv śł �łv śł
T
�ł łł
T 0
1' 1
�ł śł �ł śł
de = = �"
(3.26)
�ł śł
T
�łu2'śł �łu2śł
0 T
�ł �ł
�łv śł �łv śł
�ł 2' �ł �ł 2 �ł
lub krócej
de' = R �" de
(3.27)
gdzie de jest wektorem przemieszczeń węzłów, wyrażonym w układzie globalnym.
Zupełnie podobnie możemy zapisać zależność dla wektora obciążeń (3.17):
T
pe' = R �" pe , gdzie pe = [U1 V1 U2 V2 ] . (3.28)
W końcu zupełnie formalnie przekształcimy wzór (3.17):
Ke' �" R �" de = R �" pe'
(3.29)
RT �" Ke' �" R �" de = pe'
ale RT �" R = R-1 �" R = I , oraz RT = R-1
i skąd otrzymujemy równanie dla elementu, którego składowe są wyrażone w układzie globalnym :
Ke �" de = pe , Ke = RT �" Ke' �" R (3.30)
Bez trudu można sprawdzić, że dokonując transformacji macierzy Ke' (3.16) według zależności
(3.30), otrzymamy znaną już nam postać macierzy (3.10).
Przytoczone tutaj prawa transformacji mają charakter ogólny i będą wielokrotnie wykorzystywane dla
innych elementów. Oczywiście, w zależności od tego, jak wielkim wektorem przemieszczeń węzłowych
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 3. KRATOWNICA JAKO BEZPOŚREDNIA ILUSTRACJA METODY 10
dysponujemy i jak wyglądają prawa transformacji poszczególnych składowych, postać macierzy transforma-
cji T będzie każdorazowo formułowana indywidualnie.
Zadania
Dana jest kratownica o geometrii przedstawionej na poniższej siatce.
Proszę:
- ponumerować węzły i pręty,
- sformułować macierze połączeń węzłów,
- obliczyć macierze sztywności elementów w układzie globalnym,
- dokonać agregacji globalnej macierzy sztywności układu,
- zmodyfikować układ równań zgodnie z warunkami brzegowymi.
Rysunek geometrii układu
Dane do zadania przyjąć z tablicy:
a A A A E P
[m] [cm2 ] [cm2 ] [cm2 ] [GPa] [kN]
1.2 12 16 20 200 4
2.0 18 24 32 200 3
1.0 35 40 50 80 1
1.5 20 25 30 100 3
Przemieszczenia węzłów stalowego elementu kratowego o przekroju A = 4cm2 i długości l = 2m ,
wynoszą odpowiednio:
u1 = 0,01m, u2 = -0,002m,
v1 = 0,03m, v2 = 0,0045m.
Oblicz wydłużenie, odkształcenie, naprężenie i siłę w tym elemencie.
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 4. METODY APROKSYMACYJNEGO ROZWI
ZYWANIA RÓWNAC
1
RÓŻNICZKOWYCH
4.


METODY APROKSYMACYJNEGO ROZWI
ZYWANIA RÓWNAC

RÓŻNICZKOWYCH
4.1. Uwagi wstępne i koncepcje podstawowe
W wielu przypadkach, ważnych z punktu widzenia zastosowań technicznych, znalezienie rozwiązania
równania różniczkowego w postaci analitycznej jest trudne lub wręcz niemożliwe do osiągnięcia. Taka
sytuacja towarzyszy znacznej większości przypadków, szczególnie gdy w problemach mechaniki ośrodka
ciągłego mamy do czynienia z nieregularną geometrią układów, bądz
gdy właściwości materiałów są
funkcjami zmiennych pól. Takie problemy nazywamy zadaniami nieliniowymi. Metoda elementów
skończonych często w środowisku inżynierów bywa utożsamiana ze sposobem rozwiązywania problemów
mechaniki, przy czym zapomina się że wszystkie te zagadnienia modelowane są za pomocą równań
różniczkowych. Poniżej pragniemy pokazać, że metoda elementów skończonych jest przede wszystkim
metodą rozwiązywania dowolnych równań różniczkowych.
Spośród metod znajdowania rozwiązań przybliżonych, które są użyteczne dla lepszego zrozumienia
istoty MES, chcemy zwrócić uwagę na następujące:
- metoda Ritza,
- metoda wariacyjna Rayleigha - Ritza,
- metody ważonych reziduów.
Wymieniane powyżej metody znajdywania przybliżonych rozwiązań równań różniczkowych są
metodami całkowymi, gdyż opierają się na formach całkowych, nie zaś bezpośrednio na równaniach
różniczkowych.
Metoda Ritza jest na tyle prosta, że nie wymaga dodatkowych informacji poszerzających klasyczny
kurs matematyki. Metody wariacyjne, operujące pojęciami klasycznego rachunku wariacyjnego, wymagają
choćby znajomości podstawowych formuł tego rachunku. Nie będziemy ich tutaj przedstawiali, jedynie
zaproponujemy Czytelnikowi zapoznanie się z fragmentami literatury z
ródłowej.
Zanim przedstawimy metody Ritza i Rayleigha-Ritza, spróbujmy na przykładzie prostego problemu
brzegowego prześledzić ideę koncepcji generalnej. Nasze rozważania zilustrujemy przykładem prostego
przypadku pojedynczego równania różniczkowego z jedną tylko zmienną niezależną. By przedstawić różnice
między kolejno omawianymi metodami będziemy analizować zawsze to samo równanie różniczkowe,
którego rozwiązanie analityczne jest proste do osiągnięcia. Tym samym łatwo nam będzie porównać
dokładność otrzymywanych przez aproksymację wyników z rozwiązaniami dokładnymi.
Przyjmijmy równanie różniczkowe zapisane symbolicznie:
f (T (x)) = 0
(4.1)
opisujące dowolne zagadnienie w przestrzeni &! , gdzie T opisuje funkcję zmian x (może to być np.
temperatura, funkcja ugięcia belki), zaś &! jest obszarem działania funkcji rządzonej przez prawo
zdefiniowane za pomocą operatora różniczkowego f .
Warunki brzegowe zapiszemy w postaci:
g1(T (x)) = 0 na obszarze �1,
(4.2)
g2(T (x)) = 0 na obszarze �2
gdzie �1 i �2 zawierają te części &! , które ograniczają brzeg ( rys. 4.1).
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 4. METODY APROKSYMACYJNEGO ROZWI
ZYWANIA RÓWNAC
2
RÓŻNICZKOWYCH
Rys. 4.1 Obszar jednowymiarowy działania funkcji f (T (x))
Określmy rozwiązanie równania (4.1) łącznie z warunkami (4.2) w postaci funkcji:
n
T '= T '(x,a1,a2,...,an ) = �" Ni (x) ,
(4.3)
"ai
i=1
która ma jedną bądz
więcej niewiadomych ai , zaś funkcje Ni spełniają dokładnie warunki brzegowe (4.2).
Funkcje Ni nazywamy funkcjami próbnymi. Problem redukuje się więc do trafnego wyboru funkcji prób-
nych Ni i znalezienia parametrów ai . Ogólnie należy się więc spodziewać, że ciąg przyjętych aproksyma-
cji
T '= T '(x,ai ) = ai �" Ni dla i =1,2,...,n
(4.4)
polepsza rozwiązanie wraz ze wzrostem liczby stosowanych funkcji próbnych Ni . Przyjmowane funkcje Ni
muszą być ciągłe i różniczkowalne do najwyższego rzędu występującego w całkowej formie równania.
Nie powinno nikogo zaskoczyć, że T ' , zastępujące w (4.1) funkcję T (x) , nie spełnia dokładnie tegoż
równania, to znaczy, że f (T ') `" 0 . Różnicę między rozwiązaniem dokładnym a przybliżonym oznaczymy
przez R(x,ai ) i zapiszemy:
f (T '(x, ai )) = R(x, ai )
(4.5)
Rezidua R zależą od x oraz ai . Z dokładnym rozwiązaniem mamy do czynienia wtedy, gdy
R = 0 dla wszystkich punktów obszaru &! . Dla rozwiązań przybliżonych R zasadniczo różni się od zera,
jakkolwiek w wybranych punktach obszaru &! warunek ten może być spełniony.
4.1.1 Metoda Ritza
Podstawowa metoda Ritza wymaga, by dla aproksymacji I rzędu był spełniony następujący warunek:
1
+"R(x,a ) = 0 . (4.6)
&!
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 4. METODY APROKSYMACYJNEGO ROZWI
ZYWANIA RÓWNAC
3
RÓŻNICZKOWYCH
Powyższe wyrażenie prowadzi do równania algebraicznego z niewiadomym parametrem a1 . Dla poprawnie
postawionego problemu z dobrze dobraną funkcją próbną rozwiązanie a1 zawsze istnieje. Za funkcje Ni (x)
przyjmowane mogą być wielomiany, funkcje cykliczne oraz inne funkcje ciągłe i różniczkowalne. Zilustruj-
my to, co dotąd powiedziano następującym przykładem.
Przykład. Rozwiążmy równanie różniczkowe zwyczajne o postaci:
2
d T
(4.7)
+1000�" x2 = 0 dla 0 d" x d"1
dx2
przy zachowaniu następujących warunków brzegowych:
T (0) = 0 oraz T (1) = 0 (4.8)
Za funkcję próbną przyjmijmy funkcję nie zakłócającą problemu, spełniającą deklarowane warunki
brzegowe:
N1 = x �" (1- x2) . (4.9)
Poszukiwane rozwiązanie przyjmujemy wiec w postaci:
T ' = a1 �" N1(x) = a1 �" x �" (1- x2) . (4.10)
Podstawiając je do równania wyjściowego (4.7), rezidua wynoszą:
2 2
d T ' d T '
(4.11)
R = +1000�" x2 , gdzie = -6�" x �" a1 ,
dx2 dx2
tak więc w końcu
R(x,ai ) = -6�" a1 �" x +1000�" x2 . (4.12)
Spełnienie wymagania (4.6) pociąga konieczność dobrania współczynnika a1 na podstawie równania:
1
(- 6 �" a1 �" x +1000 �" x2)dx = 0
(4.13)
+"
0
skąd otrzymujemy jedno równanie algebraiczne z niewiadomą a1 w postaci:
1
�ł
�ł �ł
x3 łł
(4.14)
�ł�ł- 3�" a1 �" x +1000 3 �łśł = 0 ,
�ł �ł
�ł łł
�ł �ł0
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 4. METODY APROKSYMACYJNEGO ROZWI
ZYWANIA RÓWNAC
4
RÓŻNICZKOWYCH
1000
z którego wynika, że a1 = , wobec czego otrzymane rozwiązanie przybliżone ma następująca formę:
9
1000
T '= �" x �"(1- x2 ) . (4.15)
9
Warto w tym miejscu uzmysłowić sobie, że rozwiązanie równania różniczkowego przerodziło się nie-
postrzeżenie z problemu analizy matematycznej w problem algebraiczny. Otrzymany wynik będzie porów-
nany z rozwiązaniem dokładnym. W tym miejscu prosi się dociekliwego Czytelnika, by zechciał samodziel-
nie znalez
ć rozwiązanie nieskomplikowanego przecież równania (4.7).
Rys. 4.2 Interpretacja wydajności z
ródła ciepła i warunków brzegowych
Analizowane równanie Jest formą równania przewodnictwa cieplnego w izolowanym pręcie, z we-
wnętrznym z
ródłem energii. Wydajność tego z
ródła jest proporcjonalna do x2 (rys.4.2).
Wyższych temperatur należy się spodziewać bliżej końca, dla x = 1, chociaż na obu brzegach
powinien być spełniony warunek T = 0 . Miejsce maksymalnej temperatury wypada dla x = 0.577 . Należy
podkreślić, że funkcje próbne, które w tym przypadku rozciągnięte są nad całym analizowanym obszarem,
nie powinny zaburzać opisywanego zjawiska fizycznego, ale powinny dokładnie spełniać warunki brzegowe.
W przyszłości technika MES wykaże, że można wyeliminować powyższe ograniczenia nakładane na funkcje
próbne, które to ograniczenia są trudne do spełnienia w większości praktycznych problemów technicznych.
4.1.2. Metoda wariacyjna Rayleigha-Ritza
Typowy problem jednowymiarowego rachunku wariacyjnego polega na znalezieniu takiej funkcji
T(x) , by zminimalizować bądz
zmaksymalizować całkę:
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 4. METODY APROKSYMACYJNEGO ROZWI
ZYWANIA RÓWNAC
5
RÓŻNICZKOWYCH
b
I = F(x,T(x),Tx (x))dx ,
(4.16)
+"
a
dT
gdzie Tx = zaś F jest funkcjonałem (funkcją, której argumentami są funkcje). Można wykazać, że
dx
funkcjonał odpowiadający równaniu z poprzedniego przykładu ma postać:
2
1 dT
�ł �ł
F = - �ł �ł
+1000 �" x2 �"T (4.17)
2 dx
�ł łł
Konsekwentne sformułowanie wariacyjne problemu z analizowanego przykładu wymaga więc ekstremaliza-
cji następującego wyrażenia:
2
1
�ł �ł
1 dT
I = �"T
(4.18)
�ł �ł
+"�ł- �ł �ł +1000 �" x2 �łdx
�ł �ł
2 dx
�ł łł
0
�ł łł
Idea polega więc na znalezieniu takiej funkcji T(x) , która minimalizuje I . Zanim pokażemy, w jaki sposób
powyższe równanie może być używane do znalezienia przybliżonego rozwiązania analizowanego problemu,
zauważmy, że:
- funkcja T(x) , która ekstremalizuje wyrażenie na I , jest funkcją spełniającą równanie różniczkowe
i zadane warunki brzegowe,
- wyjściowe równanie różniczkowe zawiera wyrażenie drugiego rzędu, a sformułowanie wariacyjne -
tylko pochodne pierwszego rzędu (jest to tzw. słabe sformułowanie).
Przykład (cd.). Przyjmijmy, podobnie jak poprzednio, funkcję próbną w postaci:
T'= a1 �" N1(x) = a1 �" x �"(1- x2 ) ; (4.19)
podstawiając to wyrażenie do wzoru (4.18), otrzymujemy:
2
1
�ł �ł
1 dT'
I(a1) = �"T'�łdx (4.20)
�ł �ł
+"�ł- �ł �ł +1000 �" x2 .
�ł �ł
2 dx
�ł łł
0
�ł łł
Zależność ta jest funkcją jedynej niewiadomej a1 . Stacjonarność będzie zapewniona przez spełnienie
warunku
dI
= 0 .
(4.21)
da1
Wobec tego, że
dT'
= (-3�" x2 +1) �" a1 ,
da1
ostatecznie otrzymujemy (4.20) w jawnej postaci:
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 4. METODY APROKSYMACYJNEGO ROZWI
ZYWANIA RÓWNAC
6
RÓŻNICZKOWYCH
1
1 2
I(a1) = �" a1 �"(1- 3�" x2) +1000 �" x2 �"(a1 �" x �"(1 - x2))�łdx
�ł-
�ł
+"�ł
2
�ł łł
0
a po wykonaniu przepisanych operacji
1000 2 dI 1000 4
I(a1) = �" a1 - �" a12 więc także = - �" a1 = 0
12 5 da1 12 5
5000
i w końcu poszukiwaną wartość a1 = .
48
Tym razem otrzymane rozwiązanie jest następujące:
5000
T'(x) = �" x �" (1 - x2 ) . (4.22)
48
Porównania dotąd otrzymanych rozwiązań dokonano na rysunku 4.3.
Rys. 4.3. Porównanie rozwiązań metodą Ritza i metodą wariacyjną
4.2. Metoda ważonych reziduów
Metoda ważonych reziduów jest silnym narzędziem znajdowania przybliżonych rozwiązań równań
różniczkowych powszechnie stosowanych w problemach inżynierskich. Poniżej prezentujemy cztery najbar-
dziej popularne wersje tej metody. Pewną zaletą ważonych reziduów jest możliwość ominięcia sformułowań
wariacyjnych, które częstokroć mogą sprawiać wiele trudności. Omówimy więc pokrótce, posiłkując się cią-
gle tym samym przykładem, dwie wersje metody kollokacyjnej, znaną metodę najmniejszych kwadratów
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 4. METODY APROKSYMACYJNEGO ROZWI
ZYWANIA RÓWNAC
7
RÓŻNICZKOWYCH
oraz tzw. metodę Galerkina i bezpośrednio z niej wywodzącą się MES. Na koniec porównamy wyniki z
poprzedniego przykładu uzyskane przy zastosowaniu różnych metod.
Przedstawiając koncepcję ogólną, ograniczymy się, tak jak to miało miejsce poprzednio, do poje-
dynczego równania z jedną tylko zmienną niezależną
f (T(x)) = 0 , działającego w obszarze &!
(4.23)
z określonymi warunkami brzegowymi:
g1(T(x)) = 0 na obszarze �1 ,
(4.24)
g2(T(x)) = 0 na obszarze �2
Podobnie przybliżymy rozwiązanie za pomocą funkcji próbnych Ni (x) i nieznanych współczynników ai :
n
T' = T'(x,a1, a2,...,an ) = �" Ni (x)
(4.25)
"a
i
i=1
i otrzymamy spełnienie równania wyjściowego z dokładnością do reziduów R(x,ai ) :
f (T'(x, ai )) = R(x,ai )
(4.26)
Metody ważonych reziduów zakładają wyznaczenie parametrów ai przez spełnienie określonego warunku:
w(x) �" Ri (x, a ) = 0 , dla i = 1,2,...,n ,
(4.27)
+"
&!
gdzie funkcje w(x) są tzw. funkcjami wagowymi. Wybór tych funkcji różnicuje wersje metody ważonych
reziduów. Zauważmy, że przyjmując w zadaniu z jedną tylko niewiadomą stalą funkcję wagową w(x) = 1 ,
otrzymamy znaną już nam wersję metody Ritza.
4.2.1. Punkt kollokacji
W tej wersji metody ważonych reziduów za funkcję wagi przyjmuje się wyrażenie
wi (x) = � �" (x - xi ) ,
(4.28)
gdzie � pełni funkcję delty Kroneckera, która jest zdefiniowana następująco:
b
+"� �"(xi - x)dx =1, dla xi "(a,b) ,
a
(4.29)
b
+"� �"(xi - x)dx = 0 , dla xi " (a,b) ,
a
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 4. METODY APROKSYMACYJNEGO ROZWI
ZYWANIA RÓWNAC
8
RÓŻNICZKOWYCH
gdzie współrzędna xi opisuje położenie punktu kollokacji i wybierana jest na etapie formułowania ogra-
niczenia. Przy stosowaniu n funkcji próbnych wymaga się - w celu wyznaczenia wszystkich współczyn-
ników ai - zastosowania n punktów kollokacji. Ograniczenia wyglądają wówczas następująco:
+"� �"(x - xi )�" R(x,ai ) = 0 , dla i =1,2,...,n , (4.30)
&!
Formułując je w n punktach xi , otrzymujemy układ równań algebraicznych, z którego wyzna-
czymy niewiadome ai .
Przykład (cd.). Wracając do naszego przykładu, wielkości reziduów są zdefiniowane jak po-
przednio: R(x,ai ) = -6�" a1 �" x +1000�" x2 . Przy przyjętej tylko jednej funkcji próbnej wymaga się speł-
1
nienia ograniczenia typu (4.30) w jednym tylko punkcie, na przykład x1 = . Wówczas otrzymujemy:
2
2
1 1 1000
(4.31)
- 6�" a1 �" +1000�"�ł �ł = 0 , czyli a1 =
�ł �ł
2 2 12
�ł łł
Rozwiązanie końcowe jest tym razem w postaci:
1000
T '(x) = �" x �"(1- x2 ) . (4.32)
12
4.2.2. Podobszar kollokacji
Funkcje wagi w tej metodzie dobiera się w taki sposób, że ich wartości są równe 1 w danej części ob-
szaru &!i , natomiast na pozostałej części obszaru &! są równe zeru. Podobszarów kollokacji definiuje się
tyle ile jest przyjętych funkcji próbnych. Sytuację ilustruje rysunek 4.4, który przykładowo dzieli cały obszar
na trzy podobszary. Matematycznie funkcje wag w poszczególnych podobszarach wyrażone są następująco:
1 x "&!1
ńł
w1(x) =
�ł0 x "&!1,
ół
1 x "&!2
ńł
w2(x) =
�ł0 x "&!2
ół
,
1 x "&!3
ńł
w3(x) =
�ł0 x "&!3
ół
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 4. METODY APROKSYMACYJNEGO ROZWI
ZYWANIA RÓWNAC
9
RÓŻNICZKOWYCH
Rys. 4.4. Przyjęte funkcje wagowe w podobszarze kollokacj
Podobszary &!i nie zawierają wspólnych elementów, lecz w sumie wypełniają cały obszar &! .Te za-
łożenia w konsekwencji prowadzą do następującego układu równań, którego rozwiązanie pozwala wyzna-
czyć niewiadome współczynniki ai :
R(x, ai ) = 0 , dla i = 1,2,...,n ,
+" (4.33)
&!i
Przykład (cd.). W naszym przypadku przyjęcie jednej funkcji próbnej wymaga potraktowania całego
obszaru &! jako jednego tylko podobszaru kollokacji &! = &!1 . Tak więc &!1 = 0,1 , a całość sprowadza
się do spełnienia warunku identycznego z warunkiem Ritza:
R(x, a1) = 0 ,
(4.34)
+"
&!
skąd także
1
1000
(- 6 �" a1 �" x +1000 �" x2)dx = 0 oraz a1 =
(4.35)
+"
9
0
i końcowy wynik jest identyczny z tym, który otrzymaliśmy poprzednio stosując propozycję Ritza:
1000
T'(x) = �" x �" (1 - x2 ) (4.36)
9
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 4. METODY APROKSYMACYJNEGO ROZWI
ZYWANIA RÓWNAC
10
RÓŻNICZKOWYCH
4.2.3. Metoda najmniejszych kwadratów
Metoda najmniejszych kwadratów jest powszechnie znana wszystkim tym, którzy stają przed proble-
mem opracowania wyników eksperymentu. Polega ona na zminimalizowaniu wyrażenia typu:
2
(4.37)
+"(R(x, ai )) dx = 0 ,
&!
co oznacza, że cząstkowe pochodne powyższej całki względem kolejnych współczynników ai mają być
równe zeru. Otrzymujemy więc układ równań algebraicznych o postaci:
"I " " "R
2 2
= (R(x, ai )) dx = R dx = 0,
+"(R) dx = +" +"
"a1 "a1 &! "a1 "a1
&! &!
"I " " "R
2 2
= (R(x, ai )) dx = R dx = 0,
+"(R) dx = +" +"
"a2 "a2 &! "a2 "a2
(4.38)
&! &!
M
"I " " "R
2 2
= (R(x,ai )) dx = R dx = 0.
+"(R) dx = +" +"
"an "an &! "an "an
&! &!
Widzimy wiec, że role funkcji wagowych w powyższych równaniach pełnią pochodne reziduów, a
"R
więc wi (x) = dla i = 1,2,...,n .
"ai
Przykład (cd.). Wracając znów do analizowanego przykładu, mamy funkcję reziduów w znanej już
nam dobrze postaci (4.12), funkcja zaś wagowa tym razem określona jest jako
"R
= -6 �" x ,
(4.39)
"ai
i w związku z czym podstawiając do (4.27), otrzymujemy
1
1
- 6 �" x �"(- 6 �" a1 �" x +1000 �" x2)dx = [12 �" x3 �" a1 -1500 �" x4] = 0 ,
0
+"
0
skąd
1000
a1 = (4.40)
48
Rozwiązanie otrzymane tym sposobem wynosi:
1000
T'(x) = �" x �" (1 - x2 ) . (4.41)
8
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 4. METODY APROKSYMACYJNEGO ROZWI
ZYWANIA RÓWNAC
11
RÓŻNICZKOWYCH
4.2.4. Metoda Galerkina
Ostatnią z proponowanych tu metod opierających się na ważonych reziduach jest metoda zapropo-
nowana przez Galerkina. Polega ona na przyjęciu, że rolę funkcji wagowej pełni przyjmowana funkcja
próbna. Zakładamy więc, że wi (x) = Ni (x) i żądamy - w przypadku używania kilku funkcji próbnych jed-
nocześnie - spełnienia warunków:
Ni (x) �" R(x, a1, a2,..., an )dx = 0 , dla i =1,2,...,n ,
+" (4.42)
&!
Przykład (cd.). Ponieważ, jak dotąd, zawsze przyjmowaliśmy funkcję próbną w postaci
N1(x) = x �"(1- x2 ) , wymagamy więc teraz spełnienia warunku.
1
x �"(1 - x2)�"(- 6 �" a1 �" x +1000 �" x2)dx = 0
(4.43)
+"
0
5000
który prowadzi do wielkości współczynnika a1 = . Otrzymana tak funkcja T '(x) ma postać:
48
5000
T '(x) = �" x �"(1- x2 ) (4.44)
48
Tym razem wynik pokrywa się z wynikiem otrzymanym w wariacyjnej metodzie Rayleigha-Ritza.
Spróbujmy na koniec tych rozważań porównać otrzymane wyniki z prostym do uzyskania rozwiąza-
niem dokładnym. Postać tego rozwiązania jest następująca:
1000
T (x) = �" x �"(1- x2 ) (4.45)
12
Zwróćmy uwagę, że potęga zmiennej w nawiasie jest wyższa od tej, którą przyjmowaliśmy w
funkcji próbnej. Można by powiedzieć, że nasze poszukiwania skazane były na częściowe tylko powo-
dzenie, gdyż posługiwaliśmy się tylko jedną funkcją próbną, która odbiegała postacią od rozwązania
dokładnego. Trzeba w tym miejscu podkreślić raz jeszcze, że zwiększając liczbę wyrazów wielomianu
a tym samym zwiększając liczbę niewiadomych współczynników, nasze rozwiązania zbliżałyby się do do-
kładnego. Gdybyśmy od razu przyjęli funkcję próbną w postaci N1(x) = x �"(1- x3) , każda z wymienionych
tu metod doprowadziłaby nas do rozwiązania dokładnego. Celowo nie uczyniliśmy tego, gdyż w przypad-
kach ważnych z punktu widzenia zastosowań praktycznych nie sposób jest przewidzieć postać równania, bo
nie są znane rozwiązania analityczne.
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 4. METODY APROKSYMACYJNEGO ROZWI
ZYWANIA RÓWNAC
12
RÓŻNICZKOWYCH
Rys. 4.5. Porównanie rozwiązań otrzymanych różnymi metodami
Rysunek 4.5 przedstawia krzywe naszego rozwiązania. Linią ciągłą zaznaczono rozwiązanie dokładne.
Widzimy, że w analizowanym przypadku metody najmniejszych kwadratów i podobszarów kollokacji pro-
wadziły do określenia temperatur znacznie wyższych niż dokładne.
Podkreślmy raz jeszcze, co jest niezwykle ważne przy analizowanej aproksymacji, że przyjmowane
funkcje próbne rozpięte są nad całym obszarem &! . Dalej, przyjmując koncepcję podziału całego obszaru na
części (elementy), będziemy omawiać aproksymację tylko na fragmencie obszaru, co w znacznym stopniu
ułatwi nam zadanie. Warto w tym miejscu wspomnieć, że w przypadku choć trochę skomplikowanych wa-
runków brzegowych nie można zaproponować funkcji próbnych spełniających wymieniane powyżej wyma-
gania co do dokładnego spełnienia warunków brzegowych i niezakłócania problemu fizycznego.
4.2.5. Przykład MES w aproksymacji Galerkina
Zasadnicze nowe elementy, które chcemy teraz wprowadzić, polegać będą na przyjęciu nawet prost-
szej, bo liniowej funkcji próbnej, ale przykładanej tylko lokalnie na pewnym podobszarze, który nazywać
będziemy elementem skończonym.
Załóżmy więc, że obszar zawarty między punktami x = a i x = b , (a d" x d" b) został podzielony na
M podobszarów (elementów), tak jak to pokazano na rysunku 4.6. Proces ten nazywamy dyskretyzacją.
Przeanalizujmy zatem element o dwóch węzłach w punktach xk oraz x . Dowolną wielkość, która na tym
j
obszarze ma podlegać zmianom (może to być np. przemieszczenie lub jak w naszym przykładzie temperatu-
ra) oznaczmy przez y(x) . Niech na obszarze elementu zmiana tej wielkości będzie opisana za pomocą
zależności
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 4. METODY APROKSYMACYJNEGO ROZWI
ZYWANIA RÓWNAC
13
RÓŻNICZKOWYCH
Rys. 4.6. Podział obszaru jednowymiarowego na elementy.
ye(x) = m �" x + b (4.46)
gdzie e oznacza, że aproksymacja dotyczy wyłącznie elementu, a wartości współczynników m i b wyzna-
czymy z następujących warunków:
dla x = x ye(x ) = y ,
j j j
(4.47)
dla x = xk ye(xk ) = yk .
Podstawiając te warunki do równania (4.46), po rozwiązaniu układu równań z niewiadomymi m i
b otrzymujemy:
�ł - y
�ł
yk - y yk j �ł�"
j
�ł
m = , b = y - x (4.48)
j j
�ł �ł
xk - x xk - x
j j
�ł łł
i funkcję opisującą zmianę wielkości ye(x) na obszarze elementu w postaci:
�ł �ł �ł - x
�ł
x
xk - x
j
�ł �ł�" y j + �ł �ł
ye(x) = �" yk ,
(4.49)
�ł �ł �ł �ł
xk - x xk - x
j j
�ł łł �ł łł
przy czym wielkości y i yk pełnią rolę podobną do tej, którą pełniły współczynniki ai w poprzednich
j
rozważaniach. Powyższą zależność można więc zapisać jako
ye(x) = N (x) �" a + Nk (x) �" ak
(4.50)
j j
Przyjmowane więc funkcje próbne (kształtu) są tym razem funkcjami liniowymi i wyrażają się następujący-
mi zależnościami:
x - x
xk - x
j
N (x) = , Nk (x) =
(4.51)
j
xk - x xk - x
j j
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 4. METODY APROKSYMACYJNEGO ROZWI
ZYWANIA RÓWNAC
14
RÓŻNICZKOWYCH
Rys. 4.7. Liniowe funkcje próbne w obszarze elementu
Zmienność tych funkcji pokazano na rysunku 4.7. Ogólnie można więc zapisać zmienność pola
ye(x) stosując notację macierzową:
ye(x) = N �" ae , (4.52)
gdzie dwuelementowa macierz N gromadzi funkcje kształtu, a wektor ae zawiera wartości zmiennych pola
punktach węzłowych.
Przykład (cd.). Powróćmy do naszego przykładu. Pamiętamy, że w metodzie Galerkina funkcjami
e
wagi były funkcje próbne N(x) . Przyjmijmy więc teraz równanie opisujące zmianę temperatury T (x) dla
pojedynczego elementu skończonego w przedziale od x do xk .
j
e
T (x) = N (x) �"Tj + Nk (x) �"Tk ,
(4.53)
j
gdzie Tj i Tk odpowiadają teraz zmiennym ai w metodzie Galerkina, a funkcje kształtu mają znaną liniową
postać. Równania Galerkina można zapisać w postaci:
xk
M
N (x)(Re(x,Tj ,Tk ))dx = 0 ,
" j
+"
e=1
x
j
(4.54)
xk
M
Nk (x)(Re(x,Tj ,Tk ))dx = 0 ,
"
+"
e=1
x
j
przy czym M odpowiada liczbie elementów przyjętych w dyskretyzacji. Układ (4.54) można również zapisać
macierzowo
xk
M
T
N (x)(Re(x,Tj ,Tk ))dx = 0 .
(4.55)
"
+"
e=1
x
j
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 4. METODY APROKSYMACYJNEGO ROZWI
ZYWANIA RÓWNAC
15
RÓŻNICZKOWYCH
W naszym przykładzie rezidua Re dla typowego elementu wyrażają się znaną zależnością:
2 e
d T
(4.56)
. Re = +1000 �" x2 .
dx2
Otrzymujemy więc:
xk
2 e
M
�ł d T �ł
T
�ł �ł
. N (x)�ł +1000 �" x2 �łdx = 0 .
(4.57)
"
+"
dx2
e=1 �ł łł
x
j
Na tym etapie pomińmy sumowanie i poprzestańmy na analizie jednego tylko elementu. Przedstawmy
powyższe równanie w postaci dwóch całek:
xk xk
2 e
d T
T T
N (x) �" dx + N (x) �"(1000 �" x2)dx = 0 ;.
(4.58)
+" +"
dx2
x x
j j
całkując pierwsze wyrażenie przez części, otrzymujemy:
xk xk T e xk
e
�ł łł
dT dN dT
T T
- �" dx + N �"(1000 �" x2)dx = 0 ,.
(4.59)
�łN �" śł
+" +"
dx
�ł �łx dx dx
x x
j j
j
e
ponieważ przyjęto w aproksymacji, że T = N �" ae , skąd:
xk xk T
xk
e
�ł dT łł dN dN
T T
- �" �" aedx + N �"(1000 �" x2)dx = 0 ,
(4.60)
�łN �" śł
+" +"
dx
�ł �łx dx dx
x x
j j
j
xk T
dN dN
e
gdzie wyrażenie �" dx nazywane jest macierzą sztywności elementu i oznaczane przez K . Ze
+"
dx dx
x
j
względu na to ,że wektor ae , opisujący wartości temperatur w węzłach, nie zależy od zmiennej x , powyż-
sze równanie możemy zapisać macierzowo w postaci:
e e
K �" ae = f
(4.61)
.
e
Macierz sztywności K o wymiarach 2x2 jest macierzą symetryczną i osobliwą. Pozostałe wektory
e
ae i f mają wymiary 2x1. Wyniki działań we wzorze (4.60) przedstawiają się następująco:
1
łł
1 �ł -1
e
K = �"
�ł śł
xk - x
j �ł-1 1 �ł
xk
dT(x )
dT dT(xk )
�ł łł j
T T T
�" N = �" N (x ) ,
(4.62)
j
�ł śłx dx �" N (xk ) -
dx dx
�ł �ł
j
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 4. METODY APROKSYMACYJNEGO ROZWI
ZYWANIA RÓWNAC
16
RÓŻNICZKOWYCH
gdzie
0 1
�ł łł �ł łł
T T
N (xk ) = i N (x ) =
j
�ł1śł �ł0śł
�ł �ł �ł �ł
oraz
1000
xk 4 4
�ł - 4 �" xk �" x + 3�" x
łł
xk 4
T j j
12
(4.63)
N �"(1000 �" x2)dx = .
�ł śł
4
+"
xk - x xk 4 - 4 �" x �" xk 4 + x
�ł3�" śł
j j j
x
�ł �ł
j
Rys. 4.8. Dyskretyzacja MES przykładu w aproksymacji Galerkina (podział na 5 elementów)
Dokonajmy teraz dyskretyzacji rozważanego przedziału na pięć równych części (elementów) o długo-
ści 0.2 każdy. W wyniku tego podziału otrzymamy obraz, jaki pokazano na rysunku 4.8. Niewiadomymi są
teraz temperatury w sześciu węzłach. Zgodnie z (4.62) macierze sztywności elementów są identyczne i wy-
noszą:
1
łł 1 �ł -1 5 - 5
łł �ł łł
1 �ł -1 1
e
K = �" = �" =
�ł śł �ł śł �ł śł
xk - x 0.2 - 0.0
(4.64)
j �ł-1 1 �ł �ł-1 1 �ł �ł- 5 5 �ł
2 3 4 5
K1 = K = K = K = K .
Wektory prawych stron równania (4.61) dla elementów otrzymamy w postaci:
1000
0
0.24
�ł łł dT(x2 ) �ł-1 �ł - 4 �" 0.2 �" 0.04 + 3�" 0.04 łł
łł dT(x1)
1
12
f = �" + �" + ,
�ł3�" 0.24 4 �" 0.0 �" 0.24 + 0.04 śł
�ł1śł �ł śł
dx 0 dx 0.2 - 0.0
-
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 4. METODY APROKSYMACYJNEGO ROZWI
ZYWANIA RÓWNAC
17
RÓŻNICZKOWYCH
0
�ł łł dT(x2 ) �ł-1 0.667
łł dT(x1) �ł łł
1
f = �" + �" +
�ł1śł �ł śł �ł2.000śł,
dx 0 dx
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
0
�ł łł dT(x3) �ł-1 7.300
łł dT(x2 ) �ł łł
2
f = �" + �" +
�ł1śł �ł śł �ł11.30śł,
dx 0 dx
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
0
�ł łł dT(x4 ) �ł-1 22.00
łł dT(x3) �ł łł
3
f = �" + �" + (4.65)
�ł1śł �ł śł �ł28.60śł,
dx 0 dx
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
0
�ł łł dT(x5) �ł-1 44.70
łł dT(x4 ) �ł łł
4
f = �" + �" +
�ł1śł �ł śł �ł54.00śł,
dx 0 dx
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
0
�ł łł dT(x6 ) �ł-1 75.40
łł dT(x5) �ł łł
5
f = �" + �" +
�ł1śł �ł śł �ł87.30śł.
dx 0 dx
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
Podobnie jak to czyniliśmy poprzednio, dokonujemy agregacji macierzy sztywności całego układu
oraz wektora prawych stron zależności
K �" a = f (4.66)
gdzie teraz macierz K oraz wektory a i f opisują stan układu odniesiony do współrzędnych globalnych.
Po scaleniu otrzymujemy następujący układ równań:
5
�ł - 5 0 0 0 0 T1 0.667 - dT(x1) / dx
łł �ł łł �ł łł
�ł śł �łT śł �ł śł
9.33
2
�ł- 5 10 - 5 0 0 0 śł �ł śł �ł śł
�ł 0 - 5 10 - 5 0 0 śł �łT3 śł �ł 33.33 śł
�" = . (4.67)
�ł śł �łT śł �ł śł
0 0 - 5 10 - 5 0 73.33
4
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł �ł śł
0 0 0 - 5 10 - 5 T5 129.40
�ł śł �ł śł �ł śł
0 0 0 0 - 5 10 87.3 + dT(x6 ) / dx
�ł �ł �łT6 �ł �ł �ł
Wprowadzając warunki brzegowe (w węzłach 1 i 6 temperatura jest równa zeru), czyli na przykład
wykreślając z układu równań pierwszy i ostatni wiersz oraz pierwszą i ostatnią kolumnę z macierzy sztywno-
ści, otrzymujemy układ równań z czterema niewiadomymi. Rozwiązaniem tego układu są następujące wyniki:
T1 = 0,T2 = 16.5,T3 = 31.2,T4 = 39.2,T5 = 32.5,T6 = 0.
A
atwo sprawdzić, że otrzymane wyniki prawie w ogóle nie odbiegają od rozwiązania analitycznego
oczywiście co do wartości temperatur w wybranych przez dyskretyzację punktach. Warto zauważyć, że za-
bieg dyskretyzacji mimo przyjęcia funkcji próbnych w prostej postaci funkcji liniowych prowadzi do osią-
gnięcia bardzo dużej dokładności aproksymacji rozwiązania analitycznego.
Zadania
1. Przeanalizuj problem (4.7) z warunkami (4.8) wszystkimi przedstawionymi w tym rozdziale
metodami, przyjmując funkcje próbne w postaci:
a)
N1(x) = x �"(1 - x4),
b)
N1(x) = sin(Ąx)
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 4. METODY APROKSYMACYJNEGO ROZWI
ZYWANIA RÓWNAC
18
RÓŻNICZKOWYCH
2. Znajdz
rozwiązanie problemu (4.7) metodą Ritza przyjmując funkcję próbną w postaci:
N1(x) = x �"(1 - x3).
W jaki sposób rozwiązanie to odpowiada rozwiązaniu dokładnemu? Uogólnij otrzymany wynik.
3. Przyjmij równanie różniczkowe w postaci:
2
d y
+ 6 �" y = 10 �" x dla 0 d" x d" 2 ,
dx2
przy spełnieniu warunków brzegowych y(0) = 1 i y(2) = 0 . Sprawdz
, że funkcjonał, który podle-
ga ekstremalizacji w metodzie Rayleigha-Ritza jest wyrażony w postaci:
2
2
�ł łł
1 dy
�ł �ł
I = y -10 �" x �" y -
�ł �ł
�ł3�" śłdx .
+"
2 dx
�ł łł
�ł śł
0
�ł �ł
4. Przeanalizuj problem (4.7) metodą punktów kollokacji, przyjmując dwie funkcje próbne
N1(x) = x �"(1 - x2),
N1(x) = x �"(1 - x4)
1 2
oraz dwa punkty kollokacji dla współrzędnych x = i x = .
3 3
5. Rozwiąż problem z zadania 4 metodą najmniejszych kwadratów.
6. Przeanalizuj problem (4.7) metodą punktu kollokacji, zakładając
x = 0.2, x = 0.4, x = 0,6, x = 0.8 . Sporządz
wykresy i porównaj otrzymane rozwiązania z wyni-
kiem dokładnym.
7. Oblicz ugięcie belki swobodnie podpartej o rozpiętości l obciążonej ciężarem równomiernie
rozłożonym o intensywności q przyjmując funkcje próbne:
N1(x) = x �"(1 - x),
Ą �" x
�ł1 �ł
N1(x) = x �" - sin ,
�ł �ł
2 �" l
�ł łł
" metodą punktu kollokacji dla x = 0.5 i podobszaru kollokacji przyjętego dla całego przedziału,
" metodą najmniejszych kwadratów.
Porównaj otrzymane ugięcie w środku rozpiętości z wynikiem dokładnym.
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 5. PODSTAWOWE SFORMUA
OWANIA METODY ELEMENTÓW 1
SKOC
CZONYCH W NAWI
ZANIU DO RÓWNAC
MECHANIKI KONTINUUM
5.


PODSTAWOWE SFORMUA
OWANIA METODY ELEMENTÓW
SKOC
CZONYCH W NAWI
ZANIU DO RÓWNAC
MECHANIKI KONTINUUM
5.1. Podstawowe równania liniowej sprężystości
Stosowany w niniejszym opracowaniu opis omawianych zagadnień odnosi się do prostokąt-
nego układu współrzędnych kartezjańskich [x, y, z] lub, gdy stosujemy zapis wskaz
nikowy, do
układu [x1, x2, x3,]. Chcąc zdefiniować podstawowy układ równań opisujący stan naprężenia, stan
odkształcenia i pole przemieszczeń układu, będziemy się posługiwać następującymi oznaczeniami.
Niech stan naprężenia w nieskończenie małej objętości ciała poddanego działaniu obci-
ążenia będzie opisany w układzie współrzędnych za pomocą składowych tensora, uporząd-
kowanych w macierzy � w postaci:
ij
�11 �12 �13
�ł łł
�ł� śł
� = � � ,
(5.1)
ij 21 22 23
�ł śł
�ł� � � śł
�ł 31 32 33�ł
gdzie składowe �11 , � , � są naprężeniami normalnymi, natomiast �12 , �13 , � opisują naprężnia
22 33 23
styczne. Tensor stanu naprężenia (5.1) jest symetryczny, to znaczy, że zachodzą następujące równości:
�12 = � , �13 = � , � = � .
(5.2)
21 31 23 32
Stosując konsekwentnie zapis macierzowy, wygodnie jest niekiedy opisać stan naprężenia za po-
mocą wektora naprężenia � o następujących składowych:
T
� = [� , � , � , � , � , � ] .
(5.3)
xx yy zz xy xz yz
Tutaj, tak jak i poprzednio, za pomocą identycznych indeksów oznaczono składowe normalne, in-
deksy zaś różne, opisujące składowe macierzy � informują o składowych stycznych stanu naprężenia.
Stan odkształcenia, podobnie jak poprzednio nawiązujący do opisu tensorowego, reprezentuje ma-
cierz składowych �ij w postaci:
�11` �12 �13
�ł łł
�ł�
�ij = �22 �23śł .
(5.4)
21
�ł śł
�ł�31 �32 �33śł
�ł �ł
W zapisie macierzowym posługiwać się będziemy wektorem odkształcenia � , którego składowe
odniesione do układu [x, y, z], są następujące:
T
� = [� , � , � , ł , ł , ł ]
(5.5)
xx yy zz xy xz yz
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 5. PODSTAWOWE SFORMUA
OWANIA METODY ELEMENTÓW 2
SKOC
CZONYCH W NAWI
ZANIU DO RÓWNAC
MECHANIKI KONTINUUM
Zwracamy w tym miejscu uwagę, że we wzorze (5.5) posługujemy się tzw. inżynierskimi definicja-
mi odkształceń stycznych, związanymi z odpowiednimi składowymi tensora odkształceń za pomocą związ-
ków:
ł = 2 �"� , ł = 2 �"� , ł = 2 �"� .
(5.6)
xy xy yz yz xz xz
Przyjęcie w zapisie macierzowym miar inżynierskich odkształceń (ł - kąt odkształcenia postaciowe-
go) podyktowane jest dwoma faktami. Pierwszy to ich powszechne używanie w klasycznych zagadnieniach
liniowej sprężystości. Drugi zaś wynika z konieczności spójnego potraktowania miar naprężeń i odkształceń,
by w prosty sposób można było zapisać wyrażenie na pracę w obu zapisach - wskaz
nikowym i macierzo-
wym:
T
� �"�ij = � �"� .
(5.7)
ij
Oprócz pól naprężeń i odkształceń do zapisania podstawowego układu równań konieczne jest jesz-
cze pole przemieszczeń, którego składowe w punkcie opisane są w zapisie wskaz
nikowym:
T
ui = [u1, u2, u3] , (5.8)
lub w macierzowym:
T
(5.9)
u = [u, v, w] .
5.1.1 Podstawowe równania w zapisie wskaz
nikowym
Dla przypomnienia zapiszmy podstawowy układ równań liniowej teorii sprężystości. Typowa analiza
ciała odkształcalnego wymaga znalezienia funkcji naprężeń � lub przemieszczeń u spełniających następu-
jące równania: - trzy równania różniczkowe cząstkowe równowagi (równania Naviera)
� + bi = 0 i, j = 1,2,3,
(5.10)
ij
gdzie w zapisie wskaz
nikowym zastosowano umowę sumacyjną, co znaczy, że powtarzający się w jednomia-
nie wskaz
nik informuje o konieczności dokonania sumowania po wszystkich możliwych jego wartościach, a
występujący między wskaz
nikami znak przecinka jest symbolem różniczkowania względem odpowiedniej
"�
21
zmiennej przestrzennej; na przykład � = ;
21,1
"x1
- sześć równań różniczkowych cząstkowych geometrycznych (równania Cauchy'ego)
1
�ij = �"(ui, j + u ), (5.11)
j,i
2
- sześć równań algebraicznych fizycznych (równania Hooke'a)
� = Eijkl �"�kl ,
(5.12)
ij
Z powyższego zapisu nie wynika deklarowana uprzednio liczba równań, ale biorąc pod uwagę założe-
nia o izotropii, układ (5.12) redukuje się tylko do sześciu niezależnych równań i występujących w nich tylko
dwóch stałych materiałowych. Ponadto poszukiwane rozwiązania muszą dodatkowo spełniać:
- równania nierozdzielności geometrycznej
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 5. PODSTAWOWE SFORMUA
OWANIA METODY ELEMENTÓW 3
SKOC
CZONYCH W NAWI
ZANIU DO RÓWNAC
MECHANIKI KONTINUUM
�ij,kl + �kl,ij - �ik , jl - � = 0
(5.13)
jl,ik
w każdym punkcie obszaru, oraz
- naprężeniowe i przemieszczeniowe warunki brzegowe
� �" nj = pi* na brzegu S� ,
ij
(5.14)
(5.15)
ui = ui* na brzegu Su ,
przy czym oba deklarowane brzegi S� i Su są rozłączne, tworząc w sumie cały brzeg rozpatrywane-
go obszaru, tzn. S� )" Su = 0 oraz S� *" Su = S .
Domyślamy się, że ze względu na złożoność wymagań nakładanych na rozwiązania problemów, okre-
ślenie funkcji analitycznych, spełniających równania (5.10) - (5.15), nie jest łatwe. W szczególności zadanie
staje się niemożliwe do rozwiązania, jeśli skomplikuje się warunki brzegowe problemu. Zauważmy jeszcze,
że rozwiązanie problemu mechanicznego, opisanego za pomocą tak skonstruowanego modelu matematycz-
nego, prowadzi do zadania analizy matematycznej.
Trudności, na które natrafia się przy takim sformułowaniu, skłaniają do poszukiwania innych rozwią-
zań, tym razem już nie analitycznych lecz rozwiązań przybliżonych.
5.1.2. Podstawowe równania w zapisie macierzowym
Rozpocznijmy tym razem od równań geometrycznych. Odpowiednie składowe wektora odkształceń
można zapisać w następującej postaci:
"u "v "w "u "v
� = , � = , �z = , ł = + ,
x y xy
"x "y "z "y "x
(5.16)
"v "w "u "w
ł = + , ł = + .
yz xz
"z "z "z "x
Używając poprzednio wprowadzonych oznaczeń, zapiszemy powyższy układ zależności w postaci:
� = L �" u , (5.17)
gdzie macierz operatorów różniczkowych L ma wymiar (6x3) a jej składowe można przedstawić
jako
" "x 0 0
�ł łł
�ł śł
0 " "y 0
�ł śł
�ł 0 0 " "zśł
L = . (5.18)
�ł" "y " "x 0 śł
�ł śł
�ł śł
0 " "z " "y
�ł śł
�ł" "z 0 " "x�ł
Równania równowagi można teraz zapisać krótko:
(5.19)
LT �"� + b = 0 ,
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 5. PODSTAWOWE SFORMUA
OWANIA METODY ELEMENTÓW 4
SKOC
CZONYCH W NAWI
ZANIU DO RÓWNAC
MECHANIKI KONTINUUM
gdzie b jest wektorem sił masowych. Zwróćmy uwagę na fakt, że macierz operatorów różniczkowych rów-
nań równowagi (5.19) jest transponowana do odpowiedniej macierzy związków geometrycznych.
Równania fizyczne (konstytutywne), jako zależności między składowymi wektorów naprężeń i od-
kształceń, określone są następująco:
� -� �"� -� �"� �
x y z xy
� = , ł = ,
x xy
E G
� -� �"� -� �"� �
y x z yz
(5.20)
� = , ł = ,
y yz
E G
� -� �"� -� �"�
�
z x y
zx
� = , ł = ,
z zx
E G
gdzie przez E oznaczono moduł odkształcalności podłużnej (moduł Younga), zaś G = E 2 �" (1 +� ) jest
modułem odkształcalności postaciowej (moduł Kirchhoffa), � jest liczbą Poissona. W postaci równania ma-
cierzowego powyższą zależność konstytutywną można wyrazić jako
� = C �"� , (5.21)
gdzie
1
�ł -� -� 0 0 0
łł
�ł śł
0 0
�ł-� 1 -� 0 śł
�ł-� -� 1 0 0 0 śł
1
C = �" . (5.22)
�ł śł
E 0 0 0 2 �" (1 +� ) 0 0
�ł śł
�ł śł
0 0 0 0 2 �" (1 +� ) 0
�ł śł
0 0 0 0 0 2 �" (1 +� )�ł
�ł
Zależność (5.21) jest jednoznaczna, a kwadratowa macierz konstytutywna jest nieosobliwa, istnieje
więc odwzorowanie odwrotne
� = D �"� , (5.23)
gdzie macierz D = C-1 i jej reprezentacja przedstawia się następująco:
1
�ł -� � � 0 0 0
łł
�ł śł
� 1-� � 0 0 0
�ł śł
�ł � � 1 -� 0 0 0 śł
E
D = �" (5.24)
�ł śł
(1 +� ) �" (1 - 2 �"� ) 0 0 0 (1 - 2 �"� ) / 2 0 0
�ł śł
�ł śł
0 0 0 0 (1 - 2 �"� ) / 2 0
�ł śł
0 0 0 0 0 (1 - 2 �"� ) / 2�ł
�ł
Podsumowując łatwo zauważyć i docenić zwięzłość stosowanego zapisu macierzowego, który pozwa-
la widzieć podstawowy układ równań w następującej postaci:
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 5. PODSTAWOWE SFORMUA
OWANIA METODY ELEMENTÓW 5
SKOC
CZONYCH W NAWI
ZANIU DO RÓWNAC
MECHANIKI KONTINUUM
� = L �" u
LT �"� + b = 0 (5.25)
� = C �"� lub � = D �"�
5.2. Analiza przybliżona problemu brzegowego
Jak wspomniano wyżej, możliwość znalezienia rozwiązań problemów brzegowych w postaci zamknię-
tych formuł analitycznych ogranicza się, niestety, do wąskiej klasy zadań. W większości przypadków waż-
nych z inżynierskiego punktu widzenia, to znaczy dla przypadków znajdujących zastosowania praktyczne,
skomplikowane warunki podparcia układów, nietypowe obciążenia czy inne nieregularności uniemożliwiają
otrzymanie rozwiązań analitycznych. Chęć otrzymania wartościowych jakościowo i ilościowo wyników
opisujących stan układów zmusza do szukania odpowiedzi na drodze dyskretyzacji. Zamiast więc szukać
odpowiedzi układu w postaci pól naprężeń, odkształceń i przemieszczeń, poszukuje się wartości tych pól w
skończonej liczbie punktów należących do obszaru i jego brzegu. Z punktu widzenia zastosowań aparatu
matematycznego w przypadku stosowania dyskretyzacji uwalniamy się od rozwiązywania problemu róż-
niczkowego, zastępując go zadaniem algebraicznym. Nie chcemy w tym miejscu dyskutować o różnych
możliwościach stosowania dyskretyzacji, a co za tym idzie, o różnych metodach rozwiązywania problemów
brzegowych. Podkreślamy tylko, że omawiana tutaj MES zakłada analizę przybliżoną, polegającą na pod-
ziale całego układu na mniejsze części (elementy), posiadające charakterystyczne punkty zwane węzłami, w
których to punktach skoncentrowana jest niejako pełna informacja o zachowaniu się tych elementów i ich
własnościach. Wspomniane przybliżenie polega - w najbardziej podstawowej wersji - na przyjęciu pola
przemieszczeń opisującego przemieszczenie dowolnego punktu elementu, jako funkcji przemieszczeń wę-
złów i położenia danego punktu (jest to tzw. wersja przemieszczeniowa MES). Niewiadome są więc prze-
mieszczenia węzłów. Musimy być świadomi, że przyjmowane funkcje określające pole przemieszczeń ele-
mentu zwykle nie odpowiadają w pełni funkcjom analitycznym rozwiązującym problem różniczkowy. In-
nymi słowy, popełniamy na tym etapie błędy, które, jak można to udowodnić, maleją w miarę jak rośnie lic-
zba elementów, na które podzielono cały układ. Musimy być także świadomi, że przyjmując pole przemi-
eszczeń w postaci określonych funkcji, deklarujemy tym samym przez związki geometryczne pole odkształ-
ceń i dalej przez zależności konstytutywne - pole naprężeń. Jeśli w określonych przypadkach szczególnie
zależy nam na w miarę jak najlepszym odwzorowaniu pola odkształceń bądz
naprężeń, istnieją inne możli-
wości przyjęcia funkcji aproksymacyjnych, zakładających wprost te właśnie pola. Takie sformułowania
MES nie będą jednak przedmiotem niniejszego opracowania.
Rozważana wersja przemieszczeniowa MES w celu przeanalizowania problemu brzegowego wymaga
podjęcia następujących kroków:
- dokonania podziału układu (konstrukcji, kontinuum) na skończoną liczbę podobszarów o prostej
geometrii,
- wybrania punktów węzłowych (węzłów), w których zostaną zapewnione warunki równowagi i
zgodności przemieszczeń,
- założenia funkcji przemieszczeń w obszarach każdego elementu, takiego że przemieszczenia
wszystkich punktów zależą od przemieszczeń węzłów,
- spełnienia w elemencie zależności � = L �" u oraz � = D �"� ,
- wyznaczenia sztywności elementów i równoważnych sił węzłowych,
- zbudowania układu równań równowagi dla węzłów zdyskretyzowanego kontinuum,
- rozwiązania układu równań równowagi dla przemieszczeń węzłów,
- obliczenia przemieszczeń, odkształceń i naprężeń w wybranych punktach elementów,
- obliczenia reakcji podpór.
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 5. PODSTAWOWE SFORMUA
OWANIA METODY ELEMENTÓW 6
SKOC
CZONYCH W NAWI
ZANIU DO RÓWNAC
MECHANIKI KONTINUUM
5.3. Podstawy MES wynikające z równania pracy wirtualnej
Załóżmy, że trójwymiarowy element skończony jest zdefiniowany w kartezjańskim układzie
współrzędnych [x, y, z,]. Niech wektor u , opisujący przemieszczenie dowolnego punktu elementu, jest wy-
T
rażony za pomocą składowych: u = [u, v, w] , gdzie u, v, w są - odpowiednio - przemieszczeniami w
T
kierunku osi x, y, z . Siły masowe oznaczymy za pomocą wektora b = [bx , by , bz] , gdzie składowe ozna-
czają siły przypadające na jednostkę objętości, powierzchni lub długości. Przez d oznaczymy wektor
przemieszczeń węzłowych elementu.. Wymiar tego wektora jest równy liczbie węzłów elementu pomno-
żonej przez liczbę przyjętych stopni swobody węzła. Jeśli założymy, że przemieszczenia węzła opisują
składowe przesunięć w kierunku osi x, y, z oraz jeśli n jest liczbą węzłów w elemencie, to
d = [di], i = 1, 2,...,nen ,
(5.26)
gdzie
di = [dxi , d , dzi].
(5.27)
yi
Zauważmy tylko, że inne typy przemieszczeń, takie jak obroty czy krzywizny, mogą również być i
będą dalej traktowane jako składowe wektora przemieszczeń. Podobnie przyjmijmy siły węzłowe p jako
składowe sił we wszystkich węzłach elementu w kierunkach osi x, y i z :
p = [pi], i = 1,2,...,nen ,
(5.28)
gdzie
(5.29)
pi = [pxi , pyi , pzi].
Po tych definicjach wstępnych załóżmy pole przemieszczeń w elemencie jako funkcję przemieszczeń
węzłów elementu w postaci:
u = N �" d . (5.30)
Ponieważ wektor u ma wymiary (3x1) , zaś wektor przemieszczeń węzłów d wymiary liczby stopni
swobody elementu nedf = nen x 3, więc macierz funkcji próbnych, inaczej zwanych funkcjami kształtu, jest
macierzą prostokątną o wymiarach 3 x nedf . Każda ze składowych macierzy N jest funkcją i określa wpływ
danej składowej wektora przemieszczeń d na przemieszczenie dowolnego punktu elementu o współrzędnych
x, y, z .
Zależność �(u) otrzymuje się przez różniczkowanie stosownych wyrażeń na przemieszczenia,
� = L �" u �! � = L �" N �" d �! � = B �" d .
(5.31)
Macierz B opisuje więc odkształcenia w każdym punkcie elementu, spowodowane jednostkowym
przemieszczeniem kolejnych stopni swobody węzłów. Z prawa fizycznego łatwo więc wyprowadzić, że
� = D �"� �! � = D �" B �" d ,
(5.32)
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 5. PODSTAWOWE SFORMUA
OWANIA METODY ELEMENTÓW 7
SKOC
CZONYCH W NAWI
ZANIU DO RÓWNAC
MECHANIKI KONTINUUM
gdzie iloczyn macierzy D �" B opisuje - podobnie jak poprzednio - zmiany naprężeń jako funkcje prze-
mieszczeń węzłów.
Zasada prac wirtualnych głosi, że jeśli układ znajdujący się w równowadze poddany jest wirtualnym
przemieszczeniom (kinematycznie zgodnym stanom deformacji), wówczas praca wirtualna zewnętrznych
obciążeń jest równa wirtualnej energii odkształcenia naprężeń wewnętrznych:
� Ue = � We ,
(5.33)
gdzie U jest wewnętrzną energią odkształcenia, W - pracą sił zewnętrznych, zaś � oznacza wariację (stan
wirtualny - pomyślany, zgodny z więzami).
Wprowadz
my więc wirtualny stan przemieszczeń węzłowych i oznaczmy go przez�d = [�di]
(i = 1, 2,...,nen ) . Wirtualne przemieszczenia i odkształcenia można wówczas wyrazić jako
� u = N �"� d oraz � � = B �"� d .
(5.34)
Wirtualna energia układu i praca wirtualna sił zewnętrznych wyrażają się teraz w postaci wzorów:
T T
(5.35)
� Ue = �"� �" dV i � We = � pT �" p + �" b �" dV
+"�� +"�u
V V
kolejno podstawiając otrzymujemy z (5.33)
T T
�"
+"�� �"� �" dV = � pT p + +"�u �" b �" dV . (5.36)
V V
Uwzględniając (5.32) i (5.34), otrzymujemy
T T T T
� d BT �" D �"� �" dV = � d �" p +� d N �" b �" dV ,
+" +" (5.37)
V V
T
i raz jeszcze wykorzystując (5.34) i upraszczając przez � d , otrzymujemy
�ł �ł
T
�ł �ł
BT �" D �" B �" dV �" d = p + N �" b �" dV
(5.38)
+" +"
�ł �ł
�łV łł V
lub ostatecznie
K �" d = p + pb ,
(5.39)
gdzie K jest tzw. macierzą sztywności elementu, której składowe mogą być interpretowane jako fikcyjne
siły w węzłach, spowodowane jednostkowymi ich przemieszczeniami, pb zawiera równoważne siły węzło-
we spowodowane masą ciała.
�0
Obecność początkowego stanu odkształceń można uwzględnić w następujący sposób:
- założyć superpozycję stanów odkształceń
� = �0 + C �"� ,
(5.40)
- stąd naprężenie
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 5. PODSTAWOWE SFORMUA
OWANIA METODY ELEMENTÓW 8
SKOC
CZONYCH W NAWI
ZANIU DO RÓWNAC
MECHANIKI KONTINUUM
� = D �" (� - �0 )
(5.41)
i po podobnych podstawieniach i przekształceniach, jak to uczyniono powyżej, otrzymujemy:
K �" d = p + pb + p0 ,
(5.42)
gdzie p0 = BT �" D �"�0 �" dV jest wektorem równoważnym obciążeniom węzłów od początkowego
+"
V
stanu odkształceń (np. wpływ temperatury). Czytelnik mógłby dla nabrania umiejętności sprawdzić
poprawność wyprowadzonego wzoru (5.42).
Prześledz
my na prostym przykładzie pręta (rys. 5.1) postacie opisywanych macierzy oraz sposób doj-
ścia do sformułowania macierzy sztywności prostego elementu. Podkreślmy jednak w tym miejscu, że jak
dotąd próbujemy wyłącznie zdefiniować składowe stosownych macierzy i wektorów, odniesione do lokal-
nego układu współrzędnych i tylko do jednego elementu.
Rys. 5.1. Funkcje kształtu dla dwuwęzłowego elementu kratownicy
Wektor przemieszczenia upraszcza się tutaj do jednej tylko składowej u = [ux], podobnie zresztą jak
wektor sil masowych b = [bx]. Element jest dwu węzłowy i ma po jednym stopniu swobody w każdym węz
-
le, tak więc globalny wektor przemieszczeń jest tylko dwuelementowy d = [d1, d2]= [u1, u2]. Podobnie
rzecz się ma z obciążeniami p = [p1, p2]= [px1, px2]. Przyjmijmy funkcję przemieszczeń w postaci lin-
iowej:
u = c1 + c2 �" x , (5.43)
gdzie stałe ci wyznaczymy z warunków brzegowych
dla x = 0 u = d1 �! c1 = d1,
(5.44)
dla x = L u = d2 �! c2 = (d2 - d1)/ L .
Przemieszczenie dowolnego punktu wyraża się zatem wzorem
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 5. PODSTAWOWE SFORMUA
OWANIA METODY ELEMENTÓW 9
SKOC
CZONYCH W NAWI
ZANIU DO RÓWNAC
MECHANIKI KONTINUUM
d1
x x �ł łł
�ł1 łł
u = - , �" = N �" d , (5.45)
�ł
L Lśł �łd2 śł
�ł �ł
�ł �ł
gdzie macierz funkcji kształtu N składa się z dwóch funkcji liniowych. Przebieg tych funkcji zilustrowano
na rysunku 5.1.
Odkształcenia dla tego prostego przypadku opisano tylko jedną składową
du dN
� = [� ]= L �" u = = �" d = B �" d (5.46)
x
dx dx
więc
1
B = Nx = �"[-1, 1]. (5.47)
L
Stan naprężenia również sprowadza się do jednej tylko składowej:
� = � = D �"� = E �"� = E �" B �" d ,
(5.48)
x x
gdzie operator konstytutywny uprościł się do jednej tylko stałej.
Rys. 5.2. Obciążenia pręta kratownicy: osiowe ciągłe i liniowo zmienne
Macierz elementu otrzymujemy teraz z podstawienia:
L
łł E �" A �ł -1
łł
E �ł-1 1
K = BT �" D �" B �" dV = �" �"[-1 1] dA dx =
(5.49)
śł �ł śł
+" +"+"
L2 �ł 1 L
�ł �ł �ł-1 1 �ł
V 0 A
gdzie przyjęto, że pole powierzchni przekroju pręta jest stale na całej jego długości.
Przyjmijmy dodatkowo, że pręt obciążony jest siłą masową, zmieniającą się liniowo, tak jak to poka-
zano na rysunku 5.2 według funkcji:
b2 - b1
bx = b1 + �" x ; (5.50)
L
wówczas wektor sił masowych działających w węzłach wynosi:
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 5. PODSTAWOWE SFORMUA
OWANIA METODY ELEMENTÓW 10
SKOC
CZONYCH W NAWI
ZANIU DO RÓWNAC
MECHANIKI KONTINUUM
L
2 �" b1 + b2
1 �ł łł
T
pb = N �" bx �" dx = �" .
(5.51)
�łb
+"
6 + 2 �" b2 śł
�ł 1 �ł
0
Gdy element poddany jest działaniu temperatury "T , mamy do czynienia z początkowymi odkształ-
ceniami �0 = �T = ą �" ("T ) , gdzie przez ą oznaczono współczynnik rozszerzalności cieplnej materiału.
Siły przykładane w węzłach elementu, spowodowane początkowymi odkształceniami, wynoszą:
L
�ł-1
łł
p0 = pT = BT �" D �"ą �" ("T )dA dx = E �" A�"ą �" ("T ) �" .
(5.52)
�ł śł
+"+"
1
�ł �ł
0 A
Czytelnik mógłby zadać sobie trud sprawdzenia poprawności wyników wzorów (5.51) i (5.52).
5.4. Podstawy MES wyprowadzone z twierdzenia o minimum całkowitej energii po-
tencjalnej
Otrzymane w poprzednim rozdziale równania MES uzyskuje się również przez zastosowanie
twierdzenia o minimum całkowitej energii potencjalnej. Twierdzenie to głosi, że spośród wszystkich kinema-
tycznie dopuszczalnych pól przemieszczeń spełnia się to, które całkowitej energii potencjalnej zapewnia mi-
nimum. Całkowita energia potencjalna układu wyraża się jako:
 = U -W , (5.53)
gdzie U oznacza energię sprężystą ciała, a W jest pracą sił zewnętrznych. A
atwo wykazać, że  dla ciała
liniowo-sprężystego jest funkcjonałem kwadratowym i ma jedno globalne minimum. Rozwiązanie jest więc
jednoznaczne. Energię  zapiszemy więc w postaci:
1
T T T
 = �"
(5.54)
+"� �"� �" dV - +"u �" b �" dV - +"u �" p* dS ,
2
V V S
gdzie p* jest danym obciążeniem brzegu S Przyjmując interpolację dla elementu w znanym już nam
kształcie:
T
u = N �" d, � = B �" d, � = D �"�,
możemy powyższe twierdzenie ograniczyć do obszaru elementu i zapisać:
1
T T T T T
 = �" BT �" D �" B �" d �" dV - d �" N �" b �" dV - d �" N �" p* �" dS ;
(5.55)
+"d +" +"
2
Ve Ve S�
ze stacjonarności tego wyrażenia wynika równowaga elementu:
" e
= 0 �! BT �" D �" B �" dV �" d - pe = K �" d - pe ,
(5.56)
+"
"d
Ve
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 5. PODSTAWOWE SFORMUA
OWANIA METODY ELEMENTÓW 11
SKOC
CZONYCH W NAWI
ZANIU DO RÓWNAC
MECHANIKI KONTINUUM
gdzie pe opisuje siły węzłowe danego elementu jako efekt obciążeń masowych b i powierzchniowych p* :
T T
pe = N �" b �" dV + N �" p* �" dS .
+" +" (5.57)
Ve S�
Sprawę modyfikacji wyprowadzonych wzorów dla przypadków uwzględniających udział odkształceń
wstępnych pozostawia się Czytelnikowi.
Energia sprężysta pojedynczego elementu belkowego bez uwzględnienia wpływu ścinania wynosi:
1 1 E
2
T T
Ue =
x (5.58)
+"� �"� �" dV = +"� �" D �"� �" dV = +"� �" dV .
2 2 2
Ve Ve Ve
Jeśli przyjmiemy klasyczne założenie belki Bernoulli'ego, że odkształcenie jest funkcją przemieszcze-
nia (ugięcia),
2
d v
(5.59)
� = - y �" ,
x
dx2
wówczas energia wewnętrzna elementu zginanego wynosi:
2 2 2 2
1 1
2 2 2 2
E �ł d v �ł E �ł �ł E d v E �" I d v
d v �ł �ł �ł �ł
Ue = y2 �" �ł �ł �" dV =
+"�ł- y �" �ł �" dV = +" �ł �ł +"�ł �ł +"+"dA dx = +"�ł dx2 �ł dx . (5.60)
�ł �ł �ł �ł
2 dx2 �ł 2 dx2 2 dx2 �ł 2
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
Ve Ve 0 A 0
Równanie powyższe interpretuje energię wewnętrzną elementu belkowego jako funkcję przemieszczeń,
v = f (x)
.
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 5. PODSTAWOWE SFORMUA
OWANIA METODY ELEMENTÓW 12
SKOC
CZONYCH W NAWI
ZANIU DO RÓWNAC
MECHANIKI KONTINUUM
Rys. 5.3. Postacie funkcji kształtu dla elementu belkowego
Rozpatrzmy element belkowy, płaski, dwuwęzłowy zginany w płaszczyz
nie x0 y , jak na rysunku 5.3.
Wektor przemieszczeń węzłowych przyjmijmy w postaci d = [d1, d2, d3, d4]= [v1, Ć1, v2, Ć2], gdzie
przez v oznaczono przemieszczenie prostopadłe do osi pręta, zaś Ć jest kątem obrotu przekroju. Indeksy
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 5. PODSTAWOWE SFORMUA
OWANIA METODY ELEMENTÓW 13
SKOC
CZONYCH W NAWI
ZANIU DO RÓWNAC
MECHANIKI KONTINUUM
1,2 odnoszą się do numeracji węzłów. Zgodnie z założeniami klasycznej teorii belek kąty obrotu są po-
chodnymi przemieszczeń:
dv1 dv2
Ć1 = , Ć2 = . (5.61)
dx dx
Odpowiedni wektor sił węzłowych p = [p1, m1, p2, m2] zawiera siły skupione działające w kierun-
ku przemieszczeń oraz momenty zginające zgodne z kątami obrotów przekrojów.
Załóżmy funkcję przemieszczeń w postaci kompletnego wielomianu trzeciego stopnia:
v(x) = c1 + c2 �" x + c3 �" x2 + c4 �" x3 . (5.62)
W funkcji tej współczynniki ci wyznaczymy z warunków brzegowych, które definiują wielkości
przemieszczeń i kątów obrotów na końcach elementów jako równe składowym wektora d. Zapiszmy te wa-
runki:
dv(0)
dla x = 0 v(0) = v1 oraz = Ć1
dx
(5.63)
dv(l)
dla x = l v(l) = v2 oraz = Ć2
dx
Po wyznaczeniu stałych ci zapiszemy macierz funkcji kształtu:
1
N = �"[2 �" x3 - 3�" l �" x2 + l3, l �" x3 - 2 �" l2 �" x2 + x �" l3, - 2 �" x3 + 3�" l �" x2, l �" x3 - l2 �" x2] (5.64)
l3
Funkcje kształtu, które przedstawiono na rysunku 5.3, opisują zmianę przemieszczenia v(x) , spowo-
dowaną jednostkowymi przemieszczeniami węzłów. Jeśli założymy dalej prawdziwość hipotezy płaskich
przekrojów, wówczas przemieszczenie podłużne wyniesie:
dv
u(x) = - y �" , (5.65)
dx
skąd odkształcenie
2 2
du d v d v
(5.66)
� = = - y �" = - y �"� , gdzie � = .
x
dx dx2 dx2
Widzimy zatem, że operator różniczkowy L , transformujący przemieszczenie v(x) w odkształcenie � , ma
x
postać:
2
d
(5.67)
L = - y �" ,
dx2
skąd macierz B = L �" N otrzymujemy w postaci:
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 5. PODSTAWOWE SFORMUA
OWANIA METODY ELEMENTÓW 14
SKOC
CZONYCH W NAWI
ZANIU DO RÓWNAC
MECHANIKI KONTINUUM
y
B = L �" N = - �"[12 �" x - 61, 61�" x - 412, -12 �" x + 61, 61�" x - 212]. (5.68)
l3
Pamiętając, że dla tego prostego przypadku związek fizyczny ma postać � = E �"� (czyli operator
x x
D = E ), otrzymujemy macierz sztywności K dla elementu belkowego:
16 6 �" l -12 6 �" l
�ł łł
-
E �" Iz �ł 6 �" l 4 �" l2 6 �" l 2 �" l2 śł
�ł śł
Ke = �" , (5.69)
l3 �ł-12 - 6 �" l 12 - 6 �" lśł
�ł
6 �" l 2 �" l2 - 6 �" l 4 �" l2 śł
�ł �ł
gdzie Iz = y2dA . Drobne przekształcenia, które należało wykonać, by w końcu otrzymać jawną postać
+"
A
macierzy Ke , pozostawiamy Czytelnikowi.
Równoważne obciążenia węzłowe, wynikające z przyjęcia ciężaru równomiernie rozłożonego by bądz

liniowo zmieniającego się by (x) , jak na rysunku 5.4 wynoszą odpowiednio:
l
by �" l
T
pb = N �" by �" dx = �"[6, l, 6, - l] - obciążenie stałe,
+"
12
0
(5.70)
by �" l
pb = �"[9, 2 �" l, 21, - 3�" l] - obciążenie liniowo zmienne.
60
Rys. 5.4 Obciążenia elementu belkowego: obciążenie równomierne i liniowo zmienne
Chcąc uwzględnić również wpływ odkształceń początkowych załóżmy, że element poddany jest lin-
iowej zmianie temperatury od "T1 na części dolnej do "T2 na górnej. Jeśli "T1 > "T2 i wysokość elementu
jest równa h , to zmiana temperatury w każdym punkcie wynosi:
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 5. PODSTAWOWE SFORMUA
OWANIA METODY ELEMENTÓW 15
SKOC
CZONYCH W NAWI
ZANIU DO RÓWNAC
MECHANIKI KONTINUUM
1 y
"T = �"("T1 + "T2)- �"("T1 - "T2). (5.71)
2 h
Pierwszy człon opisuje efekt równomiernego ogrzania, a ponieważ nie wywołuje zginania, zostanie w
dalszych rozważaniach pominięty. Drugi człon powoduje odkształcenia od zginania:
y
� = -ą �" �"("T1 - "T2 ) (5.72)
,
xT
h
znajdujemy więc
pT = BT �"� �" dV =
T
+"
V
(5.73)
l
y ą �" E �" Iz
= - BT �" E �"ą �" �"("T1 - "T2 )�" dAdx = �"("T1 - "T2)�"[0, - l, 0, l]
+"+"
h h
0 A
Jeżeli znane są wyrażenia określające krzywizny początkowe �0 elementu, to początkowe odkształ-
cenia wyrażają się zależnością:
� = - y �"�0 ,
(5.74)
x0
siły węzłowe wyznaczymy zgodnie z (5.42) jako:
pT = BT �" D �"�0 �" dV .
+" (5.75)
V
5.5. Podsumowanie
Spróbujmy na koniec tego rozdziału uświadomić sobie, w jaki czysto formalny sposób możemy zbu-
dować macierze sztywności elementów oraz wektory obciążeń, wynikające bądz
z działania sił masowych,
bądz
z wstępnych odkształceń. Zapamiętajmy następujący tok postępowania:
1. Rozpoczynamy od aproksymacji pola przemieszczeń, którą można wyrazić następująco :
u = g �" c ,
(5.76)
gdzie przez g oznaczyliśmy tzw. macierz geometryczną, która najczęściej gromadzi odpowied-
nie potęgi stosowanych wielomianów interpolacyjnych, zaś c jest macierzą stałych. Stałe te
wyznaczymy z warunków brzegowych, ( przemieszczenia w węzłach muszą być zgodne z warto-
ściami przemieszczeń, wynikającymi z przyjętych funkcji )
2. Warunki brzegowe wyrażą się w postaci:
d = h �" c , gdzie h = [gi] dla i = 1, 2,...,nedf .
(5.77)
Macierz h jest macierzą kwadratową i nieosobliwą, tak więc z układu równań (5.77) można wy-
znaczyć stałe wielomianów interpolacyjnych jako funkcji przemieszczeń węzłów,
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 5. PODSTAWOWE SFORMUA
OWANIA METODY ELEMENTÓW 16
SKOC
CZONYCH W NAWI
ZANIU DO RÓWNAC
MECHANIKI KONTINUUM
(5.78)
c = h-1 �" d .
3. Funkcje kształtu otrzymamy teraz automatycznie i formalnie:
u = g �" h-1 �" d = N �" d , (5.79)
więc N = g �" h-1 .
4. Znając postać operatora różniczkowego L , z łatwością wyznaczymy macierz B = L �" N .
5. Teraz zupełnie formalnie przy ustalonym prawie konstytutywnym � = D �"� otrzymujemy ma-
cierz sztywności K oraz pozostałe wektory pb, p0 lub pT .
Zaproponowany sposób postępowania spróbujemy wykorzystać w dalszych rozważaniach. Należy
jednak zaznaczyć, że o ile dla elementów o niewielkiej liczbie stopni swobody taki formalny sposób podej-
ścia jest wygodny, o tyle dla elementów bardziej skomplikowanych może okazać się nieskuteczny. W takich
przypadkach wygodniej będzie od razu próbować zdefiniować postacie funkcji kształtu N, a nie uzyskiwać
ich w sposób formalny. Ma to miejsce głównie w sytuacjach, gdy unika się budowania jawnej postaci macie-
rzy sztywności elementu, a otrzymuje się ją w wyniku zabiegów numerycznych.
Na koniec rozważań na temat formułowania elementów skończonych podejmijmy próbę odpowiedzi
na pytanie, kiedy rozwiązanie równania różniczkowego, opisującego dane zagadnienie brzegowo-
początkowe otrzymane za pomocą MES będzie zbiegać się z rozwiązaniem analitycznym (dokładnym). Czy
w miarę zwiększania liczby elementów skończonych rozwiązanie to będzie zbieżne z rozwiązaniem dokład-
nym? Zaznaczmy przed rozpatrzeniem tego problemu, że rozwiązania otrzymywane metodą elementów
skończonych są obarczone kilkoma typami błędów, wynikającymi z: błędów zaokrągleń obliczeń kompute-
rowych, błędów wynikających z aproksymacji praw konstytutywnych, błędów powstałych z całkowania ma-
cierzy i błędów metod rozwiązywania równań (sposobu całkowania równań ruchu). Poniżej rozpatrzymy
tylko błędy wynikające z dyskretyzacji, czyli idealizacji konstrukcji czy kontinuum materialnego elementami
skończonymi.
Można wykazać, że w celu zapewnienia monotonicznej zbieżności rozwiązań elementy skończone
muszą spełniać dwa zasadnicze kryteria: zupełności i zgodności. Jeżeli są one spełnione, to dokładność wy-
ników rośnie w miarę zagęszczania siatki podziału na elementy.
Warunek zupełności wymaga, by funkcje przemieszczeń elementu mogły reprezentować jego ruch
sztywny (beznaprężeniowy) oraz stan stałych odkształceń. Na przykład dla elementu płaskiego wymagane
jest by funkcje przemieszczeń mogły przedstawić 3 postacie ruchu sztywnego (dwa translacyjne i jeden
sztywny obrót) oraz stan stałego odkształcenia. Stan stałego odkształcenia można zinterpretować wymaga-
niem, by w miarę zagęszczania elementów przez ich pomniejszanie, w elementach takich odkształcenia po-
winny być stałe, by móc skolei reprezentować dowolne zmienny stan odkształcenia całego układu.
Drugie kryterium, tzw. kryterium zgodności elementu, oznacza, że przemieszczenia wewnątrz elemen-
tu jak i na jego brzegach powinny być ciągłe. Chodzi o to, by nie pojawiały się nieciągłości pola przemi-
eszczeń pomiędzy elementami w sytuacji, gdy układ elementów zostanie poddany obciążeniu. W przypadku
gdy mamy do czynienia tylko z translacyjnymi stopniami swobody wymaganie to sprowadza się do spraw-
dzenia tylko ciągłości przemieszczeń u, v i w . W przypadku występowania rotacyjnych stopni swobody
zdefiniowanych jako pochodne przemieszczeń (w elementach belkowych i płytowych), należy spełnić to
wymaganie również dla tych stopni swobody, czyli spełnić ciągłość ich pierwszych pochodnych. Ciągłość tę
zazwyczaj trudno jest spełnić dla elementów płytowych, w których kąty obrotu są otrzymywane przez róż-
niczkowanie przemieszczeń poprzecznych.
Elementy nie spełniające powyższych kryteriów nazywane są elementami niedostosowanymi a ich
stosowanie nie gwarantuje . monotonicznej zbieżności wyników.
To, czy element jest zgodny i zupełny, zależy od użytego sformułowania i każde sformułowanie
należy sprawdzić indywidualnie.
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 5. PODSTAWOWE SFORMUA
OWANIA METODY ELEMENTÓW 17
SKOC
CZONYCH W NAWI
ZANIU DO RÓWNAC
MECHANIKI KONTINUUM
Zadania
1. Zapisz funkcjonały całkowitej energii potencjalnej w notacji wskaz
nikowej i macierzowej dla ogól-
nego problemu kontinuum.
2. Podaj wyprowadzenie wzoru na macierz sztywności elementu belkowego z twierdzenia o minimum
całkowitej energii potencjalnej.
3. Wyprowadz
wzory na postaci macierzy sztywności elementu prętowego (kratownicy) z równania
pracy wirtualnej i twierdzenia o minimum całkowitej energii potencjalnej. Jakie są wspólne cechy
tego wyprowadzenia?
4. Dana jest rama o geometrii przedstawionej poniżej na rysunku. Pozostałe dane o przekrojach przyj-
mij z tablicy. Należy :
- ponumerować węzły i pręty,
- sformułować macierze połączeń węzłów,
- obliczyć macierze sztywności wybranych elementów w układzie globalnym,
- dokonać agregacji globalnej macierzy sztywności układu,
- zmodyfikować układ równań zgodnie z warunkami brzegowymi.
Rysunek geometrii ramy płaskiej
A A A I I E P
[cm4 ] [cm4 ]
[kN]
[m] [cm2 ] [cm2 ] [GPa]
1.2 40 22 3000 1000 200 10
2.0 18 28 570 1450 200 12
1.0 240 96 9000 1200 80 6
1.5 240 72 9000 900 100 3
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
6. PA
ASKI STAN NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 1
6.


PA
ASKI STAN NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA
6.1. Podsumowanie równań opisujących płaskie stany
Przypomnienie najważniejszych zależności opisujących podstawy liniowej mechaniki ciała stałego dla
ogólnego przypadku przestrzennego zawarto w rozdziale 5. Ponieważ wiele technicznie ważnych zagadnień
ogranicza się do opisu dwuwymiarowego zestawimy poniżej znane z kursów wytrzymałości materiałów i
podstaw liniowej teorii sprężystości podstawowe formuły opisujące równowagę, związki geometryczne i
fizyczne, wykorzystywane w zadaniu dwuwymiarowym. Analizując stan naprężenia, posługiwać się bę-
dziemy składowymi tensora naprężenia, zapisanymi w postaci wektora:
� = [� , � , � ].
(6.1)
x y xy
Rys. 6.1. Znakowanie składowych naprężeń
Za dodatnie składowe uznamy te, których zwrot jest zgodny ze zwrotem składowych zaznaczonych na
rysunku 6.1.
Wartości składowych naprężenia, odniesione do układu obróconego o kąt a, wyrażone są za pomocą
następujących wzorów transformacyjnych:
� = � �" cos2 ą +� �" sin2 ą + 2 �"� �" cosą �" siną,
x' x y xy
� = � �" sin2 ą +� �" cos2 ą - 2 �"� �" cosą �" siną,
(6.2)
y' x y xy
� = -(� -� )�" siną �" cosą +� �"(cos2 ą - sin2 ą)
x'y' x y xy
lub krócej w postaci macierzowej
� ' = Tą �"� ,
(6.3)
gdzie wektory � ' i � opisują stan naprężenia odniesiony odpowiednio do układu współrzędnych obróco-
nych (x'0 y') i wyjściowych (x0 y). Macierz transformacji T przyjmuje postać:
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
6. PA
ASKI STAN NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 2
�ł łł
c2 s2 2 �" s �" c
�ł śł
Tą = s2 c2 2 �" s �" c
(6.4)
�ł śł
�ł- s �" c s �" c c2 s2 śł
-
�ł �ł
Niekiedy wygodnie jest przedstawić te same zależności transformacyjne, wykorzystując wzory na kąty
podwójne. Otrzymujemy wówczas:
� +� � -�
x y x y
� = + �" cos(2ą)+� �" sin(2ą),
x' xy
2 2
� +� � -�
x y x y
(6.5)
� = - �" cos(2ą)-� �" sin(2ą),
y' xy
2 2
� - �
x y
� = - �" sin(2ą)+� �" cos(2ą)
x'y' xy
2
Oczywiście muszą być spełnione znane warunki niezmienniczości:
� +� = � +� = const,
x y x' y'
(6.6)
2 2
� �"� -� = � �"� -� = const.
x y xy x' y' x' y'
Kierunki osi głównych naprężeń i ekstremalne wartości naprężeń głównych otrzymamy, szukając eks-
tremum (6.5) względem a, co po prostym różniczkowaniu i porównaniu do zera prowadzi do
2 �"�
xy
tg(2ągl )= .
(6.7)
� -�
x y
2
� -� � -�
�ł �ł
x y x y 2
(6.8)
� = ą �ł �ł +� = � .
I ,II xy max,min
�ł �ł
2 2
�ł łł
Rys. 6.2. Przemieszczenia i odkształcenia dla elementu płaskiego
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
6. PA
ASKI STAN NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 3
Maksymalne naprężenia ścinające odniesione są do układu współrzędnych, obróconego o n/4 w sto-
sunku do układu osi głównych i ich wartości wynoszą:
2
�
�ł -�
�ł
x y 2
(6.9)
� 'max = �ł �ł +� .
xy
�ł �ł
2
�ł łł
Mówiąc o stanie odkształcenia, będziemy się posługiwać wektorem opisującym składowe odniesione
do układu (x0 y) w postaci:
� = [� , � , ł ].
(6.10)
x y xy
Znane zależności geometryczne (związki Cauchy'ego) z zastosowaniem opisu przemieszczeń u i v ,
odpowiednio w kierunkach osi x i y , wyrażają się teraz w postaci:
"u "v "u "v
� = , � = , ł = + .
(6.11)
x y xy
"x "y "y "x
Stosowne zależności między przemieszczeniami, a odkształceniami pokazano na rysunku 6.2. W zapi-
sie macierzowym związki (6.10) można również przedstawić jako
� = L �" u , (6.12)
T
gdzie wektor u = [u, v] , zaś operator różniczkowy L dla problemu dwuwymiarowego ma postać:
�ł " łł
�ł"x 0 śł
�ł śł
"
�ł śł
L = 0 .
(6.13)
�ł śł
"y
�ł śł
" "
�ł śł
�ł"y "x �ł
Interesujące są również wartości składowych odkształceń w układzie obróconym (x'0 y'). Aby je wy-
znaczyć, porównajmy wyrażenia na energię odkształcenia wyrażoną w układach osi wyjściowym i obróco-
nym. Otrzymujemy następującą sekwencję wzorów:
T T
(� � ') �"�' = (� � ) �"� ,
T T
a ponieważ � � ' = Tą �"� � , więc (� � ) �"Tą T �"�' = (� � ) �"� ,
z czego wynika, że:
Tą T �"�' = � oraz �' = Tą -T �"� ,
gdzie macierz transformacji ma postać:
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
6. PA
ASKI STAN NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 4
�ł łł
c2 s2 s �" c
�ł śł
Tą -T = s2 c2 - s �" c .
(6.14)
�ł śł
�ł- 2 �" s �" c 2 �" s �" c c2 s2 śł
-
�ł �ł
Podobnie jak poprzednio dla stanu naprężenia można przedstawić wzory na kierunki i wartości głów-
nych odkształceń.
Załóżmy teraz, że materiał jest izotropowy i wyprowadz
my stosowne wzory opisujące zależności
między wektorami stanu naprężenia � i odkształcenia � dla przypadków analizy płaskiego stanu
naprężenia i odkształcenia.
Płaski stan naprężenia, występujący w płaszczyz
nie x0 y , charakteryzuje się tym, że następujące
składowe tego stanu są równe zeru: � = � = � = 0 , co pociąga za sobą, że również składowe odkształ-
z xy yz
ceń są równe zeru : ł = ł = 0 oraz � `" 0 . Odpowiednie zależności przedstawiają się następująco:
xz yz z
1 1
� = �"(� -� �"� ), � = �"(� -� �"� ),
x x y y y x
E E
(6.15)
1 2 �"(1+� ) �
ł = �"� = �"� oraz � = - �"(� +� ),
xy xy xy z x y
G E E
lub w postaci odwrotnych relacji:
E E
� = �"(� -� �"� ), � = �"(� -� �"� ),
x x y y y x
2 2
1 -� 1 -�
(6.16)
E E �" 
� = �"ł = �"ł
xy xy xy
2
2 �"(1 +� ) 1 -�
1 -�
gdzie stałą  można wyrazić za pomocą liczby Poissona � w postaci:  =
2
Powyższe zależności można zapisać macierzowe w następujący sposób:
1
�ł -� 0
łł
1
�ł śł
� = C �"� gdzie C = �" (6.17)
�ł-� 1 0 śł
E
�ł 0 0 2 �" (1 +� )śł
�ł �ł
lub odwrotnie
1 � 0
�ł łł
E
�ł�
� = D �"� gdzie D = C-1 = �" 1 0śł (6.18)
2
�ł śł
1 -�
�ł0 0 śł
�ł �ł
W płaskim stanie odkształcenia następujące składowe są równe zeru:�z = ł = ł = 0 , co powodu-
xy yz
je, że odpowiednie składowe stanu naprężenia � = � = 0 oraz � `" 0 . Odpowiednie zależności fizyczne
xz yz z
przedstawiają się następująco:
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
6. PA
ASKI STAN NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 5
1 1
� = �"(� -� �"� -� �"� ), � = �"(� -� �"� -� �"� ),
x x y z y y x z
E E
(6.19)
2 �"(1 +� )
ł = �"�
xy xy
E
oraz
1
�z = �"(-� �"� -� �"� +� ), skąd � =� �"(� + � ).
x y z z x y
(6.20)
E
Podstawiając powyższy rezultat do wzorów (6.18), otrzymujemy ostatecznie :
1 +� 1 +�
� = �"[(1 +� )�"� -� �"� ], � = �"[(1 +� )�"� -� �"� ],
x x y y y x
E E
(6.21)
2 �"(1 +� )
ł = �"�
xy xy
E
lub odwracając zależności
E E
� = [(1 )�"� ], �"[(1 +� )�"� -� �"� ],
x x y y y x
(1 +� )�"(1 - 2� )�" +� -� �"� � = (1 +� )�"(1 - 2� )
(6.22)
E
� = �"ł .
xy xy
2 �"(1 +� )
W zapisie macierzowym macierze analogiczne do tych, które występują we wzorach (6.16) i (6.17),
mają teraz następującą postać:
1
�ł -� -� 0
łł
1 +�
�ł
C = �" -� 1 -� 0śł
�ł śł
E
�ł 0 0 2śł
�ł �ł
oraz
(6.23)
�ł1 -� � 0 łł
�ł śł
E
�ł śł
D = C-1 = �" � 1 -� 0
(1 +� )�"(1 - 2 �"� )
�ł 1 - 2 �"� śł
0 0
�ł śł
�ł 2 �ł
6.2. Elementy trójkątne płaskiego stanu naprężeń i odkształceń
6.2.1. Trójwęzłowy element o stałych odkształceniach
Jednym z pierwszych elementów służących do opisu dwuwymiarowego kontinuum jest element trój-
kątny o stałych odkształceniach, w literaturze znany pod skrótową nazwą CST (Constant Strain Triangle). W
elemencie tym wyróżnia się trzy węzły (wierzchołki trójkąta), które mają po dwa translacyjne stopnie swo-
body. Przemieszczenie dowolnego punktu elementu opisane jest w układzie x0 y za pomocą dwóch skład-
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
6. PA
ASKI STAN NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 6
owych u i v . Kolejne przemieszczenia węzłowe oznaczono przez d1 do d6 , odpowiadają one stopniom
swobody oznaczonym na rysunku 6.3. Wektor przemieszczeń d , opisujący deformację elementu, składa się
zatem z następujących składowych:
T T
d = [d1, d2, d3, d4, d5, d6] = [u1, v1, u2, v2, u3, v3] . (6.24)
Przyjmijmy funkcje opisujące wielkości przemieszczeń u i v w postaci liniowo zależnej od x i
y :
u = c1 + c2 �" x + c3 �" y, v = c4 + c5 �" x + c6 �" y .
(6.25)
T
W postaci macierzowej założoną aproksymację zmian wektora przemieszczeń u = [u, v] można
wyrazić jako:
u = g �"c ,
(6.26)
gdzie c jest wektorem stałych ci , jak dotąd nieznanych, zaś tak zwana macierz geometryczna g ma postać:
1 x y 0 0 0
�ł łł
g =
(6.27)
�ł0 0 0 1 x yśł .
�ł �ł
Rys. 6.3. Trójwęzłowy element trójkątny i definicja stopni swobody
Podstawiając warunki brzegowe, to znaczy przyrównując przemieszczenia u i v odpowiednio do
przemieszczeń węzłów w punktach i , j , k otrzymujemy macierz h :
1 xi yi 0 0 0
�ł łł
�ł0 0 0 1 xi yi śł
śł
g1 �ł
�ł łł
�ł śł
1 x y 0 0 0
�łg śł j j
h = = ,
(6.28)
�ł0 0 0 1 x y śł
2
�ł śł
j j
�ł śł
�ł śł
�łg3 �ł
�ł1 xk yk 0 0 0 śł
�ł śł
�ł
�ł0 0 0 1 xk yk śł
�ł
która spełnia następujące równanie macierzowe:
d = h �"c . (6.29)
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
6. PA
ASKI STAN NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 7
Z równania tego wyznaczymy wartości stałych ci przez znalezienie macierzy odwrotnej h-1 :
x yk j
�ł - xk y 0 xk yi - xi yk 0 xi y - x yi 0
łł
j j j
�ł śł
- y 0 - ykj 0 - yij 0
jk
�ł śł
�ł śł
x 0 xkj 0 xij 0
1
jk
h-1 = �"
�ł
(6.30)
0 x yk - xk y 0 xk yi - xi yk 0 xi y - x yi śł
2�" Aikj �ł
j j j j
śł
�ł
0 - y 0 - yki 0 - yij śł
jk
�ł śł
0 x 0 xki 0 xij śł
�ł jk
�ł �ł
gdzie
1 xi yi
�ł łł
�ł1 śł
2�" Aijk =| podwojone pole pow. trój. |= det x y = xij �" yik - xik �" yij ,
(6.31)
j j
�ł śł
�ł
�ł1 xk yk śł
�ł
xij = x - xi , yki = yi - yk .
j
Macierz funkcji kształtu N ma więc postać:
N1 0 N2 0 N3 0
�ł łł
N = g �" h-1 = ,
(6.32)
�ł
0 N1 0 N2 0 N3 śł
�ł �ł
gdzie odpowiednie funkcje wyrażają się następującymi wzorami:
1
N1 = �"(x yk - xk y - y �" x + x �" y),
j jk jk
2�" Aijk j
1
N2 = �"(xk yi - xi yk - yki �" x + xki �" y),
(6.33)
2�" Aijk
1
N3 = �"(xi y - x yi - yij �" x + xij �" y).
2�" Aijk j j
Zależność między przemieszczeniami węzłów d a odkształceniami elementu otrzymamy przez za-
działanie znanym operatorem różniczkowym L na macierz funkcji kształtu N . Otrzymamy wówczas
�ł łł
"
�ł"x 0 śł
�ł- y 0 - yki 0 - yij 0 łł
�ł śł
jk
" 1 �ł
�ł śł
B = L �" N = 0 �" N = 0 x 0 xki 0 xij śł ,
jk
śł
�ł
"xśł 2�" Aijk �ł
�ł
x - y xki - yki xij - yij śł
�ł śł
jk jk
�ł �ł
" "
�ł śł
�ł śł
�ł"y "x�ł
� = B �" d (6.34)
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
6. PA
ASKI STAN NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 8
Widać, że człony macierzy B nie zależą od położenia x i y i są stałe w obszarze całego elementu.
Temu właśnie faktowi element ten zawdzięcza swoją nazwę. Oznacza to, że składowe odkształceń są stałe
dla całego elementu, a tym samym na granicy między elementami nie jest zachowany warunek równości od-
kształceń. Odkształcenia zmieniają się skokowo, zbliżając się jednak do stanu "prawdziwego" w miarę
zagęszczania siatki podziału analizowanej przestrzeni dwuwymiarowej.
Zakładając, że mamy do czynienia z materiałem izotropowym, możemy zapisać równanie konstytu-
tywne dla płaskiego stanu naprężeń i (lub) odkształceń, używając operatora D(� = D �"�) w następującej
postaci:
e1 � 0
�ł łł
E
�ł� śł
D = �" e1 0 ,
(6.35)
śł
(1+� )�"e2 �ł
�ł śł
0 0 ee �ł
�ł
gdzie przyjęte stałe ei wynoszą odpowiednio:
- dla płaskiego stanu naprężeń
e2
e1 =1, e2 =1-� , e3 = , (6.36)
2
- dla płaskiego stanu odkształceń
e2
e1 = 1-� , e2 = 1- 2� , e3 = . (6.37)
2
W końcu dokonując znanego już nam całkowania, otrzymujemy wyrazy macierzy sztywności elemen-
tu wyrażone w przyjętym układzie współrzędnych x0y w następującej postaci:
T
K = �" D �" B �" dV = BT �" D �" B �" Aijk �"t = K1 + K2 ,
+"B
(6.38)
V
gdzie przez t oznaczono grubość elementu, zaś macierze K1 i K2 zawierają wyrazy wywodzące się odpo-
wiednio tylko z odkształceń normalnych i ścinających:
2
�ł łł
e1y -� x y e1yki y -� xki y e1yij y -� xij y
jk jk jk jk jk jk jk
�ł śł
2
jk jk jk jk jk jk jk
�ł-� x y e1x -� ykix e1xki x -� yij x e1xij x śł
�ł
e1yki y -� yki x e1yki 2 -� yki xki e1yij yki -� xij yki śł
jk jk
K1 = e4 �" �ł śł ,
2
�ł-� xki y e1xki x -� yki xki e1xki -� yij xki e1xij xki śł
jk jk
�ł
e1yij y -� yij x e1yij yki -� yij xki e1yij 2 -� xij yij śł
jk jk
�ł śł
�ł -� xij y e1xij x -� xij yki e1xij xki -� xij yij e1xij 2 �ł
śł
jk jk
�ł
(6.39)
2
�ł łł
x - x y xki x - xjk yki xij xjk - yij x
jk jk jk jk jk
�ł śł
2
jk jk jk jk jk jk jk
�ł- x y y - xki y yki y - xij y yij y śł
�ł
xkix - xki y xki 2 - xki yki xij xki - yij xki śł
jk jk
K2 = e4 �" �ł śł
2
�ł- x yki yki y - xki yki yi - x yki - y yki śł
jk jk j j
�ł
xij x - xij y xij xki - xj yki xij 2 - xij yij śł
jk jk
�ł śł
�ł - yij xjk yij y - yij xki - y yki - xij yij yij 2 �ł
śł
jk j
�ł
W powyższych wzorach przyjęto oznaczenia:
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
6. PA
ASKI STAN NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 9
E �"t
e4 = oraz e5 = e4 = e3 .
(6.40)
4�" Aijk �"(1+� )�"e2
Zagadnienie wyznaczania odpowiednich sił węzłowych dla tego elementu pozostawiamy Czytelniko-
wi do samodzielnych rozważań.
6.2.2. Sześciowęzłowy element trójkątny o liniowej zmianie odkształceń
Kolejnym elementem służącym do analizy płaskich stanów naprężeń i odkształceń jest sześciowęzło-
wy element trójkątny zwany w literaturze skrótowo LST (Linear Strain Triangle) zaproponowany po raz
pierwszy przez de Vaubeke. Element ten przedstawiono w lokalnym układzie współrzędnych x0y na ry-
sunku 6.4. Węzły tego elementu umieszczone są w wierzchołkach trójkąta i środkach jego boków. Każdy z
węzłów ma, podobnie jak w elemencie CST, po dwa stopnie swobody. Wektor przemieszczeń węzłowych,
ma w następujący sposób uporządkowane składowe:
T
d = [u1, u2, u3, u4, u5, u6, v1, v2, v3, v4, v5, v6] . (6.41)
Wektor przemieszczenia dowolnego punktu elementu określony jest za pomocą dwóch elemen-
T
tów:u = [u, v] , zaś aproksymacja każdej ze składowych przyjęta jest w postaci:
u = c1 + c2 �" x + c3 �" y + c4 �" x2 + c5 �" x �" y + c6 �" y2,
(6.42)
v = c7 + c8 �" x + c9 �" y + c10 �" x2 + c11 �" x �" y + c12 �" y2.
W wielu przypadkach omówienie poszczególnych typów elementów ogranicza się do sformułowania
funkcji aproksymacyjnych, tj. do zdefiniowania postaci funkcji kształtu. Tylko dla nielicznej grupy ele-
mentów skończonych podaje się końcowe formuły na wartości współczynników macierzy sztywności ele-
mentów. Najczęściej omawiając poszczególne elementy skończone, rozważa się wyłącznie składowe wystę-
pujące w całce typu (6.38), wyrażone w lokalnym układzie współrzędnych.
Rys. 6.4. Sześciowęzłowy element trójkątny
Zwłaszcza przy większej liczbie stopni swobody elementu uzasadnione jest w pełni numeryczne bu-
dowanie wyrazów macierzy sztywności, jak również ich transformacja do globalnego układu. Znając ogólne
zasady całkowania wyrażenia BT �" D �" B oraz zasady transformowania z układu lokalnego do globalnego,
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
6. PA
ASKI STAN NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 10
ograniczymy się tylko do podania zasadniczych założeń i wyników częściowych. Wszystkich Czytelników
zachęcamy do prześledzenia toku rozumowania również przez samodzielne uzupełnienie brakujących ogniw.
Wracając do elementu LST i mówiąc o odkształceniach c będziemy wyróżniać ten stan w trzech punk-
tach węzłowych. Wektor odkształceń c wyrazić można jako funkcję przemieszczeń węzłów w postaci:
�ł łł �ł łł
� Bx 0
x
u
�ł łł
�ł śł �ł
� = = 0 By śł �" = B �" d ,
(6.43)
�łvśł
�ł� y śł �ł śł
�ł �ł
�ł� xy śł �łBy Bx śł
�ł �ł �ł �ł
gdzie poszczególne wektory przedstawiają się następująco:
� �ł łł �ł łł
� ł
�ł łł
x1 y1 xy1
�ł� śł, � = �ł śł, ł = �ł śł .
� =
(6.44)
x x2 y y2 xy xy2
�ł� śł �łł śł
�ł śł
�ł� y3 śł �łł xy3 śł
�ł śł
�ł� x3 �ł
�ł �ł �ł �ł
Stosowne macierze Bi wyrazić można teraz jako
3�" y32 - y13 - y21 4�" y13 0 4�" y21
�ł łł
1
�ł śł
Bx = �" - y32 3�" y31 - y21 4�" y32 4�" y21 0 ,
�ł śł
2�" A
�ł - y32 - y13 3�" y21 0 4�" y13 4�" y32 �ł
śł
�ł
(6.45)
3�" x23 - x31 - x12 4 �" x31 0 4 �" x12
�ł łł
1
�ł śł
By = �" - x23 3�" x31 - x12 4 �" x23 4 �" x12 0 ,
�ł śł
2 �" A
�ł - x23 - x31 3�" x12 0 4 �" x31 4 �" x23�ł
śł
�ł
gdzie przyjęto podobne oznaczenia jak poprzednio: xij = xi - x oraz yij = yi - y . W tym przypadku,
j j
mimo że macierz sztywności elementu K ma wymiary (12x12) można by zadać sobie trud wyprowadzenia
jawnych postaci składowych tej macierzy. Nie uczynimy tego jednak i dalsze możliwe przekształcenia zo-
stawimy zainteresowanym.
6.3. Elementy czworokątne płaskiego stanu naprężeń i odkształceń
6.3.1. Element czworokątny biliniowy
Do rozważania zagadnień dwuwymiarowych o regularnych prostopadłych brzegach wygodne może
się okazać stosowanie elementów czworokątnych. Najprostszym elementem tego typu jest zaproponowany
przez Melosha biliniowy prostokąt. W tym przypadku łatwiej jest posługiwać się specjalnie wprowadzonym
układem współrzędnych bezwymiarowych � i � , zdefiniowanym w taki sposób, by współrzędne wierz-
chołków były równe zawsze ą1. Element ten wraz z przyjętym układem współrzędnych jest przedstawiony
na rysunku 6.5. W omawianym elemencie przyjęto cztery węzły w wierzchołkach prostokąta a wektor prze-
mieszczeń węzłowych w postaci:
T T
d =[d1, d2,...,d8] = [u1, v1, u2, v2, u3, v3, u4, v4] .
(6.46)
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
6. PA
ASKI STAN NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 11
Aproksymacja funkcji przemieszczeń ma postać:
u = c1 + c2 �"� + c3 �"� + c4 �"� �"�,
(6.47)
v = c5 + c6 �"� + c7 �"� + c8 �"� �"�.
Macierz geometryczna g wyrażona jest tym razem w postaci:
1 � � � �"� 0 0 0 0
�ł łł
g =
(6.48)
�ł0 0 0 0 1 � � � �"�śł .
�ł �ł
Rys. 6.5 Czworokątny element biliniowy
Podstawiając współrzędne punktów węzłowych do równań (6.47), otrzymujemy układ ośmiu równań,
z których wyznaczymy stale, a tym samym - postaci funkcji kształtu. Macierz h po podstawieniu
współrzędnych węzłów elementu jest wyrażona jako
1
�ł -1 -1 1 0 0 0 0
łł
�ł0 0 0 0 1 -1 -1 1 śł
�ł śł
�ł śł
g1 1 1 -1 -1 0 0 0 0
�ł łł
�ł0 0 0 0 1 1 -1 -1śł
�łg śł
2
�ł śł
�ł śł
h = = .
(6.49)
śł
�ł śł
g3 �ł1 1 1 1 0 0 0 0
�ł śł
�łg śł
�ł 4 �ł �ł0 0 0 0 1 1 1 1 śł
�ł1 -1 1 -1 0 0 0 0 śł
�ł śł
�ł śł
�ł0 0 0 0 1 -1 1 -1�ł
Po określeniu macierzy h-1 , co może być osiągnięte w różny sposób, z łatwością wyznaczymy posta-
ci macierzy funkcji kształtu;
1
N = g �" h-1 = �"[N1 N2 N3 N4]. (6.50)
4
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
6. PA
ASKI STAN NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 12
gdzie poszczególne macierze Ni składają się z następujących funkcji:
Ni 0
�ł łł
Ni = dla i =1,2,3,4.
(6.51)
�ł
0 Ni śł
�ł �ł
1
N1 = �"(1-� )�"(1-�),
4
1
N2 = �"(1+� )�"(1-�),
4
(6.52)
1
N3 = �"(1+� )�"(1+�),
4
1
N4 = �"(1-� )�"(1+�).
4
Aby wyznaczyć odkształcenia, musimy zróżniczkować funkcje kształtu Ni względem zmiennych x i
y . Ponieważ funkcje te są wyrażone w postaci zależnej od zmiennych bezwymiarowych � i � więc zasto-
sujemy w tym miejscu reguły różniczkowania funkcji złożonej:
" " "� " "� 1 "
= �" + �" = �" ,
"x "� "x "� "x a "�
(6.53)
" " "� " "� 1 "
= �" + �" = �" .
"y "� "y "� "y b "�
Operator różniczkowy L wyraża się więc w postaci:
�ł łł �ł łł
" 1 "
�ł"x 0 śł �ła "� 0 śł
�ł śł �ł śł
" 1 "
�ł śł �ł śł.
L = 0 = 0
(6.54)
�ł śł �ł śł
"x b "�
�ł śł �ł1 " 1 " śł
" "
�ł śł �ł śł
�ł
�ł"y "x śł �ł "� a "� śł
�ł �łb �ł
Możemy już teraz wyznaczyć postać macierzy B = L �" N , która po wykonaniu przepisanych działań
wynosi:
�ł- b(1-�) 0 b(1-�) 0 b(1+�) 0 - b(1+�) 0
łł
�ł śł
B = 0 - a(1-� ) 0 - a(1+� ) 0 a(1+�) 0 a(1-� )
(6.55)
�ł śł
�ł- a(1-� ) - b(1-�) - a(1+�) b(1-�) a(1+� ) b(1+�) a(1-�) - b(1+�)�ł
śł
�ł
lub też krócej :
B = [B1, B2, B3, B4],
(6.56)
gdzie poszczególne macierze Bi przedstawimy w postaci:
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
6. PA
ASKI STAN NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 13
�ł łł
Ni,x 0
�ł
Bi = 0 Ni, y śł , dla i =1,2,3,4.
(6.57)
�ł śł
�łNi, y Ni,x śł
�ł �ł
"Ni 1 "Ni 1
Ni,x = = �" = �" Ni,� ,
" x a "� a
(6.58)
"Ni 1 "Ni 1
Ni, y = = �" = �" Ni,� .
" y b "� b
Pamiętając, że macierz konstytutywna D może być symbolicznie przedstawiona jako
D11 D21 0
�ł łł
�łD D22 0 śł
D = ,
(6.59)
12
�ł śł
�ł śł
0 0 D33�ł
�ł
można już bez trudu obliczyć postać macierzy sztywności elementu.
Zastanówmy się jeszcze nad sposobem sprowadzenia do węzłów obciążeń występujących na krawędzi
elementu, tak jak to przedstawiono na rysunku 6.5. Wektor składowych obciążenia, zmieniający się liniowo
wzdłuż krawędzi, wyrażony jest w następującej postaci (obciążenie działa w kierunku lokalnej osi � ):
0
�ł łł
by1 + by2 (by2 - by1)
�ł śł
b = .
(6.60)
+ �"�
�ł śł
�ł 2 2 �ł
W wyniku całkowania wzdłuż brzegu � = -1 otrzymujemy:
+1
by2 - by1 by2 - by1
�ł łł
pbc = gT �"b �" a �" d� = a �" 0, 0, 0, by1 + by2, , -(by1 + by2), - .
(6.61)
�ł0, śł
+"
3 3
�ł �ł
-1
Mnożąc pbc , przez macierz h-T otrzymujemy końcowe wyrażenia na wielkości sił węzłowych, wyni-
kające z obciążenia brzegu elementu prostokątnego na krawędzi � = -1 obciążeniem rozłożonym liniowo w
następującej postaci:
a
pb = h-T �" pbc = �"[0, 2�"by1 + by2, 0, by1 + by2, 0, 0, 0, 0]. (6.62)
3
Spróbujmy wyrazić, w jaki sposób w węzłach uwidoczni się efekt działania sił grawitacyjnych w kie-
runku ujemnego zwrotu osi y . W tym przypadku siły masowe wynoszą:
b =[0, - gg],
(6.63)
Całkowanie po objętości (przez t oznaczono grubość elementu) prowadzi do następującej relacji:
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
6. PA
ASKI STAN NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 14
+1+1
T
pbc = a �"b �"t �" �"b �" d� d� = a �"b �"t �"[0, 0, 0, 0, - 4�"bg , 0, 0, 0] (6.64)
+" +"g
-1-1
oraz
pb = h-1 �" pbc = -a �"b �"t �"bg �"[0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1].
(6.65)
Efekt działania stałej temperatury "T może być opisany za pomocą wektora początkowych odkształ-
ceń:
�T = [ą1, ą2, 0]�" "T , (6.66)
gdzie przez ąi oznaczono odpowiednio współczynniki rozszerzalności cieplnej w kierunkach osi x i y .
Całkowanie po objętości według poprzednio prezentowanych zasad daje:
+1+1
T
pTc = a �"b �"t �" �" D �"�T d� d� = 4�"t �" "T �"[0, d1, 0, 0, 0, 0, d2, 0]. (6.67)
c
+" +"B
-1-1
Wprowadzono tu następujące oznaczenia:
d1 = b �"(D11 �"ą1 + D12 �"ą2),
d2 = b �"(D12 �"ą1 + D22 �"ą2).
końcowym otrzymujemy:
pT = h-1 �" pTc = t �" "T �"[- d1, - d2, d1, - d2, d1, d2, - d1, d2]. (6.68)
Zauważmy na koniec, że wektor ten opisuje wyłącznie sytuację płaskiego stanu naprężenia. Stosowne
wyprowadzenie podobnych formuł dla płaskiego stanu odkształceń pozostawiamy dociekliwemu Czytelni-
kowi.
Na koniec uwag o tym elemencie prześledz
my jeszcze siły węzłowe, wywołane wstępnym
równomiernie rozłożonym odkształceniem ścinającym ł . Wektor opisujący odkształcenia jest wówczas
0
sformułowany następująco:
�0 = [0, 0, ł ],
(6.69)
0
a odpowiednie siły węzłowe całkowite i rozłożone na węzły wynoszą:
+1+1
T
p0c = a �"b �"t �" �" D �"�0 d� d� = 4�"t �" D33 �"ł �"[0, 0, a, 0, 0, b, 0, 0],
c 0
+" +"B
(6.70)
-1-1
p0 = h-1 �" p0c = t �" D33 �"ł �"[- a, - b, - a, b, a, b, a, - b].
0
6.3.2. Elementy czworokątne składane z elementów trójkątnych
Istnieją różne możliwości generowania macierzy sztywności elementów czworokątnych przez ich
składanie z elementów prostszych, na przykład trójkątnych CST. Elementy takie są powszechnie stosowane
w programach analizy MES w zagadnieniach dwuwymiarowych. Chcemy w tym miejscu wspomnieć tylko o
dwóch możliwościach budowania macierzy sztywności z dwóch bądz
czterech elementów trójkątnych.
Zasadę tworzenia elementów ilustruje schematycznie rysunek 6.6.
Obszar czworokąta ABCD może być podzielony na dwa trójkąty T1 i T 2 w dwojaki sposób, co po-
kazano na rysunku 6.6. Każdemu z tych podziałów odpowiada możliwość określenia macierzy sztywności
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
6. PA
ASKI STAN NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 15
KQ . Oczywiście każda z tych macierzy jest inna. Koncepcja budowania macierzy sztywności zakłada pewne
uśrednienie. Proces ten ilustrują następujące wzory:
KQi = KT1 + KT 2 dla i =1,2.
(6.71)
gdzie i oznacza numer podziału czworokąta na trójkąty, i dalej
1
K0 = �"[KQ1 + KQ2]. (6.72)
2
Rys. 6.6. Elementy czworokątne tworzone z elementów trójkątnych
Zadanie:
Proszę wyprowadzić wyrażenie na postać macierzy sztywności dla pojedynczego prostokąta o bokach
a i b , otrzymane ze złożenia z dwóch trójkątów CST. Wynik proszę porównać z wynikiem elementu
czworokątnego biliniowego.
Obszar czworokąta B1B2B3B4 podzielony jest na cztery trójkąty, przy czym dodatkowo wprowa-
dzono węzeł środkowy A . Z łatwością zbudujemy macierz sztywności czworokąta pięciowęzłowego
opierając się na macierzach trójkątów. Chcemy jednak posługiwać się wyłącznie stopniami swobody
związanymi z zewnętrznymi węzłami. Dokonujemy procesu tzw. kondensacji statycznej w taki sposób,
by wyeliminować stopnie swobody związane z węzłem wewnętrznym A . Zapiszmy macierz sztywności
tego elementu, dokonując jej podziału na podmacierze związane tylko z węzłami zewnętrznymi (Bi ) i z
węzłem wewnętrznym (A) w postaci:
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
6. PA
ASKI STAN NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 16
K K dA pA
�ł łł �ł łł �ł łł
AA AB
�" =
(6.73)
�łK KBB śł �łd śł �ł śł,
pB
�ł BA �ł �ł B �ł �ł �ł
gdzie macierze K i KBB są oczywiście symetryczne, zaś K = KBAT , co zapewnia symetrię macierzy
AA AB
sztywności elementu. Zapisane równanie macierzowe możemy teraz rozbić na dwa równania macierzowe
w postaci:
K �" dA + K �" dB = pA,
AA AB
(6.74)
KBA �" dA + KBB �" dB = pB.
-1
Mnożąc lewostronnie pierwsze z równań (6.74) przez K i obliczając dA po podstawieniu do drugiego
AA
równania otrzymujemy:
-1
(6.75)
KBA �" K �"( pA - K �" dB ) + KBB �"dB = pB
AA AB
i dalej
-1
(6.76)
(KBB - KBA �" K �" K )�" dB = pB - KBA �" KAA-1 �" pA
AA AB
lub krócej
(6.77)
KBB* �" dB = pB* .
W ten sposób otrzymaliśmy macierz sztywności elementu czworokątnego, która zależy tylko od
stopni swobody związanych z jego wierzchołkami.
6.4. Wyjaśnienia końcowe i podsumowanie
Na koniec tego rozdziału podsumujmy w zwarty sposób tok postępowania przyjęty przy definiowaniu
macierzy sztywności, uogólnionych sil odpowiadających uogólnionym przemieszczeniom oraz uogólnionych
sztywności elementów skończonych dla zagadnień dwuwymiarowych. Najważniejsze kroki proponowanego
algorytmu to:
1. założenie funkcji aproksymujących przemieszczenia
u = g �"c ,
2. podstawienie warunków brzegowych i wyznaczenie stałych
d = h �"c , gdzie h = [gi] dla i =1,...,ne oraz det h `" 0
c = h-1 �" d ,
3. określenie funkcji kształtu
u = g �" h-1 �" d = N �" d ,
4. zdefiniowanie odkształceń
� = L �"u = L �" N �" d = B �" d ,
5. wyznaczenie składowych macierzy sztywności K i wektora p
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
6. PA
ASKI STAN NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 17
T T
K = �" D �" B �" dV oraz K �" d = �" D �" B �" dV �" d = p .
+"B +"B
V V
Niekiedy przy założonych funkcjach g i ustalonych stałych c pomocne jest przy definiowaniu sił p
i macierzy sztywności K sformułowanie opierające się na pojęciach uogólnionych sił, przemieszczeń i
sztywności. Przytoczmy na tę okoliczność kilka prostych przekształceń:
T
K �" d = (L �" g �" h-1) �" D �"(L �" g �" h-1)�" dV �" d = p,
+"
V
T
K �" d = (Bc �" h-1) �" D �"(Bc �" h-1)�" dV �" d = p,
+"
V
gdzie
Bc = L �" g
i dalej
K �" d = h-T T �" D �" Bc �" dV �" h-1 �"d = p,
c
+"B
V
h-T �" Kc �"c = p.
Mnożąc obie strony przez hT , otrzymujemy:
Kc �"c = pc , gdzie pc = hT �" p ;
przez p oznaczyliśmy uogólnione siły odpowiadające uogólnionym przemieszczeniom c (stałe ze wzorów
aproksymacyjnych), zaś przez K - macierz uogólnionej sztywności.
Zadania
1. Wyprowadz
wzory na postacie macierzy sztywności czterowęzłowego elementu kwadratowego
korzystając z podziału na elementy trójkątne typu CST. W koniecznym przypadku zastosuj
kondensację statyczną. Otrzymane wyniki porównaj ze sobą i macierzą sztywności elementu
czworokątnego o liniowych funkcjach kształtu.
2. Ułóż program MES na analizę płaskich stanów, stosując elementy CST. Jawna postać maci-
erzy sztywności tych elementów w lokalnym układzie współrzędnych jest podana w skryp-
cie.
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 7. SFORMUA
OWANIE IZOPARAMETRYCZNE 1
7.


SFORMUA
OWANIE IZOPARAMETRYCZNE
W poprzednich rozdziałach omówiliśmy elementy skończone formułowane za pomocą tzw. współ-
rzędnych uogólnionych. Zakładaliśmy, że przemieszczenia elementu zmieniają się zgodnie z przyjętymi
funkcjami, których współczynniki były traktowane jako uogólnione współrzędne elementu. Przypo-
mnijmy raz jeszcze podstawowe kroki tego sformułowania:
1. Przyjęcie pola przemieszczeń
u = g �" c
(7.1)
gdzie  g oznacza tzw. macierz geometryczną, która gromadzi odpowiednie potęgi wielomianów inter-
polacyjnych, zaś c jest macierzą stałych. Stałe te wyznacza się z warunków brzegowych ( przemiesz-
czenia węzłów muszą być zgodne z wartościami przemieszczeń, wynikającymi z przyjętych funkcji ).
2. Wyznaczenie macierzy stałych  c (współrzędnych uogólnionych):
d = h �" c, gdzie h = [gi ] dla i=1,2,...,nedf.
(7.2)
Macierz h jest macierzą kwadratową i nieosobliwą, tak więc z (7.2) można wyznaczyć stałe wielo-
mianów interpolacyjnych jako funkcję przemieszczeń węzłów
(7.3)
c = h-1 �" d .
3. Wyznaczenie funkcji kształtu N
u = g �" h-1 �" d = N �" d
więc:
N = g �" h-1 (7.4)
2
1
=-1
=1
1
N1 = (1 -� )
2
1
N2 = (1 + � )
2
Rys. 7.1. Dwuwęzłowy element kratownicy płaskiej
4. Wyznaczenie macierzy B = L�N
5. Wyznaczenie macierzy sztywności K oraz pozostałych wektorów pb,p0 lub PT, przy ustalonym
prawie konstytutywnym � = D��.
Formułowanie omawianych w tym rozdziale elementów izoparametrycznych (termin izoparametrycz-
ny znaczy ten sam) jest prostsze i szczególnie atrakcyjne przy definiowaniu nowych elementów.
Główną ideą formułowania elementów izoparametrycznych jest wyznaczenie funkcji interpolujących
(funkcji kształtu), określających relację pomiędzy przemieszczeniami elementu i przemieszczeniami jego
węzłów w sposób bezpośredni, bez konieczności obliczania macierzy h-1 .
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 7. SFORMUA
OWANIE IZOPARAMETRYCZNE 2
Proces formułowania elementu izoparametrycznego zanalizujemy na przykładzie najprostszego ele-
mentu, jakim jest dwuwęzłowy element kratownicy płaskiej. Na rysunku 7.1 pokazano taki element o wę-
złach oznaczonych przez 1 i 2. Pierwszym krokiem sformułowania elementu jest wyrażenie globalnych
współrzędnych elementu x od jego współrzędnych naturalnych �, gdzie -1 < � < +1. Transformacja ta jest
dana w relacji:
1 1
x = (1 - � )x1 + (1 + � )x2 + & (7.5)
2 2
lub
2
x = xi
(7.6)
"Ni
i=1
gdzie N1= 0.5(1-�) i N2= 0.5(1+�) Są funkcjami interpolującymi (tutaj liniowymi). Zauważmy, że relacja
(7.5) jest jednoznaczna i ustala zależność pomiędzy współrzędnymi x i �. Globalne przemieszczenia pręta
wyrażone są w ten sam sposób, co współrzędne globalne, a mianowicie
2
d = di
(7.7)
"Ni
i=1
Zastosowanie tych samych funkcji interpolujących (funkcji kształtu), zdefiniowanych we współrzęd-
nych naturalnych, do współrzędnych elementu i jego przemieszczeń stanowi podstawę sformułowania izo-
parametrycznych elementów skończonych. W celu określenia współczynników macierzy sztywności należy
znalez
ć relację: odkształcenie-przemieszczenie, w naszym przypadku �=du/dx. Mamy więc:
du d�
� = ,
(7.8)
d� dx
przy czym L jest długością elementu. Macierz odkształceń B ma zatem postać:
1
B = [ - 1 1], (7.9)
L
W ogólności związek: odkształcenie-przemieszczenie jest funkcją współrzędnych naturalnych i w celu
wyznaczenia macierzy sztywności wymagane jest całkowanie w tych współrzędnych. Korzystając ze znanej
już zależności na macierz sztywności, otrzymujemy
+1
łł
EA �ł- 1
k = (7.10)
+"�ł 1 �ł - 1 1] �" J �" d� ,
L2 �ł śł,�"[
-1
gdzie J jest jakobianem wiążącym długość elementu we współrzędnych globalnych z długością elementu,
wyrażoną we współrzędnych naturalnych, tj.
dx = J �" d� ,
(7.11)
gdzie J = L/2, skąd otrzymujemy ostatecznie:
1
1
łł
EA �ł - 1
k = (7.12)
�ł
+"�ł- śł,
L 1 1
�ł
-1
Jak widać w powyższym sformułowaniu, nie było potrzeby wyznaczania macierzy h-1.
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 7. SFORMUA
OWANIE IZOPARAMETRYCZNE 3
Proszę porównać powyższe sformułowanie ze sformułowaniem tego samego elementu, zamieszczo-
nym w rozdziale 5.
7.1. Współrzędne naturalne
Jak wspomnieliśmy wyżej, podstawą formułowania elementów izoparametrycznych jest wyrażenie
współrzędnych elementu i jego przemieszczeń we współrzędnych naturalnych. Ten układ może być układem
jedno-, dwu- lub trójwymiarowym w zależności od wymiarów elementu. Podkreślmy, że obliczanie macie-
rzy elementów jest takie samo dla wszystkich tych przypadków. Poniżej przedstawimy sformułowanie naj-
bardziej ogólne, tj. dla przypadku przestrzennego.
Współrzędne elementu przestrzennego wyrazić możemy ogólnie w postaci:
q q q
x = xi , y = yi , z = zi , (7.13)
"Ni "Ni "Ni
i=1 i=1 i=1
gdzie x, y, z są współrzędnymi dowolnego punktu elementu, a xi, yi., zi. (i=1,..,q) są współrzędnymi jego wę-
złów. Funkcje kształtu są zdefiniowane we współrzędnych naturalnych �, �, �, które zmieniają się od -1 do
+1. Nieznanymi w (7.13) pozostają funkcje kształtu N.. Funkcje te można wyznaczyć korzystając z funda-
mentalnej ich własności, a mianowicie z tego, że przyjmują wartość 1 w węz
le  i , a wartość  0 w pozosta-
łych węzłach.
Pozostawmy sformułowanie elementu przestrzennego i zilustrujmy powyższe ponownie na przykła-
dzie pręta kratownicy, tym razem o 3 węzłach (rys.7.2).
1 2 3
x=0.3L
x=0 x=L
=1
=-1
1
2
=-1 =0
=1
N2 = 1 -�
1 1
2
N1 = (1 -� ) - ( 1 -� )
2 2
1
1 1
2
N3 = (1 + � ) - ( 1 -� )
2 2
1
Rys. 7.2. Trójwęzłowy element kratownicy płaskiej
Zauważmy na początku, że w tym przypadku funkcje kształtu muszą być funkcjami parabolicznymi.
Funkcję N2 zdefiniować najłatwiej, bowiem parabola, która spełnia warunki: dla � = ą1 równa jest 0, a dla
�=0 równa 1, ma postać N2 = (1-�2). Pozostałe dwie funkcje kształtu wyznaczymy przez superpozycję funk-
cji liniowej i paraboli. Na przykład dla wyznaczenia N1 funkcja liniową (1-�)/2 spełnia wymagane warunki:
dla � = -1 równa jest 1 i dla �=1 równa 0. By spełnić warunek, że dla � = 0, N1 jest równe 0, dodajmy do
liniowej części parabolę -(1-�2)/2. W ten sposób otrzymujemy funkcję kształtu w postaci N1 =0.5�(1-�)-
0.5�(1-�2). Podobnie wyznaczymy funkcję N3.
Przedstawiony wyżej algorytm konstruowania funkcji kształtu można bezpośrednio uogólnić dla ele-
mentów dwu i trójwymiarowych. Zauważmy jeszcze, że postać zależności (7.13) wskazuje, że elementy izo-
parametryczne mogą mieć brzegi zakrzywione, wobec czego w wielu sytuacjach elementy izoparametryczne
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 7. SFORMUA
OWANIE IZOPARAMETRYCZNE 4
są bardzo użyteczne przy modelowaniu geometrycznych warunków brzegowych. Mają one jednak i pewną
trudność, polegającą na skomplikowaniu relacji �-d. Wynika to z faktu, że przemieszczenia elementu są wy-
rażone we współrzędnych lokalnych:
q q q
u = ui , v = vi , w = wi , (7.14)
"Ni "Ni "N
i
i=1 i=1 i=1
podczas gdy do obliczenia współczynników macierzy odkształceń wymagane jest różniczkowanie względem
zmiennych globalnych. Ponieważ przemieszczenia elementu są zdefiniowane we współrzędnych naturalnych
(7.14), musimy znalez
ć związek pomiędzy współrzędnymi x, y, z a współrzędnymi �, �, �. który można
przedstawić formalnie jako:
x = f1(� ,�,ś ), y = f2(� ,�,ś ), z = f3(� ,�,ś ),
(7.15)
lub jako zależności odwrotne:
� = f1( x, y,z ), � = f2( x, y,z ), ś = f3( x, y,z ),
(7.16)
Aby otrzymać relację pomiędzy obydwoma układami współrzędnych wymagana jest znajomość po-
chodnych typu �/�x, �/�y i �/�z. Wykorzystując regułę różniczkowania funkcji złożonej, mamy:
� � �� � �� � �ś
= + +
(7.17)
�x �� �x �� �x �ś �x
i podobnie można otrzymać wyrażenia na �/�y i �/�z. W celu obliczenia ��/�x, ��/�x i ��/�x musimy w spo-
sób jawny znać relację (7.16). Obliczenie pochodnych występujących w (7.16) jest stosunkowo uciążliwe. W
tym celu posłużymy się następującym algorytmem. Wykorzystując regułę różniczkowania funkcji złożonej,
otrzymamy:
� / �� �x / �� �y / �� �z / �� � / �x
�ł łł �ł łł�ł łł
�ł� / ��śł �ł�x / �� �y / �� �z / ��śł�ł� / �yśł
=
(7.18)
�ł śł �ł śł�ł śł
�ł śł �ł
�ł� / �ś �ł �ł�x / �ś �y / �ś �z / �ś śł�ł / �z�ł
�ł�ł� śł
lub inaczej:
� / �� = J �"� / �x
(7.19)
gdzie J jest operatorem jakobianu (macierzą Jakobiego) wiążącym pochodne współrzędnych naturalnych z
pochodnymi lokalnymi. Zauważmy, że macierz Jakobiego łatwo wyznaczyć z relacji (7.13):
-1
� / �x = J �"� / �� (7.20)
która wymaga oczywiście, by macierz J istniała. Wykorzystując (7.14) i (7.20) obliczamy pochodne �u/�x,
�u/�y, �u/�z i dalej macierz odkształceń � = B d. Następnie obliczamy macierz sztywności elementu
k=+"BT�D�B�dV. Ponieważ elementy macierzy B są funkcjami współrzędnych naturalnych �, �, �, to całkowa-
nie po objętości wymaga wprowadzenia zależności
dV = det( J )�" d� �" d� �" dś
(7.21)
gdzie det(J) jest wyznacznikiem macierzy J. Jak widać, jawne całkowanie wyrażenia na macierz sztywności
nie jest efektywne i dlatego też w elementach izoparametrycznych najczęściej stosuje się całkowanie nume-
ryczne.
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 7. SFORMUA
OWANIE IZOPARAMETRYCZNE 5
Poniżej zilustrujemy przedstawiony wyżej algorytm dla elementów izoparametrycznych wykorzysty-
wanych w zagadnieniach płaskich.
7.2. Element czworokątny
Rysunek 7.3 przedstawia bezwymiarowe współrzędne naturalne � i � dla czworokąta. Punkt g przyjęty
jest w środku geometrycznym, wobec czego jego współrzędne globalne spełniają równania :
1
xg = ( x1 + x2 + x3 + x4 )
4
(7.22)
1
yg = ( y1 + y2 + y3 + y4 )
4
=1
3
1
=1
=0
=-1
=-1
=0 2
4
Rys. 7.3. Czworokątny element izoparametryczny
Zauważmy, że współrzędne � i � zostały wprowadzone w taki sposób, że na przykład �= -1
definiuje wszystkie punkty położone na krawędzi 1-2, zaś � = 1 - punkty na krawędzi 2-3. Stosując
interpolację liniową w obu kierunkach, współrzędne globalne położenia dowolnego punktu wyrazimy
w postaci:
4 4
x = xi , y = yi
(7.23)
"Ni "Ni
i=1 i=1
gdzie
1 1
N1 = ( 1 -� )( 1 -� ),N2 = (1 + � )( 1 -� ),
4 4
(7.24)
1 1
N3 = ( 1 + � )(1 +� ),N4 = (1 -� )(1 +� ),
4 4
Powyższe funkcje (porównaj wzór (6.52)) wyrażają współrzędne globalne we współrzędnych
naturalnych. Ze względu na to, że równania (7.24) są biliniowe, nie można tym razem w sposób ła-
twy odwrócić zależności (7.18) ani wyrazić � i � jako funkcji współrzędnych globalnych x i y. Za-
stosujemy zatem sposób przedstawiony w punkcie 7.1.
Macierz Jakobiego dla analizowanego przypadku można przedstawić w postaci:
x,� y,�
J11 J12 �ł łł
�ł łł
J = =
(7.25)
�łx y,� śł
�łJ J22 śł
,�
�ł 21 �ł
�ł �ł
Wyrażenia w macierzy Jakobianu mają następującą postać:
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 7. SFORMUA
OWANIE IZOPARAMETRYCZNE 6
4 4
J11 = x,� = �" xi ,J21 = x,� = �" xi ,
"Ni,� "Ni ,�
i=1 i=1
(7.26)
4 4
J12 = y,� =
"N �" yi ,J21 = x,� = "N �" yi ,
i,� i ,�
i=1 i=1
Powyższe wyrażenia można zapisać zgrabnie w formie macierzowej
J = DLCN (7.27)
gdzie macierz DL. (2 x 4) zawiera różniczki funkcji kształtu Ni. ze względu na współrzędne lokalne, zaś ma-
cierz CN (4 x 2) składa się ze współrzędnych xi. i yi. węzłów.
N1,� N2,� N3,� N4,� 1 �ł- (1 -� ) (1 - � ) (1 + � ) - (1 + � )
�ł łł
łł
DL = = �"
(7.28)
�łN N2,� N3,� N4,� śł
�ł
4 (1 -� ) (1 -� ) (1 +� ) - (1 +� )śł
1,�
�ł- �ł
�ł �ł
oraz
T
x1 x2 x3 x4
�ł łł
CN = (7.29)
�ły y2 y3 y4 śł
�ł 1 �ł
Interesuje nas przede wszystkim wyrażenie na J-1 i wyprowadzimy je tutaj formalnie jako macierz
odwrotną do J (7.27). Z definicji mamy:
a
y,�
J22 J21 1 �ł - x,�
łł
J 1 �ł łł
-1
J = = �" =
(7.30)
�ł śł
�łJ J11 śł
J J J
�ł 12 �ł
�ł- y,� x,� �ł
gdzie J oznacza macierz sprzężoną, zaś |J| jest wartością wyznacznika jakobianu. Aby otrzymać różniczki
wszystkich funkcji ze względu na x i y, zastosujemy (7.20):
Ni,x -1 Ni,�
�ł łł �ł łł
= J �"
(7.31)
�łN śł �łN śł,i - 1,2,3,4
y �
i , i,
�ł �ł �ł �ł
Dalej zdefiniujemy macierz DG
-1
DG = J �" DL = ( DL �" CN )-1 �" DL , (7.32)
która zawiera różniczki funkcji Ni ze względu na zmienne globalne x i y. Jej postać jest następująca :
N1,x N2,x N3,x N4,x
�ł łł
DG =
(7.33)
�łN N2,y N3,y N4 śł
1,y ,y
�ł �ł
Wprowadzając kolejno składowe tej macierzy, otrzymujemy :
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 7. SFORMUA
OWANIE IZOPARAMETRYCZNE 7
1
Dg11 = �"[- (1 -� )�" J22 + ( 1 -� )�" J12],
4 J
1
Dg12 = �"[(1 -� )�" J22 + (1 + � )�" J12],
4 J
1
Dg13 = �"[( 1 -� )�" J22 - (1 + � )�" J12],
4 J
1
Dg14 = �"[- (1 +� )�" J22 - (1 - � )�" J12],
4 J
(7.34)
1
Dg 21 = �"[(1 -� )�" J21 - ( 1 -� )�" J11],
4 J
1
Dg 22 = �"[- (1 -� )�" J21 - (1 + � )�" J11],
4 J
1
Dg 23 = �"[- (1 +� )�" J21 + ( 1 + � )�" J11],
4 J
1
Dg 24 = �"[( 1 +� )�" J21 - (1 -� )�" J11],
4 J
Ze względu na fakt, że w mianowniku powyższych wyrazów pojawia się wyznacznik macierzy jako-
bianu J, istnieje zasadnicza trudność bezpośredniego scałowania wyrażeń na macierz sztywności lub rów-
noważne obciążenia węzłowe. Musimy więc porzucić stosowany dotąd sposób wyprowadzania równań przez
bezpośrednie całkowanie na rzecz całkowania numerycznego.
Kontynuujmy rozważania podjęte w rozdziale 6.3.1, w których zajmowaliśmy się elementem
czterowęzłowym (Q4). Sformułowawszy już w postaci zależności (6.52) składowe macierzy funkcji kształtu
oraz podmacierzy B.(3x2) (6.57) oraz stosując notację z tego rozdziału, można tę podmacierz zapisać także
w postaci:
DG1i 0
�ł łł
�ł
Bi = 0 DG2i śł
(7.35)
�ł śł
�ł
G2i �ł
�łD DG1i śł
Macierz sztywności elementu Q4 o stałej grubości t można teraz przedstawić jako:
1
Ke = t �" BT ( x, y )�" D �" B( x, y )�" dx �" dy (7.36)
+"
-1
lub we współrzędnych lokalnych :
1 1
Ke = t BT (� ,� )�" D �" B(� ,� )�" J(� ,� )d� �" d� (7.37)
+" +"
-1-1
Podobnie rzecz ma się z obciążeniami, siłami masowymi i początkowymi odkształceniami:
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 7. SFORMUA
OWANIE IZOPARAMETRYCZNE 8
1 1
T
Pb = t N (� ,� )�" b(� ,� )�" J(� ,� )d� �" d�
+" +"
-1-1
(7.38)
1 1
P0 = t BT (� ,� )�" D(�0(� ,� ))�" J(� ,� )d� �" d�
+" +"
-1-1
7.3. Element trójkątny
Jedną z metod otrzymywania elementów trójkątnych jest proces degenerowania elementów czworo-
kątnych. Proces ten polega na przypisaniu tych samych współrzędnych dwom węzłom. Zilustrujmy to na
następującym przykładzie.
Z elementu czworokątnego 1-2-3-4, przedstawionego na rysunku 7.4, należy otrzymać element
trójkątny przez nałożenie na siebie węzłów 1 i 2. Współrzędne elementu wyrażają się następującymi
zależnościami:
1 1 1 1
x = (1+� )(1+� )�" x1 + (1+� )(1-� )�" x2 + (1-� )(1-� )�" x3 + (1+� )(1-� )�" x4 ,
4 4 4 4
(7.39)
1 1 1 1
y = (1+� )(1+� )�" y1 + (1+� )(1-� )�" y2 + (1-� )(1-� )�" y3 + (1+� )(1-� )�" y4
4 4 4 4
Przyjmując, że x1= x2 i y1= y2 , otrzymamy:
1 1 1
x = (1+� )�" x2 + (1-� )(1-� )�" x3 + (1+� )(1-� )�" x4 ,
2 4 4
(7.40)
1 1 1
y = (1+� )�" y2 + (1-� )(1-� )�" y3 + (1+� )(1-� )�" y4
2 4 4
y y
1
1,2
2
x x
3 3
4 4
Rys. 7.4. Tworzenie elementu trójkątnego z elementu czworokątnego
Podstawiając odpowiednie liczby otrzymujemy:
1
x = (1 + � )(1 -� ),
2 (7.41)
y = ( 1 +� )
Obliczając teraz pochodne:
�x / �� = 1 / 2(1 -� ),�y / �� = 0,
(7.42)
�x / �� = -1 / 2( 1 + � ),�y / �� = 1.
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 7. SFORMUA
OWANIE IZOPARAMETRYCZNE 9
otrzymujemy macierz Jakobiego w postaci:
2
�ł
0łł
�ł śł
( 1
�ł -� ) 0
łł
1
-1 -�
J = ,J = �ł( 1 + � ) śł
(7.43)
�ł
�ł- (1 + � ) 2śł �ł
�ł
1śł
�ł -� )
śł
�ł(1 �ł
Przemieszczenia przedstawimy, zgodnie z podstawową ideą elementów izoparametrycznych, jako:
1 1 1
u = (1+� )�"u2 + (1 -� )(1-� )�"u3 + (1+� )(1-� )�"u4 ,
2 4 4
(7.44)
1 1 1
v = (1+� )�"v2 + (1-� )(1-� )�"v3 + (1+� )(1-� )�"v4
2 4 4
Obliczmy następnie pochodne:
�u / �� = 1 / 4(1 -� )�" u3 + 1 / 4(1 -� )�" u4 ,
�v / �� = 1 / 4(1 -� )�" v3 + 1 / 4( 1 -� )�" v4 ,
(7.45)
�u / �� = 1 / 2 �" u2 - 1 / 4(1 -� )�" u3 + 1 / 4(1 + � )�" u4 ,
�v / �� = 1 / 2 �" v2 - 1 / 4(1 -� )�" v3 + 1 / 4(1 + � )�" v4 ,
Korzystając z zależności (7.20)
� / �x � / ��
�ł łł �ł łł
-1
�ł� / �yśł = J �ł� / ��śł
�ł �ł �ł �ł
mamy:
u2
�ł łł
�łv śł
2 2
�ł
�ł śł
0łł
�ł śł�ł 0 0 -1/ 4(1-� ) 0 1/ 4(1-� ) 0łł�łu3 śł
�u / �x
�ł łł
1-
�ł
�ł�u / �yśł = �ł(1+� śł�ł 2 0 -1/ 4(1-� ) 0 1/ 4(1+� ) 0śł�łv3 śł =
� )
�ł �ł �ł �ł
śł
1śł�ł1/
�ł
�łu4 śł
�ł(1-� ) śł
�ł
�ł śł
�ł śł
�łv4 �ł
(7.46)
u2
�ł łł
�łv śł
2
�ł śł
0 0 -1/ 2 0 1/ 2 0 u3
�ł łł�ł śł
=
�ł
�ł1/ 2 0 -1/ 2 0 0 0śł�łv3 śł
�ł �ł
śł
�łu4 śł
�ł śł
�ł śł
�łv4 �ł
Podobnie otrzymamy wyrażenie na
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 7. SFORMUA
OWANIE IZOPARAMETRYCZNE 10
u2
�ł łł
�łv śł
2
�ł śł
�v / �x 0 0 0 -1/ 2 0 1/ 2 u3
�ł łł �ł łł�ł śł
(7.47)
�ł�v / �yśł = �ł0 1/ 2 0 -1/ 2 0 0 śł�łv śł
�ł �ł �ł �ł�ł 3
śł
�łu4 śł
�ł śł
�ł śł
�łv4 �ł
Relacja odkształcenie-przemieszczenie będzie miała zatem postać:
u2
�ł łł
�łv śł
0 0 -1 / 2 0 1 / 2 0
�ł łł�ł 2 śł
3
�ł śł�łu śł
� = 0 1/ 2 0 -1/ 2 0 0
(7.48)
�ł śł�łv3 śł
śł
�ł śł
�ł1 / 2 0 -1 / 2 -1/ 2 0 1 / 2�ł�ł śł
�łu4
�ł śł
�ł śł
�łv4 �ł
Jak widać, element ten jest elementem CST.
Chociaż przedstawiony wyżej sposób budowy elementu trójkątnego może być atrakcyjny w progra-
mach komputerowych, w których zdefiniowano elementy izoparametryczne czworokątne, to jednak element
taki można również sformułować inaczej, korzystając ze współrzędnych polowych, co pokażemy poniżej.
Położenie dowolnego punktu 4 w trójkącie wprowadza podział jego pola na pola A1, A2, A3 (rys.
7.5a).
3 3
y 3=1
3=0.5
2=0
1=0
A2 A1
x
4 2=0.5
A3
1=1
2 2
2=1
1 1
3=0
1=0.5
b)
a)
Rys. 7.5. Element trójkątny i współrzędne polowe
Bezwymiarowe współrzędne polowe dla trójkąta są wtedy zdefiniowane jako:
A1 A2 A3
�1 = ,�2 = ,�3 =
A A A
lub krócej (7.49)
Ai dla i=1,2.3
�i = ,
A
Dodatkowo widzimy, że
3 3
i
= A =1
(7.50)
"Ai "�i
i=1 i=1
Rysunek 7.5b wyjaśnia, że współrzędna �1=1 definiuje położenie punktu 1 współrzędna zaś �1=0 defi-
niuje położenie dowolnego punktu na boku 2-3 trójkąta. Chcąc wyrazić współrzędną globalną x i y dowol-
nego punktu trójkąta, mamy :
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 7. SFORMUA
OWANIE IZOPARAMETRYCZNE 11
x = �1x1+,�2x2 +�3x3 ,
(7.51)
y = �1y1+,�2 y2 +�3 y3
lub też z drugiej strony, korzystając z (7.50) i (7.51), możemy współrzędne lokalne dowolnego punktu
przedstawić jako
�1 x2 y3
�ł łł �ł - x3 y2 y2 - y3 x3 - x2 1
łł�ł łł
1
�ł� śł �łx y1 - x1y3 y3 - y1 x1 - x3 śł�łxśł
=
(7.52)
2 3
�ł śł �ł śł�ł śł
2A
�ł śł �ł - x2 y1 y1 - y2 x2 - x1 �ł�łyśł
śł�ł
y2
�ł�3 �ł �łx1 �ł
gdzie 2A =x1y2 + x2y3 + x3y1 - x1y2 - x2y3 - x3y1.
Porównanie powyższego układu równań z funkcjami kształtu Ni. dla elementu CST wskazuje, że są to
te same funkcje. Tak więc element trójkątny CST jest elementem izoparametrycznym.
Upraszczając równanie (7.52) przyjmijmy, że A. oznacza pole powierzchni trójkąta o wierzchołkach i,
j oraz węz
le środkowym 4, oraz a1 =x23, a2 =x31, a3 =x12, i b1 = -y23, b2 = -y31, b3 = -y12.
Otrzymamy wówczas:
�1 2A23 b1 a1 1
�ł łł �ł łł�ł łł
1
�ł� śł �ł2A b2 a2 śł�łxśł
=
(7.53)
2 31
�ł śł �ł śł�ł śł
2A
�ł śł �ł śł�ł
b3 a3 �ł�łyśł
�ł�3 �ł �ł2A12 �ł
Różniczkowanie funkcji f(�1, �2, �3 ) względem zmiennych globalnych x i y przebiega według reguły :
3
"f "f "�
i
= ,
"
"x "� "x
i=1
i
(7.54)
3
"f "f "�
i
= ,
"
"y "� "y
i=1
i
ale ponieważ
"� bi i "� ai
i i
= =
(7.55)
"x 2 A "y 2 A
Więc
3
"f 1 "f
= �" bi ,
"
"x 2 A "�
i=1
i
(7.56)
3
"f 1 "f
= �" ai ,
"
"y 2 A "�
i=1
i
Teraz postępując jak wyżej, dla elementu czworokątnego, możemy wyznaczyć macierz odkształceń B,
a następnie macierz sztywności i wektor obciążeń.
7.4. Element Ośmiowęzłowy Q8
Rysunek 7.6a przedstawia prostokątny element Ośmiowęzłowy, który jest elementem macierzy-
stym dla ośmiowęzłowego izoparametrycznego czworokąta Q8 (rys. 7.6b). Przemieszczenia węzłowe dla
obu tych elementów składają się z dwóch składowych translacji w każdym węz
le:
T T
d = [ d ,d ,..., d ] = [ u1v1 ;u v2 ;...u8 v8 ]
(7.57)
1 2 16 2
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 7. SFORMUA
OWANIE IZOPARAMETRYCZNE 12
Przyjmijmy następujące funkcje przemieszczeń :
2 2 2 2
u = c1 + c2� + c3� + c4� + c5�� + c6� + c7� � + c8�� ,
(7.58)
2 2 2 2
v = c9 + c10� + c11� + c12� + c13�� + c14� + c15� � + c16 �� ,
Można je wyrazić w postaci:
8 8
u = �" ui ,v = �" vi
(7.59)
"Ni "Ni
i=1 i=1
3
4
y
7
x
6
8
a)
1
5
2
d1
d2
3
7
6
4
y
x
8
2
b)
1
5
d1
d2
Rys. 7.6. Ośmiowęzłowy element izoparametryczny:
a) prostokątny element macierzysty, b) element o brzegach zakrzywionych
gdzie:
1
Ni = (1 + �0 )(1 +�0 )(�0 +�0 - 1),KdlaKi = 1,2,3,4
4
1
2
Ni = (1 -� )(1 +�0 ),KdlaKi = 5,7 (7.60)
2
1
2
Ni = (1 + �0 )(1 -� ),KdlaKi = 6,8
2
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 7. SFORMUA
OWANIE IZOPARAMETRYCZNE 13
gdzie oznaczono: �0 = �i�, �0 =�i�, przy czym �i i �i, są współrzędnymi węzłów w układzie współrzędnych
lokalnych i przyjmują wartości -1, +1 lub O. Ten element jest nazywany w literaturze elementem Serendi-
pa.
Dla lepszego uzmysłowienia sobie przemieszczeniowych funkcji kształtu wez
my dla przykładu funk-
cję przypisaną węzłowi nr 1 Współrzędne tego węzła wynoszą �1 = -1, �1 = -1, co po podstawieniu do (7.60
) prowadzi do :
1
N1 = (1 - � )(1 -� )( -� -� - 1) (7.61)
4
Funkcja ta może być przedstawiona jako kombinacja trzech form deformacji (rys. 7.7 a, b, c i d):
1
2
N1 = Nd = Na - 0.5 �" Nb - 0.5 �" Nc = [( 1 -� )(1 -� ) - ( 1 - � )( 1 -� ) - (1 -� )(1 -�2 )] =
4
1
= [( 1 -� )(1 -� )( -� -� - 1),
4
1
gdzie: Na = (1 -� )( 1 -� ) jest funkcją liniowo-liniową
4
1
2
Nb = ( 1 -� )(1 -� ) jest funkcją kwadratowo-liniową
2
1
Nc = (1 -� )( 1 -�2 ) jest funkcją liniowo-kwadratową
2
1 1
Nd = Na - Nb - Nc jest funkcją kwadratowo-kwadratową
2 2
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 7. SFORMUA
OWANIE IZOPARAMETRYCZNE 14
7
4
3
a)
8
6
2
1
5
7
4
3
b)
8
6
2
1
5
7
4
3
c)
6
8
2
1
5
7
4
3
d)
8
6
2
1
5
Rys. 7.7. Ośmiowęzłowy element izoparametryczny a) - d) postacie funkcji kształtu
Przyjmijmy, że funkcje interpolujące geometrię są tymi samymi funkcjami, co funkcje kształtu. Ozna-
cza to, że układ współrzędnych lokalnych �, � staje się krzywoliniowy, a wszystkie brzegi elementu są funk-
cjami kwadratowymi.
Mamy więc
8 8
x = xi , y = yi ,
(7.62)
"Ni "Ni
i=1 i=1
Dalsze formułowanie macierzy sztywności elementu i odpowiadających obciążeń węzłowych dla ele-
mentu Q8 jest podobne do sformułowania przedstawionego dla elementu Q4. W tablicy 7.1 zestawiono
funkcje kształtu i ich pochodne względem zmiennych lokalnych � i �, potrzebne do wykonania odpowied-
nich całkowań numerycznych.
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 7. SFORMUA
OWANIE IZOPARAMETRYCZNE 15
Tablica 7.1 Funkcje kształtu i ich pochodne
i Ni Ni,� Ni,�
1
1 1 1
(1 - � )(1 -� )( -� -� - 1) ( 2� +� )(1 -� ) (1 -� )( 2� + � )
4 4 4
2
1 1 1
(1 + � )(1 -� )( +� -� - 1) ( 2� -� )(1 -� ) (1 + � )( 2� - � )
4 4 4
3
1 1 1
(1 + � )(1 +� )( +� +� - 1) ( 2� +� )(1 +� ) (1 + � )( 2� + � )
4 4 4
4
1 1 1
(1 - � )( 1 +� )( -� +� - 1) ( 2� -� )(1 +� ) (1 + �� )( 2� + � )
4 4 4
5
1 - �(1 -� )
1
2 2
(1 - � )(1 -� ) - (1 -� )
2 2
6
1 1 - (1 + � )�
2
(1 + � )(1 -� ) (1 -�2 )
2 2
7
1 - �(1 +� )
1
2 2
(1 - � )(1 +� ) (1 -� )
2 2
8
- (1 - � )�
1 1
2
(1 - � )( 1 -� ) - (1 -�2 )
2 2
Zalety stosowania elementu Q8 w porównaniu z elementem Q4 mogą polegać na używaniu w dyskre-
tyzacji problemu brzegowego mniejszej liczby elementów i w konsekwencji mniejszej liczby stopni swobo-
dy dla całego zadania. W przypadku stosowania elementów Q8 istnieje dodatkowo możliwość modelowania
brzegu krzywoliniowego. Możemy się również spodziewać większej dokładności numerycznej ze względu
na stosowanie wielomianów interpolacyjnych wyższego stopnia. Należy jednak pamiętać, że przewidywania
te powinny być zawsze weryfikowane w eksperymencie numerycznym.
7.5. Izoparametryczny element przestrzenny - sześciościan
Spośród elementów przeznaczonych do analizy przestrzennego stanu naprężeń, odkształceń i prze-
mieszczeń omówimy sformułowanie jednego z najprostszych elementów. Ośmiowęzłowy sześciościan
przedstawiono na rysunku 7.8 w układzie współrzędnych naturalnych �, � i �. Początek tego układu przyjęto
w punkcie  g , środku geometrycznym o współrzędnych :
8 8 8
1 1 1
xg = xi , yg = yi ,zg = zi ,
(7.63)
" " "
8 8 8
i=1 i=1 i=1
gdzie przez xi, yi, zi. oznaczono współrzędne kartezjańskie wierzchołków (węzłów) elementu sześcio-
ściennego, wyrażone w układzie globalnym.
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 7. SFORMUA
OWANIE IZOPARAMETRYCZNE 16
=1
y
3
4
x 8
7
z
2
g
1
5
=1
=1
6
Rys. 7.8. Izoparametryczny element przestrzenny - sześciościan
Stosując interpolację liniową w każdym z kierunków �, � i �, można położenie dowolnego punktu
elementu wyrazić za pomocą zależności:
8 8 8
x = Nixi , y = yi , z = Nizi ,
(7.64)
" "Ni "
i=1 i=1 i=1
w których funkcje kształtu Ni. przyjęto w postaci:
1 1
N1 = (1 - � )(1 -� )( 1 -ś ),N2 = ( 1 + � )(1 -� )(1 -ś ),
8 8
1 1
N3 = (1 + � )( 1 +� )( 1 - ś ),N4 = (1 - � )(1 +� )( 1 -ś ),
8 8
(7.65)
1 1
N5 = (1 - � )(1 -� )( 1 + ś ),N6 = (1 + � )(1 -� )( 1 + ś ),
8 8
1 1
N7 = (1 + � )(1 +� )(1 + ś ),N8 = (1 -� )(1 +� )( 1 + ś ).
8 8
Ze względu na postać zależności (7.65) nie istnieje możliwość wyrażenia współrzędnych lokal-
nych �; � i � jako funkcji x, y i z. Musimy więc zastosować podobny sposób, jak to czyniliśmy poprzednio.
W przypadku zadania trójwymiarowego macierz Jakobiego jest macierzą o wymiarach 3x3:
�ł
J11 J12 J13 x,� y,� z,� łł
�ł łł
�łx
�łJ
J = J22 J23śł = y,� z,� śł
(7.66)
21 ,�
�ł śł
�ł śł
�ł śł
31
�łJ J32 J33�ł �łx,ś y,ś z,ś śł
�ł �ł
Odpowiednie składowe tej macierzy wyznaczymy, biorąc pod uwagę wyrażenia (7.58):
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 7. SFORMUA
OWANIE IZOPARAMETRYCZNE 17
8 8 8
J11 = xi , J12 = yi , J13 = zi ,
"Ni,� "Ni ,� "Ni ,�
i=1 i=1 i=1
8 8 8
J21 = Ni,�xi , J22 = yi , J23 = Ni,�zi ,
" "Ni ,� "
(7.67)
i=1 i=1 i=1
8 8 8
J31 = xi , J32 = yi , J33 = Ni ,ś zi ,
"Ni,ś "Ni ,ś "
i=1 i=1 i=1
Tak jak to już podawaliśmy, macierz jakobianu jest iloczynem macierzy DL (3x8) pochodnych lokal-
nych funkcji kształtu oraz macierzy C,(8x3) współrzędnych globalnych węzłów elementu (J=DL CN). Od-
wrotność macierzy jakobianu wyrażona jest w znanej postaci:
a a a
�ł łł
J11 J12 J13
a
J 1 �łJ a a a
-1
J = = �" J22 J23śł
(7.68)
21
�ł śł
J J
a a a
�łJ31 J32 J33śł
�ł �ł
Zgodnie z procedurą przedstawioną poprzednio, aby wyrazić pochodne wszystkich funkcji kształtu ze
względu na współrzędne globalne, wystarczy teraz obliczyć
-1
DG = J �" DL (7.69)
Macierz DG składa się z następujących elementów :
�łN1,x N2,x K N8,x łł
�łN N2,y K N8,y śł
DG =
(7.70)
1,y
�ł śł
�łN1,z N2,z K N8,z śł( 3x8 )
�ł �ł
Bezpośrednie wyznaczanie tych 24 składowych jest łatwe, lecz pracochłonne, dlatego takie czynności
wykonuje się automatycznie w programie komputerowym. Pozostałe elementy procedury zmierzającej do
zbudowania macierzy sztywności elementu i obciążeń węzłowych w układzie lokalnym są podobne do za-
mieszczonych w rozdziałach 7.3 i 7.4.
7.6 Całkowanie numeryczne
W rozdziale 7.1 wspomnieliśmy, że w sformułowaniu elementów izoparametrycznych całkowanie
numeryczne jest powszechnie stosowaną techniką, wykorzystywaną przy obliczaniu współczynników macie-
rzy sztywności i wektorów obciążenia. Wielkości te, zależnie od wymiarów elementu, są następującej posta-
ci:
F(� )d� ,� )d�d�
(7.71)
+" +"F(� +"F(� ,�,ś )d�d�dś
Rozpatrzmy przypadek całkowania funkcji jednej zmiennej. Pokażemy, że bardzo łatwo uogólnić go
na całkowanie funkcji wielu zmiennych. Ogólnie rzecz biorąc, całkowanie numeryczne polega na przyjęciu
funkcji wielomianowej �(�), interpolującej funkcję F (7.71) w danej liczbie punktów i na obliczeniu całki
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 7. SFORMUA
OWANIE IZOPARAMETRYCZNE 18
(7.72)
+"�(� )d�
jako aproksymacji całki funkcji F. Załóżmy, że funkcję F(�) obliczono w n+1 różnych punktach �0,�1,...,�n.
Przyjmijmy następujący wielomian interpolacyjny w postaci:
2 n
�(� ) = a0 + a1� + a2� +K+ an� (7.73)
Biorąc pod uwagę, że �(�) = F(Ł) w n+1 punktach, otrzymamy:
F = V �" a (7.74)
gdzie:
F = [ F0F1KF2 ]T a = [ a0a1Ka2 ]T , a V jest macierzą Vandermonde'a:
2 n
�ł łł
1 �0 �0 K �0
�ł
2 n
1 �1 �1 K �1 śł
�ł śł
�ł
V =
K K K K Kśł
�ł śł
�łK K K K Kśł
2 n
�ł
1 �n �n K �n śł
�ł �ł
Ponieważ wyznacznik tej macierzy jest różny od zera, to istnieje jednoznaczne rozwiązanie (7.74)
względem wektora a.
Funkcje �(�) przyjmuje się najczęściej jako wielomiany Lagrange'a:
(� - �0 )(� - �1 )K(� - � )(� - � )K(� -�n )
j -1 j +1
lj(� ) =
(7.75)
(� - �0 )(� -�1 )K(� -� )(� - � )K(� -�n )
j j j j -1 j j +1 j
gdzie Ij(�i) = �ij , skąd wielomian interpolacyjny ma postać:
�(� ) = F0l0(� ) + F1l1(� )+KFnln(� )
(7.76)
Mając teraz wielomian (7.76) możemy obliczyć całkę:
b
(7.77)
+"�(� )d�
a
Stosuje się dwa podejścia. W pierwszym zakłada się, że punkty całkowania są równo oddalone, wobec cze-
go
b - a
�0= a, � = b, h =
n
n
Wykorzystując wielomiany Lagrange'a, otrzymujemy:
b
n
ńłb �ł
F(� )d� =
�ł
"ół i i
+" +"l (� )d� żłF ,
i=0
a a �ł
(7.78)
b
n
n
F(� )d� = ( b - a ) Fi .
"ci
+"
i=0
a
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 7. SFORMUA
OWANIE IZOPARAMETRYCZNE 19
Stałe Cni. są stałymi Newtona-Cotesa i można je łatwo wyznaczyć.
Proszę zwrócić uwagę, że dla n=1 i n=2 otrzymujemy znane formuły trapezów i Simpsona. W celu
otrzymywania coraz dokładniejszych wyników całkowania możemy zwiększać n, czyli użyć formuł Newto-
na-Cotesa rzędu wyższego lub zastosować te formuły z podziałem przedziału na kilka podprzedziałów (czyli
kilka przedziałów całkowania).
Omówimy teraz drugie podejście. Do tej pory stosowaliśmy formułę całkowania numerycznego za-
kładając, że przedział całkowania jest podzielony na równe odcinki. Zwróćmy uwagę, że całkowanie macie-
rzy w metodzie elementów skończonych nie wymaga tego założenia. Punkty całkowania mogą być wybrane
dowolnie, wobec czego można postawić następujące zadanie: scałkować funkcję dla danej liczby punktów i
dokonać optymalizacji położenia tych punktów.
Tzw. kwadratury Gaussa należą do grupy metod całkowania numerycznego, w których zarówno poło-
żenie punktów jak i wagi są wybrane tak, by zminimalizować błąd procedury całkowania. Podstawowym
założeniem całkowania numerycznego metodą Gaussa jest przedstawienie całki w postaci
(7.79)
+"F(� )d� = ą1F(�1 ) + ą2F(�2 ) +K + ąnF(�n )
gdzie zarówno współczynniki ąi. jak i �i. są zmiennymi (mamy do wyznaczenia 2n niewiadomych). Za-
uważmy, że w formule Newtona-Cotesa zmiennymi były tylko wagi (a.). Podobnie jak wyżej, funkcję cał-
kowania zastąpimy wielomianem interpolacyjnym:
n
�(� ) = lj(� )
(7.80)
"Fj
j=1
W celu określenia niewiadomych �1, �2, ..zdefiniujemy funkcję P(�) w postaci wielomianu rzędu n:
P(� ) = (� - �1 )(� - �2 )K(� -�n )
(7.81)
Ponieważ dla punktów całkowania P(�) = 0, to możemy napisać:
2
F(� ) =�(� ) + P(� )( �0 + �1� + �2� +K) (7.82)
W takim razie całka z funkcji F(�) będzie miała postać:
n "
j
F(� )d� = [ (� )d� ] + [ P(� )d� ]
(7.83)
"Fj j "� j
+" +"l +"r
j=1 j=0
Nieznane dotąd współczynniki rj. (j=1,...n) mogą być określone z warunku:
b
�"
(7.84)
+"P(� )�" rk d� = 0, k = 0,1,2,K,n - 1
a
Ponieważ wielomian �(�) jest wielomianem interpolującym funkcję F(�) przez n punktów a P(�) w
tych punktach znika, to równanie (7.84) oznacza, że całka z funkcji F(�) jest aproksymowana przez całkę z
wielomianu rzędu 2n-1. W formule Newtona-Cotesa dokładnie całkowany był wielomian rzędu n, natomiast
w metodzie Gaussa, stosując różne położenie punktów całkowania dokładnie scalkujemy wielomian rzędu
2n-1.
Aby uogólnić procedurę całkowania w przedziale , należy dokonać transformacji punktów
całkowania i wartości wag do przedziału <-1, 1>:
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 7. SFORMUA
OWANIE IZOPARAMETRYCZNE 20
( a + b ) / 2 + ri( b - a ) / 2,( b - a )ąi
(7.85)
Wartości wag wyznacza się z zależności:
+1
ą = (� )d� j = 1,2,3,...,n (7.86)
j j
+"l
-1
Zarówno położenie punktów całkowania, jak i wartości wag można obliczyć. Dla dużego  n wyko-
rzystuje się wielomiany Legendra i metoda całkowania nazywa się wtedy metodą Gaussa-Legendra. Metoda
ta jest powszechnie stosowana przy całkowaniu macierzy dla elementów skończonych izoparametrycznych.
W tablicy 7.2 zestawiono współczynniki dla kwadratur Gaussa do całkowania funkcji jednej zmiennej. Ze-
stawienie położeń punktów Gaussa dla zadań dwuwymiarowych rozpiętych nad polami trójkąta bądz
czwo-
rokąta oraz ich wag znajdzie Czytelnik w Dodatku B.
Tablica 7.2 Współczynniki dla kwadratur Gaussa
Liczba Położenie punktu Gaussa Waga
punktów ą�i ąi
1 0.0 2.0
2 0.5773502692 1.0
3 0.7745966692 0.55556
0.0 0.88889
4 0.8611363116 0.347855
0.3399810436 0.652145
5 0.9061798459 0.236926
0.5384693101 0.4786286
0.0 0.5688889
Przykład 1.
Scałkujmy numerycznie funkcję $(�) = 3  �2; przyjmując różną liczbę punktów Gaussa. Dla n = 1
(�1 = 0, ą1 = 2) otrzymujemy I� = ą1 , $(�1) = 2.0 (3) = 6.0, co jest pierwszym przybliżeniem dokładnej war-
tości całki, co jest już rozwiązaniem dokładnym.
Przyjęcie n > 2 zawsze dalej prowadzi do wyniku dokładnego. Zgodnie zresztą z poprzednią uwagą
przy przyjęciu n = 2 można dokładnie scałkować wielomian stopnia trzeciego.
1
3
+"( 3 -� )d�
-1
dla n=2 zgodnie z tablicą 7.1 otrzymujemy:
1
�1 = �2 = - = -0.57735.. ą1 = ą2 = 1
3
oraz
2 2
2
�ł �ł �ł �ł
1
�ł �ł
�ł.+ ( 1.0 )�ł3 - �ł 1 �ł �ł
I� = Ć(�i ) = ( 1.0 )�ł3 - �ł �ł �ł �ł = 0.5333...
"ąi
�ł �ł �ł �ł
3 3
i=1 �ł łł �ł łł
�ł łł �ł łł
Przykład 2.
Określmy współczynnik macierzy sztywności K., dla elementu Q4, używając formuły całkowania we-
dług kwadratur Gaussa w n=2 punktach (miejsca położenia punktów Gaussa i wagi znajdziemy w Dodatku
B). Załóżmy, że grubość t jest stała, a współczynniki wierzchołków 1, 2, 3 i 4 są odpowiednio: (7,1), (20,5),
(14,14), i (5,10). A więc
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 7. SFORMUA
OWANIE IZOPARAMETRYCZNE 21
n n
K = t ąkBT (� ,�k )�" D �" B(� ,�k ) J(� ,�k )
""ą j j j j
k =1 j =1
Macierze B i J w tym wyrażeniu są funkcjami współrzędnych �j i �k w punktach całkowania (Gaussa).
W szczególności dla K12 przy przyjęciu n=2, co odpowiada wagom ąj=ąk=1.0 otrzymujemy :
2 2
T
K12 = t �" D( �" B1,2 �" J
""B1,1( 1 x 3 ) 3 x3 )
( 3 x1 )
k =1 j =1
W tej zależności B1,1 oznacza pierwszą kolumnę podmacierzy B1 , a B1,2 drugą kolumnę tej podmacierzy.
Podstawiając te kolumny otrzymujemy:
2 2
K12 = t( D12 + D33 ) �" DG21 �" J
""DG11
k =1 j =1
gdzie D12 i D33 są współczynnikami prawa konstytutywnego. Aby wyprowadzić do końca wyrażenie na K12
, wyznaczmy macierz jakobianu:
7 1
�ł łł
�ł20 5 śł
łł 1 �ł - 2� 4
łł
1 �ł- (1 -� ) (1 -� ) (1 +� ) - (1 +� ) 11
�ł śł
J = D �" C = �" =
�ł śł �ł
�ł śł
4 (1 - � ) - ( 1 + � ) (1 + � ) (1 - � ) 14 14 2 4 - 2� 9śł
�ł- �ł �ł- �ł
�ł
5 10śł
�ł �ł
Wartość wyznacznika tej macierzy wynosi:
1
J = ( 115 - 18� + 8� )
4
Składniki wymagane do zbudowania macierzy DG wynoszą :
1 - 5 + 9� - 4�
DG11 = [- (1 -� )J22 + ( 1 -� )J12]=
4 �" J 2( 115 - 18� + 8� )
1 3( -5 + 2� + 3� )
DG21 = [(1 -� )J21 - ( 1 -� )J11]=
4 �" J 2(115 - 18� + 8� )
Wyznaczając wartości wyrażeń DG11 , DG21 , oraz l J l we wszystkich czterech punktach całkowania i sumu-
jąc otrzymujemy K12 = 0.1579 �"t �"( D12 + D33 )
7.7 Błędy w rozwiązaniach MES
Rozwiązania opierające się na sformułowaniach MES obarczone są błędami. Mamy na myśli tylko te
błędy, które wynikają z przybliżonego charakteru metody, nie zaś te, które wynikają z prostych pomyłek, na
przykład związanych z niepoprawnym wprowadzeniem danych czy błędami na etapie kodowania progra-
mów. Problematyka oceny błędów, obecnie bardzo intensywnie rozwijana, jest bardzo rozległa i skompliko-
wana i nie będzie tutaj szczegółowo dyskutowana.
Chcąc nieco przybliżyć Czytelnikowi tę tematykę, skoncentrujemy się tylko na pewnych elementach
podstawowych.
Ze względu na konsekwentne kontynuowanie w tym skrypcie sformułowania przemieszczeniowego
MES spróbujmy rozpatrzyć następujące rozwiązania, wyrażone w przemieszczeniach, pewnego problemu
fizycznego. Oznaczmy przez u (x) hipotetyczne rozwiązanie danego problemu fizycznego, otrzymane w ide-
alnie przeprowadzonym eksperymencie. Rozwiązanie to abstrahuje od przyjmowanego modelu matematycz-
nego tego zadania, opisując rzeczywistość fizyczną taką, jaką ona w istocie swej jest. Przez u(x) oznaczmy
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 7. SFORMUA
OWANIE IZOPARAMETRYCZNE 22
rozwiązanie dokładne w ramach przyjętego ciągłego matematycznego modelu zadania. Rozwiązanie to speł-
nia dokładnie układy równań różniczkowych opisujące problem kontinuum, przyjęte prawo fizyczne i wa-
runki początkowo-brzegowe zadania. W tym miejscu możemy już zdefiniować tak zwany błąd modelowania
matematycznego:
e( m )( x ) = u*( x ) - u( x ) (7.87)
Jeśli przez u(d)(x) oznaczymy rozwiązanie ścisłe w ramach modelu dyskretnego wówczas możemy
zdefiniować tak zwany błąd dyskretyzacji.
e(d)(x) = u(x) - u(d)(x). (7.88)
Jest to błąd powstały w wyniku zastąpienia układu o nieskończenie wielu stopniach swobody (ciągły model
matematyczny) układem o skończonej liczbie stopni swobody. Błąd zaokrągleń wynika z reprezentowania w
obliczeniach numerycznych liczb rzeczywistych z dokładnością do odpowiedniej liczby cyfr. Ten błąd moż-
na więc zdefiniować następująco:
e(z)(x) = u(d)(x) - u(n)(x), (7.89)
gdzie przez u(n)(x) oznaczono otrzymane rozwiązanie numeryczne. Kolejny tak zwany błąd dziedziczony lub
błąd rozwiązania jest na dowolnym etapie obliczeń sumą błędów dyskretyzacji i zaokrągleń:
e(r)(x) = e(d)(x) + e(z)(x) = u(x) - u(n)(x). (7.90)
Przedmiotem badań w ramach MES jest zazwyczaj błąd rozwiązania lub, ograniczając się do relacji
między modelem kontynualnym a dyskretnym, błąd dyskretyzacji. Pozostały, zdefiniowany tutaj błąd e (x),
który opiera się na znajomości dokładnego rozwiązania problemu fizycznego, jasno uzmysławia trudności
modelowania matematycznego zjawisk fizycznych, ale w oczywisty sposób wykracza poza problematykę
MES.
Należy tutaj koniecznie podkreślić, że w wielu rozpowszechnionych programach MES nie istnieje
możliwość efektywnej oceny błędów rozwiązań numerycznych. Jest to poważna wada istniejących kodów
MES. W tej sytuacji upewnienie się co do wartości i inżynierskiej przydatności otrzymanego rozwiązania
jest związane z kilkukrotnym przeliczeniem tego samego problemu. Dopiero zbieżność otrzymywanych wy-
ników dla różnych gęstości siatek MES czy też przy zmianie stopnia wielomianów aproksymujących może
być podstawą do zaakceptowania rozwiązania.
Ocena błędów dyskretyzacji jest bardzo kłopotliwa. Aby przeprowadzić taką analizę potrzebna jest na
przykład jawna postać macierzy sztywności. Dla niektórych prostych elementów skończonych, podaliśmy w
tym skrypcie takie właśnie postaci macierzy sztywności. Dla zdecydowanej jednak większości dyskutowa-
nych elementów, ze względu na stosowane procedury numerycznego całkowania, jawna postać tych macie-
rzy nie jest znana.
Błąd dyskretyzacji bywa w literaturze szacowany za pomocą wyrażeń typu c h , gdzie c jest pewną
stałą, h - charakterystycznym wymiarem elementu skończonego a p jest wykładnikiem potęgi, który charak-
teryzuje zbieżność ciągu rozwiązań powstających w wyniku zmniejszania wymiaru h czyli zagęszczania
siatki elementów. Zilustrujmy więc na najprostszym przykładzie takie szacowanie zbieżności. Rozpatrzmy
przypadek jednowymiarowy  pręt poddany osiowemu, równomiernie rozłożonemu obciążeniu. Załóżmy, że
sztywność EA = const. Przyjmijmy podział pręta na dwuwęzłowe elementy skończone o różnej długości, tak
że elementy łączące się w węz
le i mają odpowiednio długości h oraz gh (rys. 7.9). Odpowiednie macierze
sztywności dla elementów (i-1,i) oraz (i,i+1) mają postać
1
łł EA �ł - 1
łł
EA �ł - 1 1
i ,i-1 )
k( i ,i-1 ) =
(7.91)
�ł śł, k( = �ł śł,
h 1 1 ł �" h 1 1
�ł- �ł �ł- �ł
więc równanie równowagi i-tego węzła prowadzi do warunku:
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 7. SFORMUA
OWANIE IZOPARAMETRYCZNE 23
EA EA ph( 1+ ł )
[- ui-1 + ui]+ [- ui-1 + ui]=
(7.92)
h ł �" h 2
Rozwijając w szereg Taylora przemieszczenie wokół punktu i można wyrazić przemieszczenia w
punktach sąsiednich jako:
2 3
2
dy d y (łh) d3 y (łh)+K
ui+1 = u + łh + +
x= xi x= xi
dx dx2 x= xi 2! dx3 x= xi 3!
(7.93)
3
2
2
dy dy h d y h
ui-1 = u - h + - +K
x= xi x= xi
dx dx2 x= xi 2 dx3 x= xi 6
Podstawiając te równania do równań równowagi (7.92) otrzymamy
2 3 3
d y h d y h2 1 + ł d4 y pi
- (1 -ł ) + + = 0
(7.94)
dx2 x= xi 3 dx3 x= xi 12 1 + ł dx4 x= xi EA
EA
p(k)
x,u
ui-1 ui ui+1
xi-1 xi xi+1
Rys. 7.9. Dyskretyzacja pręta
podczas gdy dokładne wyrażenie opisujące równanie równowagi w punkcie i w zapisie kontynualnym jest
równaniem różniczkowym o postaci:
2
d y pi
(7.95)
+ = 0
dx2 EA
Widzimy, że dla wymiaru siatki h -> O rozwiązanie dyskretyzowane dąży do rozwiązania ścisłego. W
przypadku gdy g = 1 (siatka regularna) zbieżność jest kwadratowa, gdy g`"1  tylko liniowa. Powyższy pro-
sty przykład może stanowić wprowadzenie do dowodów zbieżności rozwiązań liniowych problemów MES.
Przyczyną błędów numerycznych w MES jest częstokroć tak zwane złe uwarunkowanie macierzy
sztywności układu. Polega ono na tym, że wartość wyznacznika tej macierzy jest bliska zeru. W takich
sytuacjach niewielka zmiana jednego ze współczynników układu równań może powodować drastyczne róż-
nice w rozwiązaniach. Posłużmy się następującym przykładem. Układ równań:
1.00 - 1.00 x 4.00 x 104
�ł łł�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
= ma rozwiązanie =
�ł śł�łyśł �ł �łyśł �ł100śł
�ł- 1.00 1.02 �ł�ł �ł �ł- 2.00śł �ł �ł �ł �ł
�ł
a nie wiele od niego różniący się układ
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 7. SFORMUA
OWANIE IZOPARAMETRYCZNE 24
1.00 - 1.00 x 4.00 x 204
�ł łł�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
= ma rozwiązanie =
�ł śł�łyśł �ł �łyśł �ł200śł
�ł- 1.00 1.01 �ł�ł �ł �ł- 2.00śł �ł �ł �ł �ł
�ł
Zauważmy także, że gdyby obliczenia były prowadzone z dokładnością do zaledwie dwóch cyfr zna-
czących, to wszystkie współczynniki macierzy sztywności byłyby równe jedności i macierz ta byłaby oso-
bliwa.
W praktycznych obliczeniach konstrukcji z sytuacją złego uwarunkowania macierzy sztywności mo-
żemy mieć do czynienia najczęściej w przypadkach sprężystego podparcia lub podpór usytuowanych uko-
śnie, kiedy to sztywności różnych fragmentów konstrukcji bardzo się od siebie różnią. Parametrem charakte-
ryzującym uwarunkowanie macierzy jest tak zwany współczynnik uwarunkowania zdefiniowany jako:
max
�( K ) =
(7.96)
min
gdzie min i max są odpowiednio maksymalną i minimalną wartością własną macierzy sztywności K. Współ-
czynnik ten używany jest do oszacowania liczby poprawnych cyfr znaczących s w rozwiązaniu układu rów-
nań, gdy obliczenia są prowadzone z dokładnością do g cyfr znaczących (w PC około 7 cyfr). Mamy
wówczas:
s e" p - log10 �( K )
(7.97)
Im gorsze jest uwarunkowanie macierzy K, to znaczy im większa jest liczba K tym trudniej o wysoką
dokładność rozwiązania. W praktyce w programach MES często się zdąża, że uwarunkowanie sięga K = l06 ,
stąd wypływa sugestia by na komputerach klasy PC prowadzić obliczenia przy wykorzystaniu podwójnej
precyzji.
Błędy mogą również wynikać z nieprawidłowo opracowanych elementów skończonych. Wiemy już,
że spełniając tak zwany warunek zgodności (ciągłości pola przemieszczeń) i warunki zupełności (prawidło-
we opisanie w elemencie pola stałych odkształceń i nie powstawanie odkształceń przy deklarowaniu ruchów
sztywnych) jak to ma miejsce w omawianych modelach przemieszczeniowych osiąga się wraz ze wzrostem
liczby stopni swobody monotoniczną zbieżność do rozwiązania dokładnego.
Ocenie poprawności sformułowania elementu skończonego może służyć test wartości własnych ma-
cierzy sztywności k tego elementu. Rozwiązuje się równanie
( k - I )�"v = 0 ,
(7.98)
które można interpretować jako opis drgań własnych elementu z jednostkową macierzą mas. Możemy wów-
czas sprawdzić, czy analogicznym postaciom deformacji odpowiadają te same wartości własne, gdyż nie
powinny one ulegać zmianom przy sztywnych ruchach ciał. Także wartości własne odpowiadające ruchom
sztywnym powinny być równe zeru, a wszystkie pozostałe powinny być rzeczywiste i dodatnie.
Przy innym niż stosowanym w tym skrypcie formułowaniu elementów skończonych (na przykład hy-
brydowe czy mieszane) rezygnuje się często z pełnej zgodności modelu. Wówczas do oceny błędów stosuje
się techniki sprawdzające zgodność układu elementów. Również metody adaptacyjne, intensywnie ostatnio
rozwijane, wymagają wprowadzenia specjalnych norm błędów i oceny zbieżności. Czytelników zaintereso-
wanych tą problematyką odsyłamy do literatury z
ródłowej.
7.8. Uwagi końcowe
Na koniec poświęcimy trochę uwagi tematowi zbieżności metody elementów skończonych w odnie-
sieniu do elementów izoparametrycznych oraz podamy kilka uwag na temat całkowania numerycznego.
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 7. SFORMUA
OWANIE IZOPARAMETRYCZNE 25
Jak pamiętamy z rozdziału 5, elementy skończone muszą spełniać pewne wymagania, by zapewnić
monotoniczną zbieżność z wynikami dokładnymi. Były to warunki zgodności i zupełności. W elementach
izoparametrycznych spełnienie warunku zgodności polega na zbadaniu, czy współrzędne i przemieszczenia
elementów na granicy pomiędzy elementami są te same. Gdy elementy przylegające do siebie mają te same
węzły (tę samą liczbę węzłów), to wymóg ten jest spełniony automatycznie ze względu na cechę tych ele-
mentów. Spełnienie warunku zupełności wymaga sprawdzenia, czy element może dokonywać ruchu sztyw-
nego bez powstania w nim naprężeń oraz czy jest możliwy do osiągnięcia stan odpowiadający stałemu od-
kształceniu. W celu dokonania takiej analizy rozpatrzmy element trójwymiarowy jako najogólniejszy przy-
padek elementu izoparametrycznego. Warunek ruchu jako ciała sztywnego oraz możliwość występowania
stałego stanu odkształcenia wymagają, by funkcja przemieszczeń elementu mogła zawierać pole w postaci:
u = a1 + b1x + c1 y + d1z,
v = a2 + b2x + c2 y + d2z,
(7.99)
w = a3 + b3x + c3 y + d3z,
gdzie a., b., c., d. są stałymi. Przemieszczenia zatem węzłów odpowiadające polu (7.99) mają postać:
ui = a1 + b1xi + c1yi + d1zi ,
vi = a2 + b2xi + c2 yi+d2zi ,
(7.100)
wi = a3 + b3xi + c3 yi + d3zi ,
gdzie i=1,.., liczba węzłów.
q q q
u = Niui , v = vi , w = Niwi , (7.101)
" "Ni "
i=1 i=1 i=1
co po podstawieniu (7.100) daje:
u = a1 + b1x + c1 y + d1z,
"Ni
v = a2 + b2x + c2 y + d2z,
(7.102)
"Ni
w = a3 + b3x + c3 y + d3z,
"Ni
W sformułowaniu izoparametrycznym funkcje przemieszczeń zapisać możemy w postaci:
Ponieważ dla elementów izoparametrycznych jest prawdziwa zależność "N = 1, warunek więc zupełności
jest spełniony.
Całkowanie numeryczne w metodzie elementów skończonych wymaga odpowiedzi na dwa podsta-
wowe pytania: jakiego typu formuły wykorzystać i jakiego rzędu całkowanie zastosować. Wspomnieliśmy
wyżej, że ze względu na dużą efektywność powszechnie używane są kwadratury Gaussa. Wybór rzędu cał-
kowania zależy w ogólności od postaci funkcji całkowanej. Stosując odpowiednio wysoki rząd całkowania
możemy mieć pewność, że otrzymane macierze i wektory będą dokładne. Często stosuje się jednak niższy
rząd całkowania, niż tego wymaga postać funkcji podcałkowej. Wynika to z faktu, że proces całkowania jest
stosunkowo pracochłonny i długi, w związku z czym o ile jest to możliwe stosuje się tzw. całkowanie zredu-
kowane. W takich przypadkach należy jednak postępować bardzo ostrożnie, bowiem rząd całkowania nie
może być niższy od pewnego poziomu wyznaczonego wnikliwą analizą każdego przypadku.
Zadania
Proszę wyznaczyć wymagany rząd całkowania metodą Gaussa dla macierzy sztywności prostokątnego
elementu izoparametrycznego Q4.
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 7. SFORMUA
OWANIE IZOPARAMETRYCZNE 26
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 8. ELEMENTY PA
YTOWE I POWA
OKOWE 1
8.


ELEMENTY PA
YTOWE I POWA
OKOWE
Ze względu na szerokie zastosowanie konstrukcji płytowych i powłokowych w budownictwie prace
nad formułowaniem coraz to efektywniejszych elementów skończonych płytowo-powłokowych są ciągle
kontynuowane. Poniżej przedstawimy tylko niektóre elementy skończone, wykorzystywane do analizy płyt i
powłok. Skoncentrujemy naszą uwagę na podstawowych krokach przy formułowaniu takich elementów. Na
wstępie przypomnimy równania teorii płyt, by ułatwić Czytelnikowi studiowanie tego rozdziału. Na koniec
zaproponujemy pewien sposób analizy powłok za pomocą płaskich elementów tarczowo-płytowych.
8.1 Naprężenia i odkształcenia płyt cienkich (Kirchhoffa)
Płyta cienka jest obiektem dwuwymiarowym, takim że jej wymiary w kierunku osi x i y są wielokrot-
nie większe niż jej grubość. Rysunek 8.1 przedstawia nieskończenie mały element płyty zginanej, dla której
płaszczyzna xoy jest równocześnie płaszczyzną obojętną (neutralną). Wysokość przekroju pokrywa się z
pełną grubością płyty t, podczas gdy inne wymiary wynoszą dx i dy. Płyta cienka znajduje się w stanie
zginania, gdy obciążenia działają w kierunku normalnym do jej płaszczyzny.
z,w
y,v
x,u
Mxy
Qx
Mxx
Rys. 8.1. Elementarny wycinek płyty
Odkształcenia w płaszczyz
nie warstwy płyty są zdefiniowane, jak w płaskim stanie naprężenia, za
pomocą równań:
"u "u "u
� = , � = , � = ,
(8.1)
x y z
"x "y "z
Z podstawowego założenia zginania płyt cienkich, według którego normalne do powierzchni obojętnej
pozostają proste i normalne w procesie deformacji wynika, że
"w "w
u = -z �" , v = -z �" ,
(8.2)
"x "y
skąd po podstawieniu do (8.1) otrzymujemy zależności: odkształcenie  przemieszczenie w postaci
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 8. ELEMENTY PA
YTOWE I POWA
OKOWE 2
2
" w "2w "2 w
� = -z �" , � = -z �" , ł = -2z �" ,
(8.3)
x y xy
2
"x2 "y "x"y
Zależność naprężenie - odkształcenia dla warstwy płyty jest identyczna, jak dla płaskiego stanu naprę-
żenia. Dla materiału izotropowego mamy więc:
(8.4)
� = D �"�
gdzie przyjęto następujące oznaczenia:
1 � 0
�ł łł
E 1-�
�ł�
D = �" 1 0śł,  = ,
2
�ł śł
2
1-�
�ł śł
�ł0 1 �ł
Dla materiału ortotropowego operator D ma postać:
E11 E12 0
�ł łł
�łE E22 0 śł,
D =
(8.5)
21
�ł śł
�ł śł
0 0 E33 �ł
�ł
Wprowadz
my wektor naprężeń uogólnionych, odpowiadających wartościom momentów zginających,
przypadających na jednostkę długości płyty:
M = [ M ,M ,M ]T
(8.6)
xx yy xy
Jeżeli
E
� = (� +� �"� ),
(8.7)
x x y
2
1-�
to uogólnione naprężenie Mxx wynika z całkowania wyrażenia
+t / 2 +t / 2
�ł �ł
E "2 w "2w
2
�ł �ł
M = - � �" z �" dz = +� �" �" z dz
(8.8)
xx x
+" 2 �ł 2 +"
�ł
1 -� "x2 "y
-t / 2 �ł łł -t / 2
Podobnie otrzymamy pozostałe składowe wektora uogólnionych naprężeń:
3 2 2
�ł �ł
E t " w " w
�ł �ł
M = +� �"
(8.9)
yy
2 �ł 2
12
1-� "y "x2 �ł
�ł łł
2 2
Et " w
M =
(8.10)
xy
2
"x"y
12(1-� )�"
Przyjmijmy wektor uogólnionych odkształceń $ w postaci:
Ć = [Ć ,Ć ,Ćxy ]T = [ wxx ,wyy ,2wxy ]T ,
(8.11)
xx yy
wówczas uogólniony operator dla naprężeń i odkształceń, oznaczony przez D, wynosi:
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 8. ELEMENTY PA
YTOWE I POWA
OKOWE 3
t3
(8.12)
D = D
12
Otrzymujemy więc relację macierzową:
(8.13)
M = DĆ
Relacje wynikające z transformacji osi współrzędnych dla wielkości uogólnionych są identyczne z
występującymi w płaskim stanie naprężenia. Może to być zademonstrowane przez całkowanie po grubości
płyty w postaci następującej sekwencji przekształceń:
+t / 2 +t / 2 +t / 2
M' = -�' z �" dz = -T� z �" dz = -T� �" D �"� �" z �" dz
(8.14)
+"+" +"
-t / 2 -t / 2 -t / 2
ale ponieważ � = -z$, więc dalej:
+t / 2
3
t
2
M' = T� �" D �"Ć z �" dz = T� �" D �"Ć �" = T� �" M
(8.15)
+"
12
-t / 2
Widać więc, że relacja między M' i M jest taka sama, jak między �' a �. By ustalić podobne zależności
między $' a $, możemy porównać podcałkowe wyrażenia określające wirtualny stan energii odkształcenia.
Otrzymamy ciąg przekształceń:
T T
(�M' )TĆ' = �M Ć , (�M' )T Ć' = �M Ć ,
T T T T
(8.16)
�M T�Ć' = �M Ć , gdzie �M T�Ć' = �M Ć ,
Ć' = T�Ć , Ć' = T�Ć ,
Można także wykazać, że
D' = T� �" D �"T� T , (8.17)
z
Qy
Qy+ dy
Myx
y
dy
Myx+
y y
Myy
dy
Myy+
x
Qx
Mxx
Mxx
dx
Mxx+
Mxy
x
dx
Mxy+
x
Mxy
Qx
Qy
Qx+ dx
x
bz
x
Myy
Myx
Rys. 8.2. Definicja sił wewnętrznych
Jeśli rozpatrzymy równowagę wyciętego nieskończenie małego fragmentu płyty (rys. 8.2) z uwzględ-
nieniem sił poprzecznych Qx i Qy oraz obciążenia bz , to otrzymamy:
" z równania równowagi "Pz =0:
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 8. ELEMENTY PA
YTOWE I POWA
OKOWE 4
"Qy
"Qx
bz = dxdy - Qxdy + ( Qx + dx )dy - Qydx + ( Qy + dy )dx = 0
"x "y
(8.18)
"Qx "Qy
+ + bz = 0
"x "y
" z równania równowagi "My =0 względem osi y przy pominięciu efektów drugiego rzędu:
"M
"M
yx
xx
+ + Qx = 0
(8.19)
"x "y
" i podobnie z równania równowagi "Mx =0:
"M "M
yy xy
+ + Qy = 0
(8.20)
"y "x
Ostatnie dwa równania pozwalają obliczyć siły poprzeczne z pochodnych momentów zginających.
8.2 Wybrane elementy płytowe
Naszkicujemy poniżej podstawowe założenia przyjęte podczas definiowania elementów płytowych w
lokalnym układzie współrzędnych. Pamiętajmy, że przy formułowaniu zadania brzegowego zawsze staniemy
przed problemem transformacji współrzędnych macierzy sztywności czy wektora obciążeń z układu lokal-
nego do globalnego.
8.2.1 Niedostosowany element prostokątny
Przedstawimy teraz jeden z najprostszych elementów płytowych, jakim jest niedostosowany element
prostokątny. Element ten, często zwany MZC od nazwisk jego twórców (Melosh, Zienkiewicz, Cheung), nie
spełnia warunków zgodności pochodnych na brzegach elementu. Jest więc elementem niedostosowanym.
Rysunek 8.3 pokazuje przyjętą geometrię elementu oraz definicję stopni swobody węzłów.
W elemencie tym wektor przemieszczeń dowolnego punktu ma tylko jedną składową
u = [w]. (8.21)
b)
a)
di1
3
di3
4 z
y
di2
x
2b
w
w1
y
2
2a
1
w1
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 8. ELEMENTY PA
YTOWE I POWA
OKOWE 5
Rys. 8.3. Element płytowy i definicja stopni swobody
Przyjmijmy trzy stopnie swobody w każdym z czterech węzłów:
"wi "wi
di = [ di1 di2 di3 ]T = [ wi - ]T
(8.22)
"y "x
odpowiednie zaś obciążenie węzłowe wynosi:
(8.23)
pi = [ pi1 pi2 pi3 ]T = [ pzi M M ]T dla i=1,2,3,4
zi yi
Funkcję aproksymującą przemieszczenia w przyjęto w postaci
2 2 3
w = c1 �" 1 + c2 �"� + c3 �"� + c4 �"� + c5 �"�� + c6 �"� + c7 �"� +
(8.24)
2 3 3
+ c8 �"�� + c9 �"�� + c10 �"�3 + c11 �"� � + c12 �"��
Przypisane funkcje kształtu mają więc postać:
Ni = [ Ni1 Ni2 Ni3 ]
(8.25)
gdzie :
1
2 2
Ni1 = (1+�0 )( 1+�0 )( 2 +�0 +�0 -� -� ),
8
1
Ni2 = �"b�i �"(1+�0 )(1-�0 )(1-�0 )2 , (8.26)
8
1
Ni3 = �"b�i �"(1-�0 )(1+�0 )(1-�0 )2 .
8
gdzie:
�0 = �i �"� , �0 =�i �"�, dla i=1,2,3,4
Operator L, wynikający z (8.3), w którym opuszczono człon -z, ma postać:
2 2 2
�ł łł
" " "
L =
(8.27)
�ł"x2 "y 2 "x"y śł
�ł �ł
i definiuje macierz B w postaci
�ł łł
Ni1,xx Ni2,xx Ni3,xx
�łN Ni2,yy Ni3,yy śł
Bi = LNi =
(8.28)
i1,yy
�ł śł
�łNi1,xy Ni2,xy Ni3,xy śł
�ł �ł
W szczególności dla węzła pierwszego macierz H wynosi
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 8. ELEMENTY PA
YTOWE I POWA
OKOWE 6
�ł łł
3�(1-� )b2 0 (1- 3� )(1-� )ab2
1 �ł śł
2 2
Bi = = 3(1-� )�a -(1-� )(1- 3� )ba 0
(8.29)
2 śł
4a b2 �ł
�ł( 4 - 3� 2 3� 2 )ab (1-� )(1+ 3� )ab2 1-� )(1+ 3� )ba 2 śł
- -(
�ł �ł
Uogólnione naprężenia wynoszą więc
(8.30)
M = DĆ = D�" B �" d
Dla materiałów izotropowych iloczyn D B jest macierzą prostokątną o wymiarze 3x12. Fragment tej ma-
cierzy (pierwsza kolumna) jest następujący:
2
�ł łł
3�(1-� )b2 + 3�(1-� )�a K
3
Et �ł3��(
2
DB = = 1-� )b2 + 3(1-� )�a Kśł
(8.31)
2 2 �ł śł
48a b2 ( 1-� )
2 2
�ł śł
( 4 - 3� - 3� )abK
�ł �ł( 3x2 )
Macierz sztywności elementu skończonego w układzie lokalnym otrzymamy z
1 1
T T
Ke = B D �" B �" dA = ab B �" D �"B �" d�d� (8.32)
+" +" +"
A
-1 -1
a równoważne obciążenia węzłowe od obciążeń lub początkowych odkształceń wyrażone są w postaci :
1 1
T T
Pb = B bz �" dA = ab N �"bz �" d�d�
+" +" +"
A
-1-1
1 1
(8.33)
T T
P0 = B D �"Ć0 �" dA = ab B �"D �"Ć0 �" d�d�
+" +" +"
A
-1-1
Jawną postać macierzy sztywności (8.32) dla tego elementu można przedstawić w postaci sumy
3
Et
Ke = ( K1 + K + K3 + K4 )
(8.34)
2
2
12(1-� )
Postaci macierzy K. podano poniżej :
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 8. ELEMENTY PA
YTOWE I POWA
OKOWE 7
6
�ł łł
�ł śł
0 0
�ł śł
2
�ł-6a 0 8a
śł
�ł śł
-6 0 6a 6 sym.
�ł śł
�ł śł
0 0 0 0 0
�ł śł
2 2
b
�ł-6a 0 4a 6a 0 8a śł
K1 =
śł
6a2 �ł - 3 0 3a 3 0 3a 6
�ł śł
0 0 0 0 0 0 0 0
�ł śł
�ł 2 2 śł
�ł- 3a 0 2a 3a 0 4a 6a 0 8a2 śł
�ł 3 0 - 3a - 3 0 - 3a -6 0 -6a 6 śł
�ł śł
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
�ł śł
2
�ł- 3a 0 4a 2 3a 0 2a 2 6a 0 4a2 śł
-6a 0 8a
�ł �ł
6
�ł łł
�ł6b 8b2 śł
�ł śł
�ł śł
0 0 0
�ł śł
3 3b 0 6 sym.
�ł śł
�ł śł
3b 4b2 0 6b 8b2
�ł śł
0 0 0 0 0 0
a
�ł śł
K2 =
śł
6b2 �ł- 3 - 3b 0 -6 - 6b 0 6
�ł śł
3b 2b2 0 6b 4b2 0 -6b 8b2
�ł śł
�ł śł
0 0 0 0 0 0 0 0 0
�ł śł
�ł- 6 6b 0 - 3 - 3b 0 3 - 3b 0 6 śł
�ł6b 4b2 0 3b 2b2 0 - 3b 4b2 0 - 6b 8b2 śł
�ł śł
�ł
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0śł
�ł �ł
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 8. ELEMENTY PA
YTOWE I POWA
OKOWE 8
1
�ł łł
�ł śł
b 0
�ł śł
�ł- a - 2ab 0
śł
�ł śł
sym.
�ł- 1 - b 0 1 śł
�ł- b 0 0 b 0 śł
�ł śł
0 0 0 a 2ab 0
�
�ł śł
K3 =
�ł śł
2ab 1 0 0 - 1 0 - a 1
�ł śł
0 0 0 0 0 0 - b 0
�ł śł
�ł śł
0 0 0 - a 0 0 a - 2ab 0
�ł śł
�ł- 1 0 a 1 0 0 - 1 b 0 1 śł
�ł śł
0 0 0 0 0 0 b 0 0 - b 0
�ł śł
�ł
a 0 0 0 0 0 0 0 0 - a 2ab 0śł
�ł �ł
21
�ł łł
�ł śł
3b 8b2
�ł śł
�ł- 3a 0 8a2
śł
�ł śł
sym.
�ł- 21 - 3b 3a 21 śł
�ł- 3b - 8b2 0 3b 8b2 śł
�ł śł

�ł- 3a 0 - 2b2 3a 0 8a2 śł
K4 =
�ł śł
15ab 21 3b - 3a - 21 - 3b - 3a 21
�ł śł
�ł- 3b 2b2 0 3b - 2b2 0 - 3b 8b2 śł
�ł śł
3a 0 2a2 - 3a 0 - 8a2 3a 0 8a2
�ł śł
�ł- 21 - 3b 3a 21 3b 3a - 21 3b - 3a 21 śł
�ł
3b - 2b2 0 - 3b 2b2 0 3b - 8b2 0 - 3b 8b2 śł
�ł śł
�ł
3a 0 - 8a2 - 3a 0 2a2 3a 0 - 2a2 - 3a 0 8a2 śł
�ł �ł
Uogólnione naprężenia w wybranych punktach wynoszą:
M = D( B �" d -Ć0 ) (8.35)
Naprężenia od zginania płyty są wyrażone w postaci
12z
� = [� � � ]= - M ,
(8.36)
x y xy
3
t
zaś siły ścinające w postaci:
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 8. ELEMENTY PA
YTOWE I POWA
OKOWE 9
"M
"M
yx
xx
Qx = - - ,
"x "y
(8.37)
"M "M
yy xy
Qy = - - .
"y "x
8.2.2 Dostosowany element prostokątny
Element ten zwany jest często BFS od pierwszych liter nazwisk autorów (Bogner, Fox, Schmit). Ten
czterowęzłowy element ma cztery stopnie swobody w każdym węz
le:
2
"wi "wi " wi T
di = [ di1 di2 di3 ]T = [ wi - - ] (8.38)
"y "x "x"y
Rysunek 8.4 przedstawia przyjęte oznaczenia oraz stopnie swobody węzła i.
b)
a)
di1
z
di3
y
4 3
i
di2
di4
x
1 2
Rys. 8.4. Czworokątny dostosowany element płytowy
Przyjęte siły węzłowe określa wektor pi . :
pi = [ pzi M M X ]T
(8.39)
xi yi xyi
gdzie Xxyi . jest uogólnioną reakcją (drugi moment siły) odpowiadającą uogólnionemu przemieszczeniu
wi,xy. Tym samym funkcja przemieszczeń wybrana została zwielomianu szesnasto składnikowego w następu-
jący sposób:
w = C1 + C2x + C3x2 + C4x3
+ C5 y + C6xy + C7x2 y + C8x3 y
(8.40)
+ C9 y2 + C10xy2 + C11x2 y2 + C12x3 y2
+ C13y3 + C14xy3 + C15x2 y3 + C16x3 y3
Przyjęta funkcja jest zupełną dziesięcio składnikową funkcją, zawierającą wyrażenia 3 stopnia (nad linią
przerywaną), uzupełnioną sześcioma składnikami pod tą linią. W tablicy 8.1 przedstawiono zestawienie
funkcji kształtu odpowiadających wszystkim szesnastu stopniom swobody tego elementu.
Dalsze rozważania przebiegają podobnie jak w rozdziale poprzednim, dotyczącym elementu niedosto-
sowanego.
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 8. ELEMENTY PA
YTOWE I POWA
OKOWE 10
Tablica 8.1 Funkcje kształtu dla elementu BFS
J Nj j Nj
1 (1-3�2+2�3)(1-3�2+2�3) 9 (3�2-2�3)(3�2-2�3)
2 (1-3�2+2�3)(�-2�2+�3)b 10 -(3�2-2�3)(�2-�3)b
3 -(�-2�2+� 3)(1-3�2+2�3)a 11 -(�2-�3) (3�2-2�3)a
4 (�-2�2+� 3)(�-2�2+�3)ab 12 -(�2-�3)(�2-�3)ab
5 (3�2-2�3)(1-3�2+2�3) 13 (1-3�2+2�3)(3�2-2�3)
6 (3�2-2� 3)(�-2�2+�3)b 14 -(1-3�2+2�3)(�2-�3)b
7 (�2-�3)(1-3�2+2�3)a 15 -(�-2�2+�3)(3�2-2�3)a
8 -(3�2-�3)(�-2�2+�3)ab 16 -(�-2�2+�3)(�2-�3)ab
Element BFS charakteryzuje się lepszą zbieżnością w obliczeniach płyt cienkich niż niedostosowany
element MZC. Ponadto zastosowane w nim wielomiany wyższego stopnia w funkcjach kształtu umożliwiają
paraboliczny rozkład sił wewnętrznych (momentów). Zauważmy jednak, że wprowadzony w nim stopień
swobody jako druga mieszana pochodna funkcji ugięcia powoduje pewne ograniczenia jego zastosowań.
Wymagana jest bowiem ciągłość tego parametru, co w przypadku płyt o skokowo zmiennej grubości nie
może być spełnione i element ten nie nadaje się do tego typu zagadnień.
8.2.3 Element trójkątny
Na koniec tego krótkiego przeglądu elementów płytowych wspomnijmy jeszcze o elemencie trójkąt-
nym CKZ (Cheung, King, Zienkiewicz). Przyjmuje się w nim trzy węzły i po trzy uogólnione przemieszcze-
nia w każdym z tych węzłów (rys. 8.5). Stopnie swobody węzła są następujące:
"wi "wi
di = [di1 di2 di3]T = [wi - ]T , dla i=1,2,
(8.41)
"y "x
W tablicy 8.2 zestawiono założone funkcje kształtu. Funkcje te wyraża się we współrzędnych natural-
nych (polowych):
Tablica 8.2 Funkcje kszt ał tu dla elementu trójkątnego CKZ
Nj
1 �1+�12�2+�12�3-�1�22-�1�32
2 b3(�12�2+ą)-b2(�3�12+ą)
3 a3(�12�2+ą)-a2(�3�12+ą)
4 �2+�22�3+�22�1-�2�32-�2�12
5 b1(�22�3+ą)-b3(�1�22+ą)
6 a1(�22�3+ą)-a3(�1�22+ą)
7 �3+�32�1+�32�2-�3�12-�3�22
8 b2(�32�1+ą)-b1(�2�32+ą)
9 a2(�32�1+ą)-a1(�2�32+ą)
gdzie oznaczono
�1�2�3
ą = , a1 = x23, a2 = x31, a3 = x12,
2
b1 = - y23,b2 = - y31,b3 = - y12,
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 8. ELEMENTY PA
YTOWE I POWA
OKOWE 11
b)
a)
di1
z
di3
y
3
di2
1 2
x
Rys. 8.5. Trójkątny element płytowy
Aby obliczyć współczynniki macierzy B, należy zróżniczkować wyrażenia na Ni. z powyższej tablicy.
Odpowiedni operator różniczkowy L ma znaną już postać (8.27). Informacje na temat całkowania
numerycznego po powierzchni trójkąta (wybór punktów próbnych i wag kwadratur Gaussa) można znalez
ć
w Dodatku B.
8.3 Element trójkątny powłokowy
Zamiast rozważań nad klasycznymi teoriami powłok cienkich spróbujemy uprościć rozumowanie i
analizować dowolne powłoki za pomocą elementów przedstawionych wyżej i w poprzednich rozdziałach.
Przybliżając powłokę przenoszącą zarówno zginanie, jak i siły membranowe za pomocą płaskich elementów
trójkątnych, możemy posłużyć się superpozycją znanych już elementów: płaskiego CST i płytowego CKZ.
Składowe membranowe i składowe pochodzące od zginania dla obu elementów zaznaczono na rysunku 8.6.
Przyjmując tę kombinację w każdym węz
le mamy pięć stopni swobody w lokalnym układzie współrzędnych.
Rysunek 8.7 przed stawia podział powierzchni powłoki na płaskie elementy trójkątne oraz definiuje przemi-
eszczenia wyrażone w lokalnym i globalnym układzie współrzędnych. Zauważmy, że w globalnym układzie
w każdym węz
le mamy po sześć stopni swobody (z tego faktu wynikają pewne komplikacje, które omówi-
my dalej). Zanim więc dokonamy agregacji elementów trójkątnych (rys.8.7), musimy dokonać transformacji
składowych macierzy, wyrażając je w globalnym układzie XYZ. Prawo transformacji dla składowych w
węz
le i ma postać
Ć
di ' = Ridi (i=1,2,3) (8.42)
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 8. ELEMENTY PA
YTOWE I POWA
OKOWE 12
z
di2
y
3
j
di1
v
u
1 2
x
di3
z
di5
y
3
j
di4
w
1 2
x
Rys. 8.6. Trójkątny element powłokowy jako złożenie elementu płaskiego i płytowego
Wektor d'i, ma pięć składowych i wyraża przemieszczenia węzła i w układzie lokalnym:
d i= [ d i1 d i2 d i3 d i4 d i5] , (8.43)
zaś di. ma ich sześć i są one wyrażone w układzie globalnym w następująco:
di= [ di1 di2 di3 di4 di5] (8.44)
Widzimy więc, że macierz transformacji Ri o wymiarach 5x6 musi mieć następującą postać:
11 12 13 0 0 0
�ł łł
�ł 22 23 0 0 0 śł
21
�ł śł
Ć
�ł śł
Ri = 31 32 33 0 0 0
(8.45)
�ł
0 0 0 11 12 13 śł
�ł śł
�ł
0 0 0 21 22 23śł(5x6)
�ł �ł
Macierz ta zawiera cosinusy kierunkowe osi lokalnych (pionowych) w układzie globalnym. Znając
współrzędne węzłów 1 i 2, umiemy określić składowe wektora jednostkowego e'x w układzie globalnym
jako:
x12 x12 x12
11 = , 12 = , 13 = ,
(8.46)
L12 L12 L12
Podobnie współrzędne punktów 1 i 3 umożliwiają wyznaczenie wektora jednostkowego e13 (rys.8.7b), okre-
ślonego w kierunku brzegu 1-3
x13 y13 z13
Cx13 = , Cy13 = , Cz13 = .
(8.47)
L13 L13 L13
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 8. ELEMENTY PA
YTOWE I POWA
OKOWE 13
Rys. 8.7. Układy współrzędnych: lokalny i globalny
Współrzędne wektora jednostkowego w kierunku prostopadłym do płaszczyzny trójkąta, czyli w kierunku
osi z (e'z), są określane jako wynik unormowanego iloczynu wektorowego:
ex , xe13
ez '= , (8.48)
sin�
co określa nam składowe 31, 32, 33. Wreszcie składowe wektora jednostkowego ey , otrzymujemy jako
ey '= ez , x �"ex ,
(8.49)
co z kolei określa 21, 22, 23. Podobnie macierz transformacji Ri. służy do wyrażenia składowych obciążeń
w układzie globalnym pi. jako funkcji składowych lokalnych p i.
Ć
pi = RiT pi ' (8.50)
Taka podmacierz sztywności elementu K ij jest transformowana według następującego prawa:
Ć Ć
Kij = RiT K'ij Rj, i=1,2,3; j=1,2,3 (8.51)
Przekształcenie to buduje w układzie globalnym macierz sztywności (6x6) z macierzy (5x5).
Przedstawiony wyżej sposób analizy powłok za pomocą elementów płaskich ma jednak pewne nie-
dogodności. Przede wszystkim należy podkreślić, że aproksymacja geometrii powierzchni zakrzywionych
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 8. ELEMENTY PA
YTOWE I POWA
OKOWE 14
elementami płaskimi nigdy nie może być zadowalająca, nawet gdy zastosujemy bardzo gęsty podział na ele-
menty. Sformułowanie to ma jeszcze inną niedogodność, co wcześniej sygnalizowaliśmy. Zauważmy bo-
wiem, że macierze sztywności membranowej i zgięciowej są budowane w lokalnym układzie współrzędnych
elementu, pokrywającym się z jego płaszczyzną. W układzie tym nie następuje sprzężenie obu stanów, po-
nieważ każdy z nich opisywany jest przez inne stopnie swobody. Przed agregacją macierze te są transfor-
mowane do układu globalnego. Macierz sztywności w układzie tym ma wymiar 6nx6n, gdzie n jest liczbą
węzłów elementu. Jeżeli sąsiednie elementy (przylegające do siebie) leżą w jednej płaszczyz
nie, to macierz
taka jest osobliwa. Jeżeli elementy sąsiednie tworzyć będą bardzo mały kąt (jak np. mało wyniosłe przekry-
cia powłokowe), to macierz układu będzie z
le uwarunkowana. Pojawienie się osobliwości macierzy szty-
wności lub jej złe uwarunkowanie prowadzi oczywiście do trudności w rozwiązywaniu układu równań. W
celu usunięcia osobliwości lub poprawienia uwarunkowania macierzy stosuje się szereg technik. Poniżej
omówimy jeden z takich sposobów, który jest łatwy do implementacji komputerowej. W miejscu na głównej
przekątnej, gdzie współczynnik sztywności jest równy zeru (lub jest bardzo mały), wpisuje się fikcyjną
sztywność skręcania K$ . W ten sposób otrzymujemy równanie typu K$��z = 0. Wartość K$ musi być na
tyle duża, by nie pojawiły się wspomniane trudności, a przy tym na tyle mała, by nie wpłynęła na pozostałe
wyniki. W programach komputerowych wykorzystujących płaskie elementy powłokowe przyjmuje się czę-
sto fikcyjne współczynniki sztywności skręcania we wszystkich elementach, niezależnie od tego, czy są one
koplanarle, czy też nie, lub wymaga się od użytkownika programu, by wskazał w danychte węzły, w których
należy te współczynniki umieścić.
Pomimo trudności stosowania tych elementów do analizy konstrukcji powłokowych elementy te są
nadal często wykorzystywane i w wielu praktycznych zagadnieniach dają wyniki obarczone małymi błę-
dami.
Zwracamy jednak uwagę Czytelnika na konieczność ostrożnego posługiwania się płaskimi elementami
w analizie powłok małowyniosłych lub w analizie fragmentów konstrukcji leżących w jednej płaszczyz
nie.
Zadania
1. Wyznaczyć współczynniki macierzy we wzorze (8.33).
2. Dla elementu MZC wyznaczyć odpowiednie równoważne siły węzłowe w punkcie 1 od obciąże-
nia elementu przedstawionego na rysunku poniżej.
z
y
4
3
q
x
1 2
3. Wykonać zadanie 2 dla siły skupionej P przyłożonej w połowie boku 2-3.
4. Obliczyć K12 dla elementu MZC.
5. Dla elementu BFS obliczyć równoważne siły węzłowe w punkcie 3.
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 8. ELEMENTY PA
YTOWE I POWA
OKOWE 15
z
y
4
3
q
x
1 2
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 9. WYBRANE ZAGADNIENIA DYNAMIKI KONSTRUKCJI 1
9.


WYBRANE ZAGADNIENIA DYNAMIKI KONSTRUKCJI
W rozdziale 5 wyprowadziliśmy równanie równowagi statycznej dla ciała analizowanego metodą
elementów skończonych. Równanie to można również zinterpretować jako równanie ruchu ciała,
zapisane w pewnej chwili t przy pominięciu sit bezwładności. Prawa strona tego równania może
bowiem zależeć od czasu i może być ustalona dla tej chwili. Przemieszczenia układu zależeć będą
wówczas także od czasu. Dla większości przypadków, w których zachodzi potrzeba uwzględnienia obci-
ążeń zmiennych w czasie, konieczne jest uwzględnienie sił bezwładności w równaniach równowagi.
Otrzymujemy wówczas problem dynamiczny. Poniżej sformułujemy problem dynamiki ciał sprężystych,
dyskretyzowanych elementami skończonymi. Wykorzystując zasadę d'Alamberta, w równaniu
równowagi statycznej uwzględnia się siły bezwładności jako część sił masowych. Jeżeli przyspieszenia
elementów będą aproksymowane w ten sam sposób co przemieszczenia elementów, wówczas wektor
sił zewnętrznych możemy zmodyfikować do postaci
T
&
RB = Ne [ feb - �e Ned& dVe ],
" e
+" (9.1)
e
gdzie w wektorze sił masowych f nie uwzględniono sił bezwładności. Wektor de jest wektorem przyspie-
szeń punktów węzłowych elementu e, zaś �e jest gęstością masy elementu. Równanie równowagi dyna-
micznej zapiszemy zatem w postaci
&
(9.2)
Md& + Kd = R,
gdzie R i d są wektorami zależnymi od czasu. Macierz mas M ma postać:
T
M =
" e
+"� Ne NedVe ,
(9.3)
e
V
Macierz M w postaci (9.3) nosi nazwę macierzy konsystentnej (z macierzą sztywności K, ponie-
waż dla obu macierzy przyjęto te same funkcje kształtu). Zauważmy, że tak sformułowana macierz mas
elementu jest w ogólności macierzą pełną. W obliczeniach konstrukcji inżynierskich stosuje się często
uproszczoną postać macierzy mas, tzw. macierz niekonsystentną, którą otrzymuje się z modelu dyna-
micznego w postaci mas skoncentrowanych w węzłach elementów. Istotnym uproszczeniem tego podej-
ścia jest fakt, że otrzymywane niekonsystentne macierze mas mają strukturę diagonalną, co znakomicie
upraszcza rozwiązanie równania ruchu.
Zakładając, że p jest stałe, można konsystentną macierz mas dla elementu belkowego obliczyć,
korzystając z zależności (9.3):
1 22L 54 -13L
�ł łł
�ł
L
4L2 13L - 3L2 śł
�L
T
�ł śł
m = Ndx =
(9.31)
+"�N
�ł śł
420 sym. 156 - 22L
0
�ł
4L2 śł
�ł �ł
Macierz niekonsystentną otrzymać można przyjmując, że masa belki skupiona jest po połowie w jej
węzłach. Otrzymujemy wtedy:
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 9. WYBRANE ZAGADNIENIA DYNAMIKI KONSTRUKCJI 2
1 0 0 0
�ł łł
�ł śł
L2 /12 0 0
�L
�ł śł
m =
(9.32)
�ł śł
2 sym. 1 0
�ł
L2 /12śł
�ł �ł
Powróćmy jednak do równania ruchu. W konstrukcjach rzeczywistych w czasie drgań następuje
rozpraszanie (dysypacja) energii. Zjawisko to uwzględnia się w równaniu ruchu przez wprowadzenie sił
zależnych od prędkości ruchu, tzw. sił tłumienia. Uwzględniając te siły ponownie w wektorze sił maso-
wych, otrzymujemy
T
& &
RB = Ne [ feb - �e Ned& -�eNed]dVe,
" e
+" (9.4)
e
gdzie de oznacza wektor prędkości węzłów elementu e, a współczynnik K tłumienie.
Równanie równowagi dynamicznej, uwzględniające efekt tłumienia, zapiszemy teraz w postaci:
& &
(9.5)
Md& + Cd + Kd = R,
gdzie C jest macierzą tłumienia układu. Macierz tą można zapisać formalnie w postaci:
T
C = Ne NedVe.
" e
+"�
(9.6)
e
V
Macierz tłumienia przyjmowana jest zazwyczaj w postaci tzw. tłumienia proporcjonalnego:
C = ą1M +ą2K, (9.7)
gdzie współczynniki ą1 i ą2 są wyznaczane na podstawie udziału poszczególnych postaci drgań wła-
snych.
Zauważmy analogię równania (9.5) do znanego nam z kursu mechaniki technicznej równania ru-
chu o jednym stopniu swobody (mx ' + ex + kx = r). Jeżeli równanie (9.5) ma opisywać określony
problem brzegowo-początkowy, to należy je oczywiście rozpatrywać z warunkami początkowymi:
d(t0) = d
(9.8)
Z matematycznego punktu widzenia macierzowe równanie (9.5) reprezentuje układ n sprzężonych ze
sobą liniowych równań różniczkowych zwyczajnych rzędu drugiego ze stałymi współczynnikami. Rozwią-
zanie tego układu (tzn. znalezienie n funkcji-składowych wektora uogólnionych przemieszczeń układu)
otrzymać można stosując standardowe podejście rozwiązywania równań różniczkowych ze stałymi współ-
czynnikami. Rozwiązanie to można stosunkowo łatwo otrzymać, gdy liczba równań jest mała, tzn. gdy ma-
my do czynienia z niewielką liczbą stopni swobody. W zagadnieniach inżynierskich wymiary macierzy, wy-
stępujących w równaniu (9.5) są jednak duże (często większe od 1000). Dlatego też celowe jest stosowanie
takich metod rozwiązania, które wykorzystywałyby pewne cechy tych macierzy (ich symetrię, pasmowość),
pozwalając jednocześnie na uproszczenie rozwiązania.
Metody rozwiązywania układu równań różniczkowych o postaci (9.5) można podzielić na dwie zasad-
nicze grupy: metody całkowania bezpośredniego i metodę superpozycji modalnej. Jak pokażemy niżej obie
te metody są sobie bliskie, a wybór jednej z nich zależeć będzie od ich numerycznej efektywności.
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 9. WYBRANE ZAGADNIENIA DYNAMIKI KONSTRUKCJI 3
9.1 Zagadnienia własne w dynamice konstrukcji
Rozpatrzmy obecnie problem tzw. drgań własnych układu bez tłumienia, opisany następującym ukła-
dem równań:
&
(9.9)
Md& + Kd = 0,
Załóżmy rozwiązanie układu równań (9.9) w postaci:
d(t) = Ć sin(t - t0),
(9.10)
gdzie macierz $ składa się z n wektorów zwanych postaciami drgań własnych, a � jest częstością drgań
własnych (w jednostkach: rad/s). Podstawiając powyższe do równania (9.9), otrzymujemy:
2
( K -� M )Ć = 0, (9.11)
lub
2
KĆ = � MĆ (9.12)
Równanie (9.11) lub (9.12) definiuje tzw. uogólniony problem własny. Równanie to ma n rozwiązań rzeczywi-
stych w postaci par: wartość własna-wektor własny: (�12 ,$1) (�22 ,$2) ...(�n2 ,$n), gdzie przez $i oznaczo-
no-ty wektor własny, tj. i-tą kolumnę macierzy $
Omówimy teraz podstawowe własności wartości i wektorów własnych, występujących w równaniu
(9.11), które okazać się mogą przydatne przy ich poszukiwaniu.
1. Każda z wartości własnych i każdy wektor własny spełnia równanie (9.11) lub (9.12):
KĆi = �i2MĆi . (9.13)
Równanie to jest spełnione również przez wektor ą$i (ą jest stałą różną od zera), ponieważ
K(ąĆi ) = �i2M(ąĆi ) (9.14)
Mówimy zatem, że wektor własny jest zdefiniowany tylko przez jego kierunek w n-wymiarowej przestrzeni.
Wymaga się ponadto, by był spełniony warunek
ĆiT MĆi = 1 (9.15)
Warunek ten ogranicza długość wektora $i. Zależność (9.15) oznacza spełnienie tzw. warunku M-
ortonormalności wektorów własnych, bowiem zachodzi
T
ĆiMĆ = �ij ,
(9.16)
j
gdzie �ij jest symbolem Kroneckera (przyjmuje wartość1, gdy i=j, i równą zeru w pozostałych przypad-
kach). Warunek (9.16) wynika bezpośrednio z ortogonalności wektorów własnych standardowego proble-
mu własnego. Zauważmy, że przemnażając lewostronnie równanie (9.13) przez wektor $jT., otrzymujemy
T T
Ć KĆi = �i2� MĆi = �i2�ij ,
(9.17)
j j
Równanie to obrazuje kolejną własność wektorów własnych problemu (9.11), a mianowicie ich K-
ortogonalność.
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 9. WYBRANE ZAGADNIENIA DYNAMIKI KONSTRUKCJI 4
2. Ważną cechą wartości własnych problemu (9.11) jest to, że są one pierwiastkami równania charaktery-
stycznego
2 2
p(� ) = det( K -� M ) (9.18)
bowiem jednorodne równanie (9.11) ma niezerowe rozwiązanie tylko wtedy, gdy
det( K -�i2M ) = 0 (9.19)
Jeżeli macierz (K  �i2�M) rozłożymy na dolny i górny trójkąt według rozkładu Choleskiego, to
n
det( K -�i2M ) = det( LT L ) = ,
(9.20)
"lii
i-1
co prowadzi do warunku 1ii.. = 0, tzn.
n
2
p(� ) = = 0
(9.21)
"lii
i-1
3. Wartości własne są rzeczywiste.
Załóżmy, że $i i �i2. są wartościami zespolonymi, a $i oraz �i-2 są z nimi sprzężone. Możemy
zapisać
KĆi = �i2MĆi , (9.22)
i przemnażając lewostronnie przez $i-T mamy:
Ći-T K�i = �i2Ći-T MĆi , (9.23)
Podstawiając do (9.22) rozwiązanie sprężone i obliczając transpozycję tego równania, otrzymujemy:
Ći-T K = �i2Ći-T M , (9.24)
Następnie przemnażając lewostronnie przez $i, mamy:
Ći-T KĆi = �i2Ći-T MĆi , (9.25)
Ponieważ lewe strony równań (9.23) i (9.25) są sobie równe, więc otrzymujemy
(�i-2 -�i2 )Ći-T MĆi = 0, (9.26)
czyli:
�i-2 = �i2 (9.27)
wobec czego wartości własne �i-2, �i2 muszą być rzeczywiste.
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 9. WYBRANE ZAGADNIENIA DYNAMIKI KONSTRUKCJI 5
9.2. Transformacja uogólnionego problemu własnego do postaci standar-
dowej
Większość problemów mechaniki, których rozwiązanie sprowadza się do rozwiązania problemu
własnego, prowadzi do standardowego problemu własnego lub może być do niego zredukowana. W tym
miejscu chcemy pokazać, jak ten proces można przeprowadzić w przypadku równań dynamiki. Za-
znaczmy, że wymaganie to nie jest tylko formalne, ale prowadzi do stosowania znacznie efektywniejszych
algorytmów rozwiązywania problemu, niż ma to miejsce w przypadku rozwiązywania uogólnionego pro-
blemu własnego. Innymi słowy problem standardowy rozwiązuje się łatwiej i szybciej. Okazuje się ponad-
to, że własności wartości własnych i wektorów własnych problemu standardowego zachowują swą waż-
ność w problemie uogólnionym, co ma istotne znaczenie z punktu widzenia mechanicznej interpretacji wy-
ników. Biorąc pod uwagę efektywność stosowanych technik obliczeniowych, będziemy starali się zacho-
wać ważną cechę macierzy występujących w równaniu równowagi typu (9.11), a mianowicie ich symetrię.
Dążyć będziemy do tego, by powstały problem własny był symetryczny.
Załóżmy, że macierz mas M jest dodatnio określona. Niespełnienie tego założenia wymaga prze-
prowadzenia statycznej kondensacji tych stopni swobody, które odpowiadają zerowym wartościom wła-
snym (porównaj rozdz. 5). Równanie K�$ = �2M$ możemy przetransformować do innej postaci przez
dekompozycję macierzy M :
(9.28)
M = LLT ,
gdzie macierz L jest dolnym trójkątem otrzymanym w procesie dekompozycji Choleskiego macierzy M.
Podstawiając powyższe do równania (9.11) otrzymujemy:
2
KĆ = � LLTĆ , (9.29)
Przemnażając obie strony przez L-1 i definiując wektor
~
(9.30)
Ć = LTĆ ,
otrzymujemy
~~ ~
2
(9.31)
KĆ = � Ć ,
gdzie
~
(9.32)
K = L-1KL-T ,
Zauważmy, że macierz K jest macierzą symetryczną. Jeżeli macierz M jest z
le uwarunkowana (co prowa-
dzić może do niedokładnej jej dekompozycji), wówczas możemy rozłożyć macierz sztywności K na ma-
cierze trójkątne. Przepisując równanie (9.11) w postaci
1
MĆ = KĆ , (9.33)
2
�
otrzymamy podobnie jak wyżej
1
MĆ = Ć , (9.34)
2
�
gdzie
~
(9.35)
M = L-1ML-T ,
(9.36)
K = LT L,
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 9. WYBRANE ZAGADNIENIA DYNAMIKI KONSTRUKCJI 6
~
(9.37)
Ć = LTĆ ,
Zwróćmy uwagę na pewne cechy przedstawionych wyżej transformacji. W przypadku, gdy ma-
cierz M jest diagonalna to macierz K ma tę samą szerokość półpasma co macierz K. Gdy macierz mas M
nie jest diagonalna (czyli jest konsystentna), macierz K jest w ogólności macierzą pełną, co prowadzi do
dużego nakładu pracy przy wykonywaniu transformacji. W drugim przypadku łatwo zauważyć, że po-
nieważ macierz K jest zawsze pasmowa, macierz M jest zawsze macierzą pełną i transformacja jest
nieefektywna (wymagana jest duża liczba operacji). Podkreślmy jeszcze, że efektywność algorytmu
rozwiązywania równania (9.11) jest bardzo istotna we wszystkich niemal zagadnieniach dynamiki kon-
strukcji, w każdej bowiem metodzie całkowania równania (9.5) konieczna jest znajomość częstości ko-
łowych i postaci drgań analizowanego układu.
9.3 Metody całkowania równań ruchu
Powróćmy ponownie do równania macierzowego (9.5). Równanie to, jak już powiedzieliśmy, jest
równaniem różniczkowym drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami. Do rozwiązania tego równania
można stosować standardowe podejście, jednak ze względu na pewne własności macierzy M, C, K w
analizie ruchu ciała dyskretyzowanego elementami skończonymi stosuje się zasadniczo dwie grupy
metod: metody całkowania bezpośredniego i metodę superpozycji modalnej. Poniżej omówimy obie te
grupy.
9.3.1 Metody całkowania bezpośredniego
W metodach bezpośredniego całkowania równanie ruchu w postaci (9.5) jest całkowane krok po
kroku. Termin "całkowanie bezpośrednie" oznacza, że równanie to nie jest przekształcane do innej po-
staci (w odróżnieniu od metody superpozycji modalnej). Istotą metody całkowania bezpośredniego jest
założenie, że równanie ruchu (9.5) ma być spełnione w wybranych chwilach t, a nie w całym przedziale
całkowania oraz założenie o charakterze zmienności przemieszczeń, prędkości i przyspieszeń pomię-
dzy tymi chwilami.
Załóżmy zatem, że w chwili t=0 są znane przemieszczenia d0, prędkości d0 i przyspieszenia d0 
układu opisanego równaniem (9.5). Rozpatrywany przedział czasowy (0,T) dzielimy na n równych
przedziałów, w których poszukujemy tych wielkości, czyli dla chwili 0, "t, 2"t, .... t, t+"t, .... T. Zbudu-
jemy algorytm, który pozwoli obliczyć poszukiwane wielkości w następnych krokach, wykorzystując
rozwiązanie z poprzedniego kroku. W ten sposób otrzymamy rozwiązania we wszystkich rozpatrywa-
nych chwilach z przedziału (0,T). Opisane wyżej podejście zilustrujemy jedną z metod całkowania
bezpośredniego, a mianowicie tzw. metodą różnic centralnych. Metoda ta należy do jednej z najbar-
dziej efektywnych metod tej grupy. W metodzie tej zakłada się zmienność w czasie wektora przyspie-
szeń w postaci
1
&
d& = ( dt-"t - 2dt + dt+"t ), (9.38)
t
2
"t
a wektor prędkości w postaci
1
&
d = ( -dt-"t + dt+"t ), (9.39)
2"t
Rozwiązanie równania (9.5) dla chwili t+"t otrzymamy rozpatrując stan równowagi dynamicznej w
chwili t:
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 9. WYBRANE ZAGADNIENIA DYNAMIKI KONSTRUKCJI 7
& &
Md& + Cdt + Kdt = Rt (9.40)
t
Podstawiając wyrażenia na operatory różnicowe (9.38) i (9.39) do (9.40), otrzymujemy:
1 1
( dt-"t - 2dt + dt+"t )M + ( dt-"t + dt+"t )C + Kdt = Rt , (9.41)
2
"t 2"t
lub
1 1 2 1 1
( M + C )dt-"t = Rt + ( ( M - K )dt - ( ( M - C )dt-"t (9.42)
2 2 2
"t 2"t "t "t 2"t
Z równania tego obliczamy poszukiwany stan przemieszczeń w chwili t+"t, czyli dt+"t . Zauważ-
my, że rozwiązanie dt+"t jest otrzymywane na podstawie rozwiązania w chwili t. Metodę tę zalicza
się zatem do metod całkowania jawnego (explicit). Zauważmy również, że w procesie rozwiązywania
równania (9.41) nie wymaga się odwracania macierzy sztywności K, co jest dużą zaletą. Obliczenie
wektora d wymaga uprzedniego obliczenia wektora przemieszczeń w chwilach poprzednich t i t-"t.
Zachodzi więc konieczność opracowania pewnej procedury startowej. Ponieważ wektory d0 , d0 ,
d0  są znane dla chwili t=0, dlatego korzystając z (9.38) i (9.39), możemy wyznaczyć d w fikcyjnej
chwili poprzedzającej początek ruchu t-"t:
2
"t
&
(9.43)
d-"t = d0 - "t �" d0 + d0
2
Poniżej podano dwustopniowy algorytm całkowania równania ruchu metodą różnic centralnych.
Obliczenia wstępne
1. Obliczenie macierzy K, M, C
2. Obliczenie d0 , d0 , d0 
3. Określenie "t i obliczenie stałych:
1 1 1
a0 = , a1 = , a2 = 2a0 , a3 = ,
2"t2 2"t a2
4. Obliczenie d-"t = d0 - "td0 +"t2�0.5�d0
~
5. Obliczenie M = a0�M+a1C
~ ~
6. Triangularyzacja macierzy M : M = L�D�LT
Obliczenia d l a każdego kroku
1. Obliczenie wektora obciążenia efektywnego R
Ć
R = Rt -( K - a2M )dt -( a0M - a1C )dt-"t
3. Rozwiązanie równania (9.41) dla chwili t+"t
LT�D�L�dt+"t = Rt
3. Obliczenie wektorów prędkości i przyspieszeń (o ile jest to wymagane)
&
d& = a0( dt-"t - 2dt + dt+"t ),
t
&
dt = a1( -dt-"t + dt+"t ),
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 9. WYBRANE ZAGADNIENIA DYNAMIKI KONSTRUKCJI 8
W przypadku, gdy macierz tłumienia jest równa zeru, równanie (9.41) upraszcza się do postaci:
1
Ć
( M )dt-"t = Rt (9.44)
2
"t
gdzie
2 1
Ć
R = R - ( K - M )d - ( - M )d (9.45)
2 2
"t "t
Gdy w równaniu (9.44) macierz mas będzie diagonalna, wtedy rozwiązanie otrzymuje się, wykonu-
jąc tylko przypisane wzorem (9 45) mnożenia:
2
"t
Ć
dt( i ) = Rt( i )( ),
(9.46)
+"t
mii
gdzie dt+"t(i) oraz Rt(i) oznaczają i-te składowe wektorów dt+"t(i) i Rt(i), a mii. i-tą składową diagonalnej ma-
cierzy mas (założyliśmy dodatkowo, że mii>0). Zauważmy również, że ponieważ nie rozwiązujemy
w tym przypadku układu równań liniowych, nie jest też wymagana znajomość globalnych macierzy
sztywności i mas. Macierze te mogą być określone tylko na poziome elementów, a ich udział uwzględ-
niany odpowiednio przy budowie wektora R.
Z postaci równania (9.46) i powyższej uwagi wynika, że metoda różnic centralnych w tym
przypadku jest bardzo efektywna. Widać bowiem, że do rozwiązania (9.46) nie jest wymagana du-
ża pamięć komputera (nie mamy globalnych macierzy), a rozwiązanie uzyskuje się, wykonując tylko
mnożenia macierzy (a nie ich triangularyzację).
Podstawowe korzyści tej metody osiąga się w przypadku, gdy macierz mas jest diagonalna i tłu-
mienie układu można pominąć. Chociaż, jak wspomnieliśmy wcześniej, diagonalna postać macierzy
mas jest tylko pewnym jej przybliżeniem, to jednak na skutek bardzo prostej procedury całkowania
równań ruchu w tej postaci opłaca się dokonywać nawet bardzo gęstego podziału analizowanego
układu na elementy skończone, by zrekompensować przybliżoną jej postać.
Ważną cechą metody różnic centralnych jest jej zależność od kroku całkowania "t. Okazuje
się bowiem, że krok ten nie może być dowolnie duży i musi spełniać zależność
Tn
"t d" "tkr = , (9.47)
Ą
gdzie T jest najmniejszym okresem drgań własnych układu.
Czytelnik łatwo zauważy silne ograniczenie tej metody wynikające z pojawienia się warunku
(9.47). Okazuje się, że w celu określenia najmniejszego okresu drgań należy obliczyć największą czę-
stość drgań własnych, czyli rozwiązać pełny problem (9.11). Metody całkowania, które wymagają
spełnienia warunku typu (9.47), nazywają się metodami warunkowo stabilnymi. Oznacza to, że nie-
spełnienie tego warunku może powodować narastanie (akumulację) błędów całkowania i zaokrągleń
w trakcie rozwiązywania równań ruchu.
Wśród innych metod całkowania bezpośredniego równań ruchu, których nie będziemy tutaj
omawiać, należy wymienić metodę Houbolta, Wilsona i Newmarka. Metody te należą do metod
bezwarunkowo stabilnych (pod warunkiem przyjęcia pewnych wartości współczynników, które
charakteryzują każdą z nich).
9.3.2. Metoda superpozycji modalnej
Efektywność metod całkowania bezpośredniego równań ruchu maleje, gdy liczba kroków jest
duża. Oznacza to, że celowe jest stosowanie tych metod w przypadku analizy ruchu w stosunkowo
krótkim czasie jego trwania. Gdy czas ten jest długi, to celowe jest przekształcenie równania (9.5)
w inną postać, dla której analiza ruchu będzie efektywniejsza. Podsumowując powyższe, gdy liczba
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 9. WYBRANE ZAGADNIENIA DYNAMIKI KONSTRUKCJI 9
stopni swobody układu jest duża i liczba kroków jest również duża, to lepiej jest przekształcić układ
równań równowagi do postaci wymagającej mniejszego nakładu pracy.
Najczęściej przekształcenia takiego można dokonać wykorzystując rozwiązania problemu
drgań własnych
&
(9.48)
Md&+ Kd = 0
Przypomnijmy, że rozwiązaniem równania macierzowego (9.48) jest n par ( �i 2 , $i .),
czyli macierze o postaci:
2
�ł łł
�1
�ł śł
2
�2
2
�ł śł,
&! =
(9.49)
�ł śł
K
�ł śł
2
�n �ł
�ł śł
�ł
Porównując wzory (9.15) i (9.17), widzimy, że spełnione są następujące zależności:
T 2 T
Ć KĆ = &! i Ć MĆ = 1 (9.50)
Dokonajmy teraz transformacji równania (9.5), stosując podstawienie
d( t ) = Ćx( i )
(9.51)
Otrzymamy wówczas równanie ruchu w postaci:
& &
MĆX& + CĆX + KĆX = R, (9.521)
a po lewostronnym przemnożeniu przez $t otrzymamy:
T T T
& &
ĆT MĆX& +Ć CĆX + Ć KĆX = Ć R (9.522)
Biorąc pod uwagę (9.50). mamy ostatecznie:
T 2 T
& &
X& +Ć CĆX + &! X = Ć R (9.53)
Równanie (9.52) należy jeszcze uzupełnić warunkami początkowymi:
T
& &
X0 = Ć Md0 , X0 = ĆT Md0. (9.54)
Z równania (9.53) wynika, że gdy pominiemy macierz tłumienia, to otrzymamy układ równań rozprzężony
w postaci
2 T
&
X& + &! X = Ć R, (9.55)
tj. n równań skalarnych
&&
xi( t ) + �i2 xi( t ) = ri( t ) (9.56)
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 9. WYBRANE ZAGADNIENIA DYNAMIKI KONSTRUKCJI 10
gdzie
ri( t ) = ĆiT R( t ) (9.57)
Warunki początkowe ruchu otrzymamy z (9.54):
&
&
xi0 = ĆiT Md0 , xi0 = ĆiT Md0 (9.58)
Rozwiązanie równań (9.56) możemy uzyskać w sposób przedstawiony w poprzednim rozdziale, tj. wykorzy-
stując jedną z metod całkowania bezpośredniego lub wykorzystując tzw. całkę Duhamela:
t
1
xi( t ) = (� )sin�i( t -� )d� +ąi sin�it + �i cos�it,
(9.59)
+"r
�i 0 i
gdzie stałe ąi. i �i. wyznacza się z warunków początkowych (9.58). Równanie (9.59) rozwiązuje się
zazwyczaj numerycznie. Aby otrzymać rozwiązanie naszego problemu wyjściowego należy po rozwiązaniu
n równań (9.56) powrócić do transformacji (9.51). W ten sposób otrzymamy ostatecznie rozwiązanie w po-
staci:
n
d( t ) = xi( t ),
(9.60)
"Ći
i=1
Podsumowując, w metodzie superpozycji modalnej w przypadku braku sił tłumienia należy najpierw
rozwiązać uogólniony problem własny, następnie rozprzężony układ równań równowagi, a na koniec doko-
nać superpozycji każdego z otrzymanych rozwiązań według zależności (9.60).
Dodajmy na koniec, że w wielu przypadkach praktycznych możemy uwzględnić w (9.60) tylko kilka
pierwszych wektorów . (postaci drgań), co dalej znakomicie upraszcza powyższy algorytm.
W przypadku analizy ruchu opisanego pełnym równaniem (9.53), tzn. z uwzględnieniem tłumienia,
metoda superpozycji modalnej może być nadal efektywna, gdy założymy tłumienie proporcjonalne:
ĆiTCĆ = 2�iś �ij ,
(9.61)
j i
gdzie �i. jest współczynnikiem tłumienia, a �ii. symbolem Kroneckera. W ten sposób założyliśmy, że
wektor własny (postać drgań) jest również C-ortogonalny i ostatecznie otrzymujemy równanie ruchu w
postaci:
&&
xi( t ) + 2�iś �ij + �i2 xi( t ) = ri( t ),
(9.62)
i
które rozwiązuje się w podobny sposób, jak dla przypadku bez tłumienia, z tym tylko, że całka Duhamela
ma teraz nieco inną postać uwzględniającą efekt tłumienia
t
1
i i
xi( t ) = (� )e-ś �i ( t-� ) sin�i( t -� )d� + e-ś �it(ąi sin�it + �i cos�it ),
(9.63)
+"r
�i 0 i
gdzie
2
(9.64)
�i = �i 1-ś
i
a stałe ąi. i �i.. wyznacza się z warunków początkowych (9.58).
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 9. WYBRANE ZAGADNIENIA DYNAMIKI KONSTRUKCJI 11
Zadania
1. Wyprowadzić wzór na współczynniki macierzy mas M (9.3), wykorzystując sformułowanie
energetyczne (energię kinetyczną).
2. Wyprowadzić wzór na macierz mas M dla pręta kratownicy płaskiej:
- macierz konsystentną,
- macierz niekonsystentną.
3. Rozwiązać zagadnienie drgań swobodnych układu o postaci
&
2 0 �ł łł 6
�ł łł d& �ł - 2 d1 0
łł �ł łł �ł łł
1
�" =
�ł śł
�ł0 1śł �" + �ł śł �łd śł �ł12śł
&
�ł �ł �ł- 2 4 �ł �ł 2 �ł �ł �ł
�łd&2 �ł
i warunkach początkowych d0 = d0 = 0 w przedziale czasowym [0, 2T1 ], gdzie T1 jest naj-
mniejszym okresem drgań własnych (przyjąć "t = T1 /10). Wykorzystać metodę różnic cen-
tralnych i metodę superpozycji modalnej. Porównać wyniki z rozwiązaniem dokładnym:
�ł1 / 3 0.5 2 / 3łł�ł 5 / 3(1- cos 2t ) łł
d =
�ł śł�ł śł
�ł1 / 3 - 2 / 3 �ł�ł2 2 / 3 -(1+ cos 5t )�ł
4. Rozwiązać za pomocą całki Duhamela równanie ruchu układu o jednym stopniu swobody w po-
staci:
2
&& &
x +� x = R sin pt oraz x0 = 0 x0 = 1
5. Obliczyć macierz transformacji $ dla problemu drgań, przedstawionego za pomocą macierzy w
zadaniu 2. Następnie napisać rozprzężony układ równań (9.56).
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 10. WYBRANE ZAGADNIENIA STATECZNOŚCI KONSTRUKCJI 1
10.


WYBRANE ZAGADNIENIA STATECZNOŚCI KONSTRUKCJI
Zagadnienia stateczności konstrukcji odbiegają w zasadzie od tematyki niniejszego opracowania, które
poświęcone jest zastosowaniom metody elementów skończonych w liniowej mechanice konstrukcji. Równa-
nia teorii stateczności są bowiem nieliniowe. Dla pewnych zachowań konstrukcji równania te można lineary-
zować, dochodząc do tzw. liniowej teorii stateczności, którą zajmiemy się w niniejszym rozdziale. Przypo-
mnimy krótko podstawy teorii stateczności konstrukcji oraz podamy na przykładzie konstrukcji prętowych i
płytowych sposób analizy liniowej stateczności-metodą elementów skończonych.
10.1 Podstawowe elementy teorii stateczności konstrukcji
Teoria stateczności konstrukcji zajmuje się wyznaczaniem obciążeń i stanów krytycznych konstrukcji,
stanów, którym towarzyszą gwałtowne zmiany postaci jej deformacji lub wartości przemieszczeń pewnych
jej punktów.
W teorii stateczności wyróżnia się dwa typy utraty stateczności (czyli obciążeń wywołujących te sta-
ny): utrata stateczności przez osiągnięcie punktu granicznego (maksimum obciążenia) i utrata stateczności
przez wyboczenie bi-furkacyjne. Oba te stany zilustrowano na rysunku 10.1, gdzie w osiach: parametr obcią-
żenia i przemieszczenie reprezentatywnego stopnia swobody pokazano tzw. ścieżki równowagi. W rzeczy-
wistości takie proste zachowanie nie zawsze jest spotykane. Przedstawione krzywe jednak dobrze ilustrują
wiele przypadków zachowania się modeli konstrukcji. W celu zanalizowania zjawiska osiągnięcia punktu
granicznego (punkt G na rys.10.1) należy badać nieliniowe zachowanie się konstrukcji. W procesie obciąża-
nia sztywność konstrukcji maleje (maleje kąt nachylenia stycznej do wykresu A-d). W chwili osiągnięcia
punktu granicznego krzywa ta osiąga maksimum. Jeżeli intensywność obciążenia nie zmienia się, to następu-
je przeskok do nowej konfiguracji i konstrukcja może ulec zniszczeniu na skutek dużych odkształceń. Przy-
padek ten zachodzi dla mało-wyniosłych łuków i przekryć powłokowych. W punkcie granicznym następuje
przeskok do nowej konfiguracji o przeciwnej krzywiz
nie łuku lub powłoki, w związku z czym używamy
również termin: punkt przeskoku.
Rys. 10.1. Możliwe ścieżki równowagi w zagadnieniach stateczności konstrukcji
Termin wyboczenie bifurkacyjne odnosi się do innego typu zjawiska. W punkcie bifurkacji, czyli roz-
dwojenia ścieżki równowagi (punkt B na rys.10.1) konstrukcja zaczyna się deformować w nowej formie,
która jest całkiem odmienna od postaci deformacji przed wyboczeniem (punktem bifurkacji). W przypadku,
gdy nowa forma deformacji charakteryzuje się ujemną styczną do krzywej A-d, to może nastąpić zniszczenie
konstrukcji, podobnie jak dla punktu przeskoku. Obszerne omówienie zastosowań MES do analizy statecz-
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 10. WYBRANE ZAGADNIENIA STATECZNOŚCI KONSTRUKCJI 2
ności konstrukcji zawiera praca [24]. W kontekście omawianych zagadnień stateczności można metodę ele-
mentów skończonych zastosować do analizy przynajmniej czterech przypadków:
- nieliniowego zachowania się przedkrytycznego,
- wyznaczeniu punktów bifurkacji,
- wyznaczeniu punktów granicznych,
- analizy pokrytycznej.
Jak wspomnieliśmy wyżej, zajmiemy się wyznaczaniem punktów krytycznych typu biurkacyjnego,
gdyż do analizy punktów granicznych wymagana jest pełna analiza nieliniowa. Stan przedkrytyczny otrzy-
mamy z liniowego zachowania się konstrukcji, pamiętając, że popełniamy w tym miejscu pewien błąd, który
w zasadzie trudno a priori określić. Założymy zatem, że w stanie przed wyboczeniowym można aproksymo-
wać związki geometryczne tylko ich liniowymi członami. Pokażemy również w jaki sposób można zweryfi-
kować otrzymane wyniki, tj. oszacować ewentualny błąd wynikający z linearyzacji stanu przed- krytyczne-
go.
10.2 Stany krytyczne układów zachowawczych
Do analizy stanu krytycznego układów zachowawczych (tj. takich, dla których praca nie zależy od hi-
storii obciążenia) można stosować podejście statyczne, które polega na badaniu sąsiednich położeń równo-
wagi. Podejście statyczne jest na ogól prostsze od podejścia bardziej ogólnego jakim jest podejście dyna-
miczne, w którym analizuje się drgania swobodne układu. Podejście statyczne wystarcza do analizy statecz-
ności większości konstrukcji inżynierskich. Kryterium statyczne bazuje na twierdzeniu Lagrange'a-
Dirichleta, według którego stan równowagi układu zachowawczego jest stateczny wtedy, gdy energia poten-
cjalna jest w tym stanie dodatnio określona (w stanie równowagi występuje minimum energii potencjalnej).
W liniowych układach zachowawczych twierdzenie Lagrange'a-Dirichleta jest koniecznym i wystar-
czającym warunkiem osiągnięcia stanu równowagi statecznej. Nawiązując do tego twierdzenia można okre-
ślić stan krytyczny równowagi na podstawie warunków:
2
(10.1)
�  = 0 i �  = 0
które nazywa się kryterium energetycznym. W bliskim otoczeniu stanu krytycznego przyrost energii poten-
cjalnej można zapisać jako
1 1
2 3
"  = �  + �  + �  + K (10.2)
2! 3!
Ponieważ w stanie krytycznym pierwsza i druga wariacja są równe zeru, tzn. �Ą = �2Ą = 0, to o stateczności
bądz
niestateczności stanu krytycznego decydują wyższe wariacje; wówczas
1 1
3 4
"  = �  + �  + K (10.3)
3! 4!
Kryterium energetyczne, do którego ograniczymy się w obliczeniach określa tylko stan krytyczny równowa-
gi bez informacji, jakiego rodzaju jest ten stan (stateczny czy niestateczny).
Bilans energii potencjalnej można w układach odkształcalnych zapisać w postaci:
(d,) = U (d) -W (d,) ,
(10.4)
gdzie przez U oznaczono energię odkształcenia, a przez W - energię obciążeń zewnętrzych.
Praca obciążeń zewnętrznych zależy od wektora parametrów obciążenia A. Dla przypadku obciążenia
jednoparametrowego, do którego ograniczymy się dalej, określonego skalarnym mnożnikiem A, równanie
(10.4) można zapisać w postaci:
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 10. WYBRANE ZAGADNIENIA STATECZNOŚCI KONSTRUKCJI 3
(d,) = U (d) - W *(d) ,
(10.5)
gdzie W jest porównawczą pracą obciążenia zewnętrznego (obliczoną np. dla  = 1). W przypadku zagadnień
liniowej stateczności U i W są formami kwadratowymi.
Podkreślmy jeszcze raz, że opis liniowy pozwala obliczyć jedynie obciążenia krytyczne, bowiem do
analizy stanu pokrytycznego musielibyśmy stosować sformułowanie nieliniowe. Równania (10.1) zatem wy-
znaczają tylko punkty krytyczne na ścieżkach równowagi.
W analizie stateczności wyróżnia się - przy podejściu statycznym - trzy typy punktów bifurkacji: nie-
symetryczny, symetryczny stateczny i symetryczny niestateczny. Punkty te zilustrowano na rysunku 10.2.
Klasyfikacja powyższa dotyczy tzw. układów idealnych, tzn. takich, dla których są spełnione pewne założe-
nia o idealności w odniesieniu do geometrii (prostoliniowość prętów, idealnie płaskie płyty), sposobu obcią-
żenia (brak mimośrodów) oraz właściwości materiałów (jednorodność). Odstępstwa od założeń układu ide-
alnego są nazywane imperfekcjami (niedokładnościami). Imperfekcje mogą wpływać na obniżenie, pod-
wyższenie lub nawet brak obciążeń krytycznych, które zostały obliczone dla konstrukcji idealnych. Na ry-
sunku 10.2 przedstawiono również efekt występowa nią imperfekcji (a) dla układów idealnych. Wykresy te
ilustrują zjawisko braku punktów bifurkacji równowagi w układach rzeczywistych (z imperfekcjami). W
przypadku bifurkacji niestatecznych zastępowane są one przez punkty graniczne (maksimum obciążenia).
Mówimy, że układ jest wrażliwy na imperfekcje, gdy ich narastanie obniża wartość obciążenia krytycznego,
obliczonego dla układu idealnego. Widać więc, że układy charakteryzujące się niestatecznymi punktami bi-
furkacji będą wrażliwe na początkowe imperfekcje.
Rys. 10.2. Klasyfikacja punktów bifurkacji
Wydawać się zatem może, że analiza bifurkacyjna nie ma większego znaczenia praktycznego. Znajo-
mość punktów bifurkacji jest nie tylko bardzo użyteczna w analizie nieliniowej ale daje w wielu przypad-
kach wyniki zbliżone do rzeczywistego zachowania się konstrukcji. Jest przy tym "tania" w porównaniu z
pełną analizą nieliniową i czasem ze względu na ten fakt stanowi jedyną informację o krytycznym zachowa-
niu się konstrukcji.
Przejdz
my teraz do przedstawienia sposobu wyznaczania obciążeń bifurkacyjnych (krytycznych), czy-
li do podstawowego zadania liniowej stateczności konstrukcji. Rozwiązanie problemu prześledzimy na przy-
kładzie wyboczenia konstrukcji prętowych i płytowych.
10.3. Sformułowanie macierzy dla płaskiego elementu belkowego
Przed przystąpieniem do formułowania stosownych macierzy występujących w zagadnieniu stateczno-
ści prętów przypomnijmy, że w liniowej analizie statycznej macierz sztywności elementu belkowego otrzy-
maliśmy, wykorzystując w związkach geometrycznych (e-d) tylko człony liniowe. Aby uwzględnić efekt
działania siły osiowej na zginanie, należy uwzględnić w tych związkach pewne człony nieliniowe, które
wiążą odkształcenie osiowe z obrotem przekroju wywołanym poprzecznymi przemieszczeniami (zginaniem).
Zakładamy ponownie, że obowiązuje hipoteza Bernoulliego. W stanie przedkrytycznym pręt jest obciążony
siłą osiową N, tak że tensor naprężeń redukuje się do naprężenia normalnego kształcenie odpowiadające temu naprężeniu wynosi:
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 10. WYBRANE ZAGADNIENIA STATECZNOŚCI KONSTRUKCJI 4
1 1
� = �0 + �y = (u,x -v,xx y) + u,2 + v,2 , (10.6)
x x
2 2
gdzie u i v oznaczają przemieszczenia osi pręta.
W wyrażeniu powyższym pojawiły się dodatkowe człony nieliniowe, które można otrzymać z analizy
długości pręta przed wyboczeniem i w chwili wyboczenia (rys. 10.3). Człon 0.5u2,x można w większości
przypadków pominąć, ponieważ przejście pręta ze stanu prostoliniowego (przedkrytycznego) do giętnego na
skutek wyboczenia jest wywołane przede wszystkim zginaniem pręta, w związku z czym człon ten w po-
równaniu z 0.5v2,x jest wielkością małą. Człon 0.5v2,x dx określa przemieszczenie osiowe wywołane obrotem
przekroju pręta.
Rys. 10.3. Duże odkształcenie elementarnego wycinka pręta
Do dalszych rozważań przyjmiemy odkształcenie osiowe w postaci:
1
� = u,x -v,xx y + v,2 . (10.7)
x
2
Bilans energii dla analizowanego układu wynosić będzie:
L L
�ł �ł
1 1
�ł
 = E(u,x -v,xx y)2 �" dA�ł �" dx + N v,2 dx .
(10.8)
x
+"�ł+" +"
�ł
2 2
0 �ł A łł 0
Pierwsza całka prowadzi do znanej już nam macierzy sztywności ke. Druga całka przedstawia pracę siły N na
przyroście przemieszczenia -0.5v2,x dx i otrzymamy z niej tzw. macierz początkowych naprężeń, nazywaną
również macierzą geometryczną.
Przyjmując, podobnie jak w rozdziale 5, aproksymację pola przemieszczeń w postaci
v1
�ł łł
�łĆ śł
1
�ł śł
v = Nd = [N1 N2 N3 N4]�" ,
(10.9)
�ł śł
v2
�łĆ śł
�ł 2 �ł
gdzie macierz N zawiera wielomiany Hermita, nieliniową część odkształcenia zapiszemy w postaci:
1 1 1
T
v,2 = (N,x d)2 = d N,T N,x d . (10.10)
x x
2 2 2
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 10. WYBRANE ZAGADNIENIA STATECZNOŚCI KONSTRUKCJI 5
Zakładając że siła N jest stała, drugi składnik wyrażenia na energię (10.8) zapiszemy jako
1 1
T
Nd N,T N,x dx �" d = dT T �N,x dx �" d , (10.11)
x x
+" +"N,
2 2
gdzie macierz o- jest w tym przypadku skalarem.
Stosując teraz twierdzenie o minimum energii potencjalnej, otrzymamamy, podobnie jak w rozdziale
5, wyrażenie
0
(k + k� )d = R , (10.12)
gdzie macierz k jest dobrze znaną liniową macierzą sztywności, zaś k jest macierzą początkowych naprężeń,
której współczynniki dla pręta o stałym przekroju poprzecznym wynoszą:
36 3L - 36 3L
�ł łł
�ł
3L 4L2 - 3L - L2 śł
N
�ł śł
k� = NN,T N,x�"dx = �" .
(10.13)
x
+"
�ł-
śł
30 �" L 36 - 3L 36 - 3L
�ł
3L - L2 - 3L 4L2 śł
�ł �ł
Zauważmy, że macierz k nie zależy od własności sprężystych pręta, lecz jest funkcją geometrii pręta i
wewnętrznych sił (w naszym przypadku siły osiowej). Uzasadniona więc jest stosowana czasem nazwa tej
macierzy: macierz sztywności geometrycznej. Jej wyrazy mają fizyczną interpretację: są to dodatkowe siły
powstające przy jednostkowych przemieszczeniach węzłów powstałe przy obecności siły osiowej N. Macierz
k można uprościć do postaci:
1 0 -1 0
�ł łł
�ł
0 0 0 0śł
N
�ł śł
k� = �" .
(10.14)
�ł-1 0 1 0
śł
L
�ł
0 0 0 0śł
�ł �ł
Przyjmując w (10.10)' v,x = 1/L (d5.- d2). v,x oznacza zmianę nachylenia cięciwy łączącej oba węzły.
Zainteresowani Czytelnicy mogliby wykazać, że macierz postaci (10.14) jest równa macierzy geome-
trycznej dla pręta kratownicy płaskiej.
Równanie (10.12) opisuje stan równowagi dla elementu prętowego. Dokonując agregacji elementów,
można ostateczny układ równań zapisać w postaci:
0
(k + k� )d = R . (10.15)
Stan krytyczny otrzymamy obliczając wariację (10.15):
2
�  = (k0 + k� )�d = 0 , (10.16)
skąd mamy
0
det(K + K� ) = 0 . (10.17)
Zgodnie z kryterium energetycznym (10.1) warunkiem koniecznym utraty stateczności układu jest ze-
rowanie się drugiej wariacji energii potencjalnej układu �2n, tzn.
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 10. WYBRANE ZAGADNIENIA STATECZNOŚCI KONSTRUKCJI 6
0
�[(k + k� )d - R]= 0 , (10.18)
0
[(k + k� )�d]= 0 , (10.19)
co oznacza, że w stanie krytycznym macierz (kO + k�) jest osobliwa. Do równania (10.19) można dojść rów-
nież inną drogą. Przyjmijmy mianowicie, że ustalonemu obciążeniu R odpowiadają dwa różne rozwiązania
d1 i d2 (będzie to zatem punkt bifurkacji), które spełniają równania:
0 0
(k + k� *)d1 = R * (k + k� *)d2 = R * , (10.20)
gdzie przez K(�) oznaczono zależność macierzy od naprężeń. Po odjęciu tych równań stronami, otrzymuje-
my:
0
(K + K� *)v = 0 (10.21)
gdzie v = d1 - d2. Niezerowe rozwiązanie tego równania występuje w przypadku, gdy
0
det(K + K� *) = 0 (10.22)
W analizie stateczności konstrukcji inżynierskich przyjmujemy zazwyczaj następujące założenia:
- obciążenie R jest proporcjonalne do parametru , czyli R = �R , gdzie Ajest mnożnikiem obciąże-
nia, zaś wektor R -pewnym obciążeniem porównawczym,
- naprężenia � otrzymujemy z rozwiązania liniowego zadania statyki:
0
(10.23)
k d = R *,
czyli
� = � * i d = d *.
Równanie (10.21) stanowi równanie tzw. stateczności początkowej konstrukcji i odpowiada klasycz-
nemu sformułowaniu problemu stateczności (Eulera). Jak widać równanie to opisuje uogólnione zagadnienie
własne, szczegółowo opisane w rozdziale 9 przy okazji analizy drgań układów sprężystych. Rozwiązaniem
równania jest ciąg par złożonych z wartości i wektorów własnych (1 , v1 ), (2 , v2 ), (n , vn ). Ze względów
praktycznych interesuje nas najmniejsza wartość MIN=KR zwana krytycznym mnożnikiem obciążenia. Ob-
ciążenie wywołujące bifurkację stanu równowagi wynosi zatem:
Rkr = krR * .
(10.24)
Wektor własny, odpowiadający tej wartości określa postać wyboczenia względem rozwiązania linio-
wego d (przedkrytycznego). Równanie (10.21) sprowadza się zwykle, podobnie jak w przypadku dynamicz-
nym, do postaci standardowej (porównaj (9.31) w rozdz.9), korzystając z rozkładu macierzy K� lub K0 . W
drugim przypadku interesować nas będzie największa wartość własna �= 1/MIN . skąd KR = MIN =1/�
Podsumujmy powyższe rozumowanie w postaci algorytmu liniowego problemu stateczności:
1. Rozwiązujemy liniowy problem statyki:
0 0
K d = R* d* = (K )-1 R *
2. Obliczamy �* na podstawie wektora d*
3. Budujemy macierz początkowych naprężeń K(�*)
4. Rozwiązujemy problem własny:
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 10. WYBRANE ZAGADNIENIA STATECZNOŚCI KONSTRUKCJI 7
0
(K + K(�*))v = 0,
z którego obliczamy
kr = min i Rkr = krR *
Podkreślmy jeszcze raz, że analiza stateczności początkowej nie określa typu punktu bifurkacjl. Zada-
nie to wchodzi w zakres analizy nieliniowej, która nie jest przedmiotem rozważań w tym opracowaniu.
10.4 Sformułowanie macierzy dla elementu płytowego
Zagadnienie stateczności liniowej cienkich płyt jest ze względu na powszechność stosowania tych
konstrukcji (elementy niemal wszystkich metalowych konstrukcji cienkościennych) praktycznie bardzo waż-
ny. W rozdziale 5 wyznaczyliśmy macierze sztywności dla kilku elementów skończonych płytowych. Poni-
żej podamy sposób budowy macierzy sztywności dla prostokątnego elementu płytowego. Sposób wyznacza-
nia macierzy geometrycznej jest bardzo podobny do tego, który stosowaliśmy dla elementu belkowego.
Rys. 10.4. Definicja sił wewnętrznych dla elementu płytowego
Przyjmijmy, że element płytowy Jest obciążony w swojej płaszczyz
nie środkowej siłami Nx , Ny , Nxy ,
jak na rysunku10.4. Nieliniowe człony w związkach geometrycznych, jakie należy uwzględnić w analizowa-
nym zadaniu, wynoszą:
1 1 1
� = w,2 , � = w,2 , ł = (w,x w,y +w,y w,x ) . (10.25)
x x y y xy
2 2 2
Można wykazać, że wyrazy te wyznacza się podobnie jak w przypadku belki, z tą tylko różnicą, że na-
leży uwzględnić jeszcze drugi kierunek. Wyrażenia (10.25) określają odkształcenia membranowe, wynikają-
ce z poprzecznych przemieszczeń w. Nieliniową cześć odkształceń (10.25) zapiszemy w postaci:
�ł łł �ł łł
� N,T Nx
x x
1
�ł śł �ł
T
� = = d N,T N,y śł
(10.26)
y
�ł� y śł �ł śł
2
�łł xy śł �łN,T N,y +N,T N,x śł
x y
�ł �ł �ł �ł
gdzie przyjęto ponownie, że
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 10. WYBRANE ZAGADNIENIA STATECZNOŚCI KONSTRUKCJI 8
N1
�ł łł
�łN śł
w = Nd = �" d .
(10.27)
2
�ł śł
�ł śł
3
�łN �ł
Energię związaną z tym odkształceniem zapiszemy jako:
1
U =
x x y y
+"(� (w,2 ) +� (w,2 ) + 2�w,x w,y )dxdy =
2
A
(10.28)
� � w,x 1 T
�ł łł �ł łł
1
x xy
[w,x w,y]�" �" =
�ł� � śł �łw, śł
+" +"G �"� �" Gdxdy
2 2
xy y y
A �ł �ł �ł �ł A
gdzie
w,x
�ł łł
G = �" d .
�łw, śł
y
�ł �ł
Wykonując odpowiednie całkowania i obliczając pierwszą wariację wyrażenia (10.28), dochodzimy
do macierzy:
k� = kx + ky + kxy,
lub
k� = w,x dxdy,
x
+"w, (10.29)
A
gdzie
kx = � w,x w,x dxdy,
x
+"
A
ky = � w,y w,y dxdy,
y
+"
A
kxy = �
xy x
+"2w, w,x dxdy,
A
W powyższych wyrażeniach założono, że naprężenia są stale w obszarze elementu. Gdy do wyznacze-
nia macierzy stosuje się całkowanie numeryczne, to naprężenia obliczone w punktach całkowania mogą być
różne. Rozbicie macierzy (10.29) na trzy składniki jest uzasadnione tym, że w wielu przypadkach praktycz-
nych interesuje nas wyboczenie płyty obciążonej tylko jednym typem sił krawędziowych. W ten sposób nie
wykonuje się niepotrzebnych operacji całkowania i mnożenia. Ponieważ założyliśmy, że obciążenia są pro-
porcjonalne, to warunek stateczności układu wykorzystując ten sam sposób zapisu, co w punkcie poprzed-
nim, możemy zapisać następująco:
0
(K + K(�*))v = 0, (10.30)
lub
0
(K + (K(� *) + K(� *) + K(� *)))v = 0 .
x y xy
Przyjęcie dekompozycji macierzy geometrycznej w postaci (10.29) umożliwia, w łatwy sposób, usta-
lenie proporcji obciążeń �x , �y , �xy
Zauważmy jeszcze na koniec, że macierze geometryczne (10.13) i (10.29) mają w zasadzie tę samą
postać. Podobną postać miałyby macierze geometryczne dla innych elementów. Macierze te zawsze będą
zależeć w sposób liniowy od naprężeń. Ten fakt pozwolił na opracowanie prostej i ogólnej metody analizy
wyboczenia metodą elementów skończonych.
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 10. WYBRANE ZAGADNIENIA STATECZNOŚCI KONSTRUKCJI 9
10.5. Uwagi końcowe
Przypomnijmy na koniec ograniczenia przedstawionej powyżej analizy. Założyliśmy, że stan przed-
krytyczny jest liniowy, tzn. relacja siła-przemieszczenie jest linią prostą. Fakt ten zaznaczono na rysunku
10.5 linią prostą OAE (w przypadku prętów prostych i płyt idealnie płaskich prosta OAE pokrywa się z osią
pionową OA).
Punkt bifurkacji A wyznaczyliśmy z równania klasycznego problemu wytoczenia, czyli z równania
tzw. stateczności początkowej. Śledzenie ścieżki AE jest możliwe tylko teoretycznie, na przykład w trakcie
eksperymentu numerycznego. Ścieżki AF, AG i AH są ścieżkami pobifurkacyjnymi (pokrytycznymi), które
zawsze się otrzymuje przekraczając punkt krytyczny KR, . Postać tych ścieżek zależy od typu analizowanej
konstrukcji. Ścieżka AG charakteryzuje tzw. stateczne pokrytyczne zachowanie, podczas gdy ścieżka AH
prowadzi do punktu przeskoku dla  < KR.
Analiza nieliniowa (tutaj nie przedstawiona) prowadzi do ścieżki OB poniżej punktu bifurkacji dla
układu idealnego, a do ścieżki OC - dla układu z imperfekcjami.
Rys. 10.5. Różne ścieżki równowagi w zagadnieniach stateczności konstrukcji
Sztywność układu charakteryzowana przez macierz (K0 + K�) , była wyznaczana dla konfiguracji po-
czątkowej układu (konfiguracji nieodkształconej). Proces obciążania układu powoduje, oczywiście, jego de-
formowanie się i w zasadzie postać krzywych -d ma charakter ścieżek OB i OC. Zachowanie się układu
pod działaniem obciążenia jest zatem zależne od deformacji. Musimy pamiętać, że w przedstawionym algo-
rytmie pomijaliśmy te efekty. Otrzymywane rozwiązania są tylko rozwiązaniami przybliżonymi. Oczywiście
będą one tym bliższe rozwiązaniom dokładnym im odejście ścieżek OA i OB będzie mniejsze. Aby się jed-
nak o tym przekonać, należy dokonać analizy nieliniowej lub przynajmniej rozwiązać problem zlinearyzo-
wanej stateczności, polegający na uwzględnieniu wpływu początkowych przemieszczeń (deformacji powsta-
łej na skutek przyłożenia obciążenia) na wartości obciążenia bifurkacyjnego. Zainteresowanych tą tematyką
odsyłamy do literatury.
Zadania
1. W wyrażeniu (10.8) uwzględnić nieliniowy człon wynikający ze skrócenia osi pręta i obliczyć od-
powiednią poprawkę do macierzy początkowych naprężeń.
2. Rozwiązać za pomocą jednego a następnie dwóch elementów zagadnienie wyboczenia pręta swo-
bodnie podpartego na obu końcach i o stałym El. Porównać otrzymane wyniki z wartością dokładną.
3. Rozwiązać zadanie 2 dla dwóch, a następnie czterech, elementów wykorzystując symetrię zadania.
4. Znalez
ć zależność P-S dla kratownicy Misesa, przedstawionej na rysunku.
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 10. WYBRANE ZAGADNIENIA STATECZNOŚCI KONSTRUKCJI 10
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
 11. UWAGI O KOMPUTEROWYCH OBLICZENIACH METOD
ELEMENTÓW 1
SKOC
CZONYCH
11.


UWAGI O KOMPUTEROWYCH OBLICZENIACH METOD

ELEMENTÓW SKOC
CZONYCH
W poprzednich rozdziałach przedstawiliśmy podstawy MES koncentrując uwagę przede
wszystkim na formułowaniu elementów skończonych przydatnych do analizy określonego typu za-
gadnień mechaniki konstrukcji. W niniejszym rozdziale zajmiemy się pewnymi aspektami kompute-
rowej implementacji tej metody. Przed wyborem i omówieniem tych aspektów przypomnijmy, że
niezależnie od dziedziny problemu, który pragniemy rozwiązać tą metodą na algorytm rozwiązywa-
nia zadania składają się zawsze następujące etapy:
1) definicja problemu,
2) dyskretyzacja,
3) identyfikacja zmiennych,
4) sformułowanie problemu,
5) wybór układu współrzędnych,
6} przyjęcie funkcji aproksymujących,
7) wyznaczenie macierzy elementów,
8) transformacja układów współrzędnych,
9) agregacja macierzy elementów,
10) wprowadzenie warunków brzegowych,
11) rozwiązanie końcowego układu równań,
12) interpretacja wyników.
Każdy program komputerowy, realizujący powyższy algorytm, składa się z trzech podstawo-
wych modułów: preprocesora, procesora i postprocesora. Główne funkcje tych modułów polegają
odpowiednio na: przygotowaniu procesu obliczeń (czytaniu i/lub generowaniu parametrów zadania),
budowaniu i rozwiązaniu stosownego układu równań, na wydruku wyników Klub) sporządzeniu od-
powiednich rysunków. Efektywność każdego programu MES, mierzona łatwością jego użytkowania
zależy od efektywności każdego z tych modułów. Na rysunku 11.1 przedstawiono główne operacje
realizowane w poszczególnych procesorach.
Rys. 11.1. Komputerowa implementacja MES
Rysunek ten ilustruje również pewien cykl iteracyjny procesu projektowania. Jest więc także
obrazem komputerowego wspomagania projektowania. Z przedstawionego rysunku widać wyraz
nie,
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach me- Alma Mater
chaniki konstrukcji inżynierskich
 11. UWAGI O KOMPUTEROWYCH OBLICZENIACH METOD
ELEMENTÓW 2
SKOC
CZONYCH
że wcześniej omawialiśmy głównie zadania wykonywane przez procesor realizujący zasadnicze obli-
czenia.
Obliczenia większości rzeczywistych konstrukcji inżynierskich, dokonywane za pomocą MES,
wymagają wprowadzenia współrzędnych setek, a nawet tysięcy węzłów. Ręczne wprowadzanie tych
informacji jest bardzo pracochłonne i nie gwarantuje przy tym eliminacji pomyłek. Niebagatelną
sprawą jest również forma prezentacji wyników. Powszechnie przyjęty w przeszłości sposób przed-
stawiania ich w postaci tabulogramów jest mało czytelny, a przy dużych zadaniach wręcz nie do
przyjęcia. Biorąc pod uwagę wymagania stawiane przez użytkownika programu, dla którego istotny
jest czas obliczeń (od którego zależą koszty oraz tempo prac konstrukcyjnych), okazuje się, że o cał-
kowitym czasie obliczeń konstrukcji decyduje w dużej mierze czas poświęcony na przygotowanie
danych i analizę wyników (do 80% całego czasu wykonania zadania). Te elementy realizacji zadania
są wykonywane przez preprocesory i postprocesory. Poniżej skoncentrujemy naszą uwagę na omó-
wieniu tych właśnie aspektów komputerowej implementacji MES, czyli na omówieniu roli i funkcji
preprocesorów i postprocesorów.
Preprocesory i postprocesory są to podprogramy, zwykle graficzne, wejścia i wyjścia dla zadań
wykonywanych metodą elementów skończonych. Mogą one stanowić również zupełnie niezależne
programy, wykorzystywane nawet przez wiele procesorów. Programy te pracują najczęściej w trybie
konwersacyjnym, co pozwala na łatwe posługiwanie się nimi.
Zadaniem preprocesorów jest wpisywanie danych i ich edycja. Wpisywanie danych powinno
być jak najbardziej zautomatyzowane. Oznacza to możliwość generowania serii węzłów i elementów
na podstawie zdefiniowanych ich wzorców, powielanie całych fragmentów konstrukcji przez obrót,
translację czy zwierciadlane odbicie, skalowanie fragmentów modelu itp. W każdym możliwym mo-
mencie powinno się dokonywać korekty wprowadzonych już danych, dopisywać lub usuwać węzły i
(lub) elementy. Dotyczy to również definicji warunków brzegowych i sposobu obciążenia modelu.
Bardzo ważną cechą preprocesorów jest możliwość graficznego przedstawienia modelu na ekranie
monitora lub na papierze za pomocą drukarki lub plotera. Preprocesor umożliwia przedstawienie gra-
ficzne całego obiektu bądz
jego fragmentu, sposobu zamocowania węzłów i sposobu obciążenia. Pre-
procesory wykrywają również pewne błędy, jak brak deklaracji współrzędnych węzłów, pojawienie
się elementów o zerowych polach lub zerowych długościach itp. Graficzna kontrola danych chroni
przed błędami modelowania i zwiększa zaufanie do wyników. Jak widać z powyższego, rola i funkcje
preprocesorów są bardzo istotne z praktycznego punktu widzenia obliczeń MES.
Zadaniem postprocesorów jest graficzne przedstawienie wyników obliczeń wykonywanych
przez procesor. Wyniki otrzymane z analizy procesora, zwykle poprzedzone echem danych, zawierają
zwykle przemieszczenia węzłów i siły wewnętrzne w elementach. Zamiast śledzenia kolumn liczb,
użytkownik może przeglądać na ekranie monitora wybrane przez niego wyniki przedstawione w for-
mie graficznej i skoncentrować swoją uwagę na parametrach istotnych w procesie projektowania.
Postprocesory umożliwiają rysowanie konstrukcji odkształconej, również na tle konstrukcji nie od-
kształconej, rysowanie map (izolinii) naprężeń, rozkładu temperatur i ewentualnie innych parametrów
w różnych płaszczyznach obiektu. Mają także możliwość rysowania wykresów naprężeń, temperatury
oraz odkształceń w wybranych punktach konstrukcji w funkcji obciążeń czy czasu. Często postać od-
kształcona i mapy naprężeń rysowane są innymi kolorami, co nie tylko podnosi czytelność rysunków.
Najczęściej stosuje się kolory do rysunków map naprężeń, które pozwalają na obserwację najbardziej
wytężonych obszarów modelu i mogą służyć jako cenne informacje w procesie projektowania.
Wszystkie rysunki można wydrukować na papierze za pomocą drukarek lub ploterów. Postprocesory
podają wyniki w formie dokumentów (raportów), stosownie do wymagań użytkownika. Przygotowu-
ją ich wydruk dla określonego obszaru modelu czy określonych parametrów (np. wyróżnionych skła-
dowych naprężeń) przeprowadzając selektywny wybór tych wartości (np. wartości ekstremalnych).
Bardziej zaawansowane postprocesory dokonują również automatycznego sprawdzenia warunków
norm i informują, w jakim obszarze modelu zostały one przekroczone. Pozwala to podjąć stosowne
korekty w modelu obliczeniowym i przeprowadzić - ewentualnie - ponowną analizę. Postprocesory
mogą zawierać również podprogramy obliczające wrażliwość konstrukcji na pewne wybrane parame-
try projektowe, jak parametry geometryczne przekrojów, położenie podpór, wartości naprężeń w wy-
branych punktach itp. Analiza wrażliwości jest niezwykle przydatna przy podejmowaniu decyzji o
zmianach tych parametrów w iteracyjnym procesie projektowania, pozwala bowiem określić kierunek
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach me- Alma Mater
chaniki konstrukcji inżynierskich
 11. UWAGI O KOMPUTEROWYCH OBLICZENIACH METOD
ELEMENTÓW 3
SKOC
CZONYCH
tych zmian w celu spełnienia określonych warunków. Podobnie jak preprocesory, postprocesory mo-
gą być integralną częścią systemu obliczeniowego lub stanowić niezależnie działające programy. Ze
względu na fakt, że postprocesory korzystają- z bazy danych dla preprocesorów, są one zwykle łą-
czone z nimi. Graficzna prezentacja wyników jest istotną cechą postprocesorów i stanowi główne
narzędzie w projektowaniu wspomaganym komputerowo. W znacznym stopniu podnosi też czytel-
ność wyników, zwłaszcza ich jakość, i pozwala łatwiej i pełniej wyciągać wnioski konstrukcyjne.
Metoda elementów skończonych jest wykorzystywana w praktyce inżynierskiej od wielu lat.
Wykorzystanie jej w szeroko rozumianym procesie projektowania było jednak ograniczone z jednej
strony wysokimi kosztami stosowanego sprzętu, a z drugiej - dużym nakładem pracy potrzebnym na
przygotowanie i syntezę wyników. Znaczne potanienie sprzętu komputerowego oraz nowe technolo-
gie produkcji efektywnego oprogramowania systemów obliczeniowych wykorzystujących MES (w
tym przede wszystkim pre- i postprocesorów) spowodowały, że metoda ta staje się integralną częścią
procesu projektowania.
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach me- Alma Mater
chaniki konstrukcji inżynierskich
 12. LITERATURA 1
12.


LITERATURA
[1] A.W. Al-Khafaji, J.R. Tooley Numerical methods in engineering practice, Holt, Rinehart &
Winston, 1986.
[2] K.J. Bathe, E. Wilson Numerical methods in finite element analysis, Prentice-Hall, 1976
[3] K.J. Bathe Finite element procedures in engineering practice, Prentice-Hall,
1981
[4] C.A. Brebbia, J.C. Connor Fundamentals of finite element techniąues for structural engineers,
Butterworth, 1975.
[5] R.D. Cook Concepts and applications of finite element analysis, Wiley 1974.
[6] R.H. Gallagher Finite element analysłs: Fundamentals, Prentice-Hall, 1975
[7] E. Hinton, D.R.C. Owen Finite element programming, Academic Press, 1977
[8] E. Hinton, D.R.C. Owen Ań introduction to finłte element computations, Pineridge, 1979
[9] T.J.R. Hughes The finłte element method. Linear static and dynamie finite element
analysis, Prentice-Hall Int. Editions, 1987
[10] P.F. Hultąuist Numerical methods for engineers and computer scientists, Benja-
min/Cummings Publ.Co., 1988
[11] A. Jennings Matrńe eomputation for engineers and scientists, Wiley & Sons,
1972
[12] M. Kleiber Wprowadzenie do metody elementów skończonych, Biblioteka Me-
chaniki Stosowanej IPPT PAN, PWN, Warszawa-Poznań 1985
[13] M. Kleiber Numeryczna analiza statycznych i dynamicznych zagadnień sta-
teczności konstrukcji, Materiały dla studiów doktoranckich i pody-
plomowych, Politechnika Poznańska, nr 16, Poznań, 1987
[14] M. Kleiber Metoda elementów skończonych w nieliniowej mechanice kontinuum,
Biblioteka Mechaniki Stosowanej IPPT PAN. PWN, Warszawa-
Poznan 1985
[15] M. Kleiber Incremental finite element modelling in non-linear solid mechanics,
PWN, Ellis Horwood Ltd., 1989
[16] D.R.G. Owen, E. Hinton Finite elements in plasticity, Pineridge, 1980
[17] J. Pietrzak, C. Rakowski, K. Macierzowa analiza konstrukcji, PWN, Warszawa-Poznań 1979
Wrześniowski
[18] J. Przemieniecki Theory of matrix structural analysis, Wiley, 1977
[19] T.H. Richards Energy methods in stress analysis, Wiley, 1977
[20] L.J. Segerlind Applied finite element analysłs, Wiley, 1976
[21] F.L. Stasa Applied finite element analysis for engineers, Holt, Rinehart &
Winston, NY, 1985
[22] J. Szmelter Metody komputerowe w mechanice, PWN, Warszawa, 1980
[23] P. Tong, J.N. Rossettos Finite element method: Basic techniąue and implementation, MIT
Press, 1977
[24] Z. Waszczyszyn, Cz. Cichori, Metoda elementów skończonych w stateczności konstrukcji, Arkady,
M. Radwańska Warszawa, 1990
[25] W. Weaver, Jr., P.R. Johnston Finite elements for structural analysis, Prentice-Hall, Englewood
Cliffs, New Jersey, 1984
[26] O.C. Zienkiewicz Metoda elementów skończonych, Arkady, Warszawa, 1972
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
Doda- ROZWI
ZANIE UKA
ADU RÓWNAC
LINIOWYCH ALGEBRAICZNYCH 1
tek
A
A.


ROZWI
ZANIE UKA
ADU RÓWNAC
LINIOWYCH ALGEBRAICZNYCH
W literaturze cytuje się wiele metod numerycznego rozwiązywania układów równań liniowych o po-
staci
(A.1)
A�" X = B
Niektóre z nich są szczególnie nakierowane na szybkość operacji, najmniejszą zajętość pamięci, wykorzystu-
ją też dodatkowe cechy macierzy współczynników A, takie jak symetria czy pasmowość. Spośród tych wielu
dostępnych w literaturze procedur omówimy jedną, tzw. metodę rozkładu trójkątnego macierzy Choleskiego
- Banachiewicza. Metoda ta jest z powodzeniem stosowana dla macierzy A symetrycznych i dodatnio okre-
ślonych, a z takimi właśnie macierzami mamy do czynienia w zadaniach metody elementów skończonych
dotyczących liniowej analizy statycznej konstrukcji sprężystych. Macierz A można rozłożyć na dwie macie-
rze w ten sposób, by
T
(A.2)
A = U �"U ,
gdzie U jest górną macierzą trójkątną. Macierz A można także rozłożyć do postaci
T
(A.3)
A = U �" D �"U
zwanej postacią zmodyfikowaną metody Choleskiego. U jest górną macierzą trójkątną z jedynkami na głów-
nej przekątnej. Symbol D reprezentuje macierz diagonalną, zawierającą kwadraty składowych diagonalych
macierzy U. Równania rekurencyjne Uij., i Dij.., generowane kolumnami dla j=2,3,...,n, dają
i-1
1 �ł �ł
U = �"�ł Aij - U U �ł, (1ij ki kj
"Dkk
Dii �ł k =1
łł
(A.4)
2
j-1
Djj = Ajj - U (1kj
"Dkk
k =1
Obydwa te równania zawierają wyrażenie Dkk , .Ukj . pod znakiem sumy.Jeżeli podstawimy :
U * = DkkU , (A.5)
kj kj
wówczas
i-1
U * = Aij - U U * (1ij ki kj (A.6)
"Dkk
k =1
j-1
Djj = Ajj - kj kj
"U �"U * (1k=1
gdzie j=2,3,...,n, oraz (A.7)
1
U = U *,
kj kj
Dkk
Zatem dla kolumny j osiąga się chwilowy wynik na Uij. dla każdej składowej spoza głównej diagonali we-
dług (A.6). Dalej na podstawie (A.6) oblicza się wyraz diagonalny Djj., i równocześnie końcową wartość
każdego składnika poza główną przekątną.
Załóżmy, że chcemy rozwiązać układ równań liniowych typu
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
Doda- ROZWI
ZANIE UKA
ADU RÓWNAC
LINIOWYCH ALGEBRAICZNYCH 2
tek
A
(A.8)
A�" X = B
w którym X jest kolumną n niewiadomych, zaś B jest wektorem stałych. Podstawmy (A.3) do (A.8):
T
(A.9)
U D �"U �" X = B,
a podstawiając
(A.10)
U �" X = Y
oraz
(A.11)
D �"Y = Z
otrzymujemy układ
T
(A.12)
U �" Z = B .
Teraz wektor niewiadomych X otrzymujemy w trzech krokach :
1. Ponieważ U jest dolną macierzą trójkątną, elementy wektora Z otrzymamy w procesie podstawienia
w przód :
i-1
Zi = Bi - ki (A.13)
"U Zk (1k =1
2. Macierz D jest diagonalna, więc
Zi
Yi = , (1=1,2,& ,n) .
(A.14)
Dii
3. W trzecim kroku znajdujemy wektor X, stosując podstawienie odwrotne (rozpoczynając od ostatniej
niewiadomej):
n
X = Yi - ik (A.15)
(ii "U X k
k=i+1
Przykład
Posługując się metodą zmodyfikowaną Choleskiego, spróbujemy rozwiązać następujący układ równań li-
niowych typu
A�X= B
200 - 200 0 x1 15
�ł łł �ł łł �ł łł
�ł �łx śł �ł30śł
�" =
2
�ł- 200 700 - 200śł �ł śł �ł śł
śł
�ł śł �ł śł �ł
0 - 200 700
3 �ł
�ł �ł �łx �ł �ł30śł
Dokonujemy rozkładu macierzy współczynników A na trzy macierze (A.3), korzystając z zależności (A.4).
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
Doda- ROZWI
ZANIE UKA
ADU RÓWNAC
LINIOWYCH ALGEBRAICZNYCH 3
tek
A
Kolejno otrzymujemy :
D11 = A11 = 200.00
U = 1.00
11
1 1
U = ( A12 ) = 0 = 0.00
12
D11 200
1 1
U = ( A13 ) = 0 = 0.00
13
D11 200
U = 1.00
22
2
D22 = A22 - D11U = 400 - 200 = 200.00
11
1 1
U = ( A23 - D11U U ) = ( -200 - 200( -1)(0 ) = -1.00
23 12 13
D23 200
2 2
D33 = A33 - D11U - D22U = 400 - 200 �"02 - 200 �"( -1)2 = 200.00
13 23
Macierz A można więc przedstawić w postaci :
1 0 0 200 0 0 1 - 1 0
�ł łł �ł łł �ł łł
T
�ł �ł śł �ł0
A = U �" D �"U = 1 1 0śł �" 0 200 0 �" 1 - 1śł
�ł- śł �ł śł �ł śł
�ł - 1 1�ł �ł 0 0 200�ł �ł0 0 1
śł �ł śł �ł śł
0
�ł �ł
Teraz już łatwo rozwiążemy układ równań, stosując (A. 13), (A. 14) i (A. 15):
Z1 = B1 = 15,
Z2 = B2 -U Z1 = 30 -( -1.0 )�"15 = 45,
12
Z3 = B3 -U Z1 -U Z2 = 30 -(0 )�"15 -( -1)�"45 = 75,
13 23
Z1 15
Y1 = = = 0.075,
D11 200
Z2 45
Y2 = = = 0.225,
D22 200
Z3 75
Y3 = = = 0.375,
D33 200
i w końcu
X = Y3 = 0.375,
3
X = Y2 -U X3 = 0.225 -( -1)�"0.375 = 0.600,
23
2
X1 = Y1 -U X -U X = 0.075 -( -1)�"600 -(0 )�"0.375 = 0.675.
12 13
2 3
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
Doda- CAA
KOWANIE NUMERYCZNE W PRZESTRZENI DWUWYMIAROWEJ 1
tek
B
B.


CAA
KOWANIE NUMERYCZNE W PRZESTRZENI DWUWYMIAROWEJ
Rozwiązania całki I = +"+"A f(x,y) dxdy można dokonać łatwiej, jeżeli wpierw dokonamy transformacji
tego wyrażenia do układu współrzędnych naturalnych � i �. Ponadto granice każdej z całek powinny być
równe -1 lub +1. Pole dA = dxdy musi być zamienione zmiennymi d� i d�.
Rysunek B.1 przedstawia nieskończenie małe pole dA w układzie współrzędnych naturalnych � i �.
Wektor r określa położenie punktu A w układzie współrzędnych kartezjanskich x i y :
r = x + y = xi + yj,
(B.1)
Rys. B.1. Elementarne pole dA w układzie współrzędnych naturalnych
Przyrost tego wektora ze względu na zmienne naturalne wynosi :
�r �x �y
= �"i + �" j,
�� �� ��
(B.2)
�r �x �y
= �"i + �" j.
�� �� ��
Jeżeli pomnożymy wyrażenia (D.Z1 ) i (D.Z2 ) odpowiednio przez d� i d�, to uformujemy boki czwo-
rokąta (rys.B.1) o infinitezymalnym polu dA. Jego wielkość wyznaczamy na podstawie potrójnego produktu
wektorowego :
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
Doda- CAA
KOWANIE NUMERYCZNE W PRZESTRZENI DWUWYMIAROWEJ 2
tek
B
�ł �r �r �ł
dA = �ł �" d� �" �" d� �ł�" k,
(B.3)
�ł �ł
�� ��
�ł łł
co po podstawieniach (B.2) prowadzi do
�ł �x �y �y �x �ł
dA = �ł �" - �" �ł�" d�d�,
(B.4)
�ł �ł
�� �� �� ��
�ł łł
lub w postaci wyznacznika do
�x �y
�� ��
dA = �" d�d� = J �" d�d�,
(B.5)
�x �y
�� ��
gdzie J jest macierzą jakobianu. Tak więc nowa postać wyjściowego wyrażenia całkowego jest następująca :
1 1
I = f (� ,� )�" J �"d�d�. (B.6)
+" +"
-1-1
Konsekwentne stosowanie kwadratur Gaussa prowadzi do znalezienia całki w postaci:
n n
I = ąk f (� �k )�" J(� ,�k )
,
(B.7)
""ą j j j
k =1 j=1
gdzie a., a są współczynnikami wag dla punktów o współrzędnych (�, � ). Położenie punktów Gaussa dla
n=1,2,3 i 4 pokazano na rysunku B.2.
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
Doda- CAA
KOWANIE NUMERYCZNE W PRZESTRZENI DWUWYMIAROWEJ 3
tek
B
Rys. B.2. Punkty Gaussa dla elementu czworokątnego
Rys. B.3. Punkty Gaussa dla elementu trójkątnego
Punkty próbne i wagi dla trójkąta
Dla trójkąta o polu powierzchni A przy zastosowaniu współrzędnych naturalnych �1 �2 �3 całkowanie nume-
ryczne odbywa się według formuły
n
I = A �" f (�1�2�3 )j
(B.8)
"ą j
j=1
Rysunek B. 3 przedstawia schematycznie położenie punktów całkowania dla n = 1,3,4 i 6, zaś w tablicy B.1
dodatkowo zestawiono współczynniki wag ąj, odpowiadające tym punktom.
�1 = 0.816847, � = 0.108103,
2
�1 = 0.091576, �2 = 0.44595,
27 25
ł = - , ł = ,
1 2
48 48
ł = 0.10995174, ł = 0.2238159.
3 4
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
Doda- CAA
KOWANIE NUMERYCZNE W PRZESTRZENI DWUWYMIAROWEJ 4
tek
B
Tablica B.1 Położenie punktów Gaussa i wartości wag dla różnych rzędów całkowania
n Rząd Punkty �1 ,�2 ,�3 ąj
1 Liniowy a 1/3, 1/3, 1/3 1
3 kwadratowy a 1/2, 1/2, 0 1/3
b 0, 1/2, 1/2 1/3
c 1/2, 0, 1/2 1/3
sześcienny a 1/3, 1/3, 1/3 ł1
b 0.6, 0,2, 0.2 ł2
c 0.2, 0.6, 0.2 ł3
d 0.2, 0.2, 0.6 ł4
4 stopnia a �1, �1, �1 ł3
b �1, �1, �1 ł3
c �1, �1,�1 ł3
d �2,�2, �2 ł4
e �2, �2, �2 ł4
f �2, �2, �2 ł4
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
Doda- ROZWI
ZANIE UOGÓLNIONEGO PROBLEMU WA
ASNEGO METOD
1
tek ITERACJI ODWROTNYCH
C
C.


ROZWI
ZANIE UOGÓLNIONEGO PROBLEMU WA
ASNEGO METOD

ITERACJI ODWROTNYCH
Istnieje wiele efektywnych metod służących do rozwiązania równania macierzowego
KĆ = MĆ.
(C.1)
Metody te Czytelnik zapewne poznał podczas kursu matematyki i kursu poświęconego metodom numerycz-
nym. Poniżej przedstawimy jedną z możliwych metod iteracyjnych rozwiązania równania (C.1), która ze
względu na prosty algorytm zasługuje, naszym zdaniem, na uwagę.
W metodzie iteracji odwrotnych przyjmuje się pewien wektor początkowy x i dla kolejnych iteracji
rozwiązuje się równanie
K x = Mxk , (C.2)
k +1
gdzie
x
k+1
xk+1 =
1
(C.3)
T
2
(x �" M �" x )
k +1 k+1
.
Wektor x nie może być M-ortogonalny do $1, tzn. x1T. M $1 `" 0. Zakłada się, że dla k " otrzyma-
my xk+1 .$1 Głównym krokiem metody jest rozwiązanie równania (C.2), czyli wyznaczenie wektora xk+1,
którego kierunek zbliża się do wektora własnego w miarę zwiększania liczby iteracji. Warunek (C.3) wpro-
wadza się, aby nowy wektor był M-ortogonalny. Gdybyśmy nie zastosowali skalowania (C.3), to podczas
kolejnych iteracji wektory x. nie zbiegałyby się do A, lecz do jego wielokrotności.
Prześledz
my na poniższym przykładzie zastosowanie przedstawionej metody. Rozwiążmy problem
własny (C.1) o macierzach:
2
�ł - 1 0 0 0
łł �ł łł
�ł śł �ł śł
2
�ł- 1 2 - 1 0 śł, �ł śł,
K = M =
(C.4)
�ł - 1 2 - 1 0
śł �ł śł
0
�ł śł �ł
0 0 - 1 1 1śł
�ł �ł �ł �ł
Pierwszym krokiem metody jest dekompozycja macierzy K do postaci LT�D�L (patrz Dodatek A). Macierze
te mają postać:
1 2
�ł łł �ł łł
�ł1 śł �ł śł
3
�ł2 1 śł �ł śł
2
�ł śł, D = �ł śł,
K = - 2 4
(C.5)
�ł0 śł �ł śł
1
�ł 3 śł �ł 3 śł
�ł - 3 śł �ł 1śł
�ł0 0 4 1śł �ł
�ł
�ł �ł �ł 2śł
Jak wspomnieliśmy wyżej, początkowy wektor x1. nie może być ortogonalny do wektora $1. Do-
świadczenie wskazuje, że wektor ten najlepiej przyjąć jako wektor o składowych równych jedności. Przyj-
mijmy zatem:
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
Doda- ROZWI
ZANIE UOGÓLNIONEGO PROBLEMU WA
ASNEGO METOD
2
tek ITERACJI ODWROTNYCH
C
x1 = [1 1 1 1]. (C.6)
Dla k=1 mamy
2
�ł - 1 0 0 0 1
łł �ł łł �ł łł
�ł śł �ł śł �ł1śł
2
�ł- 1 2 - 1 0 śłx2 = �ł śł �ł śł
�"
(C.7)
�ł - 1 2 - 1 0 1
śł �ł śł �ł śł
0
�ł śł �ł
0 0 - 1 1 1śł �ł1śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
Skąd otrzymujemy:
3 3
�ł łł �ł łł
�ł6śł �ł6śł
1
�ł śł, T �ł śł
x = x �" M �" x = 136 oraz x2 =
2 2 2 (C.8)
�ł śł �ł śł
7 7
136
�ł8śł �ł8śł
�ł �ł �ł �ł
dla drugiej iteracji otrzymujemy:
20
�ł łł
�ł40śł
1
�ł śł, xT M �" x3 = 6336
x = �"
3 3 (C.9)
�ł śł
48 136
136
�ł56śł
�ł �ł
20
�ł łł
�ł40śł
1
�ł śł, x3 =
x3 = [0.251 0.503 0.603 0.704]
(C.10)
�ł śł
48
6336
�ł56śł
�ł �ł
Porównując x3 z rozwiązaniem dokładnym:
$1 = [0.25, 0.5, 0.602, 0.707],
widać, że metoda iteracji odwrotnych daje zadowalające wyniki, nawet dla niewielkiej liczby iteracji. Rów-
nania (C. 2) i (C. 3) stanowią podstawę metody iteracji odwrotnych. W implementacjach komputerowych
stosuje się trochę odmienny, bardziej efektywny tok postępowania. Zakładając mianowicie, że y1 = M � x1.
dla kolejnych iteracji, mamy:
K �" x = yk ,
k +1
y = M �" x ,
k +1
k +1
T
(C.11)
x �" yk
k +1
�( x ) =
k +1
1
T
2
(x �" y )
k +1
k +1
a ponieważ, y1T$1 `" 0, więc gdy k " otrzymamy:
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
Doda- ROZWI
ZANIE UOGÓLNIONEGO PROBLEMU WA
ASNEGO METOD
3
tek ITERACJI ODWROTNYCH
C
yk+1 �! M �"ąĆ1 i �( x ) �! 1 (C.12)
k +1
Zauważmy bowiem, że �(xk+1 ) jest ilorazem Rayleigha. Proces iteracyjny przerywa się, gdy spełniony jest
warunek
( k +1 ) - ( k )
1 1
(C.13)
d" tolerancji.
( k +1 )
1
Gdy ostatnią iterację oznaczymy przez 1 to ostatecznie otrzymamy:
(C.14)
1 = �( x )
l+1
i z (C.3)
x
l+1
Ć1 = ,
1
(C.15)
T
( x �" yl+1 )2
l+1
Powtórzmy obliczony wyżej przykład, stosując teraz to podejście. Dla tego samego wektora początkowego i
dla k=1 mamy:
(C.16)
0 3 0
�ł łł �ł łł �ł łł
�ł2śł �ł6śł �ł12śł
�ł śł, �ł śł, y2 = �ł śł,
y1 = x = (C.16)
2
�ł śł �ł śł �ł śł
0 7 0
�ł śł �ł śł �ł śł
8
�ł1�ł �ł8�ł �ł �ł
T
x �" y1
2
�(x ) = = 0.1470588
2
T
x �" y2
2
i
0.00000
�ł łł
�ł1.02899śł
�ł śł,
y2 = (C.17)
�ł śł
0.00000
�ł śł
�ł0.68599�ł
Następne iteracje przebiegają według podobnego schematu. Po pięciu iteracjach otrzymamy nastę-
pujące wyniki:
0.25001
�ł łł
�ł0.50001śł
�ł śł
1 = 0.146447, Ć1 = (C.18)
�ł śł
0.60355
�ł śł
�ł0.70709�ł
Dokładna wartość własna wynosi 1 = 0.1464466.
Tomasz A
odygowski, Witold Kąkol  Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich