2010-02-18
SIA
Y WEWN
TRZNE Siły wewnętrzne występują w każdym przekroju konstrukcji i są
one wypadkowymi.
Siły wewnętrzne (przekrojowe)
B
A
Ma aL aP Ma
to jedno z najważniejszych pojęć
aL aP Na Na
mechaniki budowli.
a
aL aP
Va Va
Dx
aL Dx aP
a
RA
RB
Moment zginajÄ…cy Ma w dowolnym przekroju poprzecznym a-a
Częśd lewa pręta jest równy sumie momentów statycznych wszystkich sił
Wa Częśd prawa
a a
Ma
działających z lewej (prawej) strony rozważanego przekroju,
Ma
liczonych względem środka ciężkości tego przekroju. Moment ten
a
Wa a
jest dodatni, gdy rozciągane są włókna spodu pręta. Moment
RA
RB
określamy jako ujemny, jeżeli jego działanie powoduje ściskanie
a Ma Ma a
Na Na
przyjętych spodów.
a
Va a
Va
RB
RA
Ma Ma Ma Ma Ma Ma
-
Ma, Va, Na - składowe sił wewnętrznych
+
Ma moment zginający, Va siła poprzeczna, Na siła podłużna
Dx
spód rozciągany spód ściskany
Siła podłużna (normalna) Na w dowolnym przekroju Obliczenia sił wewnętrznych można przeprowadzić albo na
poprzecznym a-a pręta jest równa sumie rzutów wszystkich sił podstawie definicji, albo wykorzystując warunki równowagi,
działających z lewej (prawej) strony rozważanego przekroju, na zapisane dla wyodrębnionych fragmentów układu.
kierunek prostej stycznej do osi pręta, poprowadzonej przez
Z definicji
Ma
M
środek ciężkości przekroju.
P4 P3 P1a Na a
Na =ð-P4
Na + Na
a
a
Siła podłużna jest dodatnia, jeżeli działa
P2 a1 Va Va =ð P2 - P1 - P3
Dx a2
na przekrój rozciągająco, i ujemna, gdy
a3
Ma =ð M +ð P2 ×ða2 - P1 ×ða1 - P3 ×ða3
działa ściskająco.
Na - Na
Ma a P1 M P3
Na =ð-P4
a
P4
Na
a
a Va =ð P1 +ð P3 - P2
Siła poprzeczna Va (tnąca Ta) w dowolnym przekroju
a1 P2
Va
a2
poprzecznym a-a prÄ™ta jest równa sumie rzutów wszystkich siÅ‚ Ma =ð M +ð P2 ×ða2 - P1 ×ða1 - P3 ×ða3
a3
działających z lewej (prawej) strony rozważanego przekroju, na
Z warunków równowagi
kierunek prostej prostopadłej do osi pręta, poprowadzonej przez
a
P4 P3 M P1 Ma
Å›rodek ciężkoÅ›ci przekroju. Va =ð Na +ð P4 =ð 0
Va åðPx
Na
a
-
Siła poprzeczna jest dodatnia, + P2 a1 Va
=ðVa +ð P +ð P3 - P2 =ð 0
åðPy 1
gdy na prawą część pręta działa Ta Ta a2
Dx a3
Dx
do góry, a na lewą do dołu.
åðM =ð Ma +ð P ×ða1 +ð P3 ×ða3 - P2 ×ða2 - M =ð 0
1
(ða)ð
p(x)Dx
Wartości sił wewnętrznych, obliczone w tym samym punkcie z obu
a2
a1 p(x)
stron przekroju, muszą być sobie równe. A więc można
M(x+Dx)
M(x)
przeprowadzać obliczenia sił wewnętrznych z dowolnej strony n(x)Dx
B
O N(x) N(x+Dx)
A C
przekroju belki. Zazwyczaj wybiera się tę stronę, z której
a1 a2 x
x Dx n(x)
V(x) V(x+Dx)
wykonanie odpowiednich działań będzie łatwiejsze.
Dx
=ð N x +ð Dx N x +ð n x Dx =ð 0
(ð )ð- (ð )ð (ð )ð
ZWI
ZKI MI
DZY SIA
AMI WEWN
TRZNYMI I OBCI
Å»ENIEM åðPx
=ð V x +ð Dx x +ð p x Dx =ð 0
(ð )ð-V (ð )ð (ð )ð
åðPy
q (x )
Dx
=ð M x +ð Dx M x x Dx +ð p x Dx =ð 0
(ð )ð- (ð )ð-V (ð )ð (ð )ð
åðMC
q(x) p(x)
+ 2
n(x)
A A A
A
B
B B
B
y y
y
y
f
N x +ð Dx N x
(ð )ð- (ð )ð
dN x
(ð )ð
x x =ð-n x
(ð )ð
x x =ð-n x
(ð )ð
Dx
dx
x
V x +ð Dx x
(ð )ð-V
(ð )ð dV x
(ð )ð
=ð- p x
(ð )ð =ð- p x
(ð )ð
Þð
p(x)  obciążenie poprzeczne (dodatnie, jeżeli działa ku spodowi Dx
dx
pręta),
dM x
(ð )ð
M x +ð Dx M x
(ð )ð- (ð )ð
=ð V x
(ð )ð
=ð V x
n(x)  obciążenie osiowe (dodatnie, jeżeli ma zwrot zgodny z (ð )ð
dx
Dx
osiÄ… x).
1
2010-02-18
W niektórych przypadkach obliczenia łatwiej jest przeprowadzić, Graficzna prezentacja sił wewnętrznych jest bardzo ważna,
przyjmując oś x skierowaną w stronę przeciwną i wtedy wyrażenia gdyż na jej podstawie można uzyskać na ogół więcej informacji,
znajdujące się po prawej stronie zależności różniczkowych niż analizując nawet najprostsze równanie. Wykresy
zmienią znaki na przeciwne. sporządzamy, odkładając od osi pręta, w obranej skali, rzędne
odpowiednich funkcji.
dN x
(ð )ð
=ð n x
(ð )ð
Rysując wykresy sił
dx
P wewnetrznych, przyjmuje siÄ™
dV x
(ð )ð
=ð p x
(ð )ð konwencjÄ™, wedÅ‚ug której
dx
wartości dodatnie momentów
dM x
(ð )ð
zginajÄ…cych umieszcza siÄ™ po
=ð-V x N
(ð )ð
dx
stronie spodu pręta, a ujemne po
stronie przeciwnej. Wykresy sił
V
Przedstawione zależności różniczkowe spełniają ważną rolę w
poprzecznych rysuje siÄ™
analizie układów prętowych i noszą nazwę równań
odwrotnie, czyli po stronie spodu
różniczkowych równowagi elementu pręta. Istotne jest
M
odkłada się wartości ujemne.
zwłaszcza ostatnie z równań, które może służyć między innymi do
Zerowe siły wewnętrzne oznacza
kontrolowania zgodności wykresów sił poprzecznych i momentów
się dwiema pochyłymi kreskami.
zginajÄ…cych.
P P
M =V M =V
M
q=0
q=0
V =-q V =-q
x x
x
V=a
P
V V V
P V=0
M=a x+b
M M
M M=a
M
" Jeżeli wykres sił poprzecznych będzie opisany prostą poziomą, " W przypadku działania na układ momentu skupionego, w
to wykres momentów zginających jest opisany równaniem miejscu jego zaczepienia wystąpi nieciągłość na wykresie
prostej nachylonej. momentów zginających.
P
" Pochodna funkcji rosnÄ…cej jest dodatnia, a malejÄ…cej  ujemna,
" Wartości maksymalne momentu zginającego
zatem moment zginający rośnie w przedziałach, w których siła
x
mogą również wystąpić w punktach
poprzeczna jest dodatnia i maleje w przedziałach, w których jest
przyłożenia sił skupionych, w których siła P
V
ujemna.
poprzeczna jest nieciągła i przecina oś x,
" W przypadku działania na układ siły skupionej, w miejscu jej
natomiast wykres momentów jest załamany.
zaczepienia wystąpi nieciągłość na wykresie sił poprzecznych.
M
q(x)
q=const q=const
Przyrost siły poprzecznej (podłużnej) między dwoma punktami osi
M =V
x x pręta jest równy minus umownemu polu wykresu obciążenia
x
V =-q
ciągłego poprzecznego (osiowego) zawartego między tymi
V V
V punktami.
Przyrost momentu zginającego między dwoma punktami osi pręta
M jest równy umownemu polu wykresu siły poprzecznej zawartego
M
M
między tymi punktami.
P=40 kN
M=35 kN×ðm
q=-2a
q=10 kN/m
M=a x2+bx+c V=2ax+b
" Jeżeli wykres siły poprzecznej będzie opisany równaniem prostej
o współczynniku kierunkowym różnym od zera, to wykres 3 m 2 m 2 m 2 m 3 m
momentów zginających jest opisany parabolą.
40
" Dla znalezienia ekstremum dowolnej funkcji, przyrównuje się jej
10
V [kN]
pochodną do zera, a więc ekstrema momentu zginającego 10
30
znajdują się w miejscach zerowania się siły poprzecznej.
120
100
Wykres momentów zginających jest zakrzywiony (załamany)
65
M [kN×ðm]
wypukłością w tę stronę, w którą działa obciążenie ciągłe (siła
45 45
skupiona).
2
2010-02-18
BELKI PROSTE BELKA SWOBODNIE PODPARTA Jeden z najstarszych
Płaski, dowolny układ prętowy określa się jako statycznie elementów konstrukcyjnych,
wyznaczalny, jeżeli do jego rozwiązania, czyli wyznaczenia i najczęściej występujący w
wszystkich reakcji i sił wewnętrznych, wystarczą tylko trzy praktyce budowlanej.
równania równowagi. Jednakże jest to tylko warunek konieczny,
ale niewystarczający, statycznej wyznaczalności. ls
ls - rozpiętość w świetle ścian
OÅ› belki
Ruch układu
Mechanizm, układ chwiejny lub geometrycznie zmienny
l0=1,05ls
l0 - rozpiętość obliczeniowa
Pręt odpowiednio podparty i obciążony siłami prostopadłymi lub
Åšciskanie
ukośnymi do jego osi nazywany jest belką.
Część belki zawartą
Spękanie Linia ugięcia
Rozciąganie między podporami nazywa
się przęsłem. Zamiast
belka swobodnie podparta belka wspornikowa
używać pojęcia długość
belki, mówi się, że przęsło
belka swobodnie podparta ze belka swobodnie podparta ze
ma rozpiętość l.
wspornikiem wspornikami Pręty zbrojeniowe
PODSTAWOWE PRZYPADKI
M M M
A C B
P
q
A B
M
A B
V
M M M
l/2 l/2
ql/2
P/2
M/l M
V
ql/2
V
P/2
M/l
M M
ql2
Pl
q
8
A
4
l
ql
V
ql2
M
2
KSZTAA
TOWANIE BELEK Belki swobodnie podparte Belka stalowa
q q
q q
l l
l
0,207l 0,586l 0,207l
M M/5,8
M/5,8
M M
Belka stalowa o stałej wysokości
Blachownica
Belka ciągła
q
q
Zmiana grubości pasów blachownicy
l l Jednakowa wysokość
0,22l 0,56l 0,22l
belki ciągłej i swobodnie
M/5 M podpartych
Zmiana szerokości pasów blachownicy
M/9
Przesunięcie podpór
q
0,56M 0,56M
Belka żelbetowa
Belka żelbetowa
l/4 l/2 l/4
Można dać mniej zbrojenia w przęśle
M/4
3