Zakład Podstaw Budownictwa i Materiałów Budowlanych Stan na dzień: 27.II.2010 r.
Katedra Bezpieczeństwa Budowli
dr inż. Paweł SULIK [e-mail] kpt. mgr inż. Paweł WRÓBEL [e-mail]
Algorytm wymiarowania belki stropowej zginanej
oraz słupa ściskanego i zginanego
wg PN-B-03150/ VIII 2000 r. - konstrukcje drewniane
Uwaga: Wszystkie wyniki są dla przykładu liczbowego mającego na celu pokazać zakres uzyskiwanych
wyników.
Belka o przekroju b x h
Belka
Lz
Rygiel
SÅ‚up
Ly
h
H
Lz
SÅ‚up
b
Hs
b
L
a a
Rys. Przekrój przez projektowany strop drewniany
Podstawowe założenia, dane materiałowe
L = 6.0 m rozpiÄ™tość belki, <3.6÷9.8 m> co 0.3 m
H = 3.5 m wysokość sÅ‚upa, <2.5÷2.4 m> co 0.1 m
a = 2.4 m rozstaw słupów, dz
wigarów <0,7÷2.4 m> co 0.1 m
Przyjęta klasa drewna - & & & . (Tablica Z-2.2.3-1)
Przy wyborze klasy drewna zaleca się kierować następującym założeniem L < 6 m  drewno
lite, w innym przypadku drewno klejone.
Dane charakterystyczne:
Symbol= wartość [jednostka]
.............................................. Wytrzymałość na zginanie
.............................................. Wytrzymałość na rozciąganie wzdłuż włókien
.............................................. Wytrzymałość na rozciąganie w poprzek włókien
.............................................. Wytrzymałość na ściskanie wzdłuż włókien
1/15
a
a
Zakład Podstaw Budownictwa i Materiałów Budowlanych Stan na dzień: 27.II.2010 r.
Katedra Bezpieczeństwa Budowli
dr inż. Paweł SULIK [e-mail] kpt. mgr inż. Paweł WRÓBEL [e-mail]
.............................................. Wytrzymałość na ściskanie w poprzek włókien
.............................................. Wytrzymałość na ścinanie
.............................................. Średni moduł sprężystości wzdłuż włókien
.............................................. 5% kwanty modułu sprężystości wzdłuż włókien
.............................................. Średni moduł sprężystości w poprzek włókien
.............................................. Średni moduł odkształcenia postaciowego
.............................................. Gęstość charakterystyczna
Częściowy współczynnik bezpieczeństwa dla materiału [Tab. 3.2.2]
Å‚
Å‚
Å‚
Częściowe współczynniki bezpieczeństwa dla właściwości materiałów łm
Tablica: 3.2.2
1
Określenia
Å‚m
Å‚
Å‚
Å‚
Stany graniczne nośności
1 Drewno i materiały drewnopochodne 1,3
2 Elementy stalowe w złączach 1,1
3 Sytuacje wyjÄ…tkowe 1
4 Stany graniczne użytkowania 1
łm = 1.3 drewno i materiały drewnopochodne tabela
Częściowy współczynnik modyfikacyjny [Tab. 3.2.5]
np. klasa użytkowania konstrukcji - 1 (dla 20o C wilgotność względna przez większość czasu
użytkowania < 65%) [p.3.2.3]
kmod = np. 0.9 dla obciążeń krótkotrwałych drewno lite i klejone tabela
WAŻNE
Minimalne przekroje [p.3.6] dla drewna litego = 4000 mm2 (nie dotyczy Å‚at dachowych),
mniejszy wymiar min. 38 mm. W konstrukcjach o złączach na gwoz
dzie lub śruby
powierzchnia nie mniejsza niż 1400 mm2, a mniejszy wymiar min. 19 mm - np. dz
wigary
deskowe.
Wartości współczynnika kmod Wartości współczynnika kdef
Tablica: 3.2.5 Tablica: 5.1
Klasa użytkowania Klasa użytkowania
3
Wilgotność Wilgotność Wilgotność Wilgotność Wilgotność Wilgotność
Materiał / klasa
Drewno 12 % Drewno 20 % Drewno > 20 % Drewno 12 % Drewno 20 % Drewno > 20 %
trwania obciążenia
Powietrze do 65 % Powietrze do 85 % Powietrze > 85 % Powietrze do 65 % Powietrze do 85 % Powietrze > 85 %
Drewno lite i klejone warstwowo, sklejka
1 2 3 1 2 3
Stałe
więcej niż 10 lat,
0,6 0,6 0,5 0,6 0,8 2
1 np. ciężar własny
Długotrwałe
6 miesiÄ™cy ÷10 lat,
0,7 0,7 0,55 0,5 0,5 1,5
2 np. obciążenie magazynu
Średniotrwałe
1 tydzieÅ„ ÷6 miesiÄ™cy,
0,8 0,8 0,65 0,25 0,25 0,75
3 np. obciążenie użytkowe
Krótkotrwałe
mniej niż 1 tydzień, np.
0,9 0,9 0,7 0 0 0,3
4 wiatr, śnieg (można też
2/15
Zakład Podstaw Budownictwa i Materiałów Budowlanych Stan na dzień: 27.II.2010 r.
Katedra Bezpieczeństwa Budowli
dr inż. Paweł SULIK [e-mail] kpt. mgr inż. Paweł WRÓBEL [e-mail]
jako średniotrwałe)
Chwilowe
1,1 1,1 0,9 - - -
np. na skutek awarii
5
Przy określaniu współczynnika kmod można zastosować następujące uproszczenie:
Gk >> Qk  jak dla obciążenia stałego
Gk H" Qk  jak dla obciążenia długotrwałego
Gk << Qk  jak dla obciążenia średniotrwałego
Belka - element zginany
Wartości obciążeń
Obciążenia stałe: ciężar stropu wg tabeli  każdy ma inną  swoją wartość
Charakterystyczne obciążenie stałe
L.p. Opis warstwy Grubość, m
Gk, kN/m2
1 Warstwa górna stropu np. parkiet dębowy gr.22
0,022 0,24
mm na kleju poliuretanowym
2 Warstwa pośrednia stropu np. styropian 
0,05 0,05 · 0,45 = 0,02
izolacja akustyczna, Å‚ = 0,45 kN/m3
n Warstwa dolna stropu np. tynk cementowo-
0,015 0,015 · 19 = 0,29
wapienny, Å‚ = 19 kN/m3
Gk = Suma kolumny np. 1,36
Obciążenia zmienne: związane ze sposobem użytkowania pomieszczeń wg PN EN 1991-1-1
Kategoria A - powierzchnie mieszkalne 2 kN/m2,
Kategoria B - powierzchnie biurowe 3 kN/m2,
Kategoria C1 - powierzchnie ze stołami (kawiarnia, sala lekcyjna) 3 kN/m2,
Kategoria C2 - powierzchnie z siedzeniami nieruchomymi (kina, aule) 4 kN/m2,
Kategoria C3 - powierzchnie w muzeach, salach wystaw 5 kN/m2,
Kategoria C4 - powierzchnie na których możliwa jest aktywność ruchowa (dyskoteki,
sale gimnastyczne, sceny) 5 kN/m2,
Kategoria C5 - powierzchnie dostępne dla tłumu (sale koncertowe, stadiony z
trybunami) 5 kN/m2,
Kategoria D1 - powierzchnie handlowe (sklepy detaliczne) 4 kN/m2,
Kategoria D2 - powierzchnie handlowe (w domach towarowych) 5 kN/m2,
Kategoria E1 - powierzchnie magazynowe 7.5 kN/m2,
Kategoria E2 - powierzchnie produkcyjne - wg stanu istniejÄ…cego,
Kategoria F - powierzchnie garażowe (samochody osobowe) 2.5 kN/m2,
Qk = np. 2 kN/m2 dla kategorii A (mieszkanie)  charakterystyczne obciążenie użytkowe
Współczynniki do wyznaczenia obciążeń obliczeniowych wg PN-EN 1990 Tablica A1.2
łG = 1,35  dla obciążeń stałych łQ = 1,50  dla obciążeń zmiennych (użytkowych)
G = Gk · Å‚G obliczeniowe obciążenie staÅ‚e
Q = Qk · Å‚Q obliczeniowe obciążenie zmienne (użytkowe)
Kombinacja obciążeń - stany graniczne nośności SGN i stany graniczne użytkowania SGU
QSGN = G + Q np. 4.84 kN/m2 QSGU = Gk + Qk np. 3.67 kN/m2
3/15
Zakład Podstaw Budownictwa i Materiałów Budowlanych Stan na dzień: 27.II.2010 r.
Katedra Bezpieczeństwa Budowli
dr inż. Paweł SULIK [e-mail] kpt. mgr inż. Paweł WRÓBEL [e-mail]
Obciążenia od przypadające na belkę (zbiera z szerokości a)
q1N = QSGN · a np. 11.61 kN/m q1U = QSGU · a np. 8.81 kN/m
W obydwu przypadkach będzie trzeba dodatkowo uwzględnić ciężar własny belki, co
zrobimy o określeniu jej przekroju!
Wybór klasy drewna
Przyjąć klasę drewna w zależności od rozpiętości i wielkości obciążeń np. GL 35 [Tab.
Z.2.2.3-1]
Klasy wytrzymałości - wartości charakterystyczne drewna krajowego,
iglastego, litego o wilgotności 12 %
Tablica: Z-2.2.3-1
Gęstość
Wytrzymałość [MPa] Sprężystość [GPa]
10 [kg/m3]
fm,k ft,0,k ft,90,k fc,0,k fc,90,k fv,k E0,mean E0,05 E90,mean Gg,mean Ák Ámean
1 C18 18 11 0,3 18 4,8 2,0 9 6,0 0,30 0,56 320 380
2 C22 22 13 0,3 20 5,1 2,4 10 6,7 0,33 0,63 340 410
3 C27 27 16 0,4 22 5,6 2,8 12 8,0 0,40 0,75 370 450
4 C30 30 18 0,4 23 5,7 3,0 12 8,0 0,40 0,75 380 460
5 C35 35 21 0,4 25 6 3,4 13 8,7 0,43 0,81 400 480
6 C40 40 24 0,4 26 6,3 3,8 14 9,4 0,47 0,88 420 500
7 GL24 24 14 0,4 21 5,3 2,5 11 7,4 0,37 0,69 350
8 GL30 30 18 0,4 23 5,7 3,0 12 8,0 0,40 0,75 380
9 GL35 35 21 0,4 25 6 3,4 13 8,7 0,43 0,81 400
10 GL40 40 24 0,4 26 6,3 3,8 14 9,4 0,47 0,88 420
fm,g,k ft,0,g,k ft,90,g,k fc,0,g,k fc,90,g,k fv,g,k Eg,0,mean Eg,0,05 Eg,90,mean Gg,mean Ág,k
Gęstość
Wytrzymałość [MPa] Sprężystość [GPa]
[kg/m3]
Tablica: Z-2.3.3-1
Klasy wytrzymałości - wartości charakterystyczne drewna klejonego warstwowo,
iglastego o wilgotności 12 %
4/15
włókien
włókien
Åš
cinanie
Warto
ść
Zginanie
Åš
ciskanie
Åš
ciskanie w
spr
ęż
ysto
Å›
ci
Rozci
Ä…
ganie
postaciowego
odkształcenia
Åš
redni moduł
Åš
redni moduł
Åš
redni moduł
Klasy drewna
Rozci
Ä…
ganie w
wzdłu
ż
włókien
wzdłu
ż
włókien
Warto
ść
Å›
rednia
poprzek włókien
poprzek włókien
charakterystyczna
w poprzek włókien
spr
ęż
ysto
Å›
ci wzdłu
ż
spr
ęż
ysto
Å›
ci wzdłu
ż
5 % kwantyl modułu
włókien
włókien
Åš
cinanie
Warto
ść
Zginanie
Åš
ciskanie
Åš
ciskanie w
spr
ęż
ysto
Å›
ci
Rozci
Ä…
ganie
postaciowego
odkształcenia
Åš
redni moduł
Åš
redni moduł
Åš
redni moduł
Klasy drewna
Rozci
Ä…
ganie w
wzdłu
ż
włókien
wzdłu
ż
włókien
poprzek włókien
poprzek włókien
charakterystyczna
w poprzek włókien
spr
ęż
ysto
Å›
ci wzdłu
ż
spr
ęż
ysto
Å›
ci wzdłu
ż
5 % kwantyl modułu
Zakład Podstaw Budownictwa i Materiałów Budowlanych Stan na dzień: 27.II.2010 r.
Katedra Bezpieczeństwa Budowli
dr inż. Paweł SULIK [e-mail] kpt. mgr inż. Paweł WRÓBEL [e-mail]
Stany graniczne nośności SGN
kmod Å"fmk
fmd = Wytrzymałość obliczeniowa na zginanie np. fmd = 24.23 MPa
Å‚m
Wstępne określenie wymiarów przekroju
Zakładamy prostokątny przekrój belki: b (szerokość) x h (wysokość), zakładając jednocześnie
proporcjÄ™ b/h można przyjąć dowolnÄ… wartość z przedziaÅ‚u Ä… = 0,12÷ 0,4
Ä…
Ä…
Ä…
z
y
b
Rys. Przekrój poprzeczny belki
Wstępny moment zginający - belka swobodnie podparta: np. ą = 0.28
q1N Å" L2
Myw = np. Myw = 52.24 KNm
8
6Å"Myw
3
h = np. h = 0.36 m stÄ…d b = Ä…·h np. b = 0.1 m
fmd Å"Ä…
Przyjęto wymiary belki zgodnie z zasadą:
Zakres wymiaru np. boku w cm Skok wymiaru w cm
1÷10 co 1 cm np. 6, 7, 8 itp.
10÷30 co 2 cm np. 12, 14, 28 itp.
> 30 co 5 cm np. 35, 40, 70 itp.
Do tego miejsca trzeba będzie wracać, gdy nie uda się poprawnie policzyć za 1 razem
np. h = 45 cm np. b = 12 cm
Długości obliczeniowa belki [Tab. 4.2.2] Belka swobodnie podparta (s.p.) obciążona
równomiernie lub równe momenty na końcach Ld/L=1; wspornik moment na końcu Ld/L=1;
s.p. obciążenie skupione w środku belki Ld/L=0.85; Wspornik, obciążenie skupione na końcu
Ld/L=0.85; Wspornik, obciążenie równomierne Ld/L=0.6;
Wartości podane w tablicy dotyczą obciążeń działających w osi środkowej belki. Dla
obciążeń pionowych przyłożonych do górnej powierzchni belki obliczoną wartość Ld zwiększa
siÄ™ o º (np = 2) · h, zaÅ› dla obciążeÅ„ przyÅ‚ożonych do dolnej powierzchni redukuje siÄ™ o º (np
= 0.5) · h, gdzie h - wysokość belki.
5/15
h
Zakład Podstaw Budownictwa i Materiałów Budowlanych Stan na dzień: 27.II.2010 r.
Katedra Bezpieczeństwa Budowli
dr inż. Paweł SULIK [e-mail] kpt. mgr inż. Paweł WRÓBEL [e-mail]
Ld=L Ld=0,85L Ld=0,6L
F
q q q q
L L L
F
M M
L L
M
L
Rys. Długość obliczeniowa belki dla obciążeń działających w osi środkowej belki.
F F F
Ld
F F F
Ld+2h
F F F
Ld-0,5h
Rys. Długość obliczeniowa belki w zależności od miejsca przyłożenia obciążenia.
Ld = L + º · h dÅ‚ugość obliczeniowa belki np. Ld= 6.9 m
W państwa projekcie proszę przyjąć Ld = L + h. Wielkość ta uzależniona jest od sposobu
i rodzaju oparcia belki.
Tutaj do q1N i q1U trzeba dodać ciężar belki drewnianej o przekroju b x h. Otrzymamy:
q1NC = q1N + b·h·Ák·Å‚G obciążenie obliczeniowe
q1UC = q1U + b·h·Ák obciążenie charakterystyczne
Moment zginajÄ…cy - belka swobodnie podparta:
q1NC Å" Ld 2
My = np. My = 69.09 KNm
8
fmd
E = E005 Moduł sprężystości: [wzór.4.2.2.c] np. E = 6.02 GPa
fmk
6/15
h
h
h
Zakład Podstaw Budownictwa i Materiałów Budowlanych Stan na dzień: 27.II.2010 r.
Katedra Bezpieczeństwa Budowli
dr inż. Paweł SULIK [e-mail] kpt. mgr inż. Paweł WRÓBEL [e-mail]
Dla przekrojów prostokątnych smukłość sprowadzona przy zginaniu wyraża się:
[wzór.4.2.2.c].
Ld Å" h Å" fmd E0
mean
rel,m = Å" np. rel,m = 1.05
G
mean
Ä„ Å" b2 Å" E
Wartość współczynnika stateczności giętej kcrit. Dla belek z zabezpieczoną strefą ściskaną
przed przemieszczeniami bocznymi oraz obrotem na podporach wartość współczynnika
wynosi 1.0
kcrit = 1 dla rel,m d" 0.75; kcrit = (1.56  0.75· rel,m) dla 0.75 < rel,m d" 1.4;
1
kcrit = dla rel,m > 1.4; np. kcrit = 0.77
rel,m2
Momenty bezwładności, wskaz
nik wytrzymałości oraz pola przekroju
Iy
b Å" h3
Iy = np. Iy = 9.11·104 cm4 Wy = np. Wy = 4.05·103 cm3
12 0.5Å" h
Naprężenia obliczeniowe od zginania. W tym wypadku belka jest jedynie zginana w jednej
płaszczyz
nie bez siły osiowej.
My
Ãmd = np. Ãmd = 17.06 MPa
Wy
Warunek na nośność belki.
Ãmd d" kcrit Å" fmd np. Ãmd = 17.06 MPa < 18.69 MPa
Warunek ekonomiczny  ideałem jest kiedy pole powierzchni przekroju b x h jest
minimalne bo to oznacza, że zaprojektowana przez nas konstrukcja jest najtańsza.
Ãmd
70% d" Å"100% d" 100%
kcrit Å" fmd
Warunek ekonomiczny powinien być spełniony z uwagi na koszty inwestycji, jednakże
nadrzędnym warunkiem jest warunek nośności.
Warunek spełniony
W przypadku niespełnienia warunku należy wrócić do czerwonej ramki i zmienić wymiary
przekroju ewentualnie jego proporcje (pułapka 1).
Stany graniczne użytkowalności - ugięcie
Wartości współczynnika kdef uwzględniającego przyrost przemieszczenia od pełzania i
wilgotności [Tab. 5.1] Wartości dla drewna litego i klejonego:
obciążenie stałe - Klasa użytkowania 1 (KU1) 0.6, (KU2) 0.8, (KU3) 2.0;
obciążenie długotrwałe - (KU1) 0.5, (KU2) 0.5, (KU3) 1.5;
obciążenie średniotrwałe - (KU1) 0.25, (KU2) 0.25, (KU3) 0.75;
obciążenie krótkotrwałe - (KU1) 0.0, (KU2) 0.0, (KU3) 0.30; Udział każdego rodzaju
obciążenia uwzględniamy osobno
Dla belek i dz
wigarów dla których L/h >=20 można pominąć wpływ siły poprzecznej
Klasa trwania obciążenia [Tab.3.2.4] - Stałe (np. ciężar własny) > 10 lat; Długotrwałe (np.
obciążenie magazynu) 6 mies. ÷10 lat; ÅšredniotrwaÅ‚e (np. obciążenie użytkowe, czasami Å›nieg
jeżeli dÅ‚ugo wystÄ™puje) 1tydz. ÷ 6 miesiÄ™cy; KrótkotrwaÅ‚e (np. Å›nieg, wiatr) < 1 tydzieÅ„;
7/15
Zakład Podstaw Budownictwa i Materiałów Budowlanych Stan na dzień: 27.II.2010 r.
Katedra Bezpieczeństwa Budowli
dr inż. Paweł SULIK [e-mail] kpt. mgr inż. Paweł WRÓBEL [e-mail]
Chwilowe - na skutek awarii. Przy kombinacji obciążeń zawsze bierzemy współczynniki dla
obciążenia najkrócej występującego (np. stałe i krótkotrwałe bierzemy jak dla
krótkotrwałego).
Wartość współczynnika kdef
Materiał/klasa trwania obciążenia KLASA UŻYTKOWANIA
Drewno lite i klejone, sklejka 1 2 3
Stałe 0,6 0,8 2,0
Długotrwałe 0,5 0,5 1,5
Średniotrwałe 0,25 0,25 0,75
Krótkotrwałe 0,0 0,0 0,3
Rozpatrujemy stałą cześć obciążenia
W przypadku obciążenia należy brać wartość prostopadłą do rozważanej belki.
kdefS  współczynnik z tablicy 3.2.5. w zależności od rodzaju obciążenia np. kdefS = 0.6
L 5 Å"(a Å" Gk + b Å" h Å" Ák )Å" L4
Jeżeli e" 20 to uinstS =
h 384 Å" E0mean Å" Iy
2
îÅ‚ Å‚Å‚
L 5 Å"(a Å" Gk + b Å" h Å" Ák )Å" L4 h
ëÅ‚ öÅ‚
Jeżeli < 20 to uinstS = Å"
ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚1+19.2 Å" śł
h 384 Å" E0mean Å" Iy L
íÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ufinS = uinstS·(1+kdefS) np. ufinS = 1.01 cm
Rozpatrujemy zmienną cześć obciążenia  w omawianym przypadku obciążenie
średniotrwałe.
kdefZ  współczynnik z tablicy 3.2.5. w zależności od rodzaju obciążenia np. kdefZ = 0.25
L 5 Å"(a Å" Qk)Å" L4
Jeżeli e" 20 to uinstZ =
h 384 Å" E0mean Å" Iy
2
îÅ‚ Å‚Å‚
L 5Å"(a Å" Qk)Å" L4 h
Jeżeli < 20 to uinstZ = Å" 1+19.2 Å"ëÅ‚ öÅ‚
ïÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚ śł
h 384 Å" E0mean Å" Iy L
íÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ufinZ = uinstZ·(1+kdefZ) np. ufinZ = 0.95 cm
A
ączne ugięcie belki
ufin = uinstS + uinstZ np. ufin = 1.96 cm
8/15
Zakład Podstaw Budownictwa i Materiałów Budowlanych Stan na dzień: 27.II.2010 r.
Katedra Bezpieczeństwa Budowli
dr inż. Paweł SULIK [e-mail] kpt. mgr inż. Paweł WRÓBEL [e-mail]
Ugięcie dopuszczalne
Wartości graniczne ugięć unet,fin [Tab. 5.2.3] Dla obiektów starych i zabytkowych dopuszcza
się zwiększenie o 50%
Rodzaje zginanych elementów konstrukcji drewnianych Wartości ugięć
Elementy wykonane z Dz
wigary pełnościenne L/200
wygięciem wstępnym Dz
wigary Obliczenia przybliżone L/400
kratowe Obliczenia dokładne L/200
Dz
wigary pełnościenne L/300
Dz
wigary Obliczenia przybliżone L/600
kratowe Obliczenia dokładne L/300
Elementy wykonane bez
Konstrukcje ścienne L/200
wygięcia wstępnego
PÅ‚yty dachowe L/150
Elementy stropu Nie otynkowane L/250
otynkowane L/300
Krokwie, płatwie i inne elementy wiązań dachowych L/200
Deskowania dachowe L/150
W obiektach starych, remontowanych dopuszcza się wartości unet,fin większe od podanych o 50%
ufin  ugięcie końcowe
unet  ugięcie wynikowe poniżej prostej łączącej punkty podparcia belki wyrażające się wzorem:
unet = u1 + u2  u0
gdzie:
u1  ugięcie wywołane obciążeniem stałym [mm]
u2  ugięcie wywołane obciążeniem zmiennym [mm]
u0  wygięcie wstępne (strzałka odwrotna) [mm]
L
unet,fin = np. unet,fin = 2.00 cm
300
Warunek na użytkowalność belki
ufin d" unet,fin
W przypadku niespełnienia warunku należy wrócić do czerwonej ramki i zmienić wymiary
przekroju ewentualnie jego proporcje (pułapka 2).
Warunek spełniony
WNIOSEK: Przyjęto belkę o wymiarach b x h wykonaną z drewna klejonego klasy GL35.
Warunki ekonomiczne nie muszą być rygorystycznie spełnione. Ważniejsze są warunki
nośności i użytkowalności.
np. h = 45 cm np. b = 12 cm
9/15