Zagadnienia do egzaminu z analizy funkcjonalnej (2007/8)

1. Kryteria ciagłości odwzorowania liniowego w przestrzeniach unormowanych i semiunormowanych.

Norma operatora.

2. Izomorficzność skończenie-wymiarowych przestrzeni wektorowych topologicznych Hausdorffa z prze-

strzenią euklidesową i automatyczna ciągłość odwzorowań liniowych (dowód może być dla norm)

3. Domkniętość podprzestrzeni skończenie wymiarowych, wymiar algebraiczny przestrzeni Banacha.

4. Twierdzenie o funkcjonale Minkowskiego dla zbioru wypukłego, pochłaniającego.

5. Własności normy ilorazowej, definicja L

p

(µ) dla 1 ¬ p < ∞.

6. Szeregi w (X, k k): rodzaje zbieżności, kryterium ”szeregowe” zupełności.

7. Twierdzenie o zupełności przestrzeni B(X, Y ) operatorów liniowych ciągłych.

8. Szereg Carla Neumanna i otwartość zbioru operatorów odwracalnych w algebrze B(X).

.

Przestrzenie Hilberta

9. Nierówność Cauchy’ego - Buniakowskiego - Schwarza i zastosowanie do nierówności trójkąta

10. Twierdzenie o rzucie na zbiór wypukły domknięty w przestrzeni Hilberta (istnienie i jednoznaczność)

11. Twierdzenie charakteryzujące rzut przez nierówności dla iloczynów skalarnych (odp. -ortogonalność)

12. Rozkład ortogonalny w przestrzeni Hilberta i własności rzutu ortogonalnego jako operatora

13. Tw. Riesza -Fr´echeta o postaci funkcjonału

14. Definicja i elementarne własności operatora sprzężonego T

∗

15. Nierówność Bessela i tożsamość Parsevala, bazy ortonormalne, układ trygonometryczny.

.

Przestrzenie funkcji całkowalnych, szeregi Fouriera

16. Własności seminormy ilorazowej, wzór na odległość wektora od ker φ

17. Kryteria ciągłości funkcjonału liniowego.

18. Definicje przestrzeni Lebesgue’a L

p

(µ) Nierówności: H¨oldera i Minkowskiego.

19. Zupełność L

p

(µ).

20. Regularność miar, gęstość funkcji ciągłych w L

p

(µ) w przypadku zwykłej miary Lebesgue’a.

21. Układ trygonometryczny w postaci rzeczywistej i zespolonej, lemat Riemanna - Lebesgue’a

22. Sformułowanie 2-3 twierdzeń o sumowaniu szeregu Fouriera, wybrany dow. (poza przyp. k k

2

)

23. Twierdzenie Banacha-Steinhausa, zastosowanie do szeregów Fouriera

.

”Klasyka”

24. Twierdzenia Banacha o odwzorowaniu otwartym, o izomorfizmie i o wykresie domkniętym

25. Tw. Hahna-Banacha. Wzór dualny na normę wektora, zanurzenie kanoniczne j : X → X

00

26. Zastosowanie tw. Hahna-Banacha: rozdzielanie zbiorów wypukłych.