11 stycznia 2011 r.
√
Wariant nr
|
Zadanie nr 1
Królestwo Ekonometrii podzielone jest na Księstwo Korelacji, Regresji i Trendu, pomiędzy którymi zachodzi wymiana dóbr i usług gospodarczych. PoniŜej dana jest niepełna informacja o macierzy struktury kosztów A, macierzy Leontiewa L i macierzy do niej odwrotnej L-1
dotyczących trzech księstw Królestwa Ekonometrii (pierwszy wiersz i kolumna odpowiadają Księstwu Korelacji, drugi wiersz i kolumna Księstwu Regresji, a trzeci Księstwu Trendu).
0,6
0,64 0,4
,
0,25! ,
" 1,2 2,56 1,6
0,6
1
Wiadomo ponadto, Ŝe Księstwo Trendu w procesie produkcji nie zuŜywa materiałów wytworzonych w Księstwie Korelacji, a zuŜycie własnych materiałów w Księstwie Korelacji jest sześciokrotnie wyŜsze niŜ zuŜycie materiałów pochodzących z Księstwa Trendu.
Współczynnik materiałochłonności w Księstwie Regresji jest równy 0,7. Wiadomo teŜ, Ŝe wzrost produkcji globalnej w Księstwie Korelacji o 80, przy niezmienionej produkcji globalnej w pozostałych księstwach spowoduje spadek produkcji końcowej w Księstwie Regresji o 10 oraz aby uzyskać spadek produkcji końcowej w Księstwie Korelacji o 10, przy niezmienionej produkcji końcowej w pozostałych księstwach, naleŜy zmniejszyć produkcję globalną w Księstwie Korelacji o 28. W okresie t produkcja globalna wyniosła w poszczególnych księstwach odpowiednio 800, 600 i 400. W Księstwie Trendu zuŜycie środków trwałych nie występowało, w Księstwie Korelacji było równe co do wartości zyskowi, a w Księstwie Regresji wartość dodana brutto była o 50% wyŜsza od wartości dodanej netto. W kaŜdym księstwie współczynnik płacochłonności wynosił 5%.
a) (4 pkt) Uzupełnij brakujące pola macierzy A, L i L-1.
b) (2 pkt) Zapisz tabelę przepływów międzygałęziowych dla Królestwa Ekonometrii w okresie t.
c) (2 pkt) Policz współczynniki rentowności brutto kaŜdego księstwa. W którym księstwie rentowność brutto jest najniŜsza?
d) (2 pkt) W okresie t+ 1 produkcja końcowa w Księstwie Korelacji spadła o 32, produkcja końcowa w Księstwie Trendu wzrosła o 24, a produkcja końcowa w Księstwie Regresji nie zmieniła się. Wyznacz nowy wektor produkcji końcowej.
e) (2 pkt) Wyznacz wektor produkcji globalnej i końcowej w Królestwie Matematyki w okresie t+2, przy załoŜeniu, Ŝe w stosunku do okresu t+1 planowane jest zmniejszenie produkcji końcowej w Księstwie Korelacji o 15, zmniejszenie produkcji globalnej w Księstwie Regresji o 10 i pozostawienie produkcji globalnej w Księstwie Trendu na niezmienionym poziomie.
Znany nam dobrze student, z racji tego Ŝe zaczęło mu się lepiej powodzić, postanowił zmienić swą dietę. Zrezygnował z zupek Vifon i psiej karmy na rzecz chleba „Złocisty” firmy Oskroba i piersi indyka marki Tesco. WciąŜ jednak zaleŜy mu na minimalizacji dziennych kosztów wyŜywienia, aby mieć więcej kasy na imprezy. 500 g chleba kosztuje 4 zł, zaś 1 kg piersi z indyka 18 zł. Kromka chleba o masie 50 g zawiera 100 kcal i 10 g białka. Porcja piersi z indyka zaś, o masie 100 g, zawiera 400 kcal i 60 g białka. Student chce dostarczyć swojemu organizmowi dziennie co najmniej 3600 kcal i 400 g białka. Chce równieŜ, aby masa spoŜytego przez niego chleba była nie mniejsza niŜ masa spoŜytego mięsa.
a) (2 pkt) Zapisz zadanie PL, którego rozwiązanie pozwoli studentowi wyznaczyć optymalny menu.
b) (3 pkt) Wyznacz optymalne menu studenta i minimalny koszt dziennego wyŜywienia, rozwiązując zadanie PL metodą graficzną.
c) (1 pkt) Które warunki są luźne w rozwiązaniu optymalnym?
d) (2 pkt) W jakich granicach moŜe się zmieniać cena piersi z indyka, aby decyzja optymalna nie uległa zmianie?
e) (2 pkt) Przypuśćmy, Ŝe student postanowił zwiększyć minimalną kaloryczność dziennych posiłków do 3800 kcal. Jaka będzie wówczas decyzja optymalna studenta?
Ile wyniesie minimalny koszt?
f) (2 pkt) W jakim przedziale powinna zawierać się cena chleba, aby zbiór rozwiązań optymalnych zadania był pusty (przyjmij, Ŝe cena chleba moŜe wyraŜać się dowolną liczbą rzeczywistą, równieŜ ujemną)?
Zadanie nr 3
Malwinka chciała za pomocą Solvera rozwiązać następujące zadanie PL:
2% & %' %( ) *+%
przy poniŜszym zestawie warunków ograniczających:
% & %' & %( - 10
, 4%' 2%( . 20 0
2%
& %( . 30
%, %', %( - 0
PoniŜej przedstawiony jest raport wraŜliwości wygenerowany przez Solver dla rozwiązania optymalnego do tego zadania. Niestety, Jasio – złośliwy brat Malwinki – pozmieniał część liczb w przeklejonym do Worda wydruku. Malwinka, gdy ponownie usiadła do komputera zobaczyła, Ŝe coś jest nie tak. Brat przyznał się przy których liczbach majstrował (zostały one zaznaczone gwiazdką). Dzięki temu Malwinka wie, Ŝe wszystkie pozostałe liczby są poprawne, wśród tych zaznaczonych gwiazdką zaś część jest poprawna a część błędna.
Wartość
Przyrost
Współczynnik
Dopuszczalny
Dopuszczalny
Nazwa
Końcowa
Krańcowy
funkcji celu
wzrost
Spadek
x1
15
0
2
1E+30
2
x2
5
1,5(*)
1
3(*)
1
x3
0
-1,5
-1(*)
1,5
3(*)
Warunki ograniczające
Wartość
Cena
Prawa strona
Dopuszczalny
Dopuszczalny
Nazwa
Końcowa
Dualna
w. o.
wzrost
Spadek
I
10,00(*)
0,00
10
10(*)
20(*)
II
20,00
-0,25(*)
20
1E+30
20
III
30,00
1,00
30
1E+30
20
a) (4 pkt) Wypowiedz się, wraz z uzasadnieniem, na temat kaŜdej liczby zaznaczonej gwiazdką czy moŜe ona być poprawna czy teŜ musi być błędna.
b) (1 pkt) Które warunki są napięte w rozwiązaniu optymalnym?
c) (2 pkt) Ile wyniesie maksymalna wartość funkcji celu, gdy współczynnik funkcji celu przy x1 wyniesie 1?
d) (2 pkt) Ile wyniesie maksymalna wartość funkcji celu, gdy wyraz wolny w trzecim warunku ograniczającym zmieni swą wartość na 5?
e) (2 pkt) Czy istnieją takie wartości współczynników funkcji celu, dla których rozwiązanie (10; 10; 10) jest jedynym rozwiązaniem optymalnym przy danych warunkach ograniczających? Dlaczego?
f) (1 pkt) Jakie rozwiązanie byłoby optymalne w przypadku maksymalizacji funkcji 12%, %', %(3 4% & 2%' 2%( przy niezmienionych warunkach ograniczających?
Zadanie nr 4
W wielkiej kawiarni „Lura”, otwartej codziennie od godz. 16:00 do 24:00 liczba przychodzących gości jest róŜna w róŜne dni tygodnia, róŜne jest więc zapotrzebowanie na kelnerki obsługujące stoliki. Na podstawie historycznych danych o liczbie gości oszacowano minimalną liczbę kelnerek jaka powinna pracować w poszczególne dni tygodnia, by sprostać zamówieniom ze strony gości:
Dzień tygodnia
Minimalna wymagana liczba kelnerek
Poniedziałek
4
Wtorek
5
Środa
4
Czwartek
7
Piątek
12
Sobota
10
Niedziela
8
Zarząd kawiarni chciałby ustalić jaką minimalną liczbę kelnerek trzeba zatrudnić, tak by w kaŜdym dniu pracowało co najmniej tyle kelnerek ile wynosi minimalna wymagana liczba.
Dodany jest ponadto warunek, by kaŜda kelnerka pracowała pięć kolejnych dni w tygodniu i dwa kolejne miała wolne.
a) (3 pkt) Zapisz zadanie PL, pozwalające ustalić optymalny plan zatrudnienia kelnerek.
b) (1 pkt) Czy prawdą jest, Ŝe w optymalnym planie transportu naleŜy zatrudnić co najmniej 50 kelnerek? Uzasadnij.
Zadanie nr 5
Firma Y przenosi swoją siedzibę z Warszawy do Rzeszowa. Koordynacja tego przedsięwzięcia nie jest prosta, a wymagane czynności składające się na całe przedsięwzięcie są opisane w poniŜszej tabelce:
Czas
Czynności
Czynność
Opis czynności
trwania
bezpośrednio
[tydzień]
poprzedzające
A
Wybranie miejsca na biuro
3
--
B
Stworzenie planu finansowego i organizacyjnego
5
--
C
Określenie potrzeb personalnych
3
B
D
Projekt wnętrza
4
A, C
E
Określenie ilości potrzebnego wyposaŜenia
8
D
Wybór personelu przeniesionego do nowego
F
2
C
oddziału
G
Zatrudnienie nowych pracowników
4
F
Przeniesienie
kluczowych
pracowników
do
H
2
F
Rzeszowa
Zawarcie
umów
finansowych
z
osobą
I
5
B
wynajmującą biura w Rzeszowie
J
Przeszkolenie nowego personelu
3
E, G
a) (3 pkt) Narysuj graf tego przedsięwzięcia wieloczynnościowego.
b) (2 pkt) Wyznacz ścieŜkę krytyczną w tym grafie.
c) (1 pkt) Jaki jest najkrótszy moŜliwy czas realizacji przedsięwzięcia?
d) (2 pkt) Jak zmieni się czas krytyczny jeśli czas wykonania czynności E zostanie skrócony do 1 tygodnia?
e) (2 pkt) Oblicz i zinterpretuj luz zdarzenia polegającego na zakończeniu czynności F.