WIMiR - Egzamin z matematyki (termin I i II)

Zad.1a. Uzupełnij definicję granicy jednostronnej (wersja Heinego) i zilustruj w układzie współrzędnych

def

lim f ( x)   

(

 x )





n



x

1



b. Poprzez kolejne zastosowanie praw logicznych (nazwij i zacytuj je) utwórz zaprzeczenie powyższej definicji



 (

 x )



n

c. Naszkicuj wykresy funkcji x  arcsin x , x  x 1 i wykorzystaj je do obliczenia



lim

x2

arcsin( x  )

1

Zad.2a. Podaj interpretację geometryczną twierdzenia Lagrange’a dla funkcji 2

f ( x)  (

 x  )

1

na przedziale 1

[ , 3] oraz znajdź punkt  o którym mowa w tezie twierdzenia. Zrób rysunek.

b. Napisz równania dwóch prostych: odpowiedniej stycznej i siecznej.

Zad.3a. Wyjaśnij co to jest całka niewłaściwa I rodzaju, podaj odpowiednie wzory definicyjne i zrób dwa rysunki

 1

b. Oblicz 

dx

2

x

1

c. Całka niewłaściwa ( z pkt. b) pozwala rozstrzygnąć czy istnieje pole pewnej figury (nieskończonej). Naszkicuj tę figurę. Czy ma ona skończone pole ?

x

Zad.4a. Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f ( x) 

i zbadaj istnienie ekstremów

ln x

lokalnych. Wyniki przedstaw na osi liczbowej.

b. Zbadaj charakter wypukłości tej funkcji i zbadaj istnienie punktów przegięcia. Wynik przedstaw symbolicznie na osi liczbowej.

Zad.5. Oblicz zapisując kolejno wszystkie przekształcenia i cytując wzory z których korzystasz

a. Korzystając z definicji (wersja z x  x ) pochodną funkcji f ( x)  3 2

x  x 1 w punkcie

0

x  1

0

5 n

 2 n  3 

b. Granicę ciągu 



 n

3  2 

x



3

 x 4 

c. Granice funkcji lim 



x



 x  5 

Zad.6a. Uzupełnij definicję funkcji rosnącej Funkcja f jest rosnąca 

x

 , x  D prawdziwa jest implikacja  

1

2

f

b. Poprzez kolejne zastosowanie praw logicznych (zacytuj je) utwórz zaprzeczenie powyższej definicji



 x

 , x  D

1

2

f





c. Znajdź przedziały monotoniczności oraz zbadaj istnienie ekstremów lokalnych funkcji 1  x

f ( x)  arctg

. Wyniki przedstaw symbolicznie na osi liczbowej.

1  x

ln x

Zad.7. Podaj (w postaci kierunkowej) równanie stycznej k do wykresu funkcji f ( x) 

w

x

jej punkcie przegięcia i opisz (bez znajdowania dodatkowych stycznych) wzajemne położenie wykresu funkcji f oraz stycznych k1 i k2 gdzie k1 styczna do f w punkcie x  e a k 1

2

styczna do f w punkcie

2

x  e

2

1

Zad.8a. Podaj interpretację twierdzenia Lagrange’a dla funkcji 2

f ( x) 

( x  )

2 na

2

przedziale [0, 6 ] oraz znajdź punkt  o którym mowa w tezie twierdzenia b. Zacytuj w formie implikacji wnioski z twierdzenia Lagrange’a dotyczące badania monotoniczności funkcji

Zad.9a. Wyjaśnij co to jest całka niewłaściwa I rodzaju, podaj odpowiednie wzory definicyjne i zrób dwa rysunki



3

( arctgx)

b. Oblicz 

dx

4 

2

(2 x)

1

Zad.10. Oblicz zapisując kolejno wszystkie przekształcenia i cytując wzory z których korzystasz

a. Korzystając z definicji (wersja z x  x ) pochodną funkcji f ( x) 

x 1 w punkcie

0

x  3

0

2

1



 3 n 

n

2 

b. Granicę ciągu 



 3 n  5 

c. Całkę nieoznaczoną z funkcji f ( x)  arccos x Zad.11a. Uzupełnij definicję granicy jednostronnej (wersja Heinego) i zilustruj w układzie współrzędnych

def

lim f ( x)  2 

(

 x )





n



x4

b. Poprzez kolejne zastosowanie praw logicznych (nazwij i zacytuj je) utwórz zaprzeczenie powyższej definicji



 (

 x )



n

c. Naszkicuj wykresy funkcji x  arctgx , x  1 x i wykorzystaj je do obliczenia 1

lim arctg



x1

1  x

Zad.12a. Podaj interpretację geometryczną twierdzenia Lagrange’a dla funkcji 2

f ( x)  (

 x  )

1 na przedziale [ 3

 , 1] oraz znajdź punkt  o którym mowa w tezie twierdzenia. Zrób rysunek.

b. Napisz równania dwóch prostych: odpowiedniej stycznej i siecznej.

Zad.13a. Wyjaśnij co to jest całka niewłaściwa II rodzaju, podaj odpowiednie wzory definicyjne i zrób dwa rysunki

1

 1 dx

b. Oblicz

x

0

c. Całka niewłaściwa ( z pkt. b) pozwala rozstrzygnąć czy istnieje pole pewnej figury (nieskończonej). Naszkicuj tę figurę. Czy ma ona skończone pole ?

x

Zad.14a. Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f ( x) 

i zbadaj istnienie

ln x

ekstremów lokalnych. Wyniki przedstaw na osi liczbowej.

b. Zbadaj charakter wypukłości tej funkcji i zbadaj istnienie punktów przegięcia. Wynik przedstaw symbolicznie na osi liczbowej.

Zad.15. Oblicz zapisując kolejno wszystkie przekształcenia i cytując wzory z których korzystasz

a. Korzystając z definicji (wersja z h  0 ) pochodną funkcji f ( x)  2 2

x  x 1 w punkcie

x  1



0

4 n

 n

3  2 

b. Granicę ciągu 



 2 n  3 

x



2

 x 5 

c. Granice funkcji lim 



x



 x  4 

Zad.16a. Uzupełnij definicję funkcji malejącej Funkcja f jest malejąca 

x

 , x  D prawdziwa jest implikacja  

1

2

f

b. Poprzez kolejne zastosowanie praw logicznych (zacytuj je) utwórz zaprzeczenie powyższej definicji



 x

 , x  D

1

2

f





c. Znajdź przedziały monotoniczności oraz zbadaj istnienie ekstremów lokalnych funkcji x 2  2 x  7

f ( x) 

. Wyniki przedstaw symbolicznie na osi liczbowej.

x

e

ln x

Zad.17. Podaj (w postaci kierunkowej) równanie stycznej k do wykresu funkcji f ( x) 

w

x

jej punkcie przegięcia i opisz (bez znajdowania dodatkowych stycznych) wzajemne położenie wykresu funkcji f oraz stycznych k x 

1 i k2 gdzie k1 styczna do f w punkcie 1 a k

1

2 styczna

do f w punkcie x  20

2

1

Zad.18a. Podaj interpretację twierdzenia Lagrange’a dla funkcji 2

f ( x) 

( x  )

2 na

2

przedziale [0, 6 ] oraz znajdź punkt  o którym mowa w tezie twierdzenia b. Zacytuj w formie implikacji wnioski z twierdzenia Lagrange’a dotyczące badania monotoniczności funkcji

Zad.19a. Wyjaśnij co to jest całka niewłaściwa I rodzaju, podaj odpowiednie wzory definicyjne i zrób dwa rysunki



3

( arctgx)

b. Oblicz 

dx

4 

2

(2 x)

1

Zad.20. Oblicz zapisując kolejno wszystkie przekształcenia i cytując wzory z których korzystasz

a. Korzystając z definicji (wersja z h  0 ) pochodną funkcji f ( x) 

x 1 w punkcie

x  3

0

2

1



 3 n 

n

2 

b. Granicę ciągu 



 3 n  5 

c. Całkę nieoznaczoną z funkcji f ( x)  arcsin x