GAL 2011/12 zadania z gwiazdk¡
Aleksander Zabªocki
8 listopada 2011
1. Udowodnij (bez korzystania z eliminacji Gauÿa), »e dowolny ukªad równa« liniowych ma 0, 1 albo niesko«czenie wiele rozwi¡za«.
2. Niech x, y, z, A, B, C b¦d¡ dowolne rzeczywiste, byle by x, y, z byªy ró»ne mi¦dzy sob¡.
Udowodnij, »e istnieje dokªadnie jeden wielomian P stopnia nie wi¦kszego ni» 2, speªniaj¡cy warunki
P (x) = A,
P (y) = B,
P (z) = C.
3. Udowodnij, »e je±li z macierzy A mo»na uzyska¢ (poprzez operacje elementarne) macierze w postaci schodkowej zredukowanej A0, A00, to A0 = A00.
Równowa»nie: je±li z macierzy schodkowej zredukowanej B mo»na uzyska¢ (poprzez op. el.)
macierz schodkow¡ zredukowan¡ B0, to B = B0.
Wskazówka: Rozwa» ukªady równa« zwi¡zane z tymi macierzami.
4. Niech
a
11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn
= a1,(n+1)
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = a2,(n+1)
U :
...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn
= am,(n+1)
b¦dzie ukªadem równa« liniowych z jednym parametrem t, w którym ka»dy wspóªczynnik aij
ma posta¢ Aijt + Bij, gdzie Aij, Bij s¡ liczbami rzeczywistymi (by¢ mo»e równymi zero).
Udowodnij, »e istnieje sko«czony zbiór D = {d1, . . . , dk} ⊆ R taki, »e dla ka»dej warto±ci t spoza zbioru D ukªad U ma tyle samo rozwi¡za«.
5. Rozwa»amy ukªady równa« z dwoma parametrami t, u, w których ka»dy wspóªczynnik aij
ma posta¢ Aijt + Biju + Cij dla pewnych Aij, Bij, Cij ∈ R.
Znajd¹ przykªad ukªadu równa« tego typu, który posiada rozwi¡zania dla dowolnego u ≥ 0, ale nie ma rozwi¡za« dla u < 0.
Dokªadniej: dla u ≥ 0 istnieje takie t, »e ukªad jest niesprzeczny; natomiast je±li u < 0, to ukªad jest sprzeczny dla ka»dego t.
6. Oblicz (przy pomocy liczb zespolonych):
(a)
cos α + cos(2α) + cos(3α) + . . . + cos(nα),
(b)
cos α + 2 cos(2α) + 3 cos(3α) + . . . + n cos(nα),
n
n
(c)
cos α + n cos(2α) +
cos(3α) + . . . +
cos((n + 1)α),
2
n
1
7. Przy pomocy liczb zespolonych udowodnij twierdzenie Ptolemeusza:
Je±li na czworok¡cie ABCD mo»na opisa¢ okr¡g, to zachodzi
|AB| · |CD| + |BC| · |AD| = |AC| · |BD|.
(w razie w¡tpliwo±ci: punkty A, B, C, D le»¡ na okr¦gu wªa±nie w tej kolejno±ci)
8. Udowodnij, »e ciaªo sko«czone nie mo»e by¢ algebraicznie domkni¦te.
(Ciaªo K nazywamy algebraicznie domkni¦tym, je±li ka»dy wielomian o wspóªczynnikach w K
ma pierwiastek w K).
9. Znajd¹ ciaªo:
a) maj¡ce 9 elementów;
b) maj¡ce 25 elementów
10. Udowodnij, »e dla dowolnej liczby pierwszej p istnieje ciaªo maj¡ce p2 elementów.
(Co wi¦cej, dla dowolnego n istnieje ciaªo maj¡ce pn elementów. Je±li poradzisz sobie z n = 2, mo»esz spróbowa¢ rozwi¡za¢ przypadek n równego 3 albo 4)
11. Udowodnij, »e zbiór
√
√
√
{a
k
k
k
0 + a1
2 + a2 4 + . . . + an−1 2n−1 : a0, . . . , an−1 ∈ Q}
jest podciaªem R:
a) dla k = 4;
b) dla k = 3.
12. (Porównaj z zadaniem 4) Niech U b¦dzie ukªadem równa« liniowych o wspóªczynnikach
caªkowitych i niech U(p) b¦dzie odpowiadaj¡cym mu ukªadem równa« nad ciaªem Zp (na przykªad: je±li w U wyst¦puje wspóªczynnik 19, to w U(17) w tym samym miejscu wpisujemy 2, bo 19 = 2; oczywi±cie zmienne x1, . . . , xn w ukªadzie U(p) maj¡ nale»e¢ do Zp). Udowodnij, »e istnieje zbiór sko«czony D ⊆ N taki, »e dla ka»dej liczby pierwszej spoza D ukªad U(p) ma tyle samo rozwi¡za«.
13. Niech V b¦dzie przestrzeni¡ liniow¡ nad ciaªem K oraz niech W1, W2, . . . , Wk b¦d¡ jej pod-przestrzeniami liniowymi takimi, »e V = W1 ∪ W2 ∪ . . . ∪ Wk.
a) Udowodnij, »e je±li k = 2, to W1 = V lub W2 = V .
b) Udowodnij, »e je±li K jest niesko«czone, to istnieje takie i, »e Wi = V .
c) Znajd¹ takie k, K, V oraz Wi speªniaj¡ce zaªo»enia zadania, »e »adne Wi nie jest równe V .
14. (maªy cukierek :) Niech v1, . . . , vn b¦dzie baz¡ przestrzeni liniowej V nad ciaªem L. Niech K b¦dzie podciaªem L. Wówczas (jak wiemy z wykªadu) L jest przestrzeniow¡ liniow¡ nad K.
Zaªó»my, »e ta przestrze« ma sko«czony wymiar; niech l1, . . . , lk b¦dzie jej baz¡.
Udowodnij, »e w tej sytuacji V jest przestrzeni¡ nad K, a ukªad {ljvi}i≤n,j≤k, czyli
l1v1, l2v1, . . . , lkv1, l1v2, l2v2, . . . , lkv2, . . . , l1vn, l2vn, . . . , lkvn
jest baz¡ V traktowanej jako przestrze« nad K.
15.
1. Niech K b¦dzie ciaªem zawieraj¡cym C. Wówczas K jest przestrzeni¡ liniow¡ nad C. Za-
ªó»my, »e jej wymiar jest sko«czony. Udowodnij, »e wówczas K = C.
2. Analogicznie, niech K b¦dzie ciaªem zawieraj¡cym R, b¦d¡cym sko«czenie wymiarow¡ prze-
strzeni¡ liniow¡ nad R. Udowodnij, »e w takim wypadku wymiar K nad R wynosi 1 lub 2.
2
16. Niech A b¦dzie macierz¡ o wspóªczynnikach w ciele K, w której jeden wspóªczynnik zale»y od parametru r ∈ K (a dokªadniej, ma posta¢ A + Br, gdzie A, B s¡ elementami K).
Udowodnij, »e zachodzi jedna z trzech mo»liwo±ci:
(a) Wiersze macierzy A s¡ niezale»ne dla ka»dego r;
(b) Wiersze macierzy A s¡ zale»ne dla ka»dego r;
(c) Wiersze macierzy A s¡ zale»ne dla dokªadnie jednej warto±ci r, a niezale»ne dla ka»dej innej warto±ci.
Podaj przykªady ka»dej z trzech powy»szych sytuacji. Podaj przykªad macierzy zawieraj¡cej dwa wspóªczynniki zale»¡ce od r (w sensie j. w.), dla której nie zachodzi »adna z mo»liwo±ci (a-c).
3