Regresja nieliniowa. Aproksymacja
krzywych dla potrzeb geodezyjnych
i inżynierskich
Wykonawca:
Grzegorz Kruczek
Grupa ćwiczeniowa 1
Rok akademicki 2015/2016
Numeryczne algorytmy inżynierskie
1
Spis treści
Tok postępowania........................................................................................................3
Wykresy........................................................................................................................5
Próba skonstruowania bardziej adekwatnego modelu.................................................8
Wybór modelu..............................................................................................................9
2
Tok postępowania:
1. Określenie długości wektora opracowania:
len=1001
2. Zdefiniowanie wartości na osi x:
x=seq(0,10,by=0.01) - zakres od 0 do 10, wartość co 0.01
3. Przypisanie wartościom na osi x argumentów:
y=sin(3*x)+rnorm(len,0,0.04) - do funkcji sin(3x) wprowadzony zostaje szum losowy
4. Utworzenie ramki danych:
ds=data.frame(x=x,y=y)
5. Utworzenie wykresu obrazującego dane:
plot(y~x)
6. Zaznaczenie na wykresie funkcji modelowej y=sin(3x) (ciągłej i pozbawionej
szumów losowych):
s=seq(0,10,by=0.01)
lines(s,sin(3*s),lty=2,col="red")
7. Wpasowanie iteracyjne metodą nls:
m=nls(y~I(sin(liczba*s)),data=ds,start=list(liczba=3),trace=T)
1.546485 : 3
1.546046 : 2.999836
1.546046 : 2.999836 - ostateczny wynik otrzymano w drugiej iteracji; różni się on
nieznacznie od założonej funkcji modelowej.
8. Podsumowanie procesu iteracyjnego:
summary(m)
Formula: y ~ I(sin(liczba * s))
Parameters:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
liczba 2.9998362 0.0003071 9767 <2e-16 ***
---
Signif. codes: 0  *** 0.001  ** 0.01  * 0.05  . 0.1   1
Residual standard error: 0.03932 on 1000 degrees of freedom
3
Number of iterations to convergence: 2
Achieved convergence tolerance: 3.397e-08
9. Narysowanie linii wygenerowanego modelu:
lines(s,predict(m,list(x=s),lty=1,col="blue"))
10. Oszacowanie jakości wpasowania:
a) wyznaczenie parametru residual sum of squares (RSS)
RSS.p=sum(residuals(m)^2)
[1] 1.546046
b) wyznaczenie parametru total sum of squares (TSS):
TSS=sum((y-mean(y))^2)
[1] 502.6502
c) określenie jakości modelu wygenerowanego na podstawie wpasowania metodą
nls:
1-(RSS.p/TSS)
[1] 0.9969242 - wysoka jakość modelu
d) określenie jakości znanej funkcji (jakość zależna od szumu):
1-sum(sin(3*x)-y)^2/TSS
[1] 0.9901581 - wysoka jakość funkcji
4
Wykresy
Wykres danych
5
Wykres danych z zaznaczoną funkcją modelową
6
Wykres danych z zaznaczoną linia wygenerowanego modelu
Wygenerowany model ma bardzo podobny przebieg do funkcji modelowej. Obydwie linie niemal się pokrywają.
7
Próba skonstruowania bardziej
adekwatnego modelu
1. Wpasowanie iteracyjne metoda nls zmodyfikowanej funkcji:
sinus=function(x,w,b)
{sin(w*x)+b}
m.2=nls(y~sinus(x,w,b),data=ds,start=list(w=3,b=0),trace=T)
1.546485 : 3 0
1.540819 : 2.99978915 -0.00229316
1.540819 : 2.999788838 -0.002293284 - w wyniku dwóch iteracji wyznaczone
zostały parametry funkcji y=sin(wx)+b
2. podsumowanie procesu iteracyjnego:
summary(m.2)
Formula: y ~ sinus(x, w, b)
Parameters:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
w 2.9997888 0.0003078 9744.968 <2e-16 ***
b -0.0022933 0.0012456 -1.841 0.0659 .
---
Signif. codes: 0  *** 0.001  ** 0.01  * 0.05  . 0.1   1
Residual standard error: 0.03927 on 999 degrees of freedom
Number of iterations to convergence: 2
Achieved convergence tolerance: 8.99e-08
3. Oszacowanie jakości wpasowania:
a) wyznaczenie parametru residual sum of squares (RSS)
RSS.pb=sum(residuals(m.2)^2)
[1] 1.540819
b) wyznaczenie parametru total sum of squares (TSS):
TSS=sum((y-mean(y))^2)
[1] 502.6502
c) określenie jakości modelu wygenerowanego na podstawie wpasowania metodą
nls:
1-(RSS.pb/TSS)
[1] 0.9969346 - wysoka jakość modelu
8
Wybór modelu
anova(m.2,m)
Analysis of Variance Table
Model 1: y ~ sinus(x, w, b)
Model 2: y ~ I(sin(liczba * s))
Res.Df Res.Sum Sq Df Sum Sq F value Pr(>F)
1 999 1.5408
2 1000 1.5460 -1 -0.0052277 3.3894 0.65911 .
---
Signif. codes: 0  *** 0.001  ** 0.01  * 0.05  . 0.1   1
Otrzymany wynik analizy wskazuje, że lepszym rozwiązaniem będzie przyjęcie
modelu 1.
9