Nr albumu:
Kolokwium nr 1
26 listopada 2009 r.
Wariant Ź
Zadanie nr 1
Na podstawie danych o 373 powiatach w Polsce w roku 2000 oszacowano model
ekonometryczny objaśniający zależność produkcji sprzedanej przemysłu ( PROD_Pi w mln
PLN w cenach bieżących) od ludności powiatu ogółem ( LUDi), powierzchni użytków rolnych
wyrażonych jako % powierzchni ogólnej ( UZROLi), zużycia energii elektrycznej w
gospodarstwach domowych ( ENELi w GWh) oraz długości sieci gazowej rozdzielczej ( DSGRi
w km). Poniżej wydruk z oszacowania modelu (niektóre dane zostały ukryte pod
gwiazdkami):
Model 1: Estymacja KMNK, wykorzystane obserwacje 1-373
Zmienna zależna: PROD_P
współczynnik błąd standardowy t-Studenta wartość p
----------------------------------------------------------------
const -183,049 *** -0,6585 ***
LUD -0,00443980 *** -1,576 ***
UZROL 5,98154 *** 1,420 ***
ENEL 32,4623 *** 10,54 ***
DSGR 0,524053 *** *** 0,0405
Średn.aryt.zm.zależnej 1208,988 Odch.stand.zm.zależnej 2979,809
Suma kwadratów reszt 5,70e+08 Błąd standardowy reszt 1244,445
Wsp. determ. R-kwadrat 0,827464 Skorygowany R-kwadrat 0,825589
F(4, 368) 441,2220 Wartość p dla testu F 5,9e-139
Logarytm wiarygodności -3184,911 Kryt. inform. Akaike'a 6379,822
Kryt. bayes. Schwarza 6399,430 Kryt. Hannana-Quinna 6387,608
Test RESET na specyfikację -
Hipoteza zerowa: ***
Statystyka testu: F(2, 366) = ***
z wartością p = P(F(2, 366) > ***) = 0,1979
Test White'a na heteroskedastyczność reszt (zmienność wariancji resztowej) -
Hipoteza zerowa: ***
Statystyka testu: LM = ***
z wartością p = P(Chi-Square(14) > ***) = 0,0369559
Test na normalność rozkładu reszt -
Hipoteza zerowa: ***
Statystyka testu: Chi-kwadrat(2) = ***
z wartością p = 0,285591
1.1 Zinterpretuj oszacowanie parametru stojącego przy zmiennej LUD i zbadaj jej istotność.
1.2 Zbadaj, czy składnik losowy ma rozkład normalny.
1.3 Zbadaj, czy składnik losowy jest homo- czy heteroskedastyczny.
1.4 (*) Wiedząc, że krytyczna wartość statystyki F-Snedecora odpowiadająca 4,05%
poziomowi istotności i stopniom swobody 1 oraz 368 wynosi 4,23, jakiej wartości
współczynnika determinacji spodziewałbyś się w tym modelu po usunięciu zmiennej
DSGR?
Zadanie nr 2
Oszacowano model ekonometryczny, objaśniający wielkość kwartalnej sprzedaż piwa marki
Zębowe Mocne w pubie „Libacja” ( Zt w tys. l) za pomocą średniej kwartalnej ceny tego piwa
w tym pubie ( Lt w PLN) oraz średniej kwartalnej ceny tego piwa w sąsiednim pubie „Melina”
( Mt w PLN). Do estymacji użyto 16 kwartalnych obserwacji z lat 2005-2008 ( t = 1 dla
pierwszego kwartału roku 2005). Oszacowany model przedstawia się następująco:
15 0,7 0,5 .
Zaobserwowano również, że średnia kwartalna cena piwa marki Zębowe Mocne w pubie
„Melina” kształtuje się zgodnie z modelem liniowego trendu, którego postać oszacowano na
podstawie 4 kwartalnych obserwacji z roku 2008 ( t = 1 dla pierwszego kwartału roku 2008):
7 0,2.
2.1 Policz prognozę kwartalnej sprzedaży piwa marki Zębowe Mocne w pubie „Libacja” dla
ostatnich dwóch kwartałów roku 2009, wiedząc, że cena tego piwa w roku 2009 w tym
pubie była stała na poziomie 8 PLN.
2.2 Policz współczynnik rozbieżności dla prognozy wyliczonej w punkcie 2.1, wiedząc, że
rzeczywista sprzedaż piwa marki Zębowe Mocne w pubie „Libacja” wyniosła w trzecim
kwartale 2009 roku 13500 l, a w czwartym kwartale 2009 roku 14000 l.
2.3 Policz średni błąd prognozy ex ante dla prognozy ceny piwa marki Zębowe Mocne w
pubie „Melina” w trzecim kwartale 2009 roku, wiedząc że wariancja składnika losowego
w modelu objaśniającym
wyniosła 9 (tys. l)2.
2.4 (*) Jak zmieniłby się wynik w punkcie 2.3, gdyby parametry równania
nie były
szacowane lecz znane z góry i przyjęły dokładnie takie wartości jak oszacowania?
Wariancja składnika losowego również nie ulega zmianie.
Zadanie nr 3
W Utopii działają dwie wytwórnie czapek: „Puszysty Moherek” i „Marna Przykrywka”.
Firmy te różnią się funkcją produkcji, pokazującą zależność produkcji czapek od
zainwestowanego kapitału i siły roboczej. W firmie „Puszysty Moherek” produkcja dana jest
wzorem:
4,,,
zaś w firmie „Marna Przykrywka” wzorem:
90 8 2,
gdzie Y oznacza wielkość produkcji (w tys. PLN), K wielkość zainwestowanego kapitału (w
tys. PLN) a L liczbę zatrudnionych pracowników. W obu firmach zatrudnionych jest obecnie
81 pracowników, a wielkość kapitału zainwestowanego w proces produkcji wynosi 9000
PLN.
3.1 W której firmie większa jest krańcowa produkcyjność zatrudnienia? Zinterpretuj tę
wielkość dla obu firm.
3.2 Czy funkcje produkcji w firmach „Puszysty Moherek” i „Marna Przykrywka” są
jednorodne? Jeśli tak to jakie są efekty skali?
3.3 Firmy stanęły przed propozycją zatrudnienia nowych 5 osób kosztem zmniejszenia
kapitału o 1 tys. PLN. Sprawdź, posługując się krańcową stopą substytucji, czy ta
propozycja jest opłacalna dla firm.
3.4 (*) Jaka jest elastyczność substytucji zatrudnienia kapitałem w firmie „Stalowy
Gniot”? Co to oznacza?
Zadanie nr 4
Samorząd Studentów SGH, chcąc oszacować popyt na bilety na coroczny Bal Karnawałowy
przeprowadził wśród 500 studentów SGH badanie jakie czynniki sprzyjają kupieniu biletów
na bal. Studentów, oprócz tego czy wybierają się na bal, pytano też o ich rok studiów, płeć,
miesięczny dochód oraz fakt posiadania dziewczyny/chłopaka. Na podstawie badania
oszacowano model probitowy oraz logitowy, w których zmienną objaśnianą jest zmienna
zerojedynkowa Y, pokazująca czy student wybiera się na bal: 1 – wybiera się, 0 – nie wybiera
się. Zmienne objaśniające to: X 1 – dochód studenta (w PLN), X 2 – rok studiów, X 3 –
posiadanie dziewczyny/chłopaka (0 – nie posiada, 1 – posiada), X 4 – płeć (0 – kobieta, 1 –
mężczyzna). Wyniki estymacji zamieszczone są poniżej:
Model probitowy:
Model 1: Estymacja Probit, wykorzystane obserwacje 1-300
Zmienna zależna: Y
współczynnik błąd standardowy t-Studenta efekt krańcowy
--------------------------------------------------------------------
const -2,50496 0,385297 -6,501
X1 0,00185172 0,000315456 5,870 0,000466233
X2 -0,160310 0,0677277 -2,367 -0,0403634
X3 0,400652 0,198976 2,014 0,0950760
X4 -0,257011 0,182482 -1,408 -0,0650667
Średn.aryt.zm.zależnej 0,200000 Odch.stand.zm.zależnej 0,251783
McFadden R-kwadrat 0,180967 Skorygowany R-kwadrat 0,147660
Logarytm wiarygodności -122,9538 Kryt. inform. Akaike'a 255,9077
Kryt. bayes. Schwarza 274,4266 Kryt. Hannana-Quinna 263,3190
Liczba przypadków 'poprawnej predykcji' = 249 (83,0%)
f(beta'x) do średnich niezależnych zmiennych = 0,252
Test ilorazu wiarygodności: Chi-kwadrat(4) = 54,3338 [0,0000]
Przewidywane
0 1
Empiryczne 0 236 4
1 47 13
Model logitowy:
exp4,281 0,003 · %1 0,278 · %2 0,721 · %3 0,512 · %4
1|
1 exp4,281 0,003 · %1 0,278 · %2 0,721 · %3 0,512 · %4
Odpowiedz na poniższe pytania dotyczące oszacowanych modeli:
4.1 Zinterpretuj, na podstawie modelu probitowego, związek pomiędzy rokiem studiów
studenta a pójściem na Bal Karnawałowy.
4.2 Zinterpretuj, na podstawie modelu logitowego, związek pomiędzy płcią studenta a
pójściem na Bal Karnawałowy.
4.3 Dobromił jest studentem pierwszego roku, nie ma dziewczyny i dysponuje
miesięcznym dochodem równym 800 PLN. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
Dobromił pójdzie na bal na podstawie modelu logitowego?
4.4 (*) Klementyna nie ma chłopaka, a oszacowane na podstawie obydwu modeli
prawdopodobieństwo, że pójdzie na bal wynosi 0,2. Wybierz jeden z modeli i na jego
podstawie pokaż jak zmieni się prawdopodobieństwo pójścia na bal przez Klementynę
pod wpływem znalezienia chłopaka.
Zadanie nr 5
5.1 Na podstawie zawartych poniżej informacji oceń, czy procesy Y i X są
skointegrowane.
Model 1: Estymacja KMNK, wykorzystane obserwacje 1960-2006 (N = 47)
Zmienna zależna: Y
współczynnik błąd standardowy t-Studenta wartość p
---------------------------------------------------------------
const 1,22118 0,0449725 27,15 1,52e-029
X 0,955486 0,0139459 68,51 3,71e-047
Model 2: Estymacja KMNK, wykorzystane obserwacje 1962-2006 (N = 45)
Zmienna zależna: d_uhat1
współczynnik błąd standardowy t-Studenta wartość p
----------------------------------------------------------------
uhat1_1 -0,371284 0,0931913 -3,984 0,0003
d_uhat1_1 0,486653 0,128862 3,777 0,0005
Wartość krytyczna testu ADF na poziomie istotności 0,05 i przy liczbie obserwacji 45
(dotyczy równania bez wyrazu wolnego i bez trendu) wynosi -1,95. Zmienna uhat 1 są
to reszty oszacowane na podstawie Modelu 1.
5.2 Zależność konsumpcji Florentyny względem dochodu opisuje, po oszacowaniu,
następujący model Koycka:
& 0,04 0,3&'( 0,7,
gdzie Ct oznacza konsumpcję, a Yt oznacza dochód Florentyny w miesiącu t.
Przypuśćmy, że w grudniu 2009 roku dochód Florentyny spada o 200 PLN i
stabilizuje się na tym poziomie. O ile niższa będzie konsumpcja Florentyny w styczniu
2010 roku w porównaniu do listopada 2009 roku? Ile wynosi i co oznacza mnożnik
długookresowy w tym modelu?
5.3 Zapisz postać modeli MA(4), ARMA(4,1).
5.4 (*) Wyprowadź wzór na wariancję w procesie MA(1).