Zadanie 1. Niech E, F beda przestrzeniami liniowymi unormowanymi i niech A : E → F bedzie odwzorowaniem ι
ι
ι
liniowym.
a) Prosze podać definicje ciagÃlości A w punkcie x ι
ι
ι
0 ∈ E.
b) Prosze podać definicje ograniczoności A.
ι
ι
c) OdwoÃlujac sie do podanych definicji prosze udowodnić, że jeżeli A jest ograniczony to jest ciagÃly w punkcie ι
ι
ι
ι
x 0 = 0 .
d) OdwoÃlujac sie do podanych definicji prosze udowodnić, że jeżeli A jest jest ciagÃly w punkcie x ι
ι
ι
ι
0 = 0 to jest
ograniczony.
Zadanie 2. Niech E := ( C[ − 1 , 1] , k.k) bedzie przestrzenia funkcji ciagÃlych z norma ι
ι
ι
ι
kuk := sup {|u( t) |; t ∈ [ − 1 , 1] }. Niech X := {u ∈ E; u(0) = 0 }, Y := {u ∈ E; u(0) = 1 }
a) Prosze udowodnić, że X i Y sa domknietymi podzbiorami przestrzeni E.
ι
ι
ι
b) Prosze udowodnić, że X jest podprzestrzenia liniowa przestrzeni E.
ι
ι
ι
c) Prosze udowodnić, że Y nie jest podprzestrzenia liniowa przestrzeni E.
ι
ι
ι
d) Prosze udowodnić, że X jest przestrzenia Banacha.
ι
ι
Zadanie 3. Niech X bedzie przestrzenia Banacha zdefiniowana w poprzednim punkcie. Niech ι
ι
ι
A : X → X bedzie odwzorowaniem liniowym zdefiniowanym wzorem ι
( A( u))( t) := (1 − t 2) u( t) a) Prosze udowodnić, że kAk ≤ 1 .
ι
b) Czy istnieje element u ∈ X taki, że kuk = 1 oraz kA( u) k = 1?
1
ι
Egzamin z analizy funkcjonalnej.
Zadanie 1. Niech E bedzie przestrzenia liniowa unormowana.
ι
ι
ι
ι
a) Prosze podać definicje zbieżności ciagu {x
ι
ι
ι
n}∞
n=1 , xn ∈ E.
b) OdwoÃlujac sie do podanej definicji prosze udowodnić, że jeżeli ciagi {x zbieżne,
ι
ι
ι
ι
n}∞
n=1 , {yn}∞
n=1 , xnyn ∈ E, sa ι
to
lim ( xn + yn) = lim xn + lim yn n→∞
n→∞
n→∞
oraz
lim kxn + ynk = k lim xn + lim ynk n→∞
n→∞
n→∞
Zadanie 2.
a) Prosze podać definicje ograniczonego operatora liniowego określonego w przestrzeni Banacha E i przyjmujacego ι
ι
ι
wartości w przestrzeni Banacha F. Prosze podać definicje normy takiego operatora.
ι
ι
b) Prosze sformuÃlować i udowodnić twierdzenie o normie zÃlożenia operatorów liniowych ograniczonych.
ι
c) Niech E := ( C[ − 1 , 1] , k.k) bedzie przestrzenia funkcji ciagÃlych z norma kuk := sup {|u( t) |; t ∈ [ − 1 , 1] }. Prosze ι
ι
ι
ι
ι
udowodnić, że operator A : E → E dany wzorem ( A( u))( t) := (2 − t 2) u( t) jest liniowy, ograniczony i wyliczyć jego norme.
ι
d) Niech EF := ( C[ − 10 , 10] , k.k) bedzie przestrzenia funkcji ciagÃlych z norma kuk := sup {|u( t) |; t ∈ [ − 10 , 10] }.
ι
ι
ι
ι
Operator B : F → F dany wzorem
( A( u))( t) := (2 − t 2) u( t) jest liniowy, ograniczony. Prosze wyliczyć jego norme.
ι
ι
Zadannie 3.
a) Prosze podać definicje liniowego symetrycznego ograniczonego operatora dziaÃlajacego w przestrzeni Hilberta ι
ι
H.
b) Prosze udowodnić, że wzór
ι
A( x) := {y 1 , y 1 , . . . , yn, . . . }, x = {x 1 , x 2 , . . . , xn, . . . }
gdzie
x 1 ,
dla n = 1;
yn =
x
n+1 ,
dla n = 2 k;
xn− 1 ,
dla n = 2 k + 1 > 1 .
definiuje symetryczny operator A : l 2 → l 2 .
2
a) Prosze podać definicje liniowego symetrycznego ograniczonego operatora dziaÃlajacego w przestrzeni Hilberta ι
ι
H.
b) Prosze udowodnić, że wzór
ι
A( x) := { 3 x 2 , 3 x 1 , 3 x 4 , 3 x 2 , . . . }
definiuje symetryczny operator A : l 2 → l 2 .
c) Prosze udowodnić, że A nie jest zwarty.
ι
d) Prosze znaleźć wartości wÃlasne A.
ι
Imie i Nazwisko:
ι
Egzamin z analizy funkcjonalnej.
Zadanie 1. Niech E bedzie przestrzenia liniowa unormowana.
ι
ι
ι
ι
a) Prosze podać definicje zbieżności ciagu {x
ι
ι
ι
n}∞
n=1 , xn ∈ E.
b) OdwoÃlujac sie do podanej definicji prosze udowodnić, że jeżeli ciagi {x ι
ι
ι
ι
n}∞
n=1 , {yn}∞
n=1 , xn, yn ∈ E, sa ι
zbieżne, to
lim ( xn + yn) = lim xn + lim yn n→∞
n→∞
n→∞
oraz
lim kxn + ynk = k lim xn + lim ynk n→∞
n→∞
n→∞
Zadanie 2.
a) Prosze podać definicje ograniczonego operatora liniowego określonego w przestrzeni Banacha E i przyjmujacego ι
ι
ι
wartości w przestrzeni Banacha F. Prosze podać definicje normy takiego operatora.
ι
ι
b) Prosze sformuÃlować i udowodnić twierdzenie o normie zÃlożenia operatorów liniowych ograniczonych.
ι
c) Niech E := ( C[ − 1 , 1] , k.k) bedzie przestrzenia funkcji ciagÃlych z norma kuk := sup {|u( t) |; t ∈ [ − 1 , 1] }. Prosze ι
ι
ι
ι
ι
udowodnić, że operator A : E → E dany wzorem ( A( u))( t) := (2 − t 2) u( t) jest liniowy, ograniczony i wyliczyć jego norme.
ι
d) Niech F := ( C[ − 10 , 10] , k.k) bedzie przestrzenia funkcji ciagÃlych z norma kuk := sup {|u( t) |; t ∈ [ − 10 , 10] }.
ι
ι
ι
ι
Operator B : F → F dany wzorem
( B( u))( t) := (2 − t 2) u( t) jest liniowy, ograniczony. Prosze wyliczyć jego norme.
ι
ι
Zadanie 3.
a) Prosze podać definicje liniowego symetrycznego ograniczonego operatora dziaÃlajacego w przestrzeni Hilberta ι
ι
ι
H.
b) Prosze udowodnić, że wzór
ι
A( x) := {x 1 , x 3 , x 2 , x 5 , x 4 , . . . }
( tzn.
x 1 ,
dla n = 1;
yn =
x
n+1 ,
dla n = 2 k;
xn− 1 ,
dla n = 2 k + 1 > 1 .
gdzie y = A( x) )
definiuje symetryczny operator A : l 2 → l 2 .
c) Jakie sa wartości wÃlasne i wektory wÃlasne A?
ι
3
Egzamin z analizy funkcjonalnej.
Zadanie 1. Niech E bedzie przestrzenia liniowa unormowana.
ι
ι
ι
ι
a) Prosze podać definicje zbieżności ciagu {x
ι
ι
ι
n}∞
n=1 , xn ∈ E.
b) OdwoÃlujac sie do podanej definicji prosze udowodnić, że jeżeli ciagi {x ι
ι
ι
ι
n}∞
n=1 , {αn}∞
n=1 , xn ∈ E, αn ∈ R , sa ι
zbieżne, to
lim ( αnxn) = lim αn lim xn
n→∞
n→∞
n→∞
oraz
lim kαnxnk = k lim αn lim xnk n→∞
n→∞
n→∞
Zadanie 2.
a) Prosze podać definicje ograniczonego operatora liniowego określonego w przestrzeni Banacha E i przyjmujacego ι
ι
ι
wartości w przestrzeni Banacha F. Prosze podać definicje normy takiego operatora.
ι
ι
b) Prosze sformuÃlować i udowodnić twierdzenie o normie zÃlożenia operatorów liniowych ograniczonych.
ι
c) Niech E := ( C[ − 1 , 1] , k.k) bedzie przestrzenia funkcji ciagÃlych z norma kuk := sup {|u( t) |; t ∈ [ − 1 , 1] }. Prosze ι
ι
ι
ι
ι
udowodnić, że operator A : E → E dany wzorem ( A( u))( t) := ( t 2 − 2) u( t) jest liniowy, ograniczony i wyliczyć jego norme.
ι
d) Niech F := ( C[ − 10 , 10] , k.k) bedzie przestrzenia funkcji ciagÃlych z norma kuk := sup {|u( t) |; t ∈ [ − 10 , 10] }.
ι
ι
ι
ι
Operator B : F → F dany wzorem
( B( u))( t) := ( t 2 − 2) u( t) jest liniowy, ograniczony. Prosze wyliczyć jego norme.
ι
ι
Zadanie 3.
a) Prosze podać definicje liniowego symetrycznego ograniczonego operatora dziaÃlajacego w przestrzeni Hilberta ι
ι
ι
H.
b) Prosze udowodnić, że wzór
ι
A( x) := {x 1 , x 2 , x 4 , x 3 , x 6 , x 5 , . . . }
( tzn.
xn,
dla n = 1 , 2;
yn =
x
n− 1 ,
dla n = 2 k > 2;
xn+1 ,
dla n = 2 k + 1 > 2 .
gdzie y = A( x) )
definiuje symetryczny operator A : l 2 → l 2 .
c) Jakie sa wartości wÃlasne i wektory wÃlasne A?
ι
4
ι
Zadanie 1.
a) Prosze podać definicje ograniczonego operatora liniowego określonego w przestrzeni Banacha E i przyjmujacego ι
ι
ι
wartości w przestrzeni Banacha F. Prosze podać definicje normy takiego operatora.
ι
ι
b) Niech x = {x 1 , x 2 , x 3 , . . . , xn, . . . } ∈ l 2
Prosze udowodnić, że wzór
ι
1
1
1
A( x) := { 0 , (1 − ) x
) x
) x
2
2 , (1 − 3 3 , . . . , (1 − n n, . . . }
definiuje ograniczony operator A : l 2 → l 2 .
c) Prosze udowodnić, że kAk ≤ 1 .
ι
d) Prosze udowodnić, że kAk = 1 .
ι
Zadanie 2.
a) Niech H bedzie przestrzenia Hilberta. Prosze podać definicje liniowego ograniczonego funkcjonaÃlu ξ : H → R .
ι
ι
ι
ι
b) Prosze udowodnić, że liniowy ograniczony funkcjonaÃl ξ : H → R jest ciagÃly.
ι
ι
c) Ustalmy element a ∈ H i przyjmijmy
ξ( x) := < x, a >
Prosze udowodnić, że tak zdefiniowany funkcjonaÃl jest ograniczony i ι
kξk = kak
d) Prosze sformuÃlować twierdzenie Riesza (o postaci funkcjonaÃlu liniowego ograniczonego w przestrzeni ι
Hilberta).
5