EGZAMIN Z TOPOLOGII
2007 rok, II termin
Punktacja: każde zadanie 2 pkt.
1. W R rozważamy topologiÄ™ Ä wprowadzonÄ… przez bazÄ™ ² = {{1} *" [a, b], : a, b " R, a < b}.
a) Czy (R, Ä) speÅ‚nia aksjomat T1 ?
b) Czy (R, Ä) jest przestrzeniÄ… oÅ›rodkowÄ… ?
c) Czy (R, Ä) speÅ‚nia I AP ?
d) Czy topologia naturalna (zadana przez moduÅ‚) w R jest sÅ‚absza od topologii Ä ?
2. Rozważamy X = R z topologią dyskretną, Y = R z topologią prawych odcinków. W iloczynie
kartezjaÅ„skim X×Y rozważamy topologiÄ™ produktowÄ…. Wyznaczyć wnÄ™trze i domkniÄ™cie zbioru
A = {(x, y) " R2 : 0 y < x}.
3. Czy zbiór Q )" [0,1] jest zwarty w przestrzeni R rozważanej z topologią:
a) wyróżnionego punktu 0
b) naturalnÄ…
c) dyskretnÄ…
d) Ä = {U ‚" R : 0 " U lub zbiór R\U jest skoÅ„czony} ?
4. Rozważamy R2 z topologiÄ… naturalnÄ…. Czy zbiór A = R2 \ [(R × Z) *" (Z × R)] z topologiÄ…
indukowanÄ… z R2 jest przestrzeniÄ…:
a) lokalnie spójną
b) drogowo spójną
c) zupełną
d) lokalnie zwartÄ… ?
5. Niech X będzie przestrzenią topologiczną, U podzbiorem otwartym X. Czy prawdziwe są
następujące implikacje (w U rozważamy topologię indukowaną):
a) X lokalnie spójna =Ò! U lokalnie spójna
b) X speÅ‚nia aksjomat T2 =Ò! U speÅ‚nia aksjomat T2
c) X metryczna zupeÅ‚na =Ò! U przestrzeÅ„ zupeÅ‚na z metrykÄ… indukowanÄ…
d) X lokalnie zwarta =Ò! U lokalnie zwarta ?
6. Czy funkcja f : R x (1, -x) " R2 jest ciągła, jeśli R rozważamy z topologią naturalną,
a R2 z topologiÄ…:
a) zadanÄ… przez metrykÄ™ rzeki R × {0}
b) zadaną przez metrykę węzła kolejowego (0,0)
c) dopełnień (co najwyżej) przeliczalnych
d) Ä = {U ‚" R2 : U = R2 (" U ‚" {1} × R} ?
7. Czy dla dowolnych przestrzeni topologicznych X, Y i dowolnej funkcji ciągłej f: X Y praw-
dziwe sÄ… implikacje:
a) X lokalnie spójna =Ò! f(X) lokalnie spójny
b) B ‚" Y spójny =Ò! f-1(B) spójny
c) B ‚" Y domkniÄ™ty w Y =Ò! f-1(B) domkniÄ™ty w X
d) X oÅ›rodkowa =Ò! f(X) oÅ›rodkowa ?
8. Podać przykład otwartego zbioru w R2 (z topologią naturalną), który ma 2 składowe spójne,
i którego domknięcie w R2 jest zbiorem spójnym i zwartym.
9. Które z niżej podanych zbiorów X ma własność punktu stałego (tzn. dowolna funkcja ciągła
f: X X ma punkt stały):
a) X = {(x, y) " R2 : x2 + y2 2}
b) X = {(x, y) " R2 : x2 + y2 = 2}
c) X = [0,1]
d) X = {0,1}
Wszystkie zbiory rozważamy z topologią naturalną indukowaną z R lub R2.
10. Podane niżej zbiory podzielić na grupy tak, aby dowolne dwa zbiory z tej samej grupy były
homeomorficzne, a dowolne dwa zbiory z różnych grup nie były homeomorficzne:
a) [0,1] × [0,1]
b) [0,1] × [0,1)
c) Q × [0,")
d) {(x, y) " R2 : x 0, y 0, x + y 1}
e) [0,1] × [0,")
f) Q × {0}
Wszystkie zbiory rozważamy z topologią naturalną indukowaną z R2.
11. Pokazać na przykładzie, że teza tw. Banacha o punkcie stałym nie zachodzi, jeśli rozważana
w założeniach przestrzeń nie jest zupełna (wszystkie inne założenia mają być spełnione).
12. Podać definicję przestrzeni unormowanej.
13. Podać definicję topologii produktowej w iloczynie kartezjańskim dwóch przestrzeni topologicz-
nych (X, ÄX) i (Y, ÄY).
14. Sformułować twierdzenie Tietzego.
15. Podać definicję składowej spójnej punktu przestrzeni topologicznej.
16. Dany jest podzbiór A przestrzeni metrycznej X. Sformułować w języku ciągów i ich granic
warunek równoważny domkniętości zbioru A w X.
17. Sformułować twierdzenie o relacjach pomiędzy bazą topologii a pełnym układem otoczeń tej
topologii.