Kolokwium nr 1

30 listopada 2010 r.

Wariant Ó

Zadanie nr 1

Studenci z akademikowej meliny przez 10 kolejnych tygodni badali zależność pomiędzy ceną

sprzedawanego przez nich piwa marki „Nyskie” (Xi w PLN) a wielkością sprzedaży (Yi w sztukach).

W okresie tym średnia cena sprzedawanego przez nich piwa wynosiła 5 PLN, a wariancja (liczona

jako realizacja asymptotycznie nieobciążonego estymatora) 5 PLN2. Wiadomo dodatkowo, że w

badanym okresie sprzedawano średnio 30 piw tygodniowo, a wartość ∑

wyniosła 1000 ( i = 1,

…, 10 oznacza numer kolejnego tygodnia w okresie badania).

a) (3 pkt) Zapisz oszacowanie równania regresji wielkości sprzedaży piwa marki „Mech”

względem jego ceny.

b) (2 pkt) Ile wynosi średni błąd szacunku współczynnika regresji w oszacowanym modelu jeżeli

wiadomo, że wariancja składnika losowego została oszacowana na poziomie 32?

c) (1 pkt) Na najbliższy tydzień studenci planują podnieść cenę piwa marki „Mech” do 7 PLN.

Jakiej wielkości sprzedaży powinni się spodziewać?

d) (3 pkt) Ile wynosi średni błąd predykcji ex ante dla prognozy wyznaczonej w poprzednim

punkcie? Wariancja składnika losowego wynosi tyle ile w podpunkcie b).

Zadanie nr 2

Na podstawie danych miesięcznych z lat 1993-2004 ( t = 1,2,…,144; t = 1 dla stycznia 1993)

oszacowano model ekonometryczny, w którym zmienną objaśnianą jest import do Polski w mln PLN

(IMPORT) a zmiennymi objaśniającymi są wydatki rządowe w Polsce w mln PLN (WYDATKI) oraz

produkcja przemysłowa w Polsce w mln PLN (PRODUKCJA).

Następnie podzielono próbę na dwie podpróby – jedną dla lat 1993-1998, a drugą dla lat 1999-2004 i

dla tych dwóch podrób oszacowano analogiczny model.

Wyniki estymacji wszystkich trzech modeli przedstawiają częściowo poniższe fragmenty wydruków z

programu Gretl (niektóre dane zostały ukryte pod gwiazdkami):

Model 1: Estymacja KMNK, wykorzystane obserwacje 1993:01-2004:12 (N = 144)

Zmienna zależna: IMPORT

współczynnik błąd standardowy t-Studenta wartość p

----------------------------------------------------------------

const -3905,47 285,176 *** ***

WYDATKI *** 0,0627266 -1,424 0,1567

PRODUKCJA 0,598467 *** 29,46 ***

Suma kwadratów reszt 1,89e+08 Błąd standardowy reszt 1156,935

Wsp. determ. R-kwadrat 0,974980 Skorygowany R-kwadrat 0,974625

Test White'a na heteroskedastyczność reszt (zmienność wariancji resztowej) -

Hipoteza zerowa: ***

Statystyka testu: LM = ***

z wartością p = P(Chi-Square(5) > ***) = 7,26711e-010

Test LM na autokorelację rzędu 12 -

Hipoteza zerowa: ***

Statystyka testu: LMF = ***

z wartością p = P(F(12,129) > ***) = 1,19482e-005

Model 2: Estymacja KMNK, wykorzystane obserwacje 1993:01-1998:12 (N = 72)

Zmienna zależna: import

współczynnik błąd standardowy t-Studenta wartość p

----------------------------------------------------------------

const -3298,20 294,021 -11,22 3,31e-017

wydatki 0,0554098 0,100486 0,5514 0,5831

produk 0,509195 0,0394053 12,92 4,26e-020

Suma kwadratów reszt 47164285 Błąd standardowy reszt 826,7650

Wsp. determ. R-kwadrat 0,958972 Skorygowany R-kwadrat 0,957783

Model 3: Estymacja KMNK, wykorzystane obserwacje 1999:01-2004:12 (N = 72)

Zmienna zależna: import

współczynnik błąd standardowy t-Studenta wartość p

----------------------------------------------------------------

const -4410,44 1143,55 -3,857 0,0003

wydatki -0,0737491 0,0933344 -0,7902 0,4321

produk 0,606950 0,0306627 19,79 3,66e-030

Suma kwadratów reszt 1,34e+08 Błąd standardowy reszt 1393,177

Wsp. determ. R-kwadrat 0,898389 Skorygowany R-kwadrat 0,895444

Dodatkowo znane są wartości poszczególnych zmiennych dla obserwacji o numerach 144, 145, 146 i

147:

Nr obserwacji

IMPORT

WYDATKI

PRODUKCJA

144

25 412,20

21 793,20

54 284,40

145

22 993,80

18 264,90

49 902,00

146

23 783,10

19 206,70

49 482,70

147

26 836,80

16 482,40

54 593,20

a) (2 pkt) Dla której zmiennej (Model 1) względny błąd szacunku jest najwyższy? Ile on wynosi?

b) (2 pkt) Zinterpretuj oszacowanie parametru stojącego przy zmiennej PRODUKCJA (Model 1)

i zbadaj istotność tej zmiennej.

c) (2 pkt) Czy składnik losowy w modelu 1 jest homo- czy heteroskedastyczny? Zweryfikuj

odpowiednią hipotezę.

d) (3 pkt) Czy parametry oszacowanego modelu 1 są stabilne? Zweryfikuj odpowiednią hipotezę.

e) (2 pkt) Na podstawie oszacowanego modelu 1 wyznacz prognozę wartości produkcji

przemysłowej w Polsce w lutym i marcu 2005 roku.

f) (2 pkt) Wyznacz przeciętny absolutny błąd procentowy dla prognozy wyznaczonej w

poprzednim punkcie.

Zadanie nr 3

Jadźka Lichwiarka postanowiła zatrudnić 64 Murzynki w swoim nowo powstającym zakładzie

ceramicznym „Stara Glina”, gdzie wyrabia wysokiej jakości gliniane miski. Zaobserwowała ona, że w

jej zakładzie produkcja (P w tysiącach misek) zależy od liczby zatrudnionych Murzynek (Z w

sztukach) oraz wartości majątku w postaci maszyn (M w tys. PLN – obecnie wartość ta wynosi 512)

według funkcji Cobba-Douglasa danej wzorem:

Zgodnie z oszacowaniem funkcja opisująca wielkość miesięcznej produkcji w zakładzie Jadźki

Lichwiarki jest jednorodna stopnia 1, a jej izokwanta odpowiadająca wielkości produkcji równej 16

tysięcy misek przechodzi na płaszczyźnie (Z, M) przez punkty (64, 512) i (256, 256).

a) (3 pkt) Zapisz oszacowanie funkcji produkcji dla zakładu Jadźki Lichwiarki.

b) (2 pkt) Umba Umba, jedna z Murzynek zatrudnionych w tym zakładzie zachorowała na

bardzo poważną chorobę i przez cały najbliższy miesiąc nie będzie jej w pracy. Jadźka

powiedziała, że wypłaci jej zadośćuczynienie pod warunkiem, że Murzynka policzy o ile

zmniejszy to produkcję w zakładzie. Pomóż biednej Umbie Umbie, licząc krańcową

produkcyjność zatrudnienia. Przyjmij założenie, że nie są planowane żadne inne zmiany, a

wszystkie zatrudnione Murzynki pracują równie efektywnie.

c) (2 pkt) Policz krańcową stopę substytucji zatrudnienia kapitałem. O ile Jadźka powinna

zwiększyć wartość majątku zaangażowanego w proces produkcji tak aby produkcja w

kolejnym miesiącu nie zmieniła się mimo choroby Umby Umby?

Zadanie nr 4

Malwinka zbadała dwustu kierowców pod kątem tego czy w poprzednim roku mieli wypadek

samochodowy. Zbudowała model logitowy, w którym zmienną objaśnianą była zmienna

zerojedynkowa Y, pokazująca czy dany kierowca miał w poprzednim roku wypadek (1 – miał, 0 – nie

miał), zmiennymi objaśniającymi zaś były: X1 – wiek kierowcy (w pełnych latach), X2 – płeć (0 –

kobieta, 1 – mężczyzna), X3 – liczba przejechanych przez kierowcę kilometrów w poprzednim roku

(w km). Niestety, roztargniona Malwinka wylała kawę na wydrukowane wyniki estymacji modelu w

Gretlu, wskutek czego część danych stała się nieczytelna:

Model 1: Estymacja Logit, wykorzystane obserwacje 1-200

Zmienna zależna: y

współczynnik błąd standardowy t-Studenta efekt krańcowy

--------------------------------------------------------------------

const -1,34808 0,968654 -1,392

x1 -0,181776 0,0370113 -4,911 -0,0394743

x2 0,923417 0,4

30903 2,143 0,197425

x3 0,00187810 0,000268359 6,998 0,000407848

Średn.aryt.zm.zależnej 0,400000 Odch.stand.zm.zależnej 0,217160

McFadden R-kwadrat 0,434068 Skorygowany R-kwadrat 0,404351

Logarytm wiarygodności -76,17574 Kryt. inform. Akaike'a 16

0,3515

Liczba przypadków 'poprawnej predykcji' = 163 (81,5%)

f(beta'x) do średnich niezależnych zmiennych

= 0,217

Test ilorazu wiarygodności: Chi-kwadrat(3) = 116,853

Przewidywane

0 1

Empiryczne 0 103 17

1 2

0 60

Załamana Malwinka nie potrafiła na podstawie zaplamionego wydruku odpowiedzieć na kilka

poniższych pytań. Pomóż Malwince:

a) (2 pkt) Zinterpretuj wpływ płci kierowcy na to, czy miał on wypadek samochodowy.

b) (2 pkt) Oceń dopasowanie modelu do danych, licząc odpowiednią miarę dopasowania.

c) (2 pkt) Koleżanka Malwinki – Józka ma 20 lat, a w zeszłym roku przejechała swoim

samochodem 1200 km. Czy według oszacowanego modelu Józka miała w zeszłym roku

wypadek samochodowy?

d) (3 pkt) Gieniek i starszy do niego o rok Heniek w zeszłym roku przejechali samochodami taką

samą odległość. Wiedząc, że zgodnie z oszacowanym modelem prawdopodobieństwo, że

Gieniek miał wypadek wynosi 0,7 policz prawdopodobieństwo, że wypadek miał Heniek.

Zadanie nr 5

Poniższe wydruki przedstawiają oszacowanie modelu regresji zmiennej Y względem zmiennej X

(Model 1) oraz równanie dotyczące reszt z tej regresji – uhat1 (Model 2). W nazwie zmiennej na

wydruku literka „d” na początku oznacza przyrosty, a cyferka na końcu, po podkreślniku, rząd

opóźnienia. Wartość krytyczna testu ADF na poziomie istotności 0,05 i przy liczbie obserwacji 45

(dotyczy równania bez wyrazu wolnego i bez trendu) wynosi -1,95.

Model 1: Estymacja KMNK, wykorzystane obserwacje 1960-2006 (N = 47)

Zmienna zależna: Y

współczynnik błąd standardowy t-Studenta wartość p

---------------------------------------------------------------

const 1,22118 0,0449725 27,15 1,52e-029

X 0,955486 0,0139459 68,51 3,71e-047

Model 2: Estymacja KMNK, wykorzystane obserwacje 1962-2006 (N = 45)

Zmienna zależna: d_uhat1

współczynnik błąd standardowy t-Studenta wartość p

----------------------------------------------------------------

uhat1_1 -0,371284 0,0931913 -3,984 0,0003

d_uhat1_1 0,486653 0,128862 3,777 0,0005

a) (2 pkt) Oceń czy procesy Y i X są skointegrowane.

b) (1 pkt) Czy zależność pomiędzy procesami Y i X ma charakter równowagi długookresowej?

Uzasadnij.

c) (2 pkt) Zmienna Z podlega procesowi ARMA(3,2). W oszacowaniu parametrów tego modelu

wyraz wolny wyniósł 0, parametry części AR utworzyły ciąg arytmetyczny z pierwszym

wyrazem równym 0,3 i różnicą -0,1, a parametry części MA utworzyły ciąg geometryczny z

pierwszym wyrazem równym 0,4 i ilorazem 0,5. Zapisz oszacowanie modelu.

d) (2 pkt) Wyznacz prognozę zmiennej Z na okres t = 61 oraz t = 62, wiedząc, że Z60 = 10, Z59 =

9, Z58 = 11, Z57 = 9, e60 = 2, e59 = -1, e58 = 1, e57 = 0, gdzie et oznacza składnik resztowy z

okresu t.

Zadanie nr 6

Zależność konsumpcji Mani względem dochodu w kolejnych miesiącach opisuje model ADL z

jednym opóźnieniem zmiennej objaśnianej i dwoma opóźnieniami zmiennej objaśniającej. Parametr

przy jedynym opóźnieniu zmiennej objaśnianej wyniósł, zgodnie z oszacowaniem 0,2, zaś wyraz

wolny 0,3. Mnożnik krótkookresowy wynosi 0,5 zaś mnożnik długookresowy wynosi 0,75.

a) (2 pkt) Zapisz oszacowany model.

b) (1 pkt) Zinterpretuj wartość mnożnika krótkookresowego w tym modelu.

c) (2 pkt) Przypuśćmy, że w grudniu 2010 roku dochód Mani wzrasta o 600 PLN i stabilizuje się

na tym poziomie. O ile z tego tytułu będzie wyższa konsumpcja Mani w lutym 2011 roku w

porównaniu do listopada 2010 roku?