13 Powtórka opracowanie

Algebra liniowa
(Linear Algebra - lesson 13)
Powtórka I części kursu Ax = b
Michał Sajnóg, Sławomir Gajc
19 grudnia 2012
M. Sajnóg i S. Gajc Powtórka I części kursu Ax=b
1. Ilu wymiarowe mogą być podprzestrzenie obejmujące niezerowe
wektory u, v, w w przestrzeni R7?
Odpowiedz:
Możliwe podprzestrzenie są 1, 2, lub 3 wymiarowe.
Wymiar podprzestrzeni obejmującej te wektory nie może być większy, ponieważ są dane tylko
trzy wektory, i są one niezerowe.
2. Jaka jest przestrzeń zerowa danej macierzy U (5x3), jeżeli jej rząd
jest równy 3 (tzn. ma 3 punkty osiowe)?
U 5x3
rank(U)=3
Aby odpowiedzieć na to pytanie najlepiej jest wyobrazić sobie jaki ma kształt ta macierz.
Wiemy, że ma ona 5 wierszy, 3 kolumny, i 3 punkty osiowe.
Odpowiedz:
�ł łł
0
�ł śł
Przestrzenią zerową tej macierzy jest wektor zerowy: N(U) = 0
�ł �ł
0
3. Jaka jest postać schodkowa macierzy B?

U
B =
2U
Załóżmy, że U jest dalej macierzą 5x3 i ma 3 punkty osiowe. Więc macierz B będzie miała
rozmiar 10x3, i również 3 punkty osiowe.
Redukcja wierszowa macierzy B:

U U
B =
2U 0
rank(B)=3
Odpowiedz:

U
Postać schodkowa macierzy B wygląda następująco:
0
4. Jaka jest postać schodkowa macierzy C? Podaj rząd macierzy C
oraz wymiar przestrzeni zerowej CT .

U U
C =
U 0
1
M. Sajnóg i S. Gajc Powtórka I części kursu Ax=b
Załóżmy, że U jest dalej macierzą 5x3 i ma 3 punkty osiowe.
Redukcja wierszowa macierzy C:

U U U U U 0 U 0

U 0 0 -U 0 -U 0 U
Jeżeli chcemy, aby macierz C była naprawdę w kompletnej zredukowanej wierszowej formie
schodkowej, to należy zwrócić uwagę na to, że macierz U mająca 5 wierszy, 3 kolumny i 3
punkty osiowe będzie miała dwa wiersze złożone z zer, i wiersze macierzy C, które będą za-
wierały te zera, powinny zostać przesunięte na dół macierzy C w zredukowanej formie.
Rząd macierzy C jest równy: 6
Wymiar przestrzeni zerowej macierzy CT:
C CT
10x6 6x10
dimN(CT) = columns - rank(CT) = 10 - 6 = 4
5. Jakiego rzędu jest macierz A?
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
2 2 1 0
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
Ax = 4 x = 0 +c 1 +d 0
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
2 0 0 1
Najlepszym sposobem rozwiązania tego zadania, jest zadanie sobie kilka prostych pytań:
" Jakiego rozmiaru jest macierz A?
Wektor po prawej stronie równania ma trzy wiersze, co mówi nam, że macierz A również
będzie miała ich trzy. x jest wektorem 3x1, więc aby po wymnożeniu macierzy A przez
ten wektor otrzymać wektor takich wymiarów macierz A musi posiadać 3 kolumny, więc
macierz A jest macierzą kwadratową 3x3
" Wymiar przestrzeni zerowej macierzy A?
Dwa wektory składowe x są niezależne, więc przestrzeń zerowa macierzy A jest równa
2.
dimN(A) = 2
Rząd macierzy = Liczba kolumn - Wymiar przestrzeni zerowej
Wiedząc jakiego rozmiaru jest macierz A i jakiego wymiaru jest jej przestrzeń zerowa, możemy
podstawić dane do wzoru i obliczyć rząd macierzy A:
rank(A) = 3 - 2 = 1
2
M. Sajnóg i S. Gajc Powtórka I części kursu Ax=b
Odpowiedz: Rząd macierzy A jest równy 1.
6. Jak wygląda macierz A?
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
2 2 1 0
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
Ax = 4 x = 0 +c 1 +d 0
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
2 0 0 1
�ł łł
2
�ł śł
" Macierz A pomnożona przez x, ma dać wektor 4 , znamy więc pierwszą kolumnę
�ł �ł
2
macierzy A:
�ł łł
1
�ł śł
A = 2
�ł �ł
1
" Ostatni wektor składowy x należy do przestrzeni zerowej, więc ostatnia kolumna ma-
cierzy A będzie składała się z zer.
�ł łł
1 0
�ł śł
A = 2 0 �ł
�ł
1 0
" Ponieważ druga kolumna x również należy do przestrzeni zerowej, to jeżeli pomnożymy
macierz A przez x musimy otrzymać zera, więc druga kolumna macierzy A będzie
wyglądała następująco:
�ł łł
1 -1 0
�ł śł
A = 2 -2 0 �ł
�ł
1 -1 0
W ten sposób otrzymaliśmy całą macierz A.
�ł łł
1 -1 0
�ł śł
Odpowiedz: A = 2 -2 0 �ł
�ł
1 -1 0
7. Dla jakiego wektora b, równanie Ax=b ma rozwiązanie?
�ł łł
1 -1 0
�ł śł
A = 2 -2 0 �ł
�ł
1 -1 0
Równanie to nie będzie zachodziło dla każdego wektora b.
3
M. Sajnóg i S. Gajc Powtórka I części kursu Ax=b
Równanie Ax = b ma rozwiązanie dla wektora b, który jest wielokrotnością bazy kolum-
nowej macierzy A, więc aby udzielić odpowiedzi musimy zadać sobie pytanie: Jaka jest baza
kolumnowa macierzy A?
�ł łł
1
�ł śł
C(A) = 2
�ł �ł
1
Odpowiedz: Równanie Ax = b ma rozwiązanie dla wektora b, który jest wielokrotnością
�ł łł
1
�ł śł
bazy kolumnowej macierzy A, czyli: b = c 2 .
�ł �ł
1
8. Mamy macierz kwadratową A, a jej przestrzeń zerowa jest wek-
torem zerowym. Jaka będzie przestrzeń zerowa macierzy transpo-
nowanej A?
Odpowiedz: Przestrzenią zerową macierzy transponowanej A będzie również wektor zerowy.
9. Czy, jeżeli podniesiona do kwadratu macierz daje w wyniku wek-
tor zerowy, to ta macierz musi być zerowa?
B2 = 0 => B = 0?
" Spójrzmy na następujący przykład:

0 1 0 1 0 0
� = = 0
0 0 0 0 0 0
Jak widać podniesona do kwadratu macierz dała w wyniku zero, jednak sama nie składa się
wyłącznie z zer.
Odpowiedz: Macierz nie musi być zerowa, aby podniesiona do kwadratu dała zero.
10. Mamy kwadratową macierz. Kolumny tej macierzy są niezależne.
Czy dla każdej macierzy tej postaci, równanie Ax=b będzie miało
rozwiązanie?
Spróbujmy wyobrazić sobie tą macierz, aby lepiej zrozumieć zadanie.
Teraz wystarczy przeanalizować treść zadania i od razu będziemy mogli przejść do udzie-
lenia odpowiedzi.
Więc:
4
M. Sajnóg i S. Gajc Powtórka I części kursu Ax=b
" Dana macierz jest kwadratowa
" Kolumny tej macierzy są niezależne
Mówi nam to, że rząd tej macierzy jest równy liczbie kolumn.
Kiedy rząd jest równy liczbie kolumn to wiadomo, że dana macierz jest na pewno macierzą
odrwacalną, czyli taką dla której to równanie zawsze będzie miało rozwiązanie.
Odpowiedz: Dla danej macierzy równanie Ax = b jest zawsze rozwiązywalne.
11. Znajdz bazę N(B) bez wykonywania mnożenia.
�ł łł �ł łł
1 1 0 1 0 -1 2
�ł śł �ł śł
B = 0 1 0 � 0 1 1 -1 �ł
�ł �ł �ł
1 0 1 0 0 0 0
baza N(B)ą" R4
Przestrzeń n-wymiarowa wektorów x spełnia równanie Bx = 0.
Przestrzeń zerowa tej macierzy jest równa 3x4.
Szukamy wektorów x w R4.
�ł łł �ł łł
1 1 0 1 0 -1 2
�ł śł �ł śł
B = 0 1 0 � 0 1 1 -1 �ł
�ł �ł �ł
1 0 1 0 0 0 0
Macierz ta jest odwracalna.
Skoro Bx = 0, to przestrzeń poniższej macierzy jest taka sama jak przestrzeń zerowa.
�ł łł
1 0 -1 2
�ł śł
�ł 0 1 1 -1 �ł
0 0 0 0
Przyjmijmy, że:
�ł łł �ł łł
1 1 0 1 0 -1 2
�ł śł �ł śł
C = 0 1 0 D = 0 1 1 -1 �ł
�ł �ł �ł
1 0 1 0 0 0 0
to N(CD) = N(D), jeżeli C jest macierzą odwracalną
Mnożenie odwracalnej macierzy nie zmieni przestrzeni zerowej.
Znajdzmy przestrzeń zerową dla D. Są dwie kolumny osiowe, więc stopień to dwa.
�ł łł �ł łł
1 -2
�ł śł �ł śł
-1 1
�ł śł �ł śł
baza N(B) = �ł śł , �ł śł
�ł �ł �ł �ł
1 0
0 1
Trzecią wolną zmienną jest jeden.
Jeśli m = n, to przestrzeń wierszy równa jest przestrzeni kolumn.
5
M. Sajnóg i S. Gajc Powtórka I części kursu Ax=b
12. Czy jeśli m = n, to ta macierz jest kwadratowa?
Wezmy na przykład:

0 1
A =
0 0
Przestrzeń wierszy jest mnożona przez:

0 1 .
Przestrzeń kolumn jest mnożona przez:

1
.
0
Widać, że te przestrzenie się różnią.
Odpowiedz: Nie.
13. Czy macierze A i -A dzielą te same podprzestrzenie?
" Czy mają taką samą przestrzeń kolumnową? TAK
" Czy mają taką samą przestrzeń zerową? TAK
" Czy mają taką samą przestrzeń wektorową? TAK
Odpowiedz: PRAWDA
14. Jakie podprzestrzenie macierzy pozostaną takie same, gdy jej
dwa wiersze zamienimy ze sobą?
Odpowiedz: Zmianie nie ulegną podprzestrzeń wierszowa i podprzestrzeń zerowa.
Podprzestrzeń kolumnowa zostanie zmieniona!
6
M. Sajnóg i S. Gajc Powtórka I części kursu Ax=b
�ł łł
1
�ł śł
�ł śł
�ł śł
15. Dlaczego wektor V = 2 nie może być jednocześnie w prze-
�ł �ł
3
strzeni zerowej macierzy A i jej wierszem?
Spójrzmy na to pytanie z tej strony:
�ł łł �ł łł
1 0
�ł śł �ł śł
A 2 = 0
�ł �ł �ł �ł
3 0
Z powyższego zapisu wynika, że wektor V jest w przestrzeni zerowej macierzy A. Podstawmy
więc teraz do macierzy A wiersz składający się z 1, 2, 3.
�ł łł �ł łł �ł łł
1 2 3 1 0
�ł śł �ł śł �ł śł
2 = 0
�ł - - - �ł �ł �ł �ł �ł
- - - 3 0
Miejsca - mogą być uzupełnione w sposób dowolny. Z tego zapisu widać, że pierwszy ele-
ment wektora zerowego powinien być równy 14 a nie 0.
Odpowiedz: Wektor V nie może być jednocześnie w przestrzeni zerowej macierzy i jej wier-
szem, ponieważ po wymnożeniu danej macierzy przez ten wektor (mający znajdować się w
podprzestrzeni zerowej macierzy), nie otrzymamy zera.
16. Jeżeli macierz A i B mają takie same cztery podprzestrzenie, to
czy A jest wielokrotnością B?
A = cB
Załóżmy, że macierz A jest macierzą odwracalną 6x6.
Spójrzmy jak wygladają jej podprzestrzenie:
" Rząd tej macierzy jest równy 6, więc: przestrzeń kolumnowa i wierszowa są 6-wymiarowe.
" Przestrzeń zerowa A i AT - jest wektorem zerowym.
Z powyższego zapisu łatwo można zauważyć, że każda macierz odwracalna tego samego wy-
miaru będzie miała takie same podprzestrzenie.
Możemy zatem jako A i B wziąć dwie dowolne macierze odwracalne 6-wymiarowe, a ich pod-
przestrzenie będą takie same.
Odpowiedz: Macierz A nie musi być wielokrotnością B.
17. Jaka jest baza kolumnowa i wierszowa macierzy A? Co jest jej
przestrzenią zerową?

3 5 1
A =
6 11 2
7
M. Sajnóg i S. Gajc Powtórka I części kursu Ax=b
Na początku zredukujmy tą macierz do postaci schodkowej:

3 5 1 3 5 1

6 11 2 0 1 0
Aby wskazać bazę wierszową i kolumnową tej macierzy, musimy zobaczyć ile mamy punktów
osiowych i gdzie one są.
Do bazy kolumnowej należą wektory zawierające kolumny macierzy, w których występują
punkty osiowe. Do wierszowej zaś należą wektory zawierające kolumny macierzy transpono-
wanej, w których występują punkty osiowe.
" Baza kolumnowa:

3 5
C(A) ,
6 11
" Baza wierszowa:
�ł łł �ł łł
3 6
�ł śł �ł śł
C(AT) 5 , 11
�ł �ł �ł �ł
1 2
Teraz zajmiemy się przestrzenią zerową.
Postać zredukowana macierzy A:

3 5 1 3 5 1

6 11 2 0 1 0
Następnie redukujemy górny wiersz macierzy, tak aby nad punktami osiowymi były same
zera.

3 5 1 3 0 1

0 1 0 0 1 0
Teraz możemy przejść do następujących równań:

3x1 + x3 = 0 x1 = -1x3
3

x2 = 0 x2 = 0
Mając dane równiania możemy nareszcie wyznaczyć przestrzeń zerową:
�ł łł �ł łł
x1 -1
3
�ł �ł śł
N(A) x2 śł = x3 � 0
�ł �ł �ł �ł
x3 1
8
M. Sajnóg i S. Gajc Powtórka I części kursu Ax=b
18. Oblicz niewiadome A i B, dla których w danym zbiorze wektorów
będą dwie pary wektorów liniowo zależnych.

1 3 A B
, , ,
3 3 2 2
Pierwsze dwa wektory nie mogą tworzyć pary ponieważ są to wektory liniowo niezależne.
Jedna para to pierwszy i trzeci wektor (lub czwarty, bo nie znając A i B oba wektory są
równoważne w tej sytuacji).

1 A

= 0

3 6
6 - 3A = 0 A = 2
Analogicznie dla drugiej pary złożonej z drugiego i czwartego wektora

3 B

= 0

3 6
18 - 3B = 0 B = 9
Odpowiedz: A = 2, B = 9.
9

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Powtorka opracowanie?nych stat cw
Cw 13 Opracowanie ogniska
UAS 13 zao
er4p2 5 13
Budownictwo Ogolne II zaoczne wyklad 13 ppoz
Elektroenergetyka opracowanie1
ch04 (13)
przetworniki II opracowane
model ekonometryczny zatrudnienie (13 stron)

więcej podobnych podstron