Odpowiedzi do zadań
Zadanie 1.1.1
a) 1 abc( a 2 + b 2 + c 2) b) 3 ln 2
3
Zadanie 1.1.2
√
a) 1
b) π 2 − 8
c) 11
d) 0 , 01
e) 40
f ) − 1 + ln
2
g) 7
48
16
3
8
192
Zadanie 1.1.3
a) 4 π R 5
b) 4 π a 5
c) πR
d) π
e) π
f ) 8 a 2
g) π h 2 R 2
15
15
2
10
6
9
4
√
√
h) 4 π a 3 bc
i) 3 π
j) 32 π
k) 16 π
l) 1 π
m) 2 π ( 2 − 1)
n) 8 2 π
15
8
3
10
3
35
Zadanie 1.1.4
√
a) 3
b) 55
c) πa 3
d) 2 πa 3
e) 16 π
f ) 38 π(2 −
2)
6
6
3
3
g) 4 πa
h) R 3 −r 3 π
i) 16 πR 6
j) 1 (5 a 3 + a)
k) 4 π
l) 32
3
3
12
3
3
m) 8 π
n) 4 π
o) 45
p) π
r) 4 π
3
3
Zadanie 1.2.1
√
√
√
√
a)
5 ln 2
b) arctg
10
c) 2 (5 5 − 2 2)
d) 24
e) 0
3
√
f ) 2 2 ( b 3 − a 3)
g) 2 πa 3
h) 2 π + 2
i) 1 ( π 2 + 12 π − 8 ln 2)
3
16
1
Zbiór zadań - Analiza matematyczna II
2
Zadanie 1.2.2
√
√
√
√
√
a)
a 2 + b 2(2 πa 2 + 8 π 3 b 2) b) 1 a 3(3 π + 2 2)
c)
3 − 2
2
d) 16
2
3
3
3
143
Zadanie 1.2.3
√
√
a) 21 π
b) 8
c) 5
d)
3
e)
2 a 2 + b 2
4
Zadanie 1.2.4
√
3 π
π
a)
2 ( e 4 + 3 e 4 − 4)
b) 2 π
3
Zadanie 1.2.5
a) 0
b) 0
c) − 17
d) π − 2
24
4
3
e) 0
f ) − 4
g) 2
h) − π
3
Zadanie 1.2.6
1
a) 1
b) − πa 2
c)
d) 13
e) 4
f ) 0
35
Zadanie 1.2.7
a) 10
b) πR 4
c) − 1
2
3
d) − 4
e) π − 4
f ) − 1 e 5 + 1 e 2 − 2 + 2
3
2
3
15
6
e
5
Zadanie 1.2.8
a) − 3
b) 63
c) − 1
2
2
√
d) 3
e) 1
f )
2 + 1
2
Zadanie 1.3.1
√
√
a)
3 a 3
b) 16
c) 54 14
d) 28
2
3
Zadanie 1.3.2
a) 0
b) 4 πR 4
c) ah(4 a + πh)
d) 30 π
3
Zbiór zadań - Analiza matematyczna II
3
Zadanie 1.3.3
√
√
√
a) 2 2 πp 2
b) 2 π ( 8 − 1)
c) 2 R 2 π − 1
d) 8 π(2 2 − 1)
3
2
3
Zadanie 1.3.4
a) 1 + π
b) 70 − 3 π
c) 0
60
3 · 28
3
2
d) − π
e) 38 π
f ) − 94
4
15
15
Zadanie 1.3.5
a) 1 kR 2(16 R + 3 πk)
b) 12 πa 5
c) 1
24
5
Zadanie 1.3.6
a) − 1 πR 6
b) − πa 2
c) 0
8
Zadanie 1.4.1
a) grad F = [ x 2 − 2 yz, y 2 − 2 xz, z 2 − 2 xy]
b) grad F = [ x, y, z]
h
i
h
i
c) grad F = 1 − 1 + y , x + x , − xy d) grad F =
y
, −x , 1
y
z
y 2
z
z 2
x 2+ y 2
x 2+ y 2
e) grad F = [ yz, xz, xy]
Zadanie 1.4.2
a) div ~
W = − 1 ,
rot ~
W = ~k
b) div ~
W = 2 z,
rot ~
W = − 2( x + y) ~k
c) div ~
W = 0 ,
rot ~
W = 0
d) div ~
W = 2 ,
rot ~
W = 0
r
e) div ~
W = − 1 y 2 − 2 zy − 2 xz, rot ~
W = y 2 ~i + z 2 ~j + xy~k 2
f ) div ~
W = 2 x + y + xz + 1 ,
rot ~
W = −xy~i + ~j + ( yz − x) ~k Zadanie 1.4.3
a) u( x, y) = xey − 2 y 2 + C, C ∈ R
b) u( x, y) = xexy + C, C ∈ R
c) nie
d) nie
e) nie
f ) u( x, y) = x 2 + 2 xy + y 3 + C, C ∈ R
√
g) u( x, y) =
x 2 + y 2 + C, C ∈ R
h) u( x, y, z) = x 3 + x 2 yz + y 2 + z 2 + 2 z + C, C ∈ R
i) nie
j) u( x, y, z) = 1 ( x 4 + y 4 + z 4) − 5 xyz + C, C ∈ R
4
k) u( x, y, z) = x 2 y + xz 2 + sin πz + C, C ∈ R
l) u( x, y, z) = xy + xz + yz + C, C ∈ R
Zbiór zadań - Analiza matematyczna II
4
Zadanie 1.4.4
a) 96 π + 256
b) 0
c) 5 π
3
d) 48 π
e) − 2 π f ) 4 π
Zadanie 1.4.5
a) 4 πR 2 H
b) − 4 π
c) 24 a 3
Zadanie 1.4.6
a) − 7
b) − π
c) πR 2
4
Zadanie 2.1.1
a) zbieżny
b) zbieżny
c) zbieżny
d) zbieżny
e) rozbieżny
f ) zbieżny
g) zbieżny
h) zbieżny
i) rozbieżny
Zadanie 2.1.2
a)
1
b) − 2
c) 1
e 2 − 1
3
4
d) 23
e) − ln 3
f ) 1 sin 1
4
2
√
g) 1
h) 1 −
2
i) 1
2
Zadanie 2.1.3
a) spełnia
b) spełnia
c) spełnia
d) spełnia
e) spełnia
f ) spełnia
g) spełnia
h) nie spełnia
i) spełnia
Zadanie 2.1.5
a) rozbieżny
b) zbieżny
c) rozbieżny
d) zbieżny
e) zbieżny
f ) zbieżny
g) rozbieżny
h) rozbieżny
i) rozbieżny
j) zbieżny
k) rozbieżny
l) rozbieżny
m) rozbieżny
n) zbieżny
o) rozbieżny
p) rozbieżny
q) zbieżny
r) rozbieżny
s) zbieżny
t) zbieżny
u) rozbieżny
v) zbieżny
Zbiór zadań - Analiza matematyczna II
5
Zadanie 2.1.6
a) rozbieżny
b) zbieżny
c) rozbieżny
d) rozbieżny
e) zbieżny
f ) zbieżny
g) zbieżny
h) zbieżny
i) rozbieżny
j) zbieżny
k) zbieżny
l) zbieżny
m) zbieżny
n) rozbieżny
o) rozbieżny
p) zbieżny
q) zbieżny
r) zbieżny
Zadanie 2.1.7
a) rozbieżny
b) zbieżny
c) zbieżny
d) zbieżny
e) zbieżny
f ) zbieżny
g) rozbieżny
h) rozbieżny
i) zbieżny
j) zbieżny
k) rozbieżny
l) zbieżny
m) zbieżny
n) rozbieżny
o) rozbieżny
p) zbieżny
r) zbieżny
s) zbieżny
t) zbieżny
u) zbieżny
v) zbieżny
Zadanie 2.1.8
a) zbieżny
b) zbieżny
c) zbieżny
d) zbieżny
e) zbieżny
f ) zbieżny
Zadanie 2.1.9
a) zbieżny bezwzględnie
b) zbieżny warunkowo
c) zbieżny warunkowo
d) zbieżny bezwzględnie
e) zbieżny warunkowo
f ) zbieżny warunkowo
g) zbieżny bezwzględnie
h) zbieżny bezwzględnie
i) zbieżny bezwzględnie
j) zbieżny warunkowo
k) zbieżny bezwzględnie
l) rozbieżny
m) zbieżny warunkowo
n) rozbieżny
o) zbieżny bezwzględnie
p) zbieżny bezwzględnie
r) zbieżny bezwzględnie
s) zbieżny warunkowo
t) zbieżny bezwzględnie
u) rozbieżny
v) zbieżny bezwzględnie
Zbiór zadań - Analiza matematyczna II
6
Zadanie 2.2.1
√
√
a) (0 , + ∞)
b) ( − 2 , − 2) ∪ ( 2 , 2) c) ( −∞, − 1) ∪ (1 , + ∞)
9 11
d)
e) <
f )
,
2
2
Zadanie 2.2.2
a) <
b) <
c) <
d) <
e) <
f ) <
Zadanie 2.2.3
√
3 2
e
a)
b)
c) 0
5
3
1
d) + ∞
e)
f ) 0
e
1
g) 1
h)
i) 2
4
Zadanie 2.2.4
1
1 1
a) R = 2 ,
x ∈ ( − 2 , 2)
b) R =
,
x ∈
− ,
2
2 2
c) R = 5 ,
x ∈ h− 5 , 5)
d) R = 3 ,
x ∈ (2 , 8 i
1
1 1
e) R = 3 ,
x ∈ ( − 3 , 3 i
f ) R =
,
x ∈
− ,
5
5 5
√
√
√
3
*
3
3 +
g) R =
,
x ∈
−
,
h) + ∞
2
2
2
√
√ √
i) R =
3 ,
x ∈ − 3 ,
3
j) R = 1 ,
x ∈ h− 1 − e, 1 − e)
k) R = 0
l) R = 1 ,
x ∈ h 4 , 6)
ł) R = 2 ,
x ∈ ( − 1 , 3)
m) R = 3 ,
x ∈ h− 3 , 3 i
n) R = 3 ,
x ∈ ( − 3 , 3 i
o) R = 1 ,
x ∈ 29 , 31
20
20
20
p) R = 2 ,
x ∈ ( − 4 , 0)
r) R = + ∞
√
√
√
s) R = 1 ,
x ∈ h− 3 , − 1 i
t) R =
5 ,
x ∈ − 5 − 1 ,
5 − 1
2
1 5
u) R =
,
x ∈
,
v) R = 2 ,
x ∈ (0 , 4 i
3
3 3
E
w) R = 3 ,
x ∈ h− 1 , 2 i
x) R = 7 ,
x ∈ − 7 , 7
2
2
2
2
Zbiór zadań - Analiza matematyczna II
7
Zadanie 2.4.1
∞
a)
f ( x) = 2 P ( − 1) n sin nx n 2 − 1
n=2
∞
b)
f ( x) = − 1 + e 2 π− 1
1 + P cos nx − n sin nx
π
2
n 2+1
n 2+1
n=1
∞
c)
f ( x) = 1 − 4 P cos(2 n− 1) x 2
π 2
(2 n− 1)2
n=1
∞
d)
f ( x) = π − 4 P cos(2 n− 1) x 2
π
(2 n− 1)2
n=1
e)
∞
f)
f ( x) = 4 P sin(2 n− 1) x
π
(2 n− 1)2
n=1
∞
g)
f ( x) = 2 − π P cos 2 nx
π
4
4 n 2 − 1
n=1
∞
(2 n− 1) πx
cos
h)
f ( x) = 24 P
6
π 2
(2 n− 1)2
n=1
∞ ( − 1) n cos nπx
i)
f ( x) = 1 + 16 P
2
3
π 2
n 2
n=1
∞
j)
f ( x) = 2 sinh π 1 + P ( − 1) n (cos nx − n sin nx) π
2
n 2+1
n=1
√
∞
k)
f ( x) = 1 − 3 2 P
1
cos 2 πnx +
1
cos(2 n− 1) πx
3
π 2
4 n 2
3
(2 n− 1)2
3
n=1
∞
l)
f ( x) = π + P ( ( − 1) n cos nx − 3( − 1) n sin nx) 4
πn 2
n
n=1
∞
m) f ( x) = π+1 + 1 P
2 ( − 1) n− 1 cos nx − ( − 1) n(2 π− 1) − 1 sin nx 2
π
n 2
n
n=1
∞
n)
f ( x) = 2 P n(1 −( − 1) n) sin nx π
n 2 − 1
n=1
∞
o)
f ( x) = 3 P
−
4
(( − 1) n + 1) cos nπx + ( 1 − 8 ( − 1) n) sin nπx 8
( nπ)2
4
nπ
nπ 2
4
n=1
∞
p)
f ( x) = 1 + 1 P
( − 1) n− 1 cos nx + 1 sin nx
4
π
n
n
n=1
Zadanie 2.4.2
∞
π(2 n− 1) x
( − 1) n sin
∞
a) f ( x) = 8 P
2
b) f ( x) = P sin 2 nx
π 2
(2 n− 1)2
2 n
n=1
n=1
∞
c)
f ( x) = P sin nx
d) f ( x) =
n
n=1
Zadanie 2.4.3
∞
∞
f ( x) = 8 P sin(2 n− 1) x ,
P
( − 1) n− 1 = π 3
π
(2 n− 1)3
(2 n− 1)3
8
n=1
n=1
Zbiór zadań - Analiza matematyczna II
8
Zadanie 2.4.4
∞
∞
a)
f ( x) = π − 4 P cos(2 n− 1) x , P
1
= − 3 π 2
2
π
(2 n− 1)2
(2 n− 1)2
8
n=1
n=1
∞
∞
b) f ( x) = 1 + 4 P sin nx ,
P
( − 1) n = −π
2
π
2 n− 1
2 n− 1
8
n=1
n=1
∞
c)
f ( x) = − 2 P ( − 1) n+1 n sin nx, n 2 − 1
n=1
∞
d) f ( x) = 1 + 4 P sin(2 n− 1) x , 2
π
2 n− 1
n=1
Zadanie 3.1.1
a)
y = C · x 3
i
y ≡ 0
y
2
b) arctg
= −
+ C
2
x
x
c)
y 2 = 2 + Cx
√
1 √
d)
y =
x 3 + C
i
y ≡ 0
3
π
e)
tg y = x ln x − x + C
i
y =
+ kπ, k ∈ Z
2
1
2
f)
− − 3 ln |y| = ln |x| −
+ C
i
y ≡ 0
y
x
Zadanie 3.1.2
3
a)
y = − x 3
1
2
b) ey =
e 3 x +
3
3
1
c)
y = x + 1
d) ln | sin y| = −x 2
√
e)
y = x ln x − x + 1
f)
y = 1 + ex
Zbiór zadań - Analiza matematyczna II
9
Zadanie 3.1.3
a)
ln | y − 1 | − x = − ln |x| + C
x
y−x
−x
√
b)
= ln |C
x|
y − x
c)
sin y
= ln | C |
x
x
2
d) − 1 ln | 1 + y
| + arctg
y
= ln |Cx|
2
x
x
e)
arcsin y
= ln |Cx|
x
f)
e− yx = − ln |Cx|
Zadanie 3.1.4
a)
y 2 = 2 x 2 ln |xe|
b) y = x ln |ex|
y
y
1
y 2
c)
arctg
−
ln
+ 1 = ln |x|
x
x
2
x
y 2
d)
− 2 y = 2 x − 1
x 2
x
1
e)
√
=
x
x 2 + y 2
2
y
f)
ln
= x
x
Zadanie 3.1.5
C
a)
y = x 2
q
b) y = C
| 1 − x 2 |
s C 2(1 − cos x)
c)
y =
1 + cos x
d) y = Ce− 1 x 2
2
e)
y = Cx
x − 1
f)
y = C x − 2
Zbiór zadań - Analiza matematyczna II
10
Zadanie 3.1.6
C
1
a)
y =
+
x 2
x 3
5
b) y = Ce− sin x + xe− sin x c)
y = − 2 cos2 x + C cos x d) y = C(1 + x 2) + x + x 3
1
1
e)
y = Cex −
x sin x −
( x + 1) cos x
2
2
f)
y = Ce− 2 x + (5 x 2 − 2 x + 2 ) e 3 x 5
g)
y = Ce 4 x + ( 1 x 2 + x) e 4 x 2
h) y = Cex + ex sin x − 3 ex cos x Zadanie 3.1.7
a)
y = 2 e− sin x + sin x − 1
b) y = 1
1
c)
y =
( x 2 + 1)
3
1
d) y =
(1 + ( x − 1) ex)
x
√
e)
y = x +
1 − x 2
Zadanie 3.1.8
a)
y = 4 e−x + 2 x − 2
b) y = 4 e 5 x + xe 5 x
5
c)
y = 2 e 4 x + e 4 x( 2 x 3 − cos x) 3
d) y = 3 ex + 5 (sin x − cos x) + 3 (sin 2 x + 2 cos 2 x) 10
2
5
e)
y = 1 e− 2 x + e 3 x( 3 cos x + 11 sin x) 26
26
26
Zbiór zadań - Analiza matematyczna II
11
Zadanie 3.1.9
1
a)
y = Cex − x − 1
√
b)
y = Cx 2 + 1 x 2 ln |x|
2
1
c)
y = Cx + ln x + 1
1
d)
= C cos3 − 3 cos3 x 1 − sin2 x y 3
Zadanie 3.1.10
1
a)
y = ln x + 1
4
b) y 2 = 4 − 3 ex 2
1
c)
y = √
2 1 − x 2 − 1
2 ex
d) y = 2 e − xex 2
Zadanie 3.1.11
a)
C = 3 x 2 y 2 − 1 x 3 − 2 y 3 − y 2
3
b) C = x ln y − x 2 − y 2
1
sin2 x
c)
C =
( x 2 + y 2) +
2
y 2
√
d) C =
x 2 + y 2 + yx
Zadanie 3.1.12
a)
x 3 ey − y = − 1
b) xy = 8
3
c)
x + 1 ( x 2 + y 2) 2 − 1 y 2 = 4
3
2
3
d) x + ey = ey
e)
ey + x 2 e−y − 2 x = 4
Zbiór zadań - Analiza matematyczna II
12
Zadanie 3.2.1
a)
y 0 = C 1 cos 2 x + C 2 sin 2 x + C 3 ex
√
√
√
√
b) y
3 x
3 x
3 x
3 x
0 = C 1 e
+ C 2 xe
+ C 3 e−
+ C 4 xe−
c)
y 0 = C 1 + C 2 x + C 3 x 2 + C 4 cos 3 x + C 5 sin 3 x d) y 0 = C 1 + C 2 cos 2 x + C 3 x cos 2 x + C 4 sin 2 x + C 5 x sin 2 x e)
y 0 = C 1 ex + C 2 e 2 x sin 3 x + C 3 e 2 x cos 3 x f)
y 0 = C 1 + C 2 x + C 3 e−x + C 4 xe−x g)
y 0 = C 1 e−x + C 2 xe−x + C 3 x 2 e−x + C 4 x 3 e−x h) y 0 = C 1 + C 2 x + C 3 x 2 + C 4 x 3 + C 5 e−x + C 6 xe−x + C 7 x 2 e−x Zadanie 3.2.2
√
√
a)
y = − 6 e 2 x − 1
√ e−x sin
3 x + 1 e−x cos
3 x
2
3
6
b) y = − 2 + cos x + ex
c)
y = 7 + 1 e−x cos 3 x + 5 e−x sin 3 x 4
4
12
d) y = 2 ex − 2 e− 2 x − 2 xe− 2 x 9
9
3
e)
y = 2 ex + 1 e− 3 x + ex(cos x + sin x) 2
Zadanie 3.2.3
a)
y = C 1 e 2 x + C 2 xe 2 x + 1 x 3 e 2 x 6
b) y = C 1 ex + C 2 xex + C 3 e− 2 x + ( x 2 + x − 1) e−x c)
y = C 1 + C 2 cos 2 x + C 3 sin 2 x − 3 x cos 2 x − 1 x sin 2 x 8
2
d) y = C 1 e 2 x + C 2 e 3 x − 1 sin 3 x − 1 cos 3 x 6
2
e)
y = C 1 cos 3 x + C 2 sin 3 x + ex( 1 cos 3 x + 6 sin 3 x) 37
37
f)
y = C 1 e−x cos x + C 2 e−x sin x − xe−x cos x g)
y = C 1 cos 2 x + C 2 sin 2 x + ( 1 x 2 + 5 x) cos 2 x + ( 5 x 2 + 7 x) sin 2 x 8
16
8
16
h) y = C 1 + C 2 x + C 3 x 2 + C 4 cos 2 x + C 5 sin 2 x + 1 ex + 3 x sin 2 x + 1 x 3
5
32
24
i)
y = C 1 cos x + C 2 sin x + 2 x sin x + ( 1 x 2 − x + 1) ex 2
j)
y = C 1 ex + C 2 e−x + C 3 cos x + C 4 sin x − ex sin x − x 4 − 24
k) y = C 1 ex + C 2 e 2 x + 3 x + 9 + 3 cos 2 x − 1 sin 2 x 2
4
4
4
Zbiór zadań - Analiza matematyczna II
13
Zadanie 3.2.4
a)
y = e 2 x + ex( −x 2 − x + 1) b) y = − cos x − 1 sin x + 1 sin 2 x 3
3
c)
y = 4 + e− 2 x − 3 xe−x
d) y = − 1 − x + 1 ex + 1 sin x + 1 cos x 2
2
2
e)
y = a − 1 + (1 − a) x + a x 2 + ( 1 − a) e−x − 1 sin x + 1 cos x 2
2
2
2
f)
y = e 3 x − 3 xe 3 x + 1 x 2 + 1 x + 1
9
27
3
g)
y = 3 π cos 2 x + 1 sin 2 x + x sin 2 x − x cos 2 x 2
h) y = 2 xex − 3 ex + 2 e−x + 2 sin x + cos x i)
y = 3 e 2 x cos x − 2 e 2 x sin x + ex( x 2 − 1) j)
y = πex cos x + ( − 3 π − 2) ex sin x + 2 ex( x sin x + cos x) k) y = 11 − 11 ex + 9 xex + 2 x − 12 x 2 ex + 1 e 5 x 2
Zadanie 3.2.5
a)
y = C
1+sin x
1 cos x + C 2 sin x − 1 − cos2 x + 1 sin x ln
+ sin2 x
2
1 − sin x
b) y = C 1 + C 2 ex + (1 + ex) (ln(1 + ex) − x) − 1
c)
y = C
1+sin x
1 + C 2 cos x + C 3 sin x + 1 ln
− x cos x + sin x · ln | cos x|
2
1 − sin x
d) y = C 1 + C 2 ex − cos( ex) e)
y = C 1 e− 2 x + C 2 xe− 2 x + x 2 e− 2 x( 3 ln x − 5 ) 2
4
f)
y = C 1 + C 2 ex − ln x